Bài 3. Cấp số cộng

Giá trị của u bằng4 Công thức tổng quát của cấp số cộng  un có số hạng đầu là u và công sai d là1... Tìm sốhạng tổng quát của  u n Gọi công sai của cấp số cộng là d.. Tìm công sai c

Câu 1 [1D3-3.1-1] (Đặng Thành Nam Đề 15) Biết bốn số 5; ;15;x y theo thứ tự lập thành cấp số

2015

Câu 2 [1D3-3.1-1] (SỞ LÀO CAI 2019) Công thức nào sau đây là đúng với một cấp số cộng có số

hạng đầu u1 , công sai d và số tự nhiên n�2

Tác giả: Nguyễn Tuấn ; Fb: Nguyễn Tuấn

Chọn D

Theo công thức u8  u1 7d, suy ra d u87u1  39 37 6

Câu 5 [1D3-3.1-1] (Cụm 8 trường chuyên lần1) Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số

Câu 6 [1D3-3.1-2] (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Xác định số

hạng đầu và công bội của cấp số nhân  u n

u q q

u q q

u , d  1

Câu 9 [1D3-3.2-1] (THPT NÔNG CỐNG 2 LẦN 4 NĂM 2019) Cho dãy số u n

là một cấp số cộngvới u n 12n  Công sai d bằng1

Lời giải

Tác giả: Giáp Minh Đức; Fb: Giáp Minh Đức

Vậy số giá trị của u bằng 14 5

Câu 12 [1D3-3.2-1] (Đặng Thành Nam Đề 1) Cho cấp số cộng  u n có số hạng đầu u1  và công2

sai d = 5 Giá trị của u bằng4

Công thức tổng quát của cấp số cộng  un

có số hạng đầu là u và công sai d là1

Công thức tổng quát của cấp số nhân  un

có số hạng đầu là u và công bội q là 1 n-1

Câu 14 [1D3-3.2-1] (Ba Đình Lần2) Cho cấp số cộng  u n

với số hạng đầu u và công sai 1 d Tìm sốhạng tổng quát của  u n

Gọi công sai của cấp số cộng là d Ta có: u3  u1 2d �8 2 2d  �d 3.

Câu 16 [1D3-3.2-2] (Chuyên KHTN) Cho một cấp số cộng ( )u n

có u1= và tổng của 40 số hạng5đầu là 3320 Tìm công sai của cấp số cộng đó

d  Khẳng định nào sau đây là đúng?

Tác giả: Vũ Nga; Fb: Nga Vu

Chọn C

Gọi d là công sai của cấp số cộng  u n

, ta có:

1 3 5

610

u u u

d u

 

�

� � 

�Vậy: u10  u1 9d   , chọn C.25

Câu 21 [1D3-3.3-1] (CổLoa Hà Nội) Cho cấp số cộng  u n biết u1  5,d  Hỏi số 81 là số hạng2

thứ bao nhiêu của cấp số cộng đó?

Vậy số 81 là số hạng thứ 44 của cấp số cộng đã cho

Câu 22 [1D3-3.3-1] (THPT LƯƠNG THẾ VINH 2019LẦN 3) Cho cấp số cộng  u n

u  u d �d

.Vậy u21  u1 20d 32.

Câu 27 [1D3-3.3-1] (Sở Cần Thơ 2019) Cho cấp số cộng  u n

có u3 10 và u1  Số hạngu6 17đầu của cấp số cộng đã cho bằng

Câu 29 [1D3-3.3-1] (ĐỀ-THI-THU-ĐH-THPT-CHUYÊN-QUANG-TRUNG-L5-2019) Cho , ,a b c

theo thứ tự này là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng Biết a b c  15 Giá trị của b



83



23

Ta có:

2 4

49

u u

4

4 9

u q q

u q q

*) Kiến thức trọng tâm liên quan đến bài toán

1.1 Định nghĩa dãy số vô hạn: Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương � được*gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số) Kí hiệu:

 

*

:

1, , , ., , .,2 3 n

trong đó u n u n  hoặc viết tắt là  u n ,

và gọi u là số hạng đầu, 1 u là số hạng thứ n n và là sốhạng tổng quát của dãy số

Nhấn mạnh cho học sinh: u là số hạng thứ n n, n�� Cứ ứng với mỗi một giá trị * n nguyên dương ta được một số hạng trong dãy số đó

1.2 Định nghĩa dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập M 1, 2,3, ,m với m�� được gọi là một dãy số hữu hạn.*

Dạng khai triển là u u u1, , , ., 2 3 u , trong đó m u là số hạng đầu, 1 u là số hạng cuối m

1.3 Các cách cho một dãy số

1 Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

2 Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

3 Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi (hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài

số hạng) đứng trước nó)

Câu 33. Cho dãy số  u n , biết u n1 3n Số 16 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số?2

Lời giải

Tác giả: Trần Thị Thơm ; Fb:Tranthom

Chọn A

Ta có: 3n 2 16�n6 Do đó n 1 7

Vậy 16 là số hạng thứ 7 của dãy số

Câu 34. Cho dãy số  u n

, biết

2.1

n

n u

3 2 5 3

Lời giải

Tác giả: Trần Thị Thơm ; Fb:Tranthom

Chọn A

Năm số hạng đầu tiên của dãy lần lượt ứng với nbằng 1, 2,3, 4,5

Thay các giá trị n đó lần lượt vào công thức số hạng tổng quát ta được

Lưu ý: Có thể MTCT chức năng CALC để kiểm tra (tính) nhanh.

Câu 35. Cho dãy số  u n

, biết

21

n n u n

41; ; 2

Ba số hạng đầu tiên của dãy lần lượt ứng với n bằng 1, 2,3

Thay các giá trị n đó lần lượt vào công thức số hạng tổng quát ta được 1 2 3

Tác giả: Lê Phương Anh ; Fb: Anh Phương Lê Phản biện: Dương Hà Hải; Fb: Dương Hà Hải

Vậy số hạng đầu tiên u và công sai d của cấp số cộng là: 1 u12;d  4

Câu 41 [1D3-3.3-2] (Chuyên Hà Nội Lần1) Gọi S là tổng n số hạng đầu tiên trong cấp số cộng n

A.

113

d 

103

d 

310

d 

311

1 3

108

Vậy công sai d  3

Câu 45 [1D3-3.3-2] (Chuyên Vinh Lần 3) Cho cấp số cộng có và công sai Hãy

Câu 47 [1D3-3.3-2] (THPT-Ngô-Quyền-Hải-Phòng-Lần-2-2018-2019-Thi-24-3-2019) Cho cấp số

cộng  u n có u1   và công sai 5 d 3 Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng

Câu 49 [1D3-3.3-2] (SỞ GD & ĐT CÀ MAU) Cấp số cộng  u n

là một dãy số tăng, với số hạng đầu

u

d 

1 13

Câu 50 [1D3-3.3-2] (Sở Quảng Ninh Lần1) Cho cấp số cộng  u n

có u1 và công sai 3 d  Hỏi7

kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì các số hạng của  u n đều lớn hơn 2018 ?

Mà n nguyên dương nên n�289

Vậy kể từ số hạng thứ 289 trở đi thì các số hạng của  u n

đều lớn hơn 2018

Câu 51 [1D3-3.3-2] (Gang Thép Thái Nguyên) Cho cấp số cộng  u n

có số hạng đầu tiên là 2 , côngsai bằng 3 Khi đó số hạng thứ 15 của cấp số cộng đó là

n

u u

A.S 33 B

692

S 

752

Câu 57 [1D3-3.3-2] (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Cho cấp số cộng  u n có số hạng

đầu u129 và công sai d  Giá trị 7. u bằng:6

Câu 58 [1D3-3.3-2] (THPT Nghèn Lần1) Cho dãy số  u n

thỏa mãn u1  và 2 u n1u n  � 3, n 1Tính u 12

là cấp số cộng với u1  và công sai 2 d  Vậy 3 u12  u1 11d  31

Câu 59 [1D3-3.3-2] (Sở Thanh Hóa 2019) Cho cấp số nhân  u n

có số hạng đầu u1 và công bội32

Câu 60 [1D3-3.3-3] (Sở Ninh Bình Lần1) Cho a và b lần lượt là số hạng thứ hai và thứ mười

của một cấp số cộng có công sai d Giá trị của biểu thức log2

b a d



là một số nguyên có sốước tự nhiên bằng

Số 3 có 2 ước tự nhiên là 1 và 3 nên chọn C

Câu 61 [1D3-3.3-3] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019) Cho một họ

các đường tròn đồng tâm O r; 1 , O r; 2 , , O r; n

, … mà dãy số  r n

là một cấp số cộng có sốhạng đầu bằng 3 và công sai bằng 3 Gọi u là diện tích hình tròn 1 O r; 1

và với mỗi số nguyên2

n� , gọi u là diện tích của hình vành khăn tạo bởi đường tròn n O r; n1

Câu 63 [1D3-3.4-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Biết bốn số 6; ; 2;x  y theo thứ tự lập thành cấp

số cộng Giá trị của biểu thức x2ybằng

x y

x x

Vậy có 2 giá trị của x thỏa yêu cầu bài toán

Câu 65 [1D3-3.4-3] (THTT số 3) Tìm tất cả các giá trị thực của x để

1cos 2 , cos 4 ,cos 6

2

là ba sốhạng liên tiếp trong một cấp số cộng

+)

1cos 2 , cos 4 ,cos 6

�

��

+) cos 4x 0 4x 2 k k, x 8 k 2,k .

p

(1)+)

27

x

�

.Vậy m1,n27�m n 28

Câu 67 [1D3-3.4-3] (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Bốn nghiệm của phương trình x410x23a là0

4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng Khi đó giá trị của a là

Lời giải

Tác giả: Nghiêm Phương; Fb: Nghiêm Phương

Chọn D

Đặt t , 0x2 t�

Khi đó phương trình có dạng t210t3a0  * .

Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình  *

có hai nghiệm dương phân biệt là t , 1 t 2 0 t 1 t2, tức là:

Bốn nghiệm trên lập thành cấp số cộng khi:

22

1

9

3

t t

1 1

x x x x

9 100

ab ab

t t a

Gọi d là công sai của cấp số cộng Ta có d    b a c b�a c 2b.

Câu 70 [1D3-3.5-1] (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Cho cấp số cộng  u n

S ��    ��

Câu 72 [1D3-3.5-2] (CỤM TRẦN KIM HƯNG - HƯNG YÊN NĂM 2019) Bạn An và bạn

Bình chơi trò xếp tháp bằng que diêm được mô tả như hình dưới đây

Để xếp tháp 10 tầng hai bạn phải chuẩn bị ít nhất bao nhiêu que diêm ?

Để xếp tháp 1 tầng An và Bình phải chuẩn bị 2 1 (que diêm).

Để xếp tháp 2 tầng An và Bình phải chuẩn bị 4 3 2 1   (que diêm)

Để xếp tháp 3 tầng An và Bình phải chuẩn bị 6 5 4 3 2 1     (que diêm)

u  

và công sai

14

d  Giá trị của

u d

.202

u d

S    2 35  5 20 1 

.20 2502

Câu 79 [1D3-3.5-3] (Đặng Thành Nam Đề 9) Sinh nhật lần thứ 18 của An vào ngày 01 tháng 05 năm

2019 Bạn An muốn mua một chiếc máy ảnh giá 3850000 đồng để làm quà sinh nhật cho chínhmình nên An quyết định bỏ ống heo 1000 đồng vào ngày 01 tháng 02 năm 2019 Trong cácngày tiếp theo, ngày sau An bỏ ống heo nhiều hơn ngày trước 1000 đồng Hỏi đến ngày sinhnhật của mình, An có bao nhiêu tiền (tính đến ngày 30 tháng 04 năm 2019)?

A 4095000 đồng B 89000 đồng C 4005000 đồng D 3960000 đồng.

Lời giải

Tác giả: Ngô Thanh Trà; Fb: Tra Thanh Ngo

Chọn C

Số tiền bỏ ống heo của An mỗi ngày tạo thành một cấp số cộng có số hạng đầu u11000 vàcông sai d 1000.

Tổng số tiền An bỏ ống heo tính đến ngày thứ n là:

đồng, nên chọn đáp án C

Câu 80 [1D3-3.6-2] (KIM-LIÊN 11 hk2 -2017-2018) Một công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc

trả lương cho người lao động theo phương thức sau: Người lao động sẽ được nhận 36 triệuđồng cho năm làm việc đầu tiên, và kể từ năm làm việc thứ hai, mức lương sẽ tăng thêm 3 triệuđồng mỗi năm Hãy tính tổng số tiền lương một người lao động được nhận sau 5 năm làm việccho công ty

Tính trực tiếp ta có tổng số tiền lương nhận được là S 36 39 42 45 48 210     ( triệu).

Tổng quát bài toán:

Có thể xem số tiền lương nhận được tạo thành một cấp số cộng  u n

có u136,d  Khi đó 3công thức tính số hạng tổng quát là u n   u1 n 1d 33 3 n, ta hiểu u là số tiền lương được n

nhận sau năm thứ n Sử dụng công thức tính tổng

Câu 81 [1D3-3.6-2] (Quỳnh Lưu Nghệ An) Một cơ sở khoan giếng đưa ra đinh mức giá như sau: Giá

từ mét khoan đầu tiên là 100000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá mỗi mét tăng thêm 30000đồng so với giá của mét khoan ngay trước đó Một người muốn kí hợp đồng với cơ sở khoangiếng này để khoan giếng sâu 20 mét lấy nước dùng cho sinh hoạt gia đình Hỏi sau khi hoànthành việc khoan giếng, gia đình đó phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng số tiền bằng baonhiêu?

A. 8800000 B 7700000 C 9980000 D 6670000.

Lời giải

Tác giả: Đinh Minh Thắng; Fb: Win Đinh

Chọn B

Đây là bài toán thực tế có sự xuất hiện ẩn tàng của cấp số cộng với:

- Số hạng đầu tiên u1100000 (số tiền mét khoan đầu tiên),

- Số hạng thứ 2 u2  u1 30000 (số tiền mét khoan thứ hai),

- Số hạng thứ 3 u3  u2 30000 u1 2.30000 (số tiền mét khoan thứ ba)

…

- Số hạng thứ 20 u20 u1930000 u1 19.30000 (số tiền mét khoan thứ 20),

và công sai d 30000

Câu 82 [1D3-3.6-3] (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Một vườn trồng cây

giống có dạng tam giác Biết rằng hàng đầu tiên trồng 5 cây giống và cứ hàng sau được trồngnhiều hơn hàng đứng liền trước nó là 3 cây Hỏi hàng thứ 10 có bao nhiêu cây giống đượctrồng?

u d