Dạy học mô hình hóa toán học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn là đề xuất những biện pháp giúp giáo viên toán thiết kế được hoạt động dạy học theo mô hình hóa toán học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN ĐỨC CƯỜNG

DẠY HỌC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 8140209.01

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Hữu Châu

HÀ NỘI - 2021

i

LỜI CẢM ƠN

Luận văn tốt nghiệp cao học được hoàn thành tại Trường Đại học Giáo

dục - Đại học Quốc gia Hà Nội

Tác giả xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Giáo dục - Đại học

Quốc gia Hà Nội, phòng Đào tạo sau Đại học, Khoa Sư phạm đã giúp đỡ tôi

trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thiện đề tài Đặc biệt xin bày tỏ

lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TS Nguyễn Hữu Châu - người đã hướng dẫn,

giúp đỡ tôi hoàn thành đề tài với những định hướng, chỉ dẫn khoa học sâu

sắc, quý giá

Qua đây, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới các quý thầy cô giáo là

giảng viên tại Trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội trong

năm vừa qua đã giảng dạy, giúp tôi có nhiều bài học quý giá không chỉ cho

đề tài này, mà còn cho cả công việc giảng dạy của tôi

Xin cảm ơn những sự giúp đỡ trong quá trình học của các bạn học viên

lớp cao học, các quý đồng chí đồng nghiệp

Kính mong nhận được sự góp ý, phê bình từ các thầy cô, độc giả và

các bạn đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện và có thể áp dụng rộng rãi hơn trong

iii

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1 Mục tiêu dạy học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit 38

Bảng 2.2 Quy mô và trình độ đội ngũ giáo viên 41

Bảng 2.3 Quy mô và kết quả học tập của học sinh của trường THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam 42

Bảng 2.4 Thống kê về cơ sở vật chất trường THPT chuyên Hà Nội Amsterdam năm học 2019 - 2020 43

Bảng 2 5 Mô hình SWOT 44

Bảng 2 6 Đánh giá của giáo viên về ý nghĩa của việc 46

Bảng 2 7 Đánh giá của giáo viên về mức độ hiệu quả việc 48

Bảng 2 8 Đánh giá của giáo viên về mức độ hiệu quả của việc thực hiện phương pháp dạy học mô hình hóa trong môn Toán 50

Bảng 2 9 Đánh giá của giáo viên về mức độ hiệu quả của việc ứng dụng CNTT và truyền thông (ICT) vào dạy học mô hình hóa ở môn Toán 53

Bảng 2 10 Đánh giá của giáo viên về mức độ hiệu quả của việc kiểm tra, đánh giá trong dạy học mô hình hóa ở môn Toán 54

Bảng 2 11 Đánh giá của giáo viên về mức độ hiệu quả của việc hướng dẫn học sinh tự học trong dạy học mô hình hóa ở môn Toán 57

Bảng 2 12 Đánh giá của giáo viên về các yếu tố ảnh hưởng đến 58

Bảng 4.1 Bảng phân bố tần số kết quả của bài kiểm tra 45 phút nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng 119

iv

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ VÀ HÌNH

Sơ đồ 1.1 Các hoạt động của quá trình toán học hóa [Dẫn theo 23, tr.17] 23

Sơ đồ 1.2 Quy trình mô hình hóa (Pollak, 1979) 23

Sơ đồ 1.3 Quy trình mô hình hóa theo Swetz & Hartzler (1991) 24

Sơ đồ 1.4 Tóm lược các bước của quá trình mô hình hóa Sơ đồ mô hình hóa theo Blum và Leib [47] 24

Sơ đồ 1.5 Quy trình mô hình hóa của Blum và Leib [47] 25

Sơ đồ 1.6 Quy trình mô hình hóa mô phỏng theo Stillman, Galbraith, Brown, Edwards [dẫn theo 3, tr.24] 26

Sơ đồ 1.7 Quy trình mô hình hóa toán học 26

Sơ đồ 1 8 Sơ đồ mô hình hóa toán học 27

Hình 1.1 Tám năng lực toán học đặc trưng 29

v

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ii

DANH MỤC CÁC BẢNG iii

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ VÀ HÌNH iv

MỤC LỤC v

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 4

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 4

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu 5

5 Phạm vi nghiên cứu 5

6 Giả thuyết khoa học 5

7 Phương pháp nghiên cứu 5

8 Dự kiến những đóng góp của luận văn 7

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA DẠY HỌC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 8

1.1 Sơ lược lịch sử nghiên cứu vấn đề 8

1.1.1 Những công trình nghiên cứu ngoài nước 8

1.1.2 Những công trình nghiên cứu trong nước 12

1.2 Khái niệm cơ bản của đề tài 19

1.2.1 Mô hình 19

1.2.2 Mô hình hóa toán học 20

1.3 Quy trình mô hình hóa toán học 23

1.4 Năng lực mô hình hóa toán học 27

1.5 Một số nguyên tắc dạy học mô hình hóa toán học 31

1.6 Các yếu tố tác động đến việc dạy học môn Toán trong trường Trung học phổ thông theo mô hình hóa 32

vi

1.6.1 Đặc điểm tâm sinh lý học sinh trung học phổ thông 32

1.6.2 Sự phát triển của các lý thuyết học tập 33

1.6.3 Các yếu tố ảnh hưởng khác 35

Kết luận chương 1 36

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA DẠY HỌC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 37

2.1 Chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit trong chương trình toán phổ thông 37

2.1.1 Nội dung chương trình 37

2.1.2 Mục tiêu cần đạt 38

2.2 Đặc điểm trường THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam 41

2.2.1 Đặc điểm đội ngũ giáo viên trường THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam 41

2.2.2 Đặc điểm học sinh trường THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam 42

2.2.3 Đặc điểm cơ sở vật chất, trang thiết bị trường THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam 43

2.3 Khái quát về quá trình tổ chức khảo sát thực trạng 43

2.3.1 Mục đích khảo sát 43

2.3.2 Nội dung khảo sát 43

2.3.3 Phương pháp khảo sát 44

2.3.4 Đối tượng, địa bàn và khách thể khảo sát 45

2.3.5 Kết quả quy ước 45

2.4 Thực trạng dạy học mô hình hóa toán học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit ở trường THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam 45

2.4.1 Thực trạng 46

2.4.2 Đánh giá chung 60

Kết luận chương 2 61

vii

CHƯƠNG 3 CÁC BIỆN PHÁP DẠY HỌC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT Ở

TRƯỜNG PHỔ THÔNG 63

3.1 Rèn luyện kĩ năng chuyển đổi ngôn ngữ cho học sinh trong quá trình dạy học mô hình hóa toán học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit ở trường phổ thông 63

3.1.1 Mục tiêu của biện pháp 63

3.1.2 Nội dung của biện pháp 63

3.1.3 Cách thức thực hiện 63

3.1.4 Điều kiện thực hiện 75

3.2 Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh khi học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit 75

3.2.1 Mục tiêu của biện pháp 75

3.2.2 Nội dung của biện pháp 76

3.2.3 Cách thức thực hiện 76

3.2.4 Điều kiện thực hiện 93

3.3 Rèn luyện kĩ năng đánh giá lời giải cho học sinh khi học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit 93

3.3.1 Mục tiêu của giải pháp 93

3.3.2 Nội dung của giải pháp 93

3.3.3 Cách thức thực hiện 93

3.3.4 Điều kiện thực hiện 105

Kết luận chương 3 105

CHƯƠNG 4 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 107

4.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 107

4.2 Thời gian thực nghiệm sư phạm 107

4.3 Đối tượng thực nghiệm sư phạm 107

4.4 Nội dung thực nghiệm sư phạm 107

4.5 Cách tiến hành thực nghiệm sư phạm 118

viii

4.6 Đánh giá kết quả thực nghiệm 118

4.6.1 Phân tích định tính 118

4.6.2 Phân tích định lượng 119

Kết luận chương 4 120

KẾT LUẬN 121

CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ ĐÃ ĐƯỢC CÔNG BỐ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI LUẬN VĂN 122

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 123 PHỤ LỤC

1

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

1.1 Vai trò của hoạt động mô hình hóa toán học trong dạy học toán

* Tăng cường mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn

Toán học và thực tiễn có mối quan hệ biện chứng Xuyên suốt lịch sử nhân loại, toán học được hình thành và phát triển Nó không phải là sản phẩm thuần túy từ tư duy của con người mà sinh ra từ thực tiễn, từ nhu cầu của loài người trong sinh hoạt, giao thương, chiến tranh và phát triển… Thực tiễn vừa

là động lực, mục đích để phát triển toán học, vừa là cơ sở, chân lí của toán học Toán học khi đã phát triển dưới hình thức tư duy trừu tượng sẽ trở lại thúc đẩy thực tiễn phát triển với vai trò là công cụ giải quyết các bài toán thực tiễn đề ra

Toán học là môn học được ưu tiên ở nhiều nước trên thế giới, trong đó

có Việt Nam vì toán học là môn học nền tảng, giúp học sinh có tư duy và kiến thức để học tốt các môn học khác Ứng dụng của toán học là to lớn, trong nhiều ngành khoa học như vật lí, hóa học, địa lí, sinh học, kĩ thuật, kiến trúc, trong cuộc sống thường nhật và công việc của con người Trong dạy học toán

ở trường phổ thông, một trong những thách thức đối với giáo viên chính là làm thế nào để tạo ra hứng thú học tập môn Toán cho học sinh và đảm bảo cho tất cả các em có được kiến thức, kĩ năng để vận dụng toán học vào giải quyết các nhiệm vụ đặt ra trong thực tiễn

Mô hình hóa toán học chỉ ra cho học sinh mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn, với các môn học khác, giúp việc học toán trở nên thiết thực, thỏa mãn nhu cầu cuộc sống

* Nâng cao khả năng xử lý các vấn đề thực tiễn

Mô hình hóa toán học giúp học sinh hiểu được lịch sử, quá trình và cách thức hình thành kiến thức mới, góp phần phát triển tư duy sáng tạo, tìm

2

tòi và phát triển cái mới cho học sinh, đồng thời giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu, có thái độ tích cực với toán học Mô hình hóa toán học giúp trang bị cho học sinh công cụ để giải quyết các vấn đề xuất hiện trong những tình huống thực tiễn

Dạy học mô hình hóa toán học gắn với thực tiễn giúp học sinh:

- Tạo hứng thú, gợi động cơ học toán cho học sinh (với sự hấp dẫn của các tình huống thực tế, kích thích sự tò mò và ham muốn giải quyết vấn đề, thấy được sự gắn bó giữa thực tiễn và toán học của bản thân người học)

- Giúp học sinh thấy rõ toán học có vai trò, ứng dụng to lớn, là công cụ hữu hiệu trong đời sống xã hội, củng cố cho học sinh nhận thức đúng về nguồn cội và giá trị thực tiễn của toán học

- Góp phần phát triển các năng lực chung cũng như các năng lực đặc thù đối với môn Toán, song trước hết và trực tiếp là phát triển năng lực giải quyết vấn đề - một năng lực vô cùng cần thiết đối với học sinh Việt Nam hiện nay

- Góp phần thực hiện một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất của giáo dục toán học là dạy ứng dụng toán học

* Phát triển tư duy sáng tạo và nâng cao năng lực đặt vấn đề

Chương trình kháo sát và đánh giá học sinh quốc tế (PISA) đã đưa ra 8 năng lực đánh giá hiểu biết cho học sinh 15 tuổi ở lĩnh vực toán học Ở đó, năng lực mô hình hóa là một năng lực quan trọng, được xác định là một trong

4 năng lực thuộc nhóm năng lực cốt lõi của người học là “khả năng đặt ra và giải đáp các vấn đề trong, với và về toán học” Mô hình hóa toán học góp phần hình thành cho học sinh các năng lực toán học một cách toàn diện, như đặt vấn đề, khám phá, suy luận, sáng tạo, giải quyết và phát triển vấn đề Mặt khác, trong chương trình giáo dục phổ thông mới, năng lực mô hình hóa toán học là một trong những thành phần cốt lõi cần được hình thành và phát triển cho học sinh thông qua môn Toán: “Lựa chọn được các phép toán, công thức số học, sơ đồ, bảng biểu, hình vẽ để trình bày, diễn đạt (nói hoặc

3

viết) được các nội dung, ý tưởng của tình huống xuất hiện trong bài toán thực tiễn đơn giản; giải quyết được những bài toán xuất phát từ sự lựa chọn trên; nêu được câu trả lời cho tình huống xuất hiện trong bài toán thực tiễn” [8] Vậy nên, việc dạy học toán không chỉ dừng là việc dạy học tiên đề, khái niệm, định lí, tính chất đơn thuần mà còn cần dạy cho học sinh nguyên lí hình thành toán học từ thực tiễn, sau đó phát triển, được kiểm nghiệm trong thực tiễn, rồi quay lại phát triển thực tiễn

1.2 Vị trí của chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit trong chương trình phổ thông

Chủ đề “Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit” nằm trong chương trình lớp 12 của chương trình giáo dục phổ thông hiện hành và nằm trong chương trình lớp 11 của chương trình giáo dục phổ thông mới, là một chủ đề có tính liên môn cũng như thực tiễn cao Nó có một tầm quan trọng trong chương trình môn Toán THPT vì chủ đề này không chỉ luôn xuất hiện trong kì thi THPT Quốc gia và các câu hỏi về nội dung này đang có xu hướng khai thác các vấn đề thực tiễn xung quanh mà còn có tính ứng dụng lớn trong thực tiễn (trong phát triển văn hóa, kinh tế - xã hội, các vấn đề về dân số,…) Ngoài ra, chủ đề có tính liên môn cao, được ứng dụng rộng rãi trong các môn Vật lí, Hóa học và Sinh học [50]

Tuy nhiên, thực trạng cho thấy việc dạy học chủ đề này vẫn còn nhiều hạn chế như mang nặng tính lí thuyết, áp đặt công thức và cách giải, chưa thể hiện rõ cũng như chưa giải quyết được nhiều các vấn đề trong thực tiễn và liên môn Khi nhắc đến chủ đề này, đa phần giáo viên và học sinh nghĩ ngay đến việc giải, biện luận các phương trình, bất phương trình mũ và logarit Trong khi đó, ứng dụng của chủ đề này trong cuộc sống là rất to lớn, điển hình là các bài toán về lãi suất Chủ đề này cũng được ứng dụng trong cả vật

lí, hóa học, sinh học …

4

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là đề xuất những biện pháp giúp giáo viên toán thiết kế được hoạt động dạy học theo mô hình hóa toán học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit để sử dụng chúng trong quá trình dạy học

Giải tích, góp phần nâng cao chất lượng dạy học Giải tích ở trường THPT

- Sơ lược được lịch sử dạy học mô hình hóa toán học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit ở trường THPT

- Chỉ ra thực trạng việc dạy học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit ở trường THPT hiện nay

- Trên cơ sở đó nghiên cứu dạy học mô hình hóa toán học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit ở trường THPT nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học về hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit Từ đó giúp phát triển năng lực toán học, đặc biệt là năng lực mô hình hóa toán học

của học sinh

- Thực nghiệm sư phạm nhằm khẳng đinh, củng cố, rút kinh nghiệm về

tính đúng đắn của các giải pháp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn trả lời những câu hỏi sau:

(1) Vì sao cần dạy học mô hình hóa toán học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit?

(2) Thực tiễn việc dạy học mô hình hóa toán học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit ở trường THPT hiện nay như thế nào?

(3) Biện pháp dạy học mô hình hóa toán học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit là những biện pháp nào?

(4) Những biện pháp dạy học mô hình hóa toán học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit ở trường THPT đã đề xuất có tính khả thi và hiệu quả hay không?

5

Để đạt được mục đích trên, luận văn cần thực hiện những nhiệm vụ sau:

- Nghiên cứu các lí thuyết về dạy học mô hình hóa toán học

- Nghiên cứu phương pháp dạy học mô hình hóa toán học

- Nghiên cứu nội dung chủ để hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

- Nghiên cứu dạy học mô hình hóa chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

- Thực nghiệm sư phạm, đánh giá tính phù hợp của phương pháp dạy học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

4.1 Khách thể nghiên cứu

Giáo viên và học sinh trường THPT chuyên Amsterdam Thành phố Hà Nội

4.2 Đối tượng nghiên cứu

Dạy học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit ở trường THPT

5 Phạm vi nghiên cứu

Nội dung: Chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit và các dạng toán liên quan ở trường THPT

Địa điểm: Trường THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam

6 Giả thuyết khoa học

Nếu dạy chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit ở trường THPT theo mô hình hóa toán học sẽ giúp học sinh chủ động tiếp thu kiến thức, góp phần hình thành năng lực mô hình hóa toán học ở học sinh, giúp học sinh hiểu được mối liên hệ giữa chủ đề này với thực tiễn và với các môn học khác

7 Phương pháp nghiên cứu

7.1 Nhóm các phương pháp nghiên cứu lý thuyết

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: đọc, phân tích, tổng hợp các văn bản,

chủ trương, tài liệu lý luận về về dạy học mô hình hóa toán học và dạy học chủ

6

đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit ở trường THPT và các tài liệu

có liên quan nhằm tìm ra bản chất của vấn đề nghiên cứu Trên cơ sở đó sắp xếp chúng thành hệ thống lý thuyết của luận văn

- Phương pháp khái quát hóa: được sử dụng để hình thành, xây dựng

những luận điểm mang tính khái quát từ các quan điểm, quan niệm độc lập về vấn đề nghiên cứu

- Phương pháp mô hình hóa: sử dụng để xây dựng mô hình khái quát về

lý luận và thực tiễn từ đối tượng nghiên cứu

7.2 Nhóm các phương pháp nghiên cứu thực tiễn

- Phương pháp điều tra sử dụng phiếu hỏi: dựa trên hệ thống câu hỏi được

soạn sẵn, thiết kế phiếu hỏi nhằm phục vụ mục đích điều tra, thu thập thông tin quan trọng, cần thiết về vấn đề nghiên cứu

- Phương pháp quan sát: quan sát học sinh trong hoạt động học toán;

dự giờ của các giáo viên dạy toán nhằm đánh giá được chính xác thực trạng dạy học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit ở trường THPT

- Phương pháp trao đổi, phỏng vấn theo chủ đề: sử dụng để tìm hiểu

sâu thêm các vấn đề về thực trạng dạy học hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm

số logarit ở trường THPT thông qua việc trao đổi trực tiếp với các đối tượng khảo sát, các chuyên gia

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: đúc kết kinh nghiệm của các giáo

viên dạy môn Toán trường THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam và các giáo viên dạy toán ở Thành phố Hà Nội

- Phương pháp xử lý số liệu bằng thống kê toán học: tiến hành thực

hiện thống kê và xử lý bằng các công thức; từ đó thu được về mặt định lượng;

so sánh, đánh giá và đưa ra kết quả nghiên cứu phù hợp với luận văn

- Phương pháp thử nghiệm sư phạm: sử dụng để đánh giá tính hiệu quả

của dạy học mô hình hóa toán học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit ở trường THPT đã đề xuất

7

8 Dự kiến những đóng góp của luận văn

- Góp phần làm sáng tỏ và phong phú các vấn đề về lý thuyết cũng như thực hành dạy học toán thông qua việc nghiên cứu lý thuyết dạy học mô hình hóa toán học, vận dụng lý thuyết vào đổi mới dạy học môn Toán

- Tổng quan và làm sáng tỏ cơ sở lí luận về dạy học mô hình hóa toán học, quy trình, năng lực, nguyên tắc mô hình hóa toán học theo hướng phát triển năng lực học sinh

- Đề xuất một số giải pháp dạy học mô hình hóa toán học chủ đề hàm

số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit ở trường THPT

1.1.1 Những công trình nghiên cứu ngoài nước

1.1.1.1 Những nghiên cứu về dạy học mô hình hóa toán học

Về mô hình hóa toán học

Mô hình hóa toán học (Mathematising) là vấn đề từ lâu đã được các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Có thể kể đến: The International Community

of Teacher of Mathematical Modelling, viết tắt là ICTMA, trong công trình của Werner Blum về dạy - học toán và các ứng dụng [46, tr.149-171]; [47, tr.222-231]; [48, tr.45-56], của Gloria Stillman (2012) [51]; của nhiều tác giả [54], [57] Tuy nhiên các nghiên cứu này hoặc là nghiên cứu chung (Werner Blum, Ok Ki Kang; nhiều tác giả), hoặc là nghiên cứu ở cấp THCS (Gloria

Stillman), không nghiên cứu trực tiếp vào những dạng toán cụ thể ở THPT

Tại sao phải mô hình hóa toán học

Các nghiên cứu đều chỉ ra sự cần thiết của mô hình hóa toán học nhằm hướng đến việc dạy toán gắn với thực tiễn cuộc sống, làm cho toán học trở nên ích dụng hơn với con người Có thể kể đến:

Francis Bacon (1561-1626) từ thế kỷ XVI đã sử dụng “phương pháp tự nhiên” trong dạy học: Giảng dạy bắt đầu với những tình huống trong cuộc sống hàng ngày [Dẫn theo 41, tr.8]

Theo Kirstin Kremer (2015), từ những năm 90, học sinh Mỹ đã được thảo luận và giải quyết các vấn đề liên quan tới nhà trường và xã hội trong chương trình sau giờ học (After-School), trong dự án kết nối STEM: Khoa học - Công nghệ - Kỹ thuật toán học [53, tr.616-636] Mô hình hóa toán học

9

ứng dụng trong sinh thái học [20]; công nghệ [64] Theo Vanden Panhuizen, M (2003), từ những năm 2003, dựa trên nghiên cứu toán học là một hoạt động của con người và học sinh cần phải trải nghiệm “tái phát minh” toán học cho bản thân, học sinh Hà Lan được học “Giáo dục toán học thực tế” (Realistic Mathematics Education – viết tắt là RME) [72, tr.9-35] Triết lý của RME cũng được nhiều nhà giáo dục nghiên cứu và đưa vào chương trình dạy toán ở bậc đại học như Rasmussen & King (2000) [68, 161-172], Kwon (2002) [64, tr.53-63] Tư tưởng của RME dựa trên 5 nguyên tắc: 1) Nguyên tắc sử dụng ngữ cảnh; 2) Nguyên tắc sử dụng mô hình; 3) Nguyên tắc sản phẩm của học sinh; 4) Nguyên tắc tương tác; 5) Nguyên tắc mạch kiến thức toán được lồng ghép với nhau

Heuvel-Tác giả Freudenthal từ năm 1991 đã chỉ ra có hai cách tiếp cận trong giảng dạy toán học: 1) Coi toán học như là sản phẩm khoa học thuần túy (những tiên đề, mệnh đề, định lý, hệ quả, phương trình, bất phương trình,…); 2) Coi toán học như sản phẩm - thành quả hoạt động của con người Freudenthal chú trọng đến cách tiếp cận thứ hai Tác giả nhấn mạnh sản phẩm của hoạt động toán học được hiểu không chỉ là những tiên đề, định lý, hệ quả

mà cách chứng minh, lập luận mà học sinh phải được học toán như quá trình khám phá tri thức Dạy học theo phương pháp này, học sinh học tập và tiếp nhận tri thức đúng với quá trình mà nhân loại khám phá ra tri thức Giáo dục

là tạo cơ hội để học sinh khám phá lại tri thức dưới sự dẫn dắt của giáo viên như xây dựng giả thuyết, kiểm chứng, đối chiếu bài toán toán học với thực tiễn cuộc sống học sinh cần phải học cách tìm, khám phá tri thức theo đúng con đường mà tri thức toán học được tạo ra là xuất phát từ thực tiễn và trở lại phục vụ thực tiễn [dẫn theo 25, tr.15]

Tác giả Marta Civil (1995) [65] nghiên cứu về sự kết nối giữa toán học gắn với bối cảnh thực tiễn, “toán học thuần túy” và toán học ngoài nhà trường cần kết nối thông qua việc tổ chức các hoạt động toán học cụ thể cho học sinh

"toán học gắn liền với bối cảnh thực tiễn" (everyday mathematics) Tác giả Abraham Arcavi (2002) đã chứng minh mối quan hệ đó bằng việc đưa ra 3 khái niệm: tính thường xuyên (everydayness), toán học hóa (mathematization)

và tính quen thuộc của ngữ cảnh (context familiarity) [43]

Tác giả Reidar Mosvold (2005) đã nghiên cứu cách kết nối toán học với thực tế, tập trung vào sự phát triển những ý tưởng trong lịch sử và cá nhân, đặt trong một mô hình theo ngữ cảnh [70]

Chương trình đánh giá học sinh quốc tế (Programme for International Student Assessment, viết tắt là PISA) tổng kết có “Khoảng 66% câu hỏi khoa học của PISA yêu cầu học sinh liên hệ kiến thức học được với những tình huống thực tế trong cuộc sống” [42] “Mục đích của PISA đối với năng lực toán học là xây dựng các chỉ số cho thấy các nước chuẩn bị có hiệu quả như thế nào khi cho học sinh sử dụng toán học vào mọi khía cạnh của cuộc sống

cá nhân” Toán học “thúc đẩy học sinh sử dụng kiến thức đã biết bằng cách

để các em tham gia vào các quy trình và áp dụng khả năng bản thân vào giải

quyết những vấn đề phát sinh từ trải nghiệm thực tế” [6, tr.21]

Tác giả Norbert Herrmann (2012) [66] đặt ra vấn đề các bài toán gắn liền với thực tiễn nhằm giúp người học có thể thấy được lợi ích của toán học trong cuộc sống Đối với mỗi tình huống đưa ra tác giả đều phân tích vẻ đẹp của toán học gắn với bối cảnh cuộc sống

Rõ ràng, trong suốt lịch sử phát triển của giáo dục luôn có những nghiên cứu chứng minh việc dạy các môn khoa học nói chung, toán học nói riêng phải gắn với thực tiễn cuộc sống Những nghiên cứu này cần được quan

11

tâm và phát triển trong dạy học toán ở nước ta cả về việc dạy và học toán; mọi quan hệ giữa lý thuyết và ứng dụng toán học Quan điểm gắn dạy toán với thực tiễn cần được quán triệt trong toàn bộ quá trình dạy học toán và từ đó cũng tạo ra cách làm đúng đắn để tăng cường mạch ứng dụng toán học trong trường phổ thông Việt Nam

Khi nào cần mô hình hóa toán học

Nghiên cứu của PISA chỉ ra rằng ở một số nhiệm vụ, việc mô hình hóa

toán học là không cần thiết Ví dụ như khi vấn đề đã có trong hình thức toán học đầy đủ và mối quan hệ giữa mô hình và tình huống mà mô hình đó đại diện đều là cần thiết đối với giải quyết vấn đề “Nhu cầu về việc mô hình hóa toán học phát sinh trong hình thức ít phức tạp nhất của nó khi người giải quyết vấn đề cần diễn giải và kết luận trực tiếp từ một mô hình đã cho, hoặc diễn giải trực tiếp từ một tình huống vào toán học”; “nhu cầu về việc mô hình hóa toán học có liên quan tới sự cần thiết phải tạo ra hoặc diễn giải một mô hình trong một tình huống có rất nhiều giả thiết, các biến, các mối quan hệ và khuôn khổ ràng buộc sẽ được xác định, và để kiểm tra xem mô hình có thỏa mãn các yêu cầu của nhiệm vụ; hoặc là để đánh giá hay so sánh các mô

hình”[6, tr.22]

Quy trình mô hình hóa toán học

Theo Swetz & Hartzler (1991), quy trình mô hình hóa gồm 4 giai đoạn

chủ yếu: 1) Quan sát hiện tượng thực tiễn, phác thảo tình huống và phát hiện

các yếu tố (tham số) quan trọng có ảnh hưởng đến thực tế; 2) Lập giả thiết về mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài sử dụng ngôn ngữ toán học để thiết lập

mô hình toán học tương ứng; 3) Áp dụng các phương pháp và công cụ toán

học phù hợp để mô hình hóa bài toán và phân tích mô hình đó; 4) Thông báo kết quả, đối chiếu mô hình với thực tiễn và đưa ra kết luận [Dẫn theo 24, tr.2] 1.1.1.2 Những nghiên cứu về dạy học mô hình hóa toán học

Glenda Anthony và Margaret Walshaw (2009) cung cấp mười nguyên

12

tắc được xem như là những cách thức để làm cho dạy học toán hiệu quả hơn, trong đó nguyên tắc 3 nhấn mạnh vào việc hướng dẫn học sinh học tập dựa trên kinh nghiệm và lợi ích của chính người học và nguyên tắc 8 nhấn mạnh vào phát triển ngôn ngữ toán học cho học sinh [63] Như vậy, nghiên cứu giảng dạy

và học tập thông qua các mô hình toán học và các ứng dụng ngày càng phát triển trên thế giới

Những kết quả nghiên cứu trên đều nhằm đến khả năng áp dụng toán học để xử lí những vấn đề thực tiễn, tập trung chủ yếu ở năng lực mô hình hóa toán học các vấn đề thực tiễn Tuy nhiên, chúng tôi cũng chưa thấy công trình nào đề cập đến dạy học mô hình hóa toán học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số

mũ, hàm số logarit ở trường THPT theo hướng gắn với thực tiễn

1.1.2 Những công trình nghiên cứu trong nước

1.1.2.1 Những nghiên cứu về dạy học mô hình hóa toán học

Về mô hình hóa

Tác giả Nguyễn Thị Tân An (2012) chỉ ra các yếu tố cơ bản của chu trình mô hình hóa và minh họa cho các yếu tố đó; giới thiệu tóm tắt lịch sử và các tiếp cận lí thuyết về mô hình hóa trong dạy học toán để thấy được sự quan tâm của thế giới trong lĩnh vực này [3, tr.4-7] Tuy nhiên tác giả không đi sâu vào dạy học chủ đề toán nào trong nghiên cứu này

Về mô hình hóa toán học

Theo tác giả Lâm Thùy Dương và Trần Việt Cường (2018), một trong những vấn đề trọng tâm đặt ra của giáo dục toán học trong thời gian qua là mô hình hóa trong giáo dục toán học và ứng dụng vào thực tiễn Mô hình hóa trong giáo dục toán học chính thức xuất hiện đầu tiên vào năm 1968 [15, tr.127] Các nhà nghiên cứu đã đưa ra nhiều vấn đề liên quan đến mô hình hóa Cho đến nay

đã có nhiều nghiên cứu về các khía cạnh của toán học ứng dụng trong giáo dục

13

Cụ thể là:

Tại sao phải mô hình hóa toán học?

- Giúp dạy toán gắn với thực tiễn cuộc sống

Có thể kể đến các nghiên cứu:

Tác giả Bùi Duy Hưng (2014) đã chỉ ra trong nghiên cứu của mình về việc dạy học môn Toán ở trường THPT theo hướng phát triển năng lực cho học sinh phải thông qua các hoạt động tổ chức dạy học sao cho học sinh có cơ hội được “trải nghiệm, đo đạc, tính toán, mò mẫm, dự đoán, xác minh, bác bỏ hay khẳng định vấn đề” [19, tr.47]

Tác giả Vũ Hữu Tuyên (2016) đã nêu lên từ các công trình đã công bố ở ngoài nước cho thấy có một số nước đã có những chương trình, dự án, những

kỳ thi kết nối toán học với cuộc sống, như “Chương trình đánh giá học sinh quốc tế” (PISA) hay những “Kì thi về mô hình toán học hóa” (HiMCM), đã giúp tăng cường khả năng vận dụng kiến thức và kỹ năng toán học vào thực tiễn thông qua việc giải quyết các tình huống nảy sinh trong cuộc sống [41] Theo Nguyễn Dương Hoàng, Nguyễn Thị Thu Ba (2019), vai trò của hoạt động mô hình hóa toán học trong dạy học toán là: 1) Tăng cường mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn; 2) Phát triển năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn Tuy nhiên, tác giả chưa đề cập đến vai trò nâng cao khả năng xử lý các vấn đề thực tiễn của dạy học mô hình hóa toán học [18, tr.218]

- Giúp phát triển năng lực toán học của học sinh

Các văn bản chỉ đạo đổi mới giáo dục đã chỉ ra cần chuyển từ dạy học cung cấp kiến thức sang dạy học phát triển năng lực người học [10], [16], [29] Nhiều nghiên cứu đã tập trung vào nghiên cứu những năng lực đặc thù cần hình thành cho học sinh theo từng môn học như: [2], [13], [14], [31], [32], [44], [55], [58], [59], [62]

Tác giả Trần Kiều (2014) chỉ ra các năng lực mô hình hóa toán học là một trong 6 năng lực cần hình thành và phát triển cho học sinh qua dạy học

Như vậy, dạy học bằng mô hình hóa góp phần giúp người học phát triển hứng thú, động cơ học tập, tạo động lực cho sự tìm tòi, sáng tạo trong quá trình khám phá, hình thành và lĩnh hội kiến thức mới; giúp học sinh thông hiểu các khái niệm, con đường hình thành các khái niệm và quy trình toán học hóa, hệ thống hóa ý tưởng, khái niệm toán học, đồng thời biết liên kết các ý tưởng đó bằng xây dựng các mối liên hệ giữa những ý tưởng

Về dạy học mô hình hóa toán học

Dạy học mô hình hóa toán học xuất phát từ dạy học gắn với thực tiễn

Theo Bùi Huy Ngọc (2003) [27, tr.25,26], quá trình vận dụng toán học vào thực tiễn thực hiện theo 4 bước: 1) Xây dựng bài toán thực tế; 2) Toán học hóa tình huống thực tế; 3) Giải toán: lựa chọn, sử dụng phương pháp và công cụ toán học phù hợp để giải quyết một vấn đề đã được thiết lập dưới dạng mô hình toán học; 4) Chuyển từ kết quả trong mô hình toán học sang lời giải của bài toán thực tế

15

Tác giả Lê Văn Tiến (2005) kết luận: Dạy học bằng mô hình hóa được hiểu từ việc dạy học cách thức xây dựng mô hình toán học của thực tiễn, nhằm trả lời cho những câu hỏi, vấn đề xuất phát từ thực tiễn Như vậy, tri thức toán học cần giảng dạy sẽ nảy sinh qua quá trình giải quyết các bài toán thực tiễn Quy trình dạy học tương ứng có thể là: Bài toán thực tiễn → Xây dựng mô hình toán học → Câu trả lời cho bài toán thực tiễn → Tri thức cần giảng dạy → Vận dụng tri thức này vào giải các bài toán thực tiễn [39]

Nghiên cứu của tác giả Phan Anh (2012) chỉ ra cần “Góp phần phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh THPT qua dạy học Đại số và Giải tích” [4]

Tác giả Lê Thị Hoài Châu (2014) đã cụ thể hóa 4 bước của quá trình

mô hình hóa như sau: 1) Xây dựng mô hình phỏng thực tiễn của vấn đề; 2) Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét; 3) Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở bước 2; 4) Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước 3 [12]

Trong một nghiên cứu sâu sắc, tỉ mỉ, dựa trên cơ chế điều chỉnh quá trình mô hình hóa, tác giả Nguyễn Danh Nam (2016) đưa ra 7 bước tổ chức hoạt động mô hình hóa trong dạy học môn Toán là: 1) Tìm hiểu, xây dựng

cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản hóa vấn đề, xác định giả thuyết,

tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thực tế; 2) Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thiết khác nhau đã đưa ra; 3) Xây dựng bài toán bằng cách lựa chọn và sử dụng ngôn ngữ toán học mô tả tình huống thực tế cũng như tính toán đến độ phức tạp của nó; 4) Sử dụng các công cụ toán học thích hợp để giải các bài toán; 5) Hiểu được lời giải bài toán, nghĩa của mô hình toán học trong hoàn cảnh thực tế; 6) Kiểm nghiệm mô hình (ưu điểm và hạn chế), kiểm tra tính hợp lý và tối ưu của mô hình đã xây dựng; 7) Thông báo, giải thích,

dự đoán, cải tiến mô hình hoặc xây dựng mô hình có độ phức tạp cao hơn sao cho phù hợp với thực tiễn [26, tr.2,3]

16

Theo Nguyễn Phú Lộc (2016), quy trình mô hình hóa gồm 4 bước: 1) Tìm kiếm và chuyển đổi: chuyển từ bài toán thực tiễn sang bài toán toán học (mô hình toán học; 2) Tìm lời giải: sử dụng công cụ toán học để tìm lời giải cho bài toán 3) Diễn giải: sử dụng kết quả thu được ở bước 2 để diễn giải thành lời giải thực tiễn; 4) Kiểm chứng: so sánh, đối chiếu lời giải với bài toán thực tiễn ban đầu xem có thật hợp lí hay không [22]

Tác giả Vũ Hữu Tuyên (2016) đề xuất 5 biện pháp thiết kế bài toán hình học gắn với thực tiễn và sử dụng chúng trong dạy học hình học ở trường THPT Năm biện pháp thiết kế bài toán hình học gắn với thực tiễn là những gợi

ý để người viết viết về các biện pháp dạy học mô hình hóa toán học chủ đề hàm

số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit ở trường THPT gắn với thực tiễn, trên

cơ sở có những thay đổi phù hợp với đặc trưng phân môn Đại số [41]

Các tác giả Phạm Thị Diệu Thùy, Dương Thị Hà (2018) đề xuất 4 bước

để mô hình hóa toán học dành cho học sinh THCS trong dạy học giải toán bằng cách lập phương trình [37]

Các tác giả Lâm Thùy Dương, Trần Việt Cường (2018) chỉ ra theo Swetz & Hartzler, quy trình mô hình hóa toán học gồm 4 giai đoạn chủ yếu sau: 1) Quan sát hiện tượng thực tiễn, phác thảo tình huống và phát hiện các yếu tố có ảnh hưởng đến vấn đề thực tiễn; 2) Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán sử dụng ngôn ngữ toán học Từ đó, thiết lập mô hình toán học tương ứng; 3) Áp dụng các phương pháp và công cụ toán học phù hợp để mô hình hóa bài toán và phân tích mô hình đó; 4) Thông báo kết quả, đối chiếu mô hình với thực tiễn và đưa ra kết luận [15]

Tác giả Mai Thùy Linh (2019) chỉ ra có 4 bước để giải bài toán theo

mô hình hóa gồm: 1) Toán học hóa: hiểu tình huống thực tiễn; 2) Giải bài toán: sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán Căn cứ vào mô hình đã xây dựng, cần chọn hoặc xây dựng phương pháp giải phù hợp; 3) Thông hiểu; 4) Đối chiếu, kiểm định kết quả: cần xác định mức độ

17

phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với thực tiễn; có thể xảy ra một trong hai khả năng: mô hình và các kết quả tính toán phù hợp với thực tiễn hoặc kết quả không phù hợp với thực tiễn Khi đó, người thực hiện cần tìm nguyên nhân và khắc phục [23]

Theo tác giả Phan Văn Quỳnh (2019) chỉ ra các bước để mô hình hóa gồm: 1) Sử dụng phương pháp mô hình hóa để gợi động cơ mở đầu; 2) Sử dụng mô hình hóa trong dạy học kiến thức mới; 3) Sử dụng mô hình hóa

trong dạy học vận dụng kiến thức [30, tr.45-63]

Những công trình kể trên đã nhấn mạnh đến việc cần giảng dạy toán học theo mô hình hóa, gắn với thực tiễn nhưng chưa đi riêng vào chủ đề luận văn đang theo đuổi

Như vậy việc dạy học toán học gắn với thực tiễn là rất quan trọng Tuy nhiên trong SGK hiện nay, các bài toán có nội dung thực tế rất ít Ví dụ SGK toán (cấp THPT) phần Đại số, có 30/167 bài toán có nội dung thực tế, chiếm 17,9% Phần Hình học, có 3/118 bài toán chiếm gần 2,5% Như vậy việc rèn học sinh năng lực ứng dụng toán học trong thực tế là rất hạn chế Các bài toán này chỉ chủ yếu liên quan đến số ít các chủ đề dạy học gồm “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” (trong Đại số) và “Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc” (trong Hình học) [5], [36] Vấn đề đánh giá học sinh cũng có những bất cập nhất định khi đánh giá chưa chú trọng vào việc hình thành những năng lực cần thiết cho học sinh [34]

1.1.2.2 Những nghiên cứu về dạy học mô hình hóa toán học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit ở trường trung học phổ thông

Đã có một số công trình nghiên cứu về dạy học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit ở trường phổ thông

Tác giả Dương Hữu Tòng, Trần Văn Tuấn (2016) đã chỉ ra “Để giúp học sinh tiếp cận các bài toán thực tiễn khi hình thành khái niệm logarit cần triển khai chiến lược dạy học khái niệm logarit bằng mô hình hóa Tuy nhiên

số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit lớp 12 ban cơ bản và khảo sát về thực trạng dạy học chủ đề này trong chương trình toán THPT, tác giả chỉ ra nhu cầu

và sự việc thực hiện của giáo viên và học sinh về việc dạy học Toán gắn với thực tiễn Từ đó, xây dựng quy trình thiết kế các bài toán gắn với thực tiễn theo quan điểm dạy học định hướng phát triển năng lực và một số bài toán thực tiễn gắn với chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit [38] Song tác giả chưa nghiên cứu sâu vấn đề dưới góc độ mô hình hóa

Tuy nhiên, chưa có công trình nào nghiên cứu về dạy học mô hình hóa toán học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit ở trường THPT Ngay cả nghiên cứu gần nhất là: “Dạy học bằng mô hóa hình hóa toán học: một chiến lược dạy học khái niệm logarit ở trường phổ thông” [40] của hai tác giả Dương Hữu Tòng và Trần Văn Tuấn cũng mới chỉ chú trọng vào dạy học khái niệm logarit, chưa đề cập đến các vấn đề khác trong chủ đề như hàm số

mũ Một số công trình nghiên cứu về dạy học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số

mũ, hàm số logarit thông qua các bài toán thực tiễn, nhưng không ứng dụng hay đi sâu vào nghiên cứu việc dạy học mô hình hóa toán học chủ đề này

Từ những lí do trên, người viết chọn đề tài: dạy học mô hình hóa toán học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit ở trường THPT nhằm

đề xuất những biện pháp gắn dạy học toán với thực tiễn, bên cạnh việc giúp giáo viên Toán thiết kế được những bài toán chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số

mũ, hàm số logarit gắn với thực tiễn để sử dụng chúng trong quá trình dạy

Mô hình thực của một tình huống thực tế: là tình huống thực tế sau khi đã được đơn giản hóa, cụ thể hóa, xây dựng lại theo mục đích và quan tâm của người giải quyết vấn đề, nhưng vẫn phản ánh đúng một phần nào đó của tình huống thực tế ban đầu (Blum và Niss, 1991, [45, tr.37-68]

Theo Phan Anh, “Mô hình là vật trung gian dùng để nghiên cứu đối tượng (vật gốc) mà ta quan tâm” [4, tr.11]

Hai tác giả Lâm Thùy Dương, Trần Việt Cường (2018) chỉ ra: “Mô hình

là vật đại diện, vật trung gian cho quá trình nghiên cứu nên mô hình cần đảm bảo các mối liên hệ cơ bản của vật gốc… Mô hình đẳng cấu với vật gốc theo nghĩa đồng nhất hoàn toàn về mặt cấu trúc (đồng nhất những tính chất và mối quan hệ chủ yếu) Tính chất này cho phép con người xây dựng các mô hình đơn giản hơn vật gốc” [15, tr.127] “Mô hình được mô tả như một vật được thay thế mà qua đó ta có thể thấy được các đặc điểm đặc trưng của vật thể thực

tế Thông qua mô hình, ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần đến vật thật” [23, tr.11,12] Iu M Xviregiev (1988) cho rằng: mô hình bao giờ cũng “nghèo nàn” hơn hiện thực mà nó mô tả; mô hình

có thể là thô sơ và chưa hoàn thiện, song cần xét đến các khía cạnh chính của thực tiễn, những khía cạnh mà chúng ta quan tâm tới [20]

Theo tác giả Mai Thùy Linh (2019), mô hình có một số đặc trưng cơ bản sau đây: 1) Mô hình là vật đại diện, vật trung gian cho sự nghiên cứu; 2) Về mặt nhận thức, mô hình là sản phẩm của quá trình tư duy; 3) Mô hình không thể thay thế hoàn toàn vật gốc; 4) Thực tế cuộc sống luôn biến đổi, bởi vậy

20

mô hình không phải là cái bất biến [23, tr.12,13]

Theo Swetz, F., & Hartzler, J S (Eds): cách hiểu thứ nhất, mô hình là một bản sao; theo cách hiểu thứ hai: mô hình là một biểu diễn các phần quan trọng của một hệ thống (có sẵn hoặc sắp được xây dựng) nhằm nghiên cứu hệ thống đó Mô hình thường được nghĩ theo ý nghĩa vật lý theo trực giác [71]

Luận văn chọn cách hiểu mô hình theo Lê Thị Hoài Châu: “Mô hình là một mẫu, một đại diện, một minh họa được thiết kế để mô tả cấu trúc, cách vận hành của một sự vật, hiện tượng, một hệ thống hay một khái niệm” [12, tr.6]

1.2.2 Mô hình hóa toán học

Mô hình hóa: Ý tưởng sử dụng mô hình và mô hình hóa trong dạy học

được đề xuất bởi Aristides C Barreto từ giữa những năm 70 của thế kỉ trước, ông quan niệm mô hình hóa là quá trình tạo ra các mô hình để giải quyết một vấn đề nào đó

Theo tác giả Mai Thùy Linh (2019), [23, tr.14-16] nghiên cứu mô hình hóa ở hai cách tiếp cận sau: 1) Mô hình hóa như một phương pháp dạy học nhằm cung cấp cho học sinh hiểu khái niệm của vấn đề; giúp học sinh nâng cao các kĩ năng về tìm hiểu, thiết lập và giải quyết vấn đề cụ thể dựa trên tình huống xuất phát từ cuộc sống, phát triển tư duy sáng tạo và tư duy phê phán; 2) Mô hình hóa như một phương pháp nghiên cứu nhằm giúp học sinh biết cách nghiên cứu và ứng dụng các mô hình toán học vào các lĩnh vực khác

Mô hình đóng vai trò quan trọng trong dạy học toán, khi nó là môi trường để học sinh tìm hiểu, khám phá các kiến thức toán học cũng như các kiến thức liên môn khác Đây là phương pháp tiếp cận tích cực, hướng học sinh làm trung tâm, kết nối với thực tiễn và rèn luyện các kĩ năng toán học, giải quyết vấn đề, lập giả thuyết, toán học hóa, biểu diễn bội số và tư duy phê phán,… Nó là một phương tiện để phát triển các ý tưởng toán học và giúp học sinh hiểu được bản chất các khái niệm toán học

Nhìn chung, có thể hiểu mô hình toán học là thông qua ngôn ngữ toán

học, vấn đề thực tiễn được diễn tả lại dưới dạng những vấn đề toán học Trong

đó mô hình hóa là quá trình kiến tạo mô hình, mục đích để giải quyết một vấn

21

đề nào đó Để thực hiện quá trình này cần tuân thủ các quy tắc thành lập giả thuyết, cấu trúc toán học dựa trên các công thức, thuật toán, tính chất, biểu đồ,… để từ đó học sinh có cái nhìn rõ ràng, khách quan hơn về các vấn đề tồn tại trong thực tiễn, đặc biệt là có thể áp dụng các kiến thức đã học đề giải quyết vấn đề đặt ra

Luận văn chọn cách hiểu mô hình hóa theo khái niệm của tác giả Mai Thùy Linh: “Mô hình hóa là quá trình tạo ra mô hình nhằm hướng tới giải

quyết một vấn đề nào đó” [23, tr.16]

Mô hình hóa toán học

Có nhiều cách hiểu về mô hình hóa toán học:

Theo các nhà toán học Singapore: “Mô hình hóa toán học: là quá trình thành lập và cải thiện một mô hình toán học để biểu diễn và giải quyết các vấn đề thế giới thực tiễn” Thông qua mô hình hóa toán học, học sinh học

cách lựa chọn và áp dụng một loạt các kiểu dữ liệu, các phương pháp và công

cụ toán học phù hợp trong việc giải quyết các vấn đề thế giới thực tiễn” [Dẫn theo 23, tr.18]

Mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi từ vấn đề thực tiễn sang vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học Theo Nguyễn Thị Tân An: “Trong dạy học Toán, mô hình hóa cho phép học sinh kết nối toán học trong nhà trường với thực tiễn, cung cấp một bức tranh rộng hơn, phong phú hơn về toán học, giúp việc học toán trở nên ý nghĩa hơn” [3, tr.4]

Tác giả Lê Thị Hoài Châu (2014) định nghĩa: “Mô hình toán học là sự giải thích bằng toán học cho một hệ thống ngoài toán học với những câu hỏi xác định mà người ta đặt ra trên hệ thống này Quá trình mô hình hóa toán học là quá trình thiết lập một mô hình toán học cho vấn đề ngoài toán học, giải quyết vấn đề trong mô hình đó, rồi thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận” [12, tr.6,7]

Tác giả Nguyễn Danh Nam (2016) cho rằng quá trình mô hình hóa được thể hiện bởi ngôn ngữ toán học như (bất) phương trình, hệ (bất) phương

22

trình, hình vẽ, biểu đồ, bảng, sơ đồ, kí hiệu, biểu tượng, công thức và cả các

mô hình ảo được xây dựng bằng các phần mềm vi tính [25]

Tác giả Nguyễn Dương Hoàng và Nguyễn Thị Thu Ba (2019) khái quát: “Mô hình hóa toán học là phương pháp giúp học sinh tìm hiểu, khám phá các tình huống xuất phát từ thực tiễn bằng các công cụ và ngôn ngữ toán học, từ đó vận dụng kiến thức, kĩ năng toán học để giải quyết bài toán đặt ra

Mô hình hóa toán học giúp học sinh phát triển sự thông hiểu giữa các khái niệm và quá trình toán học; phát triển các kĩ năng hợp tác và nhận thức ở mức

độ cao” [18, tr.217]

Như vậy, có thể hiểu mô hình hóa toán học là hình thành mô hình toán học từ đối tượng nào đó để nghiên cứu; là quá trình áp dụng toán học một cách linh hoạt, phù hợp nhằm phân tích các tình huống thực tế để hiểu rõ tình huống

và loại tình huống đó đó hơn Mô hình toán học được tạo nên bởi toán học (thông qua tính chất, công thức, phương trình, biểu đồ, ký hiệu toán học )

Luận văn cơ bản đồng ý với cách hiểu mô hình hóa toán học của tác giả Mai Thùy Linh: “Mô hình hóa toán học là toàn bộ quá trình chuyển đổi vấn đề thực tế sang vấn đề toán và ngược lại cùng với mọi thứ liên quan đến quá trình

đó, từ bước xây dựng lại tình huống thực tế, quyết định một mô hình toán phù hợp, làm việc trong môi trường toán, giải thích đánh giá kết quả liên quan đến tình huống thực tế và đôi khi cần phải điều chỉnh các mô hình, lặp lại quá trình nhiều lần cho đến khi có được một kết quả hợp lý Nếu nói một cách ngắn gọn thì mô hình hóa toán học chỉ là quá trình giải quyết những vấn đề thực tế bằng công cụ toán học” [23, tr.19] Tuy nhiên khái niệm này chưa nhấn mạnh về việc phát triển lí thuyết toán học cho học sinh trong khi dạy học mô hình hóa

toán học Vì thế, luận văn chọn cách hiểu mô hình hóa toán học là: quá trình giải quyết những vấn đề thực tiễn bằng công cụ toán học để từ đó phát triển lí thuyết toán học dựa trên mô hình đã xây dựng nhằm giúp người học giải quyết những vấn đề thực tiễn ở mức độ khái quát và bản chất hơn

23

1.3 Quy trình mô hình hóa toán học

Theo De Lange (1996), quá trình toán học hóa hai chiều ngang và dọc

đƣợc biểu diễn bằng sơ đồ sau

Sơ đồ của Pollak [67, tr.393]

Thế giới

thực

Sơ đồ 1.1 Các hoạt động của quá trình toán học hóa [Dẫn theo 23, tr.17]

Sơ đồ 1.2 Quy trình mô hình hóa (Pollak, 1979)

24

Sơ đồ của Swetz & Hartzler (1991) [71]

Sơ đồ 1.3 Quy trình mô hình hóa theo Swetz & Hartzler (1991)

Sơ đồ 1.4 Tóm lược các bước của quá trình mô hình hóa

Sơ đồ mô hình hóa theo Blum và Leib [47]

25

Sơ đồ 1.5 Quy trình mô hình hóa của Blum và Leib [47]

1 Vấn đề thực tiễn

2 Mô hình toán học

3 Giải quyết bài toán đề ra

4 Hướng dẫn học sinh giải thích kết quả

5 Giải quyết các bài toán thực tế có liên quan

26

Như vậy quy trình mô hình hóa toán học theo tác giả gồm 7 bước sau:

Sơ đồ 1.6 Quy trình mô hình hóa mô phỏng theo Stillman, Galbraith,

Brown, Edwards [dẫn theo 3, tr.24]

Sơ đồ 1.7 Quy trình mô hình hóa toán học

27

Dưới góc độ một luận văn về lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán học, theo nghiên cứu của Pisa, luận văn chọn sơ đồ mô hình hóa toán học:

Sơ đồ 1 8 Sơ đồ mô hình hóa toán học

1.4 Năng lực mô hình hóa toán học

“Năng lực”: “competentia” tiếng Latinh có nghĩa là “gặp gỡ” Trong tiếng Anh, "năng lực" được sử dụng với nhiều thuật ngữ như capability, ability, competency, capacity Capability: Khả năng cá nhân thể hiện trong hoạt động nhất định; Competency - Năng lực hành động: Khả năng thực hiện hiệu quả các

hành động, các vấn đề liên quan đến một lĩnh vực nhất vực nhất định dựa trên

cơ sở hiểu biết, kĩ năng, kĩ xảo và sự sẵn sàng hành động Theo từ điển tiếng

Việt, năng lực là khả năng, điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để thực

hiện một hoạt động nào đó; là phẩm chất tâm lý, sinh lý tạo cho con người khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao” (Hoàng Phê

2000) Theo Quesbec - Ministerede I’Education thì năng lực là khả năng vận

dụng những kiến thức, kỹ năng, thái độ, kinh nghiệm hứng thú để hành động

một cách hiệu quả, phù hợp trong đa dạng tình huống Theo OECD thì năng lực là khả năng cá nhân đáp ứng các yêu cầu phức hợp và thực hiện thành công

28

nhiệm vụ trong một bối cảnh cụ thể Chương trình giáo dục phổ thông nêu:

“Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có

và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác để thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể” [8, tr.36] Trong khuôn khổ luận văn, tác giả sử dụng quan niệm về năng lực

của OECD: là khả năng cá nhân đáp ứng các yêu cầu phức hợp và thực hiện thành công nhiệm vụ trong một bối cảnh cụ thể [55]

Có nhiều cách phân loại năng lực như: năng lực chung (năng lực xuyên chương trình, năng lực chính, năng lực nền tảng, năng lực chủ yếu ) và năng lực đặc thù (năng lực cụ thể, năng lực môn học, năng lực chuyên biệt, năng lực riêng ); năng lực sáng tạo và năng lực tái tạo; năng lực tổ chức và năng lực chuyên môn… Trong mối quan hệ của các môn học với nhau trong nhà trường, luận văn chọn cách phân năng lực thành hai loại: năng lực chung

và năng lực đặc thù Các năng lực chung là “Những năng lực được tất cả các môn học và hoạt động giáo dục góp phần hình thành, phát triển: năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo” Các năng lực đặc thù là “được hình thành, phát triển chủ yếu thông qua một số môn học và hoạt động giáo dục nhất định: năng lực ngôn ngữ, năng lực tính toán, năng lực khoa học, năng lực công nghệ, năng lực tin học, năng lực thẩm mỹ, năng lực thể chất” [8, tr.7]

Năng lực toán học được định nghĩa như sau: “Năng lực toán học là khả năng của cá nhân biết lập công thức (formulate), vận dụng (employ) và giải thích (explain) toán học trong nhiều ngữ cảnh… gồm suy luận toán học và sử dụng các khái niệm, phương pháp, sự việc và công cụ để mô tả, giải thích và

dự đoán các hiện tượng” [17, tr.14,15] Năng lực đặc thù trong môn Toán

được quy định trong chương trình giáo dục phổ thông 2018 là: “Hình thành

và phát triển năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: năng lực tư

29

duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán” [9, tr.6]

Cần xác định rõ ràng các năng lực mà môn Toán góp phần hình thành (năng lực ngôn ngữ, thẩm mỹ ) và các năng lực đặc thù mà môn Toán trực

tiếp hình thành cho học sinh Theo OECD [56, tr.5]) OECD/PISA (dựa trên

công trình của Niss (1999) và các đồng nghiệp Đan mạch của ông) có tám năng lực toán học đặc trưng là:

Hình 1.1 Tám năng lực toán học đặc trưng

Trong đó “năng lực mô hình hóa gắn liền với cấu trúc lĩnh vực hay bối cảnh được mô hình hóa; chuyển thể “thực tế” thành các cấu trúc toán; giải thích các mô hình toán học theo nghĩa “thực tế”; làm việc với một mô hình toán; xây dựng mô hình thỏa đáng; phản ánh, phân tích và đưa ra sự phê phán cũng như các kết quả của nó; giao tiếp về mô hình và các kết quả của nó; giám sát và điều khiển quá trình mô hình hóa” [23, tr.35]

Theo tác giả Trần Kiều: năng lực mô hình hóa toán học là: “Từ các tình huống thực tiễn giả định hoặc tình huống thực trong cuộc sống để chuyển thành mô hình toán học và từ đó sử dụng các phương pháp toán học để làm việc với mô hình nhằm tìm ra lời giải” [21, tr.1,2]

Luận văn chọn cách hiểu năng lực mô hình hóa toán học theo cách hiểu

30

của chương trình giáo dục phổ thông 2018 môn Toán, cụ thể là "Năng lực mô hình hóa toán học thể hiện qua việc xác định được mô hình toán học cho tình huống thực tiễn nhằm giải quyết tình huống thực tiễn thông qua mô hình được thiết lập, sau đó thể hiện và đánh giá được lời giải trong ngữ cảnh thực

tế và cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp" [9, tr.11] Với cấp

THPT, năng lực mô hình hóa môn Toán được biểu hiện qua việc học sinh:

- Xác định được mô hình toán học Với học sinh THPT là thiết lập được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, sơ đồ, hình vẽ, bảng biểu, đồ thị, ) để mô tả tình huống đặt ra trong một số bài toán thực tiễn Mức độ yêu cầu này cao hơn đối với học sinh THCS khi chỉ cần sử dụng được các mô hình toán học (công thức toán học, sơ đồ, bảng biểu, hình vẽ, phương trình, hình biểu diễn, ) để mô tả tình huống xuất hiện trong một số bài toán thực tiễn không quá phức tạp

- Giải quyết được các vấn đề toán học xuất hiện trong mô hình được thiết lập

- Đánh giá được lời giải trong ngữ cảnh thực tế và có thể vận dụng lời giải trong tình huống thực tế; có tư duy phản biện nhằm cải tiến được mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp Với học sinh THPT là lí giải được tính đúng đắn của lời giải (những kết luận thu được từ các tính toán là có ý nghĩa, phù hợp với thực tiễn hay không) Đặc biệt, nhận biết được cách đơn giản hoá, cách điều chỉnh những yêu cầu thực tiễn (xấp xỉ, bổ sung thêm giả thiết, tổng quát hoá, ) để đưa đến những bài toán giải được Mức độ yêu cầu này cao hơn học sinh THCS khi học sinh chỉ cần thể hiện được lời giải toán học vào ngữ cảnh thực tiễn và làm quen với việc kiểm chứng tính đúng đắn của lời giải [9, tr.6,7]

Tuy nhiên với học sinh trường THPT, đặc biệt là học sinh trường THPT Chuyên, luận văn phát triển nội hàm về năng lực mô hình hóa toán học

trên ở một cấp độ cao hơn là học sinh có được khả năng phát triển lý thuyết