Bài 3. Hàm số liên tục

Lời giải Tác giả: Phương Thúy; Fb: Phương Thúy Chọn C Cả hai khẳng định đều sai vì thiếu điều kiện hàm số y f x  liên tục.A. Khi hàm số f x liên tục tại điểm x1thì giá trị của a bằ

Câu 1 [1D4-3.1-2] (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Xét các khẳng định sau:

 1 Nếu hàm số y f x  xác định trên � thỏa mãn f    1 f 0 0 thì đồ thị của hàm số

 

y f x và trục hoành có ít nhất 1 điểm chung.

 2

Nếu hàm số y f x  xác định trên � thỏa mãn f    1 f 0 0 và f    0 1f 0 thì

đồ thị của hàm số y f x  và trục hoành có ít nhất 2 điểm chung.

Phát biểu nào sau đây đúng?

A Khẳng định  1

đúng và khẳng định  2

sai

B Khẳng định  1

sai và khẳng định  2

đúng

C Khẳng định  1

sai và khẳng định  2

sai

D Khẳng định  1

đúng và khẳng định  2

đúng

Lời giải

Tác giả: Phương Thúy; Fb: Phương Thúy

Chọn C

Cả hai khẳng định đều sai vì thiếu điều kiện hàm số y f x  liên tục.

Câu 2 [1D4-3.3-1] (Chuyên Thái Bình Lần3) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số

 

khi 2 2

khi 2

x

�

� 

� liên tục tại x2

Lời giải Chọn A

Ta có: lim2   lim2 2 2 lim2 1  2 lim2 1 3

 

 2

f m.

Hàm số liên tục tại x2 khi và chỉ khi lim2    2 3

Câu 3 [1D4-3.3-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Hàm số nào sau đây không liên tuc tại x2

2x 6 2

y x





1 2

y x



x y x



3 1 22

x y x





 .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Ngọc Huy; Fb: Nguyễn Ngọc Huy

Chọn B

Điều kiện x�۹2 0 x 2.

Mà 2

1 lim

2

x�  x  �

1 lim

2

x�  x  �

� Hàm số không liên tuc tại x 2

Tác giả: Trần An; Fb:A-nờ Trần

Câu 4 [1D4-3.3-2] (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho hàm số

 

2

4 2 khi 0 1

4

x

x x

f x

�

 �

� , m là tham số Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại x0

A

1 2

1 2

m 

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hoàng Huy; Fb: Nguyen Hoang Huy

Chọn B

4

4 2

4 2

f x

 0 lim0   2 1

4

x

�

Hàm số liên tục tại x0  0 lim0   lim0  

�

0

Câu 5 [1D4-3.3-2] (KIM-LIÊN 11 hk2 -2017-2018) Tìm tham số m để hàm số

  3 21 khi 1

khi 1

x

x

�

 � 

� liên tục tại x 1

A

1 2

1 4

1 4

m 

Lời giải

Tác giả:Trần Thị Vân; Fb:Trần Thị Vân

Chọn C

Hàm số y f x xác định trên R.

 1

f m;

 

;

 

f x

Vậy để hàm số liên tục tại x thì 1 lim1   lim1    1 1

4

Câu 6 [1D4-3.3-2] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019) [1H2-2.2-2]

(GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019) Cho hàm số

  x2 2x 1khi x1 1

f x

ax khi x

 �

� Khi hàm số ( )f x liên tục tại điểm x1thì giá trị của a bằng

A.3 B.1. C.0 D.1.

Lời giải

Tác giả:Đỗ Thị Hường; Fb:dohuong1988

Chọn D

 1 12 1 1 3

f     .

 

x  f x x  x x

Vì hàm số liên tục tại x1 nên lim1   lim1   (1) 2 3 1

Bài tập tương tự :

Câu 7. Giá trị của tham số a để hàm số

 

1

1 1

1

1 2

x khi x x

f x

ax khi x

�

� 

 �

� liên tục tại điểm x1 là:

A.

1

1 2



Câu 8. Giá trị của tham số m để hàm số

 

4 2 khi 0 5

4

x

x x

f x

�

 �

� liên tục tại x0 là:

4

1

1

2

Ghi nhớ:

Hàm số ( )f x liên tục tại điểm x x thì 0 0   0  

0

x x f x x x f x f x

Câu 9 [1D4-3.3-2] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Cho hàm số

  3 21 khi 1

2 khi 1

�

 � 

�

x

x

ax x Để hàm số liên tục tại x1 thì a nhận giá trị là

A

1

7 4



Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Chí ; Fb: Nguyễn Văn Chí

Chọn C

Tập xác định của hàm số f x  là �.

Ta có f  1  a 2

 

 

x

f x

lim lim a 2 2

Hàm số đã cho liên tục tại 1 lim1   lim1    1

2

4   4

Bài tập tương tự :

Câu 10. Cho hàm số

 

 2 2 2

1 khi 1

3 khi 1 khi 1

�

�

Tìm k để f x  gián đoạn tại x1.

A k��2. B k�2. C k�2. D k ��1.

Câu 11. Cho hàm số

  sin 55 khi 0

2 khi 0

�

 �

�

x

x

a x Tìm a để f x  liên tục tại x0.

Ghi nhớ:

Để xét tính liên tục của hàm số tại x ta cần phải nhớ.0

1)Cho hàm số y f x 

xác định trên khoảng K và x0�K

Hàm số

 



y f x được gọi là liên tục tại x nếu 0    

x x f x f x

2)Định lý về giới hạn một bên 0 0 0

lim ( ) lim ( ) lim ( ) 

x x f x l x x f x x x f x l

Câu 12 [1D4-3.3-3] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Cho hàm số

 

khi 3 3

khi 3

x

�

� Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại x ?3

Lời giải

Tác giả: CongMinhĐinh;

Chọn B

Tập xác định của hàm số là �

Ta có: f  3 m.

3

f x

x



3

�

Hàm số liên tục tại x khi 3 lim3    3 2

Bài tập tương tự :

Câu 13. Cho hàm số

 

2

khi 3 9

2 khi 3 3

x x

f x

 �

� Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại x ?3

A.

8

2

4 3

Câu 14. Cho hàm số

 

khi 1 1

2 4 khi 1

x

�

� Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại 1

x

Ghi nhớ: Cho hàm số f x  xác định trên khoảng a b;  và x o� a b; Hàm số f x  liên tục tại x khi o lim    

x x f x f x

Câu 15 [1D4-3.4-1] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho các hàm số ysinx I  , ycos x II 

và ytanx III  Hàm số nào liên tục trên �?

A    I , II . B  I . C      I , II , III . D  III .

Lời giải

Tác giả:Phạm Hải Dương ; Fb: DuongPham.

Chọn B

Ta có hàm số ysinxcó tập xác định là � nên liên tục trên �.

Hàm số ycos x có tập xác định là 0; � nên không liên tục trên �.

Hàm số ytanx có tập xác định là \ 2 k k,

�

nên không liên tục trên �.

Câu 16 [1D4-3.4-2] (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Cho biết

hàm số

2 khi 0 khi 0

x x

x x

f x

�

�

� liên tục trên � Tính T a 2 b2

A T  2 B T 122. C T 101. D T 145.

Lời giải

Tác giả: Lâm Quốc Toàn; Fb: Lam Quoc Toan

Chọn A

Ta có        

1

x

  với x x  �2 0

Ta có hàm số f x  x3 3x222x

x x



 với x x  �2 0 liên tục trên �\ 0;2  nên để hàm số

 

y f x liên tục trên � thì hàm số y f x  phải liên tục tại x0 và x2.

+ Tại x0, ta có f  0 a; lim0   lim0 1 1

Hàm số liên tục tại 0 lim0    0 1

x

�

+ Tại x2, ta có f  2 b; lim2   lim2 1 1

Hàm số liên tục tại 2 lim2    2 1

x

�

Khi đó T    1 12 2 2

Câu 17 [1D4-3.4-2] (THCS-THPT-NGUYỄN-KHUYẾN-TP-HCM-24THÁNG3) Cho hàm số

 

5 1 2

, 1 1

1 , 1 4

x

x x

f x

 �

� ( m là tham số) Giá trị của m để hàm số liên tục trên � là:

1 2

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hồ Tú; Fb: Nguyễn Hồ Tú

Chọn B

Tập xác định: D  �

Hàm số liên tục trên �;1 và 1;�

 1 2 1

4

 

 �   � 

 

f x

Hàm số liên tục trên � khi và chỉ khi hàm số liên tục tại điểm x1

2

Ngocdiep.thptxt.82@gmail.com

Câu 18 [1D4-3.4-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Hàm số   2

1

7 12

x

f x





  liên tục trên khoảng nào sau đây?

A 3 ; 4

B � ; 4. C 4 ; 3. D 4 ; +�

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Chí ; Fb: Nguyễn Văn Chí

Chọn A

Điều kiện xác định

7 12 0

3

x

x



�

�

  � � ��

Vậy tập xác định của hàm số là D�\ 4; 3     � ; 4  � 4 ; 3  �3 ; �.

Vì   2

1

7 12

x

f x





  là hàm phân thức hữu tỉ nên nó liên tục trên từng khoảng của tập xác định của nó

Do vậy hàm số   2

1

7 12

x

f x





  liên tục trên mỗi khoảng � ; 4 

và 4 ; 3  và

3 ;  � Đối chiếu các đáp án ta chọn A.

Câu 19 [1D4-3.4-3] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hàm số

1 khi sinx 0 (x)

3 khi sinx<0

�

 �

�

cosx f

số có bao nhiêu điểm gián đoạn trên khoảng 0; 2019?

Tác giả: Hoàng Thị Kim Liên, facebook: Kim liên

Chọn C

*/ Trên các khoảng k 2 ; k 2 ; k2 ;2  k2, k�� hàm số f(x) luôn xác định nên hàm số liên tục

*/ Xét tại các điểm

+/ TH1: x k 2 ,  k��

Ta có:

(k 2 ) 2





�



�

�

�

�

f

Suy ra hàm số liên tục tại các điểm x k 2 ,  k��

+/ TH2: x  k2 ,  k��

Ta có:

   

( k 2 ) 0

�

�

�

�

�

f

Suy ra hàm số gián đoạn tại các điểm x  k2 ,  k��

 Xét các điểm mà hàm số gián đoạn trên khoảng 0; 2019

Do:

0; 2019 0 2 2019, 1 2019 1, 0;1; 2; ;320





Vậ

y, chọn đáp án C

Câu 20 [1D4-3.5-2] (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019) (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019) Cho

hàm số

2

khi 1

khi 1

f x

x x

 �

� Tìm m để hàm số f x( )

liên tục tại x1.

A m=0,5. B m=1,5. C m = 1. D m = 2.

Lời giải

Tác giả:Trần Đắc Nghĩa; Fb:Đ Nghĩa Trần

Chọn A

Tập xác định: D = �

Ta có f  1 m.

Có 1   12 2 3  1 1     1 0,5

1

1 2

2

 � �

�

  

Hàm số liên tục tại x  1 khi  1 lim1  

x

�

Câu 21 [1D4-3.5-2] (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Cho hàm số

2

2

4 2

khi 0 ( )

5

4

x

x x

f x

�

 �

Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số f x( ) liên tục tại x 0

A

3 4

a 

4 3

a

4 3

a 

D.

3 4

a

Lời giải

Tác giả: Phạm Hoàng Điệp; Fb: Hoàng Điệp Phạm.

Chọn D

Tập xác định: D �.

2

2

4 2

4 2

x

f x

 

 

2

4

x

 

5 (0) 2

4

f  a

Hàm số f x( ) liên tục tại 0

0 lim ( ) (0)

x

�

4 4

a 

4

a

�

Vậy

3 4

a

Câu 22 [1D4-3.5-2] (Chuyên Vinh Lần 3) Tìm a để hàm số

 

2 1

1 1

1

x

khi x

�

� 

điểm x0  1

A a1. B a0. C a2. D a 1.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Thu Trang; Fb: Trang nguyễn

Chọn C

TXĐ: D��x0 1�D

Ta có : f  1 a

2

1

x

x

Hàm số f x 

liên tục tại điểm x0  khi và chỉ khi 1 lim1    1 2

Câu 23 [1D4-3.5-3] (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Cho hàm số

 

3 8

1 1

1

khi x

�

� , với m , n là các tham số thực Biết rằng hàm số f x  liên tục tại x , khi đó tổng giá trị 1 m n bằng:

Lời giải

Tác giả: Vũ Kiều Oanh ; Fb: Rio Vũ Vũ

Chọn D

Với x� ta có:1

  3 8 2 9

9

Vì f x  liên tục tại x nên 1 lim1    1

hữu hạn

9 0

m 

� �m 9

Do đó: n f  1    12 1 9 11

Vậy m n     9 11 2

Chọn D.

binhlt.thpttinhgia1@thanhhoa.edu.vn

Câu 24 [1D4-3.5-3] (HK 2 sở bắc giang toán 11 năm 2017-2018) 2) Tìm m để hàm số

2

2

2 khi 1

�

� 

�

x

mx m x liên tục tại điểm x  1

Lời giải

Tác giả: Trần Tuyết Mai Tên FB: Mai Mai

Ta có:

+

2

Hàm số liên tục tại điểm x 1 khi và chỉ khi

2

1

2



�

�

�  

�

m

m

Vậy với

1 3 2



�

�

�  

�

m m

thì hàm số liên tục tại điểm x 1.

Bài tập tương tự

Câu 25 Tìm m để hàm số

2

2

2 khi 1

khi 1

�

� 

�

x

x m x liên tục tại điểm x1.

Đáp số: m �2.

Câu 26 Tìm m để hàm số

3

khi 0 ( )

3 1

khi 0 2

�

 �

 

�

x x

f x

x liên tục tại x0 0.

Đáp số:

3 2

 

m

Ghi nhớ: Hàm số y f x( ) liên tục tại điểm x0 khi và chỉ khi  

0 lim ( ) lim ( )

Câu 27 [1D4-3.5-3] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hàm số

 

2

2

2x 3x 2

khi 2 2

+mx 8 khi 2

x

�

� Tính tổng các giá trị tìm được của tham số m để hàm số liên tục tại x 2

Lời giải

Tác giả:Nguyễn khắc Sâm; Fb: Nguyễn khắc Sâm

Chọn A

Hàm số y f x xác định trên R.

 2 2 2 8

f  m  m ;

2x 3x 2

x

f x

Để hàm số liên tục tại x  thì2

2

1

3

x

m

m



�

 

�

  �     �    � � � Vây, tổng các giá trị của tham số m bằng 2

Câu 28 [1D4-3.5-4] (KIM-LIÊN 11 hk2 -2017-2018) Cho phương trình

2m 5m2 x1 x  2 2x  3 0

(với m là tham số) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm.

Lời giải

Tác giả: Trần Văn Tân ; Trần Văn Tân:

Xét hàm số    2   2017 2018  2

Hàm số có tập xác định D R nên liên tục trên R.

* Trường hợp 1: Nếu

2

2

2

m

m



�

�

� 

� Khi đó ta được f x  2x23, dễ thấy phương trình f x  0 vô nghiệm

* Trường hợp 2: Nếu

2

2

2

m

m

�

�

�

�

Khi đó đa thức f x  có bậc bằng 4035 (bậc lẻ)

Ta có f  0  3 0.

i) Nếu

2

2

2

m

m



�

�

� 

� , khi đó lim  



nên tồn tại số thực a sao cho0

  0

f a  .

Từ đó ta được f a f    0 0, nên phương trình có nghiệm trong khoảng  a;0

do đó phương trình có

nghiệm

ii) Nếu

2

, khi đó lim  



nên tồn tại số thực b sao cho0

  0

f b  .

Từ đó ta được f   0 f b 0, nên phương trình có nghiệm trong khoảng  0;b

do đó phương trình có

nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm khi ;1 1; 2 2; 

m �� �� � �� �� ��� �

Câu 29 [1D4-3.6-2] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Khẳng định nào sau đây là khẳng

định sai ?

A Phương trình x2019  x 1 0 luôn có nghiệm.

B Phương trình

sinx cos  m

x vô nghiệm với m.

C Phương trình x5  x2 3 0có nghiệm thuộc khoảng (0;2).

D Phương trình 2sinx3cosx4 vô nghiệm.

Lời giải

Tác giả: Võ Văn Trung ; Fb: Van Trung

Chọn B

*Xét phương án A: Xét hàm số f(x)x2019 x 1

2019

( 2) ( 2)   3; (0) 1

( 2) (0) 0 

và hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [-2;0] Suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2; 0) Vậy pt x2019  x 1 0 luôn có nghiệm Do đó đáp án A: đúng.

*Xét phương án B

Điều kiện :

sin 0

, , cos 0

2

�

�

�

x k x

k l



cos sin sin cos cos( ) cos sin (1)

0 : (1) cos( ) 0

4

phương trình có nghiệm

Vậy đáp án B: sai

*Xét phương án C: Xét hàm số f x( )  x5 x2 3

(0) 3; (2) 25

(0) (2)  75 0

và hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [0;2] Suy ra phương trình

5  2 3 0

x x có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0;2) Do đó đáp án C: đúng.

*Xét phương án D: Phương trình 2sinx3cosx4(*)

Điều kiện có nghiệm:

2 �2 2

2 3 13

4 16

�

 

�

c

Do đó pt (*) vô nghiệm Vậy đáp án D: đúng

Bài tập tương tự

Câu 30. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?

A Phương trình x33x2 5x 1 0có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (0;1).

B Phương trình 2sin cosx x 3 cos 2x m 0 có nghiệm với m.

C Phương trình x57x43x2  x 2 0 luôn có nghiệm.

D Phương trình 3sinx4cosx2 luôn có nghiệm.

Câu 31. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?

A Phương trình 1m x2 5  3x 1 0

luôn có nghiệm với mọi m.

B Phương trình 4sinx5cosx3

luôn có nghiệm.

C Phương trình 4x42x2 x 3 có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng 1;1 .

D Phương trình 12sinx m cosx13 có nghiệm với m

Câu 32 [1D4-3.6-3] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019) Cho các số

thực , , a b c thỏa mãn 4 a b+ > +8 2b và a b c+ + <- Khi đó số nghiệm thực phân biệt của1 phương trình x3+ax2+ + =bx c 0 bằng

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Vân ; Fb: Nguyễn Thị Vân

Chọn B

Xét hàm số f x( )= +x3 ax2+ +bx c

Theo giả thiết 4a c+ >2b+ � - +8 8 4a- 2b c+ > �0 f(- 2)>0;

( )

a b c+ + <- � + + + < �a b c f <

Ta có f x( )

là hàm đa thức nên liên tục trên �

f

�

�

� - >

�

Suy ra phương trình f x( )=0 có ít nhất một nghiệm trên (- � -; 2) ( )1

( 2) ( )1 0

f - f < nên phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng (- 2;1) ( )2

( )

1 0

f

�

�

� <

�

Suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng (1;+�) ( )3

Từ ( )1

; ( )2

và ( )3

ta có phương trình f x( )=0có ít nhất 3 nghiệm.

Mặt khác f x( )=0

là phương trình bậc ba nên có tối đa 3 nghiệm

Vậy phương trình f x( )=0 có đúng 3 nghiệm

Bài tập tương tự :

Câu 33. Cho các số thực , , a b c thỏa mãn a c b+ > + và 41 a+2b c+ <- Khi đó số nghiệm thực8

phân biệt của phương trình x3+ax2+ + =bx c 0 bằng

Câu 34. Cho phương trình x3- 3x2+mx- 2m+ =2 0( m là tham số) Có bao nhiêu giá trị nguyên

dương của m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt x x x thỏa mãn 1; ; 2 3 x1< < < ?1 x2 x3

Ghi nhớ: Nếu hàm số y= f x( )liên tục trên đoạn [a b; ]

và f a f b( ) ( ) <0 thì phương trình

f x = có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a b; )

Câu 35 [1D4-3.6-3] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hàm số y f x( )liên tục trên đoạn  1;5

và (1) 2, (5) 10

f  f  Khẳng định nào sau đây đúng?

A Phương trình ( ) 6f x 

vô nghiệm

B Phương trình ( ) 7f x 

có ít nhất một nghiệm trên khoảng (1;5)

C Phương trình ( ) 2f x 

có hai nghiệm x1,x 5

D Phương trình ( ) 7f x 

vô nghiệm