Dùng tính chất đơn điệu của hàm số để giải toán

Trong đó, hàm số đơn điệu là một khái niệm quan trọng trong giải tích toán học và có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác như kinh tế, cơ học, vật lý và kĩ thuật.Ngoài ra,ứng dụn

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

  

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

ĐỀ TÀI: DÙNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

ĐỂ GIẢI TOÁN

Giảng viên hướng dẫn : Th.S PHAN THỊ QUẢN

Sinh viên thực hiện : LÂM QUANG THUẬN

Đà Nẵng, tháng 1 năm 2019

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn, sự tri ân sâu sắc đến Cô Ths Phan Thị Quản - Khoa

Toán, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng là người trực tiếp hướng dẫn, giúp

đỡ, động viên và tạo mọi điều để em nghiên cứu và thực hiện đề tài khóa luận này

Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy, cô trong khoa Toán và phòng Đào Tạo

trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ em trong quá trình làm

khóa luận

Em xin chân thành cảm ơn!

Đà Nẵng, ngày 20 tháng 01 năm 2018 Lâm Quang Thuận

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU……… 4

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT……… 6

1.1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số……… 6

1.1.1 Định nghĩa sự đồng biến và nghịch biến của hàm số ……….… 6

1.1.2 Định nghĩa sự đơn điệu của hàm số……… 6

1.2 Định lí về tính đơn điệu của hàm số……… 7

1.2.1 Bổ đề (đạo hàm của hàm hằng)……… 8

1.2.2 Định lí về tính đơn điệu của hàm số……… 8

1.2.3 Một số tính chất của hàm số đơn điệu……… 10

1.3 Định lí về số nghiệm của phương trình và các hệ quả……… 11

1.3.1 Định lí về số nghiệm của phương trình……… 11

1.3.2 Các hệ quả……… 11

1.4 Cực trị của hàm số Định lí Lagrange……… 13

1.4.1 Cực trị của hàm số Định lí Fermat về cực trị……… 13

1.4.2 Định lí Lagrange……… 13

CHƯƠNG 2: DÙNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ SIÊU VIỆT……… 15

2.1 Dùng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình……….….… 16

2.1.1 Phương trình vô tỉ……….… 16

2.1.2 Phương trình chứa hàm lượng giác, hàm logarit và hàm mũ………… 31

2.2.1 Bất phương trình không chứa tham số……… 41

2.2.2 Giải bài toán bất phương trình có chứa tham số……….… 47

2.3 Dùng tính chất đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình……… 54

2.3.1 Hệ phương trình không chứa tham số……… 54

2.3.2 Giải bài toán hệ phương trình có chứa tham số……… 57

CHƯƠNG 3: DÙNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC……… 61

3.1 Giải bài toán cực trị trong mặt phẳng tọa độ Descartes Oxy ……… 61

3.2 Giải bài toán cực trị trong hình học không gian Oxyz về khoảng cách và góc 64

3.3 Giải bài toán cực trị trong hình học không gian tổng hợp……… 69

3.2.1 Một số bài toán cực trị về độ dài, khoảng cách ……… 69

3.2.2 Một số bài toán cực trị về diện tích, thể tích ……… 72

3.4 Giải bài toán cực trị hình học có ứng dụng thực tiễn.……… 78

KẾT LUẬN……… 84

Tài liệu tham khảo……… 85

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hàm số là một trong những khái niệm cơ bản của toán học Trong đó, hàm số đơn điệu

là một khái niệm quan trọng trong giải tích toán học và có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác như kinh tế, cơ học, vật lý và kĩ thuật.Ngoài ra,ứng dụng của tính đơn điệu hàm số trong việc giải toán cũng rất đa dạng và phong phú, đặc biệt là các dạng toán về giải phương trình, bất phương trình, giải hệ phương trình, chứng minh phương trình có nghiệm, các bài toán về cực trị Và chủ đề về hàm số đơn điệu cũng xuyên suốt trong chương trình môn toán từ cấp Trung học cơ sở đến Trung học phổ thông, các dạng toán về sự đơn điệu cũng thường xuyên xuất hiện trong các kì thi Quốc gia, Olympic trong nước,…Do vậy tính đơn điệu của hàm số, cũng như việc sử dụng nó thành thạo nó trong giải toán là vô cùng quan trọng

Với mục tiêu nghiên cứu tính đơn điệu của hàm số, ứng dụng của nó để giải các bài toán sơ cấp và mong muốn đưa đến cho bạn đọc về một cách nhìn đa dạng, phong phú trong việc giải toán bằng tính đơn điệu, tôi xin chọn đề tài “Dùng tính chất đơn điệu của hàm số

để giải toán” để làm khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

- Khai thác các tính chất đơn điệu của hàm số

- Nâng cao năng lực giải các bài toán về giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, các bài toán cực trị hình học bằng phương pháp hàm số

- Phục vụ công tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu là tính đơn điệu của hàm số

- Phạm vi nghiên cứu:

+ Thời gian nghiên cứu: Từ tháng 9/2018 đến tháng 1/2019

+ Nội dung nghiên cứu: Phương trình, bất phương trình và hệ phương trình và một số bài số bài toán cực trị hình học

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phân tích và tổng hợp

- Hệ thống và phân loại các bài tập

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

Xây dưng hệ thống bài tập về giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình và một số bài số bài toán cực trị hình học thông qua tính đơn điệu của hàm số Từ đó giúp người đọc có cách nhìn đa dạng hơn về sự ứng dụng của hàm số đơn điệu trong giải toán

6 Cấu trúc khóa luận

Luận văn gồm các chương sau:

Chương 1 Cơ sở lí thuyết

Chương 2 Dùng tính chất đơn điệu của hàm số để giải các bài toán đại số và siêu việt Chương 3 Dùng tính chất đơn điệu của hàm số để giải các bài toán trong hình học

Chương 1 CƠ SỞ LÍ THUYẾT

1.1 Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Cho hàm số f D:  với D ,là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn

1.1.1 Định nghĩa sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Hàm f được gọi là đồng biến (tăng) trênDnếu x x1, 2D sao cho x1 x2, ta đều

có f x 1  f x 2

Hàm số f được gọi là nghịch biến (giảm) trênDnếux x1, 2D sao cho x1 x2, ta đều có f x 1  f x 2

Nhận xét 1.1: Đồ thị hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) được biểu diễn trên mặt

phẳng tọa độ là một đường đi lên (hoặc đi xuống) trên mỗi khoảng xác định của nó

biến trên miền xác định của nó

1.1.2 Định nghĩa sự đơn điệu của hàm số

Hàm số f hoặc đồng biến hoặc nghịch biến trên D thì ta nói hàm f đơn điệu trên D

Nhận xét 1.4: Các hàm số đơn điệu trên mỗi khoảng mà nó xác định, nhưng chưa

chắc đơn điệu trên miền xác định của nó Một số ví dụ dưới đây cho ta thấy điều đó:

Ví dụ 1.1: Hàm số f x( ) 1

x

 nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó là ;0 và

0;, nhưng không nghịch biến trên miền xác định của nó Ví dụ cho x1   1 x2 1

và f x 1   1 f x 2 1

Ví dụ 1.2: Hàm số

2

2 , 1( )

 xác định trên ; đồng biến trên ;1 và

1; nhưng không đồng biến trên Ví dụ cho x1  0 x2 1 nhưng

1.2 Định lí về tính đơn điệu của hàm số

Trên phương diện giải toán, nếu ta sử dụng định nghĩa làm công cụ để khảo sát tính đơn điệu của hàm số thì sẽ khá khó khăn đối với việc giải toán Chẳng hạn sẽ mất nhiều thời gian để xét tính đơn điệu của hàm số 3 1

1.2.1 Bổ đề: (đạo hàm của hàm hằng) Cho hàm số y f x  liên tục trên đoạn

 a b có đạo hàm trên khoảng ;  a b; Khi đó f là một hàm hằng khi và chỉ khi

1.2.2 Định lí về tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên khoảng  a b; Khi đó:

a) Hàm f đồng biến trên khoảng  a b khi và chỉ khi ; f’ x 0 với mọix a b; và

 

f x  tại hữu hạn điểm trên khoảng  a b ;

b) Hàm f nghịch biến trên khoảng  a b khi và chỉ khi ; f’ x 0 với mọix a b; và

Điều kiện cần: Giả sử f’ x 0 với mọix a b; và f’ x 0 tại hữu hạn điểm trên khoảng  a b Ta chứng minh ; f đồng biến trên khoảng  a b ;

f x const  x x x Theo định lí 1 suy ra f ' x   0, x x x1; 2

Trái với giả thiết f’ x 0 tại hữu hạn điểm trên khoảng  a b ;

Do đó f x 2  f x 1 với mọi x2 x1

Vậy hàm f đồng biến trên  a b ;

mọix a b; và f’ x 0 tại hữu hạn điểm trên khoảng  a b ;

Thật vậy giả sử ngược lại  ;    a b; : f ' x   0, x  ; 

Theo định lí 1.1 f là một hàm hằng trên  ; , trái với giả thiết f đồng biến trên

 a b ;

Vậy f’ x 0 với mọix a b; và f’ x 0 tại hữu hạn điểm trên khoảng  a b ;

1.2.3 Một số tính chất của hàm số đơn điệu

Để phát hiện nhanh được tính đơn điệu của hàm số ta cần có một số tính chất sau:

biến) trênDthì khi đó:

- Hàm số y n f x  đồng biến (hoặc nghịch biến) trênD với   *

 nghịch biến (hoặc đồng biến) trên mỗi khoảng xác định của nó

- Hàm số y f x  nghịch biến (hoặc đồng biến) trênD

Tính chất 2:

- Nếu u x( ) và v x( ) cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì u x( )v x( ) cũng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D

- Nếu u x( ) đồng biến trên ;D v x( ) nghịch biến trên Dthì u x( )v x( ) đồng biến trên D

- Nếu u x( ) nghịch biến trên ;D v x( )đồng biến trên Dthì u x( )v x( )nghịch biến trên D

Tính chất 3:

Cho u x là hàm nhận các giá trị trên   D, khi đó u x và   f u x   cùng tính đơn điệu nếu f đồng biến trên Dvà khác tính đơn điệu nếu f nghịch biến trên D

1.3 Định lí về số nghiệm của phương trình và các hệ quả

1.3.1 Định lí về số nghiệm của phương trình

Giả sử hàm số f x liên tục trên đoạn    a b và có đạo hàm trên khoảng ;  a b; Khi đó, nếu phương trình f ' x 0 có n1 nghiệm phân biệt trên khoảng  a b thì phương ;trình f x 0 có không quá n nghiệm phân biệt trên khoảng đó

Chứng minh:

Giả sử ngược lại f x 0 có nhiều hơn n nghiệm phân biệt trên khoảng  a b ;Chẳng hạn f x 0 có n1 có nghiệm phân biệt trên khoảng  a b , gọi các ;nghiệm đó là x x1, 2, ,x x n, n1

Áp dụng định lý Lagrange cho n đoạn x x1; 2 , x x2; 3 , , x x n; n1 ta có:

Suy ra phương trình f ' x 0 có n nghiệm phân biệt trên khoảng  a b ;

Trái với giả thiết

Vậy f x 0 có không quá n nghiệm phân biệt trên khoảng  a b ;

1.3.2 Các hệ quả:

có n nghiệm phân biệt thuộc khoảng  a b thì phương trình ; f ' x 0 có ít nhất n1

nghiệm phân biệt thuộc khoảng  a b ;

Chứng minh:

Giả sử ngược lại f ' x 0 có ít hơn n1 nghiệm phân biệt thuộc khoảng  a b , ;chẳng hạn n2 nghiệm, theo định lí trên suy ra phương trình f x 0 có không quá

1

n nghiệm phân biệt thuộc khoảng  a b , điều này trái với giả thiết ;

Vậy f ' x 0 có ít nhất n1 nghiệm phân biệt thuộc khoảng  a b ;

 

f x k với k là hằng số, nếu có nghiệm xx0 thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình trên khoảng đó

Chứng minh: Hệ quả được suy ra trực tiếp từ định lí

các giá trị thuộcD thì f u x    f v x   u x   v x

Chứng minh:

Đặt u0 u x 0 D v, 0 v x 0 D f u 0  f v 0 Theo hệ quả 1.2, suy ra u0 v0 hay

   0 0

u x v x nên xx0 cũng là nghiệm phương trình u x   v x

  0

f x  có không quá hai nghiệm trên khoảng  a b ;

  0

f x

1.4 Cực trị của hàm số Định lí Lagrange

1.4.1 Cực trị của hàm số Định lí Fermat về cực trị

Cho hàm số f D:  với D ,ta nói rằng:

Hàm f đạt cực đại tại x0D nếu  a b; D x: 0 a b; và f x  f x 0 ,  x  a b;

Hàm f đạt cực tiểu tại x0D nếu  a b; D x: 0 a b; và

   0 ,  ;

f x  f x  x a b

Điểm cực đại hoặc điểm cực tiểu của hàm số f được gọi chung là điểm cực trị của f

Giả sử f là hàm liên tục trên đoạn  a b và có đạo hàm tại mọi điểm trong ;

khoảng  a b Khi đó tồn tại ít nhất một điểm ; c a b; sao cho:

 c là một điểm cực đại của f Theo định lí Fermat, F c' 0.

Vậy luôn tồn tại c a b; :F c' 0, thay vào  * ta được: f ' c f b  f a  0

Chương 2 DÙNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI

TOÁN ĐẠI SỐ VÀ SIÊU VIỆT 2.1 Dùng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình

Một số phương pháp để giải một số bài toán trong phần này như sau:

Phương pháp 1:

• Ta biến đổi phương trình cần giải về dạng f u x     f v x 

• Xét hàm số đặc trưng y f t  Tính f ' t và chứng tỏ f ' t luôn dương (hoặc âm)

 Hàm f là một hàm đơn điệu trên tập xác định của nó

• Do đó f u x     f v x   u   x v x – Là một phương trình đơn giản hơn

Vấn đề quan trọng của phương pháp này là ta phải đưa phương trình về dạng

f u x    f v x 

Phương pháp 2:

• Ta biến đổi phương trình cần giải về dạng f x 0

• Xét hàm số y f x  Tìm số nghiệm của phương trình f ' x 0

Giả sử phương trình f ' x 0 giả sử có n1 nghiệm phân biệt, khi đó phương trình

  0

f x  có không quá n nghiệm

• Chỉ ra các nghiệm của phương trình

Vấn đề quan trọng của phương pháp này là chúng ta phải nhận ra được hàm số đơn điệu bằng các tính chất và "nhẩm hoặc tính được nghiệm của phương trình "

Phần tiếp theo sẽ hệ thống một số bài toán từ dễ đến khó Các bài toán được lựa chọn từ một số tài liệu trong các kỳ thi Quốc gia, học sinh giỏi, Olympic,… để minh họa cho dạng bài tập này và tự thiết kế trên cơ sở một số bài tập đã có

2.1.1 Phương trình vô tỉ

Đối với các loại phương trình vô tỉ thì phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm

số (còn gọi là phương pháp hàm số) là một công cụ mạnh để giải các loại phương trình này Các ví dụ sau sẽ cho ta thấy điều đó:

 Dùng tính chất đơn điệu để giải phương trình thông qua chứng minh tính duy nhất của nghiệm

Ví dụ 2.1: Giải các phương trình sau:

Theo hệ quả 1.2, phương trình f x 0 có tối đa một nghiệm trên 3

Mà f   1 0 nên x 1 là nghiệm duy nhất của phương trình f x 0

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x  1;0 

Theo hệ quả 1.4, phương trình f x 0 có nhiều nhất hai nghiệm trên 2;3 

Nhận thấy x 1 và x2 thỏa mãn phương trình

Vậy nghiệm của phương trình là x  1; 2 

Xét hàm số đặc trưng   3

f t  t t với t

  không giao nhau

Do đó phương trình g x 0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng 1;1

Đặt xcos ,   0; , khi đó phương trình đã cho trở thành:

Nhận xét 2.1: Từ hai ví dụ trên, ta có bài toán giải phương trình tổng quát sau:

33

Nếu hệ vô nghiệm thì (2.4.1) không đưa được về (2.4.2)

Nếu hệ có nghiệm thì (2.4.1) đưa được về (2.4.2)

Các hệ số của (2.4) sẽ thay đổi nếu ta nhân hai vế của (2.4) với một số khác không và hệ phương trình trên cũng thay đổi, nghĩa là hệ phương trình trên là không duy nhất

Ví dụ 2.5: Giải phương trình:

 

4x 6x 4x 1 2x1 2.5

Hệ phương trình này vô nghiệm

Tuy nhiên điều đó không có nghĩa là ta không đưa phương trình (2.5) về dạng (2.4.2)

Ta giải phương trình như sau:

Nhân cả hai vế của phương trình (2.5) cho 2 ta được:

2 3

Ví dụ 2.6: Giải phương trình (HSG Quảng Bình 2012):

Ta giải phương trình như sau:

3

x 

x x

Ta giải phương trình này như sau:

x x

x 

Ví dụ 2.8: Giải phương trình:

x x  x x  x

ta dự đoán được hàm số đặc trưng f t là một hàm bậc ba.

Ta giải phương trình này như sau:

Vậy nghiệm của phương trình là x2.

 Giải phương trình có dạng: Lượng ngoài căn tương ứng với lượng trong căn

Ví dụ 2.9: Giải phương trình (Olympic 30/4 ĐBSCL 2000):

Nhân hai vế (2.10) cho 2 ta được:

Ta giải phương trình này như sau:

2.1.2 Phương trình chứa hàm mũ, hàm logarit và hàm lượng giác

Nên phương trình 2.12 1a  có tối đa một nghiệm trên Mà f  2 1

Vậy x2 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Nên phương trình 2.12 1b  có tối đa một nghiệm trên Mà f  2 1

Do đó f t   1 t 2 Thay vào cách đặt ta có log2x  2 x 4

Vậy x4 là nghiệm duy nhất của phương trình

c) 2logx x 0 2.12 c

Điều kiện x0

Xét f x 2logxx, với x0

Theo hệ quả 1.4, phương trình f x 0 có nhiều nhất hai nghiệm trên 0;

Nhận thấy x2 và x4 thỏa mãn phương trình

Vậy nghiệm của phương trình là x 2; 4

Ví dụ 2.13: Giải phương trình :

3 1 2

1 3

55

 Hàm số f u xác định, liên tục và đồng biến trên   0; Mặt khác: f  1 2

Do đó u1 là nghiệm duy nhất của phương trình 2.13 1a 

Nhận thấy x0 và x1 thỏa mãn phương trình g x 0

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x 0;1

x x

Phương trình 2.14 2b  khó có thể giải bằng các phép biến đổi cơ bản, do đó ta tiếp tục sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải

Nhận thấy x0 và x1 thỏa mãn phương trình g x 0

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x 0;1

Ví dụ 2.15: Giải các phương trình sau:

a) sinxtanx2x0 trên 

       Vàf '' x 0 tại các điểm rời rạc trên

Theo hệ quả 1.4, phương trình f x 0 có nhiều nhất hai nghiệm trên

Ta thấy rằng f x là một hàm chẵn, nên nếu   f x có nghiệm   xx0 thì nghiệm kia phải

là x x0

Nhận thấy x0 là một nghiệm của phương trình f x 0

Vậy x0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Ví dụ 2.16: Giải phương trình

  và  2; 4 không giao nhau

 Phương trình g u 0 có hai nghiệm phân biệt trên 1; 4

4

 