SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA VŨNG TÀUTRƯỜNG THPT NGÔ QUYỀN ---SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên đề tài: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI TOÁN Tác giả:Hà Công Thơ Giáo viên môn
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA VŨNG TÀU
TRƯỜNG THPT NGÔ QUYỀN
-SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Tên đề tài:
ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI TOÁN
Tác giả:Hà Công Thơ Giáo viên môn :Toán
Năm học:2013-2014
Trang 2ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI TOÁN
A/PHẦN MỞ ĐẦU
I Lý do chọn đề tài
-Môn toán giữ một vai trò hết sức quan trọng trong trường THPT vì nó là tiền đề để học các môn học khác Môn toán cũng góp phần phát triển tư duy và pháp triển nhân cách Vì khi học môn toán giúp học sinh rèn luyện tính cẩn thận, tính sáng tạo và tính thẩm mỹ…
Học sinh ở trường Ngô Quyền chúng ta đa số là học sinh trung bình yếu nên việc truyền đạt kiến thức môn toán cho các em gặp rất nhiều khó khăn
Mỗi khi nói đến một bài toán mới thì tôi lại phải nhắc lại các kiến thức có liên quan.nhưng khi áp dụng thì học sinh lại lúng túng và không làm được Tôi vẩn thường tự hỏi làm cách nào
để các em thích học môn toán? Vì chỉ có khi thích học thì các em mới học tốt được
-Qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhận thấy rằng: Nếu ta sử dụng tính đơn điệu của hàm
số vào giải phương trình ,hệ phương trình… thì học sinh cảm thấy nhẹ nhàng hơn, tiếp thu phương pháp tốt hơn và các em hứng thú học tập hơn so với cách giải bằng các phương pháp
khác nên tôi đã chọn đề tài “Ứng dụng tính đơn điệu để giải toán" ít nhiều gì cũng giúp
caac1 em có thêm phương pháp để giải các phương trình, hệ phương trình…
II Mục đích và phương pháp nghiên cứu
1.Mục đích:
-Để tạo sự hứng thú trong học tập , tìm ra phương pháp dạy phù hợp với học sinh và để nâng cao chất lượng học tập của học sinh
-Giúp giáo viên nâng cao năng lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp các tri thức
đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết Từ đó có phương pháp giảng dạy phần này có hiệu quả
-Nghiên cứu vấn đề này để nắm được những thuận lợi, khó khăn khi dạy học toán THPT, cũng như trong bồi dưỡng học sinh khá giỏi, từ đó định hướng nâng cao chất lượng dạy và học môn toán
2 Phương pháp nghiên cứu.
-Phương pháp phân tích, tổng hợp tài liệu
Trang 3-Khảo sát kết quả học tập của học sinh.
-Trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp
-Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
III Giới hạn của đề tài
Một số bài toán liên quan đến tính đơn điệu của hàm số trong chương trình Toán THPT
IV Cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn:
Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT và hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò Đối với người thầy, việc giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông nói chung, đặc biệt là kiến thức thuộc bộ môn Toán học là việc làm rất cần thiết
Muốn học tốt môn Toán, các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt vào từng bài toán cụ thể Điều đó
thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và suy nghĩ linh hoạt.
Vì vậy, ttrong quá trình dạy học giáo viên cần định hướng cho học sinh cách học và nghiên cứu môn Toán một cách có hệ thống, biết cách vận dụng lí thuyết vào bài tập, biết phân dạng bài tập
và giải một bài tập với nhiều cách khác nhau
Bài toán giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức hay bài toán có chứa tham số là một bài toán thường gặp trong chương trình toán và bồi dưỡng học sinh giỏi THPT, trong các kì thi vì vậy đòi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo thường xuyên bổ sung kiến thức và tích luỹ kinh nghiệm, để hướng dẫn cho học sinh hiểu và vận dụng một cách có hiệu quả
V Kế hoạch thực hiện
Chuẩn bị một số bài tập về Phương trình, hệ phương trình,tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, chứng minh bất đẳng thức và các bài toán có chứa tham số phù hợp với các lớp và đưa cho các em về nhà giải trước để lên lớp sửa
Dặn các em về xem lại một số các kiến thức có liên quan
B/PHẦN NỘI DUNG
I.Thực trạng và những mâu thuẫn
Đa số học sinh còn lúng túng, không tự tin khi giải các phương trình,hệ phương trình không mẫu mực đặc biệt là các bài toán chứng minh bất đẳng thức hay các bài toán có
Trang 4chứa tham số vì phải vận dụng nhiều kiến thức trong khi đó kiến thức cơ bản các em chưa nắm vững, khả năng tư duy còn hạn chế và ý thức học tập chưa tốt
II.Các biện pháp giải quyết vấn đề
1/KIẾN THỨC
Định lí 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
a/ Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K
b/ Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f nghịch biến trên K
(Giải tích 12- NXB Giáo dục 2008)
Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K Nếu f’(x) 0(f’(x) 0), với mọi x
thuộc K và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K
(Giải tích 12- NXB Giáo dục 2008)
Định lí 3: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên
tập D thì phương trình f(x) = k,(với k là số thực) có không quá một nghiệm
Định lí 4: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên
tập D thì với mọi u,v thuộc D ta có: f(u) = f(v) u = v
Định lí 5: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến ) và hàm số y = g(x)
luôn nghịch biến (hoặc đồng biến) và liên tục trên tập D thì phương trình f(x) = g(x)
có không quá một nghiệm
Định lí 6: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp n và phương trình
f(n)(x) = 0 có m nghiệm thì phương trình: f(n-1)(x) = 0 có không quá m +1 nghiệm
( hệ quả định lí Roll)
Định lí 7: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến trên (a,b) thì với mọi u,v thuộc (a,b) ta có
f(u) < f(v) ⇔ u < v
Nếu hàm số y = f(x) luôn nghịch biến trên (a,b) thì với mọi u,v thuộc (a,b) ta có
f(u) < f(v) ⇔ u > v
2/ ỨNG DỤNG
a/.Giả sử cần giải phương trình: g(x) = 0
Bước 1: Đưa phương trình về dạng: f(x) = k hoặc f(u) = f(v) với k R, u = u(x) và v = v(x).
Trang 5Bước 2: Dùng định lí 1, chứng minh hàm số y = f(x) luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến Bước 3: (áp dụng định lí 3,4)
+ Nếu là phương trình f(x) = k thì nhẩm một nghiệm của phương trình và chứng minh đó
là nghiệm duy nhất
+ Nếu là phương trình f(u) = f(v) thì suy ra u(x) = v(x) và giải tìm x
b/.Giả sử cần chứng minh bất đẳng thức dạng: f(x) > g(x) với x D
Hay dạng: f(x) g(x) với x D
Ta thực hiện như sau:
- Bước 1: Đặt: h(x) = f(x) – g(x) hoặc h(x) = g(x) – f(x)
- Bước 2: Tính đạo hàm h’(x) và xét dấu f’(x) trên D
- Bước 3: Lập bảng biến thiên của h(x) và dựa vào đó suy ra điều phải chứng minh.
c/ Giả sử tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x) = (m) có nghiệm trên D
Nhận xét: Dựa vào tính chất: phương trình f(x) = (m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị ) có nghiệm) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị khi và chỉ khi đồ thị của hàm) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị số y = f(x) và đường thẳng y = (m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị ) cắt nhau.
Ta có thực hiện như sau:
- Bước 1: Tính đạo hàm f’(x)
- Bước 2: lập bảng biến thiên của f
- Bước 3: dựa vào bảng biến thiên , xác định m để đồ thị của hàm số
y = f(x) và đường thẳng y = (m) cắt nhau
Chú ý:
1 Nếu M max ( ),x D f x m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị min ( )x D f x và f liên tục trên D thì phương trình
f(x) = k có nghiệm) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị khi và chỉ khi : m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị k M
2 Nếu phương trình có dạng f(x,m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị ) = 0 thì ta biến đổi để đưa phương trình về dạng : f(x) = (m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị ).
3/CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Trang 6Ví dụ 1: Giải phương trình: 15 x 3 x 6(1)
Giải Điều kiện: x 3
Cách 1:
Bình phương hai vế phương trình (1) và rút gọn ta được: (15 )(3 ) 9 9 1
1
x
x
Cách 2: Nhân lượng liên hợp
12
Từ (1) và (2) ta có: 15 x 4 x 1
Cách 3: xét hàm số f x( ) 15 x 3 x, x 3
suy ra hàm số nghịch biến trên ;3 , f ( 1) 6 suy ra x= -1 là nghiệm duy nhất của phương trình
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: 2 3 4 4(1)
Giải
Điều kiện: 3 4; 3 4
Cách 1: Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: ( 2x 3 2y 3) ( 4 y 4 x) 0 (*)
thay xyvào phương trình (1) ta được: 2x 3 4 x 4 Bình phương hai vế và rút gọn ta
2
9 9
3,
9
x x
vậy hệ có 2 nghiêm phân biệt (3;3) hoặc( ; )11 11
9 9
Trang 7Cách 2: Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: ( 2x 3 2y 3) ( 4 y 4 x) 0
2x 3 4 x 2y 3 4 y (3)
Xét hàm số f t( ) 2t 3 4 t xác định trên đoạn 3; 4
2
2
do đó hàm số f(t) luôn đồng biến trên đoạn 3; 4
2
Suy ra (3) tương đương với f x( ) f y( ) xy
Thay xyvào phương trình (1) ta được: 2x 3 4 x 4, bình phương hai vế và rút gọn ta
được: 2
2
9 9
3,
9
x x
vậy hệ có 2 nghiêm phân biệt (3;3) hoặc( ; )11 11
9 9
Nhận xét:
Đây là hệ phương trình đối xứng loại hai nhưng khi biến đổi đến phương trình (*) thì m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị ột số em) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị lúng túng không biết nhân lượng liên hợp để giải tiếp, từ phương trình tích suy ra x = y thì m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị ột số em) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị lại thắc m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị ắc sao lại có được đều đó và sau khi tôi trình bày 2 cách song tôi hỏi trong hai cách thì cách nào dễ hiểu hơn? Các em) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị đã trả lời là cách 2 vì chỉ cần tính được đạo hàm) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị là làm) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị được Theo tôi nghỉ cách 1 không phải là quá khó đối với học sinh nhưng cần phải biến đổi nhiều nên dễ bị sai sót
Để hiểu kĩ hơn về phương pháp dùng tính đơn điệu chúng ta tham) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị khảo bài toán sau
Ví dụ 3: Giải phương trình: 3x 1 x log 1 2 3 x
Giải
Đk: 1
2
x
f(u) = f(v), trong đó f(t) = t log 3t là hàm liên tục, với t > 0 và
f’(t) = 1 1 0
ln 3
t
nên f là hàm đồng biến
Trang 8Do đó f(u) = f(v) u = v 3x - 2x – 1 = 0
Xét hàm số: g(x) = 3x - 2x – 1 có g’(x) = 3xln3 -2 và g’’(x) = 3x(ln3)2 > 0
Suy ra phương trình: g’(x) = 0 có nhiều nhất 1 nghiệm Do đó, phương trình g(x) = 0 có nhiều nhất 2 nghiệm
Ta thấy: x = 0 và x = 1 là 2 nghiệm của phương trình g(x) = 0 Do đó, chúng là nghiêm của phương trình đã cho
Ví dụ 4:Giải các phương trình sau:9x2 x1 3x 2 2x2 x 0
(Đề thi học kì I lớp 12 năm học 2012-2013)
Giải
Xét hàm số ( ) 3t
f t t, f t( )là hàm số luôn tăng trên R
0
2
x
x
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:
4 ) 1 ( log 2 ) 1 ( log 3 ) 1 ( log 2
1 2 1 2
3 2 3 3
3 3
y x
xy
x y y x
Giải
ĐK: x>1, y1
pt đầu của hệ tương đương với pt: 3 2 1 3 2 1
Xét hàm số ( ) 3 2 1
t
f với t>1
1 , 0 1
1 3
)
(
t t
t
f ,suy ra f(t) đồng biến trên khoảng ( 1 ; ) Suy ra: (1) x=y
thế x=y vào pt thứ hai của hệ ta được 2 log ( 1 ) 3 log ( 1 ) 2 2 log3( 1 ) 4
3 2
2log (x 1) 3 2log (x 1) 4 0 2log (x 1) 1 x 1 3
đối chiếu với ĐK ta được x 1 3, y 1 3 Vậy hệ có nghiệm (x;y) ( 1 3 ; 1 3 )
Ví dụ 6:Chứng minh: ln x 2 x 1
x 1
, với mọi x 1 .
Giải
Trang 9Đặt: f x ln x 2 x 1 ; x 0;
x 1
2
x 1
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 0; nên cũng đồng biến trên khoảng 1;
Vậy ta có: f x f 1 0; x 1 Suy ra đpcm
Nhận xét:
Qua các ví dụ 3,4,5,6 nếu ta dùng phương pháp biến đổi sơ cấp thì không dễ chút nào nhưng nếu ta dùng tính đơn điệu của hàm) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị số để giải thì ta thấy cũng khá đơn giản Đó là ưu điểm) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị của phương pháp này
Ta xét bài toán:
Ví dụ 7: Tìm m để phương trình 2
log (x m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị x 2 ) log (4m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị x 4) 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt
Giải Cách 1: Biến đổi sơ cấp
2
x m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị x m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị x x m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị x m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị
x m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị x m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị x
Nhận xét: Vì phương pháp so sánh 2 nghiệm) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị của phương trình với 1 số 0 đã được giảm) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị tải nên để giải phương trình (2) ta phải đặt x t 1 để đưa bài toán về bài toán so sánh 2 nghiệm) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị của phương trình với 0
(2) trở thành: t2 (m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị 2)t 3m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị 1 0 (3)
(1) có 2 nghiệm phân biệt (2) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1 (3) có 2 nghiệm dương
phân biệt :
2
1
3
m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị
S m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị
P m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị
Cách 2:Dùng tính đơn điệu của hàm số:
Trang 10
2 2
2
x m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị x m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị x m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị
x m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị x m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị x x
Đặt (C) : ( ) 2 4 4, 1 (1)
2
x
2
2
f x
x
f x x x
2
x x
x
Bảng biến thiên:
( d) : y = m
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt khi: 0 1
3
m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị
Nhận xét
Cách 1:
- Đa số học sinh chỉ biết biến đổi đến phương trình (2) m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị à không biết đặt ẩn phụ x t 1
để đưa bài toán về dạng phương trình có 2 nghiệm) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị dương phân biệt hoặc nếu có biết thì cũng
có thể bị quên vì định lí nằm) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị ở chương trình lớp 10.Theo kinh nghiệm) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị tôi dạy thì để đa số học sinh nhớ và áp dụng được các tính chất của tam) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị thức bậc 2 quả không dễ chút nào nếu không m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị uốn nói là quá ít học sinh vận dụng được
Cách 2:
-Với cách giải sử dụng tính đơn điệu ta thấy bài giải trực quan hơn , kiến thức áp dụng m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị ới học nên học sinh có thể tiếp thu phương pháp nhanh và các em) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị cảm) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị thấy thích phương pháp này hơn
-Nếu bài toán trên sửa lại là “Tìm m để phương trình có nghiệm” thì giải bài toán theo
cách 1 không đơn giản chút nào vì phải xét nhiều trường hợp còn cách 2 cũng chỉ nhìn vào bảng biến thiên và suy ra giá trị m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị cần tìm) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị
Trang 11Để hiểu kĩ hơn về phương pháp dùng tính đơn điệu chúng ta tham) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị khảo bài toán sau
Ví dụ 8:Tìm m để hàm số f x( ) 2 x3 2x2 m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị x 1 đồng biến trên khoảng (1; )
Giải Cách 1: Biến đổi sơ cấp
Hàm số đã cho xác định trên (1; )
2
f x x x m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (1; )khi và chỉ khi f x ( ) 0, x 1
2
6x 4x m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị 0, x 1
Nhận xét: Vì phương pháp so sánh 2 nghiệm) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị của tam) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị thức bậc hai với 1 số 0 đã được giảm) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị tải nên để giải bất phương trình (1) ta phải đặt x t 1 để đưa bài toán về bài toán so sánh 2 nghiệm) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị của phương trình với 0
Đặt x t 1
(1) 2
2 3
0
m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị
t t m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị t m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị
S
m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị P
Cách 2: Dùng tính đơn điệu của hàm số
Hàm số đã cho xác định trên (1; )
2
f x x x m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (1; )khi và chỉ khi f x ( ) 0, x 1
6x 4x m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị 0, x 1 m) có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị 6x 4 ,x x 1
Xét hàm số:g x( ) 6 x2 4 ,x x 1
1 ( ) 12 4, ( ) 0
3
g x x g x x
2
lim ( ) lim(6 4 ) 2; lim ( )
x
Bảng biến thiên:
