Áp dụng Cauchy tính đơn điệu của hàm số để giải bài toán max, min và bđt

Nhằm giúp các bạn sĩ tử có tài liệu hay nhất trong việc giải câu 10: Bài toán tìm maxmin (hoặc chứng minh bất đẳng thức). Thầy cung cấp tới các bạn một tài liệu gồm 14 ví dụ có lời giải chi tiết, mỗi bài đều sử dụng kết hợp giữa bất đẳng thức Cauchy và tính đơn điệu của hàm số để giải. Một trong những dạng toán khó nhất trong việc giải đề thi tuyển sinh Đại học. Thầy hy vọng các bạn sĩ tử đọc và nếu các bạn có ví dụ hay tương tự, hãy chia sẻ với thầy theo email hoặc trên facebook có địa chỉ trên tài liệu CHÚC CÁC BẠN ÔN THI TỐT

SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

ĐỂ GIẢI MỘT VÀI VÍ DỤ BÀI TOÁN MAX, MIN

VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Với lớp các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (tìm max, min), chứng minh bất đẳng thức, có rất nhiều phương pháp để giải quyết Sau đây, tôi xin giới thiệu phương pháp kết hợp bất đẳng thức Cauchy và tính đơn điệu của hàm số để giải một vài ví dụ về lớp bài toán này

Kiến thức:

1.Tính đơn điệu của hàm số:

Cho hàm số y f x( ) xác định trên D

+) Nếu y' f x'( )0 (dấu “=” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm) thì y f x( ) đồng biến trên D

Khi đó, x0  D, x D x: x0 ta có: f x( ) f x( )0

Đặc biệt: Nếu y f x( ) đồng biến trên đoạn  a b thì min ( ); f x  f a( ) và

max ( )f x  f(b)

+) Nếu 'y  f x'( )0 (dấu “=” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm) thì y f x( ) nghịch biến trên D

Khi đó, x0  D, x D x: x0 ta có: f x( ) f x( )0

Đặc biệt: Nếu y f x( ) nghịch biến trên đoạn  a b thì max ( ); f x  f a( ) và

min ( )f x  f(b)

+) Nếu y f x( )liên tục trên đoạn  a b thì ta chỉ cần tìm các nghiệm ; x của i

phương trình '( ) 0f x  rồi so sánh để đi đến kết luận:

min ( )f x min f a f x( ); ;f x ; ; f b ;

max ( )f x max f a f x( ); ;f x ; ;f b

2.Bất đẳng thức Cauchy:

Với a i 0,i1,n ta có:

n n

n



  Dấu “=” xảy ra  a1 a2   an

Ví dụ 1.(Đề 78II.2-Bộ đề) CMR nếu 0

2

x 

  thì s inx tan 1

2 2 x 2x (1)

Bài giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

s inx tan

1

x

 

Để có (1), ta cần chứng minh:

s inx tan

1 1

2

x

Xét hàm số ( )f x sinxtanx2x trên 0;

2



 



 , ta có:

cauchy

( )

f x

 đồng biến trên 0;

2



 



  x 0;2



 

    ta luôn có:

( ) (0) sinx tan 2 0

f x  f   x x  đpcm

Ví dụ 2 (đề 113II.2-bộ đề) CMR nếu 0

2

x 

  thì

3 1 2sin tan 2

x

  (2)

Bài giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

2sin tanx

1

 

Để có (2), ta cần chứng minh:

2sin tanx 3

2 2 2sin tanx 3

Xét hàm số: (x)f 2sinxtanx3x trên 0;

2



 



 

Ta có: '( ) 2cos 12 3

cos

x

Đến đây chúng ta có hai cách biến đổi sau để xét được dấu của f x'( )

2

cosx-1 2cos 1

x

x



Suy ra hàm số ( )f x đồng biến trên 0;

2



 



 

0;

2

x   

   

  ta có ( )f x  f(0) đpcm

'( ) osx+ osx 3 3 osx osx 3 0

cauchy

 đpcm

Ví dụ 3 Tìm max, min của hàm số: 1 2 2 os 4 2

Bài giải:

Đặt 2 2

1

x

t

x





Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:

2

2

1

x

x

và y 1 cost + cos2t = 2cos2tcost

Đặt 2

ost y = 2X

X c  X với cos1 X 1 

Ta có y'4X  1 0 (vì X cos1 0 )

Suy ra hàm số y = 2X2 X đồng biến trên đoạn cos1;1

Vậy maxy = 3cost = 1t = 0x = 0

miny2cos 1 cos12  cost = cos1    t 1 x 1

N.Xét: Bài toán giúp học sinh củng cố tính đơn điệu của hàm số, bất đẳng thức Cauchy và giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về kí hiệu cos1, cos2, …

Ví dụ 4.(D-2009) Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x y 1 Tìm max, min của biểu thức:  2  2 

A x  y y  x  xy

Bài giải:

Ta có:

A xy  x  y  xy xy   xy  xy x y  xy

Do x y 1  2    2

A xy   xy  xy xy  xy

1 0

cauchy x y

Xét hàm số f t( ) 16 t2  2t 12 trên đoạn 0;1

4

 

 

 

Ta có: '( ) 32 2 '( ) 0 1

16

f t  t  f x   x

Suy ra: min ( ) min (0); 1 ; 1 1 191

f t  f f    f  f  

khi 1 1   2 3 2 3 2 3 2 3

16

1

xy

x y



max ( ) max (0); ;

f t  f f    f  f  

4

1

xy

x y

 

  



Vậy min 191

16

A khi   2 3 2 3 2 3 2 3

x y        

25

max

2

A khi   1 1

2 2

x y   

N.Xét: +) Mấu chôt của bài toán trên là vấn đề đặt ẩn phụ txy Sau khi đặt ẩn phụ, chúng ta cần tìm điều kiện cho ẩn mới (trong đó chúng ta phải dùng đến bất đẳng thức Cauchy để tìm điều kiện của ẩn)

+) Khi max ( ) 1

4

 

  

 

f t f chúng ta có thể tìm giá trị của x, y khi bất đẳng thức

Cauchy xảy ra

x,y 0

1

x y 4

2

x y



 



 



Chúng ta có thể tổng quát bài toán như sau:

BTTQ: Cho x y, 0 và x y 1 Hãy tìm max, min của biểu thức:

T  ax by ay bx cxy,a, b, c  

Ví dụ 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y x4 x2 x 14 12 1

Phân tích và tìm hướng giải:

Ta có:

2 2

2

Do đó chúng ta có thể biến đổi hàm số đã cho về hàm số với ẩn mới t (t x 1

x

  ) Cái khó còn lại là chúng ta cần tìm miền xác định của hàm số với biến t Chúng ta

sẽ làm như thế nào để tìm được miền xác định đây?

Bài giải:

+) Điều kiện: x  0

+) Đặt t   x 1 t2 x2  12 2Cauchy 2 x2 12    2 4 t 2

Ta có:

         

Xét hàm số f t( ) t4 5t2  t 4 với t 2

Ta có: f t'( )4t310t1; ''( ) 12f t  t210

+) Khi t 2 f ''( )t  0 f t'( ) f '(2) 0 f t( ) f(2)2

+) Khi t  2 f ''( )t  0 f t'( ) f '( 2)  0 f t( ) f( 2)  2

Vậy miny 2 khi x 1 2 x 1

x

     

N.Xét: Nhiều bạn sẽ nói tại sao chúng ta không áp dụng ngay bất đẳng thức

x

các hạng tử không âm và dấu “=” có xảy ra không, nhưng ở đây chúng ta chưa biết dấu của x,1

x , nên chúng ta không được áp dụng ngay bất đẳng thức Cauchy

Ví dụ 6

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn  2 2   

2 x y xy x y xy2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

      

Phân tích tìm hướng giải:

Ta có:

3

3

       

2

2

    

Do đó, chúng ta sẽ tư duy đưa biểu thức P về hàm số ẩn t với t x y

Bài giải:

Từ x, y  0 ta có:  2 2    x y 1 1  

Cauchy

Dấu “=” xảy ra x 2 xy 2

y

Đặt t x y x y t 2

2t 1 2 2 t 2 4t 4t 15 0 t

2



Ta có biểu thức:  3   2  3 2

P  4 t  3t  9 t  2  4t  9t  12t 18 

Xét hàm số: 3 2

f (t)  4t  9t  12t 18  với t 5

2



Ta có: 2

t 2

f '(t) 12t 18t 12 f '(t) 0 1

t 2







  



, suy ra hàm số f (t) đồng biến trên

1

;

2

  và 2;  f (t) đồng biến trên 5;

2



f (t) f

 

   

Dấu “=” xảy ra xy yx 52      x; y 1; 2 ; 2;1

  





Vậy min P 23

4

  khi      x; y 1; 2 ; 2;1

N.Xét: Tại sao chúng ta không áp dụng bất đẳng thức Cauchy tiếp trong khi biến

đổi (*)

Giả sử ta biến đổi tiếp, ta có:

Dấu “=” xảy ra

x,y 0

2 x y



 







Nhưng khi thay x   y 2 vào (**), ta được: VT(**)   3 4 2

Do đó, chúng ta có một bài học ở đây là không phải lúc nào chúng ta cũng áp dụng bất đẳng thức Cauchy, kể cả khi biểu thức cho rất đẹp, nhưng vấn đề là dấu

“=” trong bất đẳng thức Cauchy khi áp dụng có xảy ra hay không

Ví dụ 7 Cho x, y  0 và thỏa mãn 2 2

x y xy     x y 3xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  2

2 2 1 2xy 3

A x y

2xy

Bài giải:

x y xy     x y 3xy  xy x  y    x y 3xy (1)

Do x, y     0 x y 0

Cauchy

2



x y 4

  

Mặt khác (1) 1 1 3 1 1 3

Đặt t     x y t 4 Ta xét hàm số: 2 3

f (t) t 1

t

   trên 4; 

Ta có:

3



71

f (t) f (4)

4

Dấu “=” đạt được khi t 4 x y 4 x y 2

 



Vậy min A 71

4

 tại x 2





 

Ví dụ 8 Cho , ,x y z0 và thỏa mãn 3

2

x  y z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

5 5 5

T

Bài giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với ba hạng tử, ta có:

4 3

1

xyz

Đặt t  3 xyz, ta có: 3 x y z 1

0 t xyz

 

Xét hàm số 4

2

3

f (t) 3t t

  trên 0;1

2

 

3

6 2t 1

 

1 195

f (t) f

2 16

 

   

  ,

Dấu “=” xảy ra

3

x y z

x y z 2 1

xyz 2

 



Vậy min T 195

16

 khi x    y z 2

Ví dụ 9 Cho x, y, z là các số dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3

T

Bài giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

x xy xyz x 2x.8y 2x.8y.32z

Đặt t x y z, t 0 P f (t) 32 3

2t t

        trên 0; 

Ta có: f '(t) 33 32 f '(t) 0 t 1

t t

Suy ra: minf(t) f(1) 3

2

  

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

16 x 21

4

21

1 z 21

 



  

Vậy min P 3

2

  khi   16 4 1

21 21 21

Ví dụ 10 Cho a, b, c là các số thực dương, thỏa mãn: a    b c 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

3

P

3 ab bc ca 1 a 1 b 1 c

Bài giải:

Áp dụng bất đẳng thức  2  

x   y z  3 xy  yz zx , x, y, z    ta có:

ab bc ca    3abc a    b c 9abc  0  ab bc ca    3 abc

Ta có:      3

3

1 a 1 b 1 c      1 abc , a, b, c   0

Thật vậy:

3

Khi đó

3

3

P



Đặt t  6 abc Vì Cauchy a b c 3  

3

 

Xét hàm số

2

2 3

f (t)

1 t

3 1 t



 trên 0;1

Ta có:    

5

2t t 1 t 1

1 t 1 t

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên 0;1 f (t) f (1) 5

6

6

Dấu “=” xảy ra

6



 

Vậy maxP = 5

6 khi a    b c 1

Ví dụ 11 Cho các số thực x, y > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của    

T

x 1 y 1



Bài giải:

Đặt t   x y Từ x, y > 1  t 2

Áp dụng bất đăng thức Cauchy, ta có:



P

xy t 1



  Do t   2 3t 2 0 và

     nên ta có:

2

2

2

t

t 4

P

t 1 4



 

Xét hàm số

2

t

f (t)



 trên 2; 

Ta có

2

2

t 0

t 4t

f '(t) f '(t) 0

t 4

t 2







Lập bảng biến thiên ta có: min f (t)  f (4)  8 tại t 4 x y 4 x y 2

 



Vậy min T  8 khi x   y 2

Ví dụ 12 Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 2x 3y   7 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  2 2 3    2 2 

Bài giải:

Ta có:

2

 2 2  2  2 2

5 x  y  2x y  5 x  y 2x y

Và  2 2 2

x y x  y   xy x y

Suy ra:

A xy y x y x y xy  x y xy  x y xy Đặt t  x y xy t, 0;5  A 2t 24 23 t3

Xét hàm số f t( ) 2t 24 23 t3 trên 0;5 

Có

3

1

t

( )

f t

 nghịch biến trên 0;5   3

0;5 : ( ) (5) 10 48 2

Dấu “=” xảy ra

 2 2  2

5

1

x y xy

y

















Vậy minA10 48 2 3 khi 2

1

x y





 

Ví dụ 13 Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn 2 2 2

3

x y z  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P xy yz zx 4

Bài giải:

Ta có 1  2  2 2 2

2

xyyzzx  x y z  x y z 

Do đó:  2

2

P

2

2

3 x y z 9 3 x y z 3

Đặt t     x y z t  3;3  

2

2

t P

t



Xét hàm số

2

( )

2

t

f t

t



  trên  3;3 

2

4

t

Từ bảng biến thiên, ta có

3;3

13

3

f

 

 

Dấu “=” xảy ra 2 2 2

3

  





  



Vậy max 13

3

P khi x  y z 1

Ví dụ 14 (mở rộng) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a b c và 2 2 2

5

a b c  Chứng minh rằng: a b b c c a ab bc ca          4

Bài giải:

Ta có:

a b b c c a ab bc ca            4 P a b b c a c ab bc ca         4 (*)

Do a b c nên

+) Nếu ab bc ca       0 P 0 4 (*)đúng

+) Nếu ab bc ca   0 thì đặt xab bc ca   0

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

Và  2 2 2   2  2  2

4 a b  c ab bc ca   2 a b  2 b c  2 a c

5

3

x

x

a c

 









(2)

Từ (1) và (2), ta có:  3  

3

2 3

a c

Xét hàm số 2 3  3

9

f x  x x trên  0;5

5

x

x





(0) 0; (2) 4; (5) 0

  0;5

Dấu “=” xảy ra

2

2 1 2

0 5

ab bc ca

a

b

a c

c







   

 

   



Nhận xét tổng quát:

1 Cái khó nhất trong các bài toán dạng trên là ta cần tìm ra ẩn mới để đưa biểu thức (hoặc hàm số) đã cho về hàm số mới và từ biến mới đó, ta cần tìm điều kiện của biến để đưa ra miền khảo sát cho hàm mới (miền xác định)

2 Khi đề toán cho các giá trị của biến không âm (hoặc dương) thì thường ta sẽ nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy Chú ý khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy xem dấu “=” có xảy ra không

Tuy nhiên, ta cũng có thể gặp những bài toán như ví dụ 5, chúng ta cần tìm cách đưa các số hạng chưa rõ dấu về các số hạng dương, sau đó mới được áp dụng bất đẳng thức Cauchy

Bài tập vận dụng:

Bài 1 Chứng minh rằng nếu sinx tan x x 1

2.3  3  3 

Bài 2 Tìm max, min của hàm số y 2015 cos 22x 2 cos 24x 4

x 2x 2 x 2x 1

Bài 3 Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn x   y 1 Tìm max, min của biểu

2 4 16

x x x

Bài 5 Cho x, y > 0 và thỏa mãn  2 2   

2 x  y  xy  x  y xy 2  Tìm max của biểu thức:

       