Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải toán

[SKKN] Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải toán

f: đơn điệu f(xo)=0

A: ĐẶT VẤN ĐỀ

Các bạn và các em học sinh thân mến!

Ngoài ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số thì tính chất này còn được vận dụng để giải rất nhiều dạng toán như: Chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, Những bài toán sử dụng phương pháp hàm số để giải thường có cách giải ngắn gọn, hay và độc đáo

Do sự giảm tải kiến thức toán ở bậc THPT, những bài tập ra trong SGK thông thường học sinh giải được bằng phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đặt ẩn phụ, còn số lượng bài tập ứng dụng tính đơn điệu để giải rất ít, hạn chế và rất nghèo nàn Nhưng trong các kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng thì rất nhiều bài toán giải bằng phương pháp hàm số, cho nên việc trang bị cho học sinh giải bài toán bằng phương pháp hàm số là rất cần thiết Tôi xin trình bày một số ứng dụng của phương pháp sử dụng tính chất đơn điệu để giải toán

I Lý do chọn đề tài:

1 Cơ sở lí luận:

Để giải các dạng bài tập về chương trình BĐT, giải PT, BPT, hệ PT bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số thường dựa trên các nguyên tắc sau

a Chứng minh BĐT:

Bài toán: cho xa ; b , chứng minh BĐT: “A(x)>B(x)”

Phương pháp giải:

- Biến đổi BĐT về dạng: A(x) – B(x) >0 (1)

hoặc B(x) – A(x) <0 (2)

- Đặt f(x) = A(x) – B(x) hoặc g(x) = B(x) – A(x)

Từ đó: CM (1) tương đương với việc chứng minh: 



CM (1) tương đương với việc chứng minh: 



b Giải phương trình:

Bài toán: giải PT: “h(x) = g(x)” (1)

 Để CM (1) có nghiệm duy nhất ta tiến hành như sau:

B1: Biến đổi PT(1) về dạng f(x) = 0 (2), với f(x) = h(x) – g(x)

B2: CM: nếu 



thì : x = xo là nghiệm duy nhất của PT

 Để biến đổi PT (1) có dạng phức tạp thành PT: U(x)=V(x) có dạng đơn giản, đã có phương pháp giải, ta tiến hành như sau:

B1: Biến đổi PT (1) về dạng: f u x   f v x  

B2: Chứng minh f là đơn điệu

B3: kết luận (1)  u(x) = v(x)

c Giải hệ phương trình:

Bài toán: Giải hệ

f: là hàm số đồng biến f(a)=0

f: là hàm số đồng biến f(a)=0

g: là hàm số nghịch biến g(a)=0

F(x,y) = 0 G(x,y)= 0 (I)

Nếu một trong hai phương trình của hệ đưa về dạng:

f(x) = f(y) (1) hoặc ( f u x   f v y  

và f là một hàm đơn điệu thì:

d Giải bất phương trình: Cơ sỏ lập luận tương tự chứng minh bất đẳng thức.

cơ sở thực tiễn:

Phương pháp “sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải toán” là một phương mang tính hiện đại, cách giải hay, mang tính nhanh gọn và độc đáo

Do sự giảm tải của kiến thức ở bậc THPT mà số lượng bài tập SGK dung phương pháp này để giải còn rất ít, SGK chỉ giới thiệu các dạng bài tập này mang tính chất tham khảo, do đó Phương pháp này không mang tính chất phổ biến và bắt buộc chính lẽ đó mà đại đa số học sinh sử dụng phương pháp này một cách máy móc hoặc chưa biết sử dụng Đối với học sinh khá giỏi việc tiếp cận phương pháp này để giải toán là một vấn đề cần thiết giúp cho các em có kỉ năng, kỉ xão trong việc giải bài tạp băng phương pháp hàm số đồng thời chuẩn bị cho các em một kiến thức vững vàng và đạt ket quả cao trong các kì thi đại học, cao đẳng

Đó là lí do tôi chọn đề tài này

II Mục đích và phương pháp nghiên cứu:

1 Mục đích yêu cầu:

- Học sinh cần nắm chắc định nghĩa và các tính chất của tính đơn điệu của hàm số

- Chứng minh đuợc các tính chất đơn điệu của hàm số (dùng định nghĩa hoặc định lý

để chứng minh)

- Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải bài tập bằng phương pháp hàm số

- Trang bị cho học sinh kiến thức vững vàng, chuẩn bị bước vào các kỳ thi tuyển sinh đại học cao đẳng

2 Phương pháp:

a Kiến thức trang bị:

* Định nghĩa: cho f(x) xác định trên K

f: đồng biến trên K  x1x2K,x1 x2  f(x1)  f(x2)

f: nghịch biến trên K  x1x2K,x1x2  f(x1)  f(x2)

* Tính chất: Cho f (x) xác định trên K

Với x1x2 K;f(x1 ) f(x2 )  x1 x2

* Để chứng minh tính đơn điệu của hàm số y  f (x) trên K ta dựa vào 2 phương pháp sau:

x = y

G(x,y)= 0 (II)

u(x) = v(y) G(x,y)= 0 (III)

'( ) 0,

'( ) 0,

f x   x K

0 ) ( ' x 

f

- Phương pháp 1: Dùng định nghĩa

+ Lấy x1x2 K,x1 x2, lập tỉ số

1 2

1

2 ) ( ) (

x x

x f x f A







+ Dựa vào dấu của A để suy ra tính đơn điệu

A>0: f đồng biến

A<0: f nghịch biến

- Phương pháp 2: dùng định lý

+ Tính chất 1: f: đồng biến trên 





K

+ Tính chất 2: f nghịch biến trên 





K

Nếu học sinh đã được học đạo hàm thì việc chứng minh tính đơn điệu của hàm số khá đơn giản bằng phương pháp 2 Đối với học sinh chưa được học đạo hàm thì phải sử dụng định nghĩa, đối với các dạng hàm số phức tạp thì việc dùng định nghĩa để chứng minh là một điều khó

b Phương pháp:

Sử dụng phương pháp hàm số để giải toán có thể tiến hành theo các bước sau:

B1: Nhận dạng, biến đổi BĐT, BPT, PT, HPT về dạng thích hợp

B2: Thiết lập hàm số

B3: Chứng minh hàm số đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến)

B4: Dựa vào tính chất đơn điệu của hàm số để kết luận

Trong các buớc trên B1 là quan trọng nếu nhận dạng đuợc bài toán có thể sử dụng phuơng pháp hàm số để giải thì bài toán xem như đã có phuơng pháp giải

III Giới hạn của phương pháp sử dụng tính đơn điệu để giải.

Số lượng bài tập SGK dùng phương pháp hàm số để giải rất ít nên phương pháp này không được phổ biến rộng khắp như phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đặt ẩn phụ

Đại đa số học sinh không biết sử dụng tính đơn điệu để giải toán

Các bài tập giải theo phương pháp này thường là các bài tập khó, có dạng không mẫu mực cho nên học sinh rất khó để nhận dạng

IV Kế hoạch thực hiện:

- Giáo viên chỉ dạy phương pháp này vào những tiết tự chọn của lớp nâng cao

tại hữu hạn điểm của K tại hữu hạn điểm của K

- Giáo viên có thể dạy phương pháp này cho cả 3 khối 10, 11, 12, nhưng hiệu quả cao nhất là học sinh ở khối 12; vì ở lớp cuối cấp học sinh được trang bị kiến thức về hàm

số một cách khá đầy đủ

- Giáo viên dạy phương pháp này như một chuyên đề trong các lớp luyện thi đại học

B NỘI DUNG

I phương pháp dạy học sinh giải toán bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số

- Để dạy học sinh giải toán bằng phương pháp hàm số là một phương pháp khó, Phương pháp này thường dung để giải các bài tập khó có dạng không mẫu mực đề giúp cho hoc sinh phân tích bài toán và tìm ra Phuong pháp giải tôi dạy học sinh tiến hành theo các bước sau đây:

B1: nhận dạng, biến đổi BĐT, BPT, PT, HPT về dạng thích hợp

B2: thiết lập hàm số

B3: chứng minh hàm số đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến)

B4: dựa vào tính chất đơn điệu của hàm số để kết luận

1 B1: Nhận dạng

Tôi xem đây là bước quan trộng nhất, bới vì một bài toán nếu biết dùng tính chất đơn điệu cửa hàm số để giải thì bài toán xem như đã biết phương pháp giải Thông thường những bài toán dung phương pháp này để giải ta nhân dạng như sau:

Đối với PT, BPT, HPT không thể sử dụng phép biến đổi tương đương hoặc

sử dụng Phương pháp đặt ẩn phụ để tìm ra nghiệm bài toán

Không thuộc vào dạng bài tập đã được học phương pháp giải được trình bày trong SGK phổ thong

Mối liên hệ hai của hai vế của một PT, BPT khác biệt nhau chúng ta không thể dung các phép biến đổi để đưa PT, BPT về dạng quen thuộc đã có phương pháp giải, chẳng hạn:

giải phương trình: 3x+4x=5x Việc biến đổi lũy thừa để đưa về cùng cơ số hay đặt ẩn phụ sẽ không thực hiện được cho nên chúng ta phải nghĩ ngay đế việc nhẫm nghiệm và sử dụng phương pháp hàm số để chương minh nghiệm duy nhất

 Khi giải phương trình: 2x = 1-x

'( ) 0,

'( ) 0,

f x   x K

0 ) ( ' x 

f

Ta thấy VT của PT chưa lũy thừa, VP của PT chứa đa thức cho nên việc biến đỗi thong thường để tìm ra nghiệm của bài toán la không thực hiện được, chình lẻ đó ta phải nghĩ ngay đến tính đơn điệu của ham số để giải

2 B2: Thiết lập hàm số:

Thực hiện bước này khá đơn giản, nhưng yêu cầu học sinh phải biết biến đổi PT, BPT, HPT về dạng thích hợp: f(x)=f(y); f(u(x))= f(v(y)),… thì quy tắc f chính là hàm số ta cần xác lập

3 B3: Chứng minh tính chất đơn điệu của hàm số

Để chứng minh tính đơn điệu của hàm số ta dung hai phương pháp sau:

- Phương pháp 1: Dùng định nghĩa

+ Lấy x1x2 K,x1 x2, lập tỉ số

1 2

1

2 ) ( ) (

x x

x f x f A







+ Dựa vào dấu của A để suy ra tính đơn điệu

A>0: f đồng biến

A<0: f nghịch biến

- Phương pháp 2: Dùng đạo hàm

+ Tính chất 1: f: đồng biến trên 





K

+ Tính chất 2: f nghịch biến trên 





K

Nếu học sinh đã được học đạo hàm thì việc chứng minh tính đơn điệu của hàm số khá đơn giản bằng phương pháp 2 Đối với học sinh chưa được học đạo hàm thì phải sử dụng định nghĩa, đối với các dạng hàm số phức tạp thì việc dùng định nghĩa để chứng minh là một điều khó

4 B4: kết luận

- Nếu từ tính chất đơn điệu của hàm số ta suy ra được nghiệm của bài toán thì bài giải được kết thúc

- Nếu bài toán đã cho được biến đổi thành một bài toàn đơn giản hơn thì chúng ta phải tiếp tục dung các phương pháp khác để giải cho đến khi tìm được nghiệm của bài toán thì dừng lại

II Giải các dạng toán bằng phương pháp sửdụng tính đơn điệu của hàm số

1 Chứng minh bất đẳng thức:

Thí dụ 1: x - 3

3!

x

< sinx (1) với x >0 (BT SGK lớp 12 NC)

Hướng dẫn cách chứng minh:

tại hữu hạn điểm của K tại hữu hạn điểm của K

Chuyển bđt về dạng: : 3

3!

x

- x + sinx >0

Thiết lập hàm số: f(x) = 3

3!

x

- x + sinx , x (0 ; ) Cm: f(x) Đồng biến trên đoạn [0 ; +), f(0) = 0

Cách giải:

Ta có (1) 

3

3!

x

- x + sinx >0 x >0

Xét hàm số: f(x) = 3

3!

x

- x + sinx , x (0 ; )

Ta có: f(x) liên tục trên đoạn [ 0 ; +), f’(x) = 2

2

x

- 1 + cosx và f’’(x) = x – sinx ; f’’’(x) = 1 – cosx

Do f’’’(x) = 1 – cosx  0 x >0 và f’’’(x) = 0 tại hữu hạn điểm trên (0 ; +)

 f’’(x) Đồng biến trên [ 0 ; +)  f’’(x) >f’’(0) = 0 với x >0

 f’(x) Đồng biến trên [ 0 ; +) f’(x ) > f’(0) = 0 với x >0

 f(x) Đồng biến trên [ 0 ; +)  f(x ) > f(0) = 0 với x >0

Thí dụ 2: CMR: sinx + tanx >2x , x (0;

2

 ) (BT SGK lớp 12 NC)

Hướng dẫn cách chứng minh:

Chuyển bđt về dạng: sinx + tanx -2x > 0

Thiết lập hàm số: f(x) = sinx + tanx -2x , x (0;

2

 ) Cm: f(x) Đồng biến trên đoạn [ 0 ;

2

 )  f(x ) > f(0) = 0 với x (0;

2

 )

Cách giải:

Xét hàm số : f(x) = sinx + tanx -2x , x (0;

2

 )

Ta có f(x) liên tục trên [ 0 ;

2

 ) và f’(x) = cosx + 12

cos x - 2

Do x (0;

2



)  0 < cosx < 1  cos2x <cosx

 f’(x) = cosx + 12

cos x - 2 > cos2x + 12

cos x - 2  2 – 2 = 0

 f’(x) > 0 với x (0;

2

 )

 f(x) đồng biến trên [ 0 ;

2

 )

 f(x) > f(0) = 0 (đpcm)

Thí dụ 3: Với x>0, n N* ta có: ex > 1 + x + 2

2!

x

+ 3 3!

x

+ … +

!

n

x

n (BT tham khảo)

Hướng dẫn cách chứng minh:

Chuyển bđt về dạng: x - ln(1 + x + 2

2!

x

+ 3 3!

x

+ … +

!

n

x

n ) >0 Xét hàm số: f(x) = x - ln(1 + x + 2

2!

x

+ 3 3!

x

+ … +

!

n

x

n ) x (0 ; ) Chứng minh hàm số đồng biến trên [0; +)  f(x) > f(0) = 0 với mọi x (0 ; )

Cách giải:

Xét hàm số : f(x) = x - ln(1 + x + 2

2!

x

+ 3 3!

x

+ … +

!

n

x

n ) , x (0 ; )

Ta có: f(x) liên tục trên [0; +)

và có f’(x) =

1

x





>0, x >0

 f(x) đồng biến trên [0; +)  f(x) > f(0) = 0 với mọi x (0 ; +)

Bài tập tham khảo:

Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a.) cosx > 1 - 2

2

x

, x > 0

b.) sinx > x - 3

6

x

, x < 0

c.) ex > 1 + x + 2

2!

x

a.) 2 2

b

    , a  b > 0

2 Giải phương trình, bất phương trình:

Thí dụ 4: Giải các phương trình sau:;

a.) 3x + 4x = 5x

b.) 2x = 3 – x

c.) log2x = 3 – x

Bài tập SGK 12 nâng cao

Hướng dẫn cách giải:

Cách 1: - Nhẩm nghiệm

- Chứng minh nghiệm duy nhất

Cách 2: - Thiết lập hàm số

- Dùng tính đơn điệu để suy ra nghiệm của phương trình

Cách giải:

a.) 3x + 4x = 5x (1)

Cách 1: Ta có x = 2 là nghiệm của phương trình 3x + 4x = 5x (1)

(1)  3 4

1

   

   

   

Vế trái: là hàm số nghịch biến

Vế phải là hàm hằng

Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình (1)

Cách 2: (1)  3 4

1

   

   

    Xét f(x) = 3 4

   



   

   

 f’(x) = 3

5

x

 

 

  ln3

5 + 4 5

x

 

 

  ln4

5 < 0   x

 f’(x) nghịch biến trên và f(2)= 1

 x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình (1)

Các ví dụ b, c giải tương tự

Thí dụ 5: (Bài tập tham khảo)

3 2

1

 

Hướng dẫn cách giải:

Nhận dạng: Nếu đặt

2

2

1

   





  v – u = x2 3x2

- Do đó (1)  log3u v u

- Nhận thấy phương trình có nghiệm u = v

Thiết lập hàm số: biến đổi phương trình 2 về dạng: log3 +u = log3 +v

Xét hàm số f(t) = log t t3  , t > 0

Cách giải: đặt u x 2 x 1 > 0 x

2

v x  x >0 x

 v - u = x2 3x2

Phương trình (1)  log3u v u

v   = log3u +u = log3v +v (2) Xét hàm số f(t) = log t t3  , t > 0

f’(t) = 1 + 1

ln 3

t >0 với t > 0

f(t) đồng biến với t > 0

(2)  f(u) = f(v) u = v  v – u = 0

 Nếu phương trình có nghiệm thì có nghiệm duy nhất

 x2 3x2  x = 1 v x = 2

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1, x= 2

Thí dụ 6: (Bài tập tham khảo)

Giải bất phương trình: log (35  x) log 4x (1)

Hướng dẫn cách giải:

- Đặt: t = log x4  x = 4t

- Đưa bpt về dạng: 3 1 2 1

   

   

    (2)

- Thiết lập hàm f(t) = 3 1 2

   



   

   

- Chứng minh f(t) là hàm nghịch biến và f(1) = 1

Cách giải: Điều kiện: x > 0

Đặt t = log x4  x = 4t

Bất phương trình (1) trở thành: 3 + 2t > 5t  3 1 2 1

   

   

    (2) Xét hàm f(t) = 3 1 2

   



   

    f’(t) = 3 1

5

t

 

 

  ln1

5 + 2

5

t

 

 

  ln2

5 <0

 f(t) nghịch biến trên 

(2)  f(t) >f(1)  t < 1

 log4x < 1  0< x < 4

Bài tập tham khảo:

Bài 2: Giải phương trình, bất phương trình sau:

a x2 + 3log

2x = xlog

25

log (x  x 1) log (2 x  2x3)x  3x2

c 2x + 3x + 1 >6x

2 2

3 5

 

  

3 Giải hệ: (Bài tập tham khảo)

Thí dụ 7: Giải hệ phương trình: 32 3 2 (1)

12 (2)

x y y x

   







Hướng dẫn cách giải:

Học sinh nhận thấy được phương trình (1) có nghiệp x = y

(I)

Biển đổi phương trình (1) về dạng 3x + x = 3y + y (3)

Thiết lập hàm số: f(t) = 3t + t

Chứng minh f(t) là hàm đồng biến, (3)  f(x) = f(y)  x = y

Cách giải: (I) 

3 3 + y (3)

12

x x y





 Xét hàm số: f(t) = 3t + t  f’(t) = 3tln3 + 1 >0 t 

 f(t) là hàm đồng biến, (3)  f(x) = f(y)  x = y

Nên (I)  2 2

12









 x = y =  2 Vậy hệ có hai nghiệm: (2;2) ; (-2; 2)

Thí dụ 8: Giải hệ 2 3 4 4 (1)

2 3 + 4 = 4 (2)





Hướng dẫn cách giải:

- Nhận dạng: Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2 nên có 1 nghiệm x = y

- Lấy (1) – (2) và đưa phương trình về dạng 2x 3 4 x  2y 3 4 y

- Thiết lập hàm số: f(t)= 2t 3 4 t , t [-3

2;4]

Cách giải: Điều kiện -3

2 x y, 4 Lấy (1) – (2) và đưa phương trình về dạng 2x 3 4 x 2y 3 4 y (3)

Xét hàm số: f(t)= 2t 3 4 t , t [-3

2;4]

2t3 4 t  t [-3

2;4]

 f(t) đồng biến trên (-3

2;4) (3)  f x f y  xy

Suy ra: 2x 3  4  x  4 (pt vô tỉ dạng cơ bản)

Giải pt được 2 nghiệm : x=3, x=

9

11

(thỏa điều kiện) Vậy hệ có 2 nghiệm (3; 3), 









 9

11

; 9 11

Bài tập tham khảo:

Bài 3: Giải hệ pt sau:

a) 















x y

y x

y

x

3 2 2

3 2 2

















2

2 2

2

2

x

xy x y y x

c) 



















0 6 2 6 ln ln

2

x

x y y x

d) 















y y

y

2

log 1 3 log

log 1 3 log