Dang 2. Phương pháp đổi biến số(TH)

Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Nguyệt Cầm; Fb: Nguyet Cam Nguyen Chọn B Áp dụng công thức dx ax b C a + Hoặc cũng có thể dùng đạo hàm để kiểm tra ngược các đáp án... Lời giải Tác giả: Hoàn

Câu 1 [2D3-1.2-2] (Sở Điện Biên) Cho hàm số f x ( ) liên tục trên ¡ và ∫ ( ) d =

6

0

10

f x x

, thì ( )

3

0

2

f x x

bằng:

Lời giải

Chọn D

Đặt: t = ⇒ = 2 x d 2d t x

Đổi cận: x = ⇒ = 0 t 0; x = ⇒ = 3 t 6.

Ta có: 3 ( ) 6 ( ) 6 ( )

f x x = f t t = f x

Câu 2 [2D3-1.2-2] (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019 ) Tất cả các nguyên hàm của hàm

f x

x

=

− là

A 2 3 2 x − + C B

2

− − + . D − 2 3 2 x − + C

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Nguyệt Cầm; Fb: Nguyet Cam Nguyen

Chọn B

Áp dụng công thức

dx ax b C a

+

Hoặc cũng có thể dùng đạo hàm để kiểm tra ngược các đáp án

PT 12.1. Tất cả các nguyên hàm của hàm số

3 ( )

2 1

f x

x

= + là

A

3

ln | 2 1|

2 x + + C B 3ln | 2 1| x + + C

2

ln | 2 1|

3 x + + C

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Nguyệt Cầm; Fb: Nguyet Cam Nguyen

Chọn A

Áp dụng công thức k dx k ln | ax b C |

ax b = a + + +

PT 12.2 Biết 1 ( )

2

f x x

−

=

∫ , tính 4 ( )

2

f x x

−

=

∫

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Nguyệt Cầm; Fb: Nguyet Cam Nguyen

Chọn B

−

Câu 3 [2D3-1.2-2] (THPT-Yên-Mô-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho 2 ( )

1

d = 3

∫ f x x

và

( ) ( )

2

1

, khi đó 2 ( )

1

d

∫ g x x

bằng

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hồng Hạnh; Fb: Nguyễn Hồng Hạnh

Chọn B

Ta có:

( )

2

1

d 1

g x x

∫

5

x

F x = e a x b + x + là một

nguyên hàm của f x e ( ) = 2xsin x ( a b , ∈ ¤ ) Tính giá trị biểu thức T a b = + − 2 1.

A

2

3

Lời giải

Tác giả: Trần Thị Thúy; Fb: Thúy Minh

Chọn B

Hàm số f x ( ) xác định ∀ ∈ x ¡

Ta có F x ' ( ) = 2 e a2x( sin x b + cos x e a ) + 2x( cos x b − sin x ) = e2x  ( 2 a b − ) sin x a b + + ( 2 cos ) x  

( )

F x là một nguyên hàm của f x ( ) trên ¡ ⇔ F x ' ( ) ( ) = f x , ∀ ∈ x ¡ .

⇔ e2x  ( 2 a b − ) sin x a b + + ( 2 cos ) x   = e2xsin x,∀ ∈ x ¡

a b

a b

− =



⇔  + =



2 5 1 5

a b

 =



⇔ 

 = −

 Vậy T a b = + − 2 1

 

= +  − − ÷

  = − 1

Câu 5 [2D3-1.2-2] (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Tìm họ nguyên hàm ( )

1 d

2 1

x

=

+

∫

A ( )

1

6 2 1

x

−

1

6 2 1

x

−

C ( )

1

4 2 1

x

−

1

6 2 1

x

−

Lời giải

Tác giả:Mai Quỳnh Vân; Fb:Vân Mai

Chọn C

Ta có: ( )

3

2

2 1

x

+

2

2

2 1

.

x

x

−

Câu 6 [2D3-1.2-2] (Sở Đà Nẵng 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x ( ) ln x

x

= là

A

2

1

2 x + x C + . B 1 2

ln

2 x C + . C ln x C2 + D ln ln x C ( ) + .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Hợp ; Fb: Hợp Nguyễn

Chọn B

Xét I = ∫ f x x ( ) d ln x d x

x

Đặt

1

x

Khi đó

2

1 d 2

I = ∫ t t = t + C 1 2

ln

Câu 7 [2D3-1.2-2] (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Biết

( )

4

4

cos 2x 2f x dx 5 π

π

∫

, khi đó

( )

4

4

d

f x x

π

π

∫

bằng:

A

7

1

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Ngọc Duy; Fb: Ngọc Duy

Chọn D

Ta có

( )

4

4

5 cos 2x 2f x dx

π

π

= ∫  +  = 4 4 ( )

cos 2 dx x 2f x xd

+

( )

4 4

4 4

1

sin 2 2 d

π π

sin sin

=  −  − ÷  +

 

2 f x xd 1 2 f x xd

= +

Suy ra

( )

4

4

5 1

2

f x x

π

π

−

∫

Câu 8 [2D3-1.2-2] (Sở Quảng NamT) Cho hàm số f x ( ) có đạo hàm liên tục trên khoảng ( 0; + ∞ )

Khi đó

( ) d

f x

x x

′

A 1 ( )

2 f x + C

B f ( ) x C + . C − 2 f ( ) x C + . D 2 f ( ) x C + .

Lời giải

Tác giả: Trần Tố Nga ; Fb: Trần Tố Nga

Chọn D

Đặt

2

x

Vậy

( ) d 2 ( ) d 2 ( ) 2 ( )

f x

x f t t f t C f x C x

′

′

Câu 9 [2D3-1.2-2] (Chuyên Bắc Giang) Cho hai hàm số F x ( ) , G x ( ) tách công thức MT xác định

và có đạo hàm lần lượt là F x ( ), G x ( ) tách công thức MT trên ( 1; +∞ ) Biết rằng

( ) ( ) 2 ln2 ( ) 1

F x G x = x x − và ( ) ( ) 2 2

1

x

F x g x

x

=

− Họ nguyên hàm của f x G x ( ) ( ) là

A 2 ( x2+ 1 ln ) ( ) x − − − + 1 x2 2 x C B 2 ( x2− 1 ln ) ( ) x − − − + 1 x2 2 x C.

C 2 ( x2+ 1 ln ) ( ) x − + − + 1 x2 2 x C. D 2 ( x2 − 1 ln ) ( ) x − − + + 1 x2 2 x C.

Lời giải

Tác giả: Hoàng Văn Thông; Fb: Thông Hoàng

Chọn B

Cách 1 Dùng kiến thức nguyên hàm

Ta có ∫ f x G x ( ) ( ) dx= ∫ F x G x ′ ( ) ( ) dx= ∫ G x ( ) d ( F x ( ) )

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần

Đặt u G x v = ( ) ,d = d ( F x ( ) ) ⇒ = u G x v F x ′ ′ ( ) , = ( ) .

Khí đó: ∫ G x ( ) d ( F x ( ) ) = F x G x ( ) ( ) − ∫ F x G x ( ) ( ) ′ dx ( )

2

1

x

x

−

Ta tính 2 2 d 2 ( 1 ) 2 d

x

∫ ∫ = + + x2 2 x 2ln x − + 1 C

( )

= + + − + , ∀ > x 1

Suy ra ∫ f x G x x ( ) ( ) d = 2 ln x2 ( ) x − − 1 ( x2+ + 2 x 2ln ( ) x − + 1 ) C

Cách 2 Dùng kiến thức tích phân + Máy tính cầm tay + Góc tiếp cận khác

Phân tích: họ nguyên hàm f x G x ( ) ( ) đúng với mọi x công thức MT thuộc ( 1; +∞ ) nên sẽ đúng trên các đoạn là tập con trên ( 1; +∞ )

Ta có ( F x G x ( ) ( ) ) ′ = F x G x F x G x ′ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ′ = f x G x F x g x +

Suy ra 3( ( ) ( ) ) 3( ( ) ( ) ( ) ( ) )

( )

2

2

2

1

x

x

−

Thay lần lượt các hàm số (bỏ hằng số C) vào vị trí f x G x ( ) ( ) trong công thức (1) Kiểm tra trên máy tính cầm tay Phép thử nào cho kết quả bằng 0 thì đó là phương án đúng

Nhận xét

1 Với các bài toán tìm nguyên hàm có các biểu thức liên quan đến đạo hàm Ta có thể khai thác theo các hướng dùng nguyên hàm từng phần (cách 1) hoặc xây dựng công thức đạo hàm kiểu ( ) d ( )

f x x f x C ′ = +

2 Với dạng toán tìm nguyên hàm mà cho dạng công thức ở các đáp án Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay tính thử tích phân với các cận thuộc tập xác định (cách 2)

Câu 10 [2D3-1.2-2] (THPT Nghèn Lần1) Họ nguyên hàm của hàm số

2

3

( )

1

x

f x

x

= + là

1

.

3 x 1 + C

3

2

3 x 1 + C

3

1

3 x + + C

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Dung ; Fb:Chau Ngoc

Chọn B

Đặt

3

u = x + ⇔ u = + ⇔ x u u x x = Khi đó 2 d 2

I = ∫ u = u C +

Với u = x3+ 1 thì

3

2

3

I = x + + C

Câu 11 [2D3-1.2-2] (Đoàn Thượng) Cho hàm số y f x = ( ) thỏa mãn f x f x x x ′ ( ) ( ) = +4 2 Biết

( ) 0 2

f = Tính f2( ) 2 .

A 2( ) 313

2 15

f = . B 2( ) 332

2 15

f = . C 2( ) 324

2 15

f = . D 2( ) 323

2 15

Lời giải

Tác giả: Trần Công Diêu; Fb: Trần Công Diêu

Chọn B

Theo đề: f x f x x x ′ ( ) ( ) = +4 2 Lấy nguyên hàm hai vế, ta được:

f x f x dx ′ = x + x dx ⇒ f x d f x = x + x dx ⇒ + = C +

f = ⇒ + = ⇒ = − ⇒ C C f x = + + ⇒ f =

Câu 12 [2D3-1.2-2] (Chuyên Vinh Lần 3) Cho ( )6

2 3 x x − 2 d x =

A x − + B x − + C với

, ,

A B C ∈ ¡ Tính giá trị của biểu thức 12 A B + 7

A

23

241

52

7

9

Lời giải.

Tác giả: Trần Thị Thơm; Fb: Tranthom.

Chọn D

Đặt t = − 3 2 x d 3d d d 3

t

Khi đó

t

x x − x = + t t

7 6

2 d

t t

∫

Từ đó ta có

1 36

A = , 4

63

B = Suy ra 12 7 7

9

A + B = .

Câu 13 [2D3-1.2-2] (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Họ nguyên hàm của hàm số

( ) 20 2 30 7

2 3

f x

x

− +

=

− trên khoảng

3 ; 2

 +∞ 

  là?

A ( 4 x2+ + 2 1 2 x ) x − + 3 C. B ( 4 x2− + 2 1 2 3 x ) x − .

C ( 3 x2− + 2 1 2 3 x ) x − .D ( 4 x2− + 2 1 2 x ) x − + 3 C.

Lời giải

Tác giả:Minh Hạnh; Fb: fb.com/meocon2809

Chọn D

Đặt



 =



t x

t x

x t t

2 3

t x

−

Câu 14 [2D3-1.2-2] (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Biết

( )100 ( 2 1 )102 ( 2 1 )101

Lời giải

Tác giả: Đinh Mạnh Thắng; Fb: Dinh Thang

Chọn A

( )100 1 ( ) ( )100

2

( ) (101 ) ( ) (100 )

1

=  ∫ + + − ∫ + +  ( 2 x 408 + 1 )102 ( 2 x 404 + 1 )101 C

Do đó a = 408, b = 404

Vậy a b − = 4

Câu 15 [2D3-1.2-2] (Sở Thanh Hóa 2019) Tìm các hàm số f x ( ) biết ( )

cos

2 sin

x

f x

x

′ =

A ( )

sin

2 sin

x

x

x

2 sin

x

2 sin

x

x

Lời giải

Tác giả: Đinh Gấm; Fb: đinh gấm

Chọn C

Ta có: ( )

2 sin

x

x

+

Câu 16 [2D3-1.2-2] (HKII Kim Liên 2017-2018) Cho hàm số f x ( ) xác định trên ( e; + ∞ ) thỏa mãn

( ) .ln 1

f x

x x

′ = và f ( ) e2 = 0 Tính f ( ) e4 .

A f ( ) e4 = ln 2. B f ( ) e4 = − ln 2. C f ( ) e4 = 3ln 2. D f ( ) e4 = 2.

Lời giải

Tác giả: Hoàng Văn Thông; Fb: Thông Hoàng

Chọn A

Cách 1.

Từ giả thiết suy ra ( ) 1 ( )2

.ln

x x

Ta có ( ) 1 d

.ln

x x

= ∫ 1 d ln ( )

= ∫ = ln ln x C ( ) + , ∀ > x e

( ) e2 0 ln ln e ( )2 0

f = ⇔ + = C ⇔ = − C ln 2 ⇒ f x ( ) ( ) = ln ln x − ln 2.

Suy ra f ( ) ( ) e4 = ln ln e4 − ln 2 = ln 4 ln 2 − = 2ln 2 ln 2 − = ln 2

Cách 2.

2

e

e

1

Suy ra ( ) 4

2

e 4

e

1

ln

x x

= ∫ ⇔ f ( ) ( ) ( ) e4 = ln ln e4 − ln ln e2 = ln 2.

Dạng toán: Cho hàm f x ( ) biết f x ′ ( ) và f a ( ) Tính f b ( )

Suy luận: Nếu a b < ta có ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) d ( )

f x x f b ′ = − f a ⇒ f b = f x x f a ′ +

Thao tác trên máy tính:

Nhập vào máy tính ( ) d ( )

b

a

f x x f a ′ +

∫ rồi gán cho một biến nhớ, giả sử A.

Gọi biến nhớ A ra màn hình rồi trừ lần lượt kết quả ở các đáp án A, B, C, D Phép trừ nào cho giá trị bằng 0 thì đáp án đó sẽ đúng

Thao tác trên màn hình

4

2

e

e

1 d

ln x

x x

∫ , gán biến nhớ và thực hiện trừ lần lượt cho kết quả ở các đáp

án A, B, C, D Phép thử nào cho kết quả bằng 0 thì đáp án đó đúng

Câu 17 [2D3-1.2-2] (Chuyên Vinh Lần 2) Cho F x ( ) là nguyên hàm của ( ) 1

2

f x

x

= + thỏa mãn

( ) 2 4

F = Giá trị F ( ) − 1 bằng:

Lời giải

Tác giả: Giáp Văn Quân ; Fb: quanbg.quan

Chọn D

2

x

+

Theo đề bài F ( ) 2 = 4 nên 4 + = ⇔ = ⇒ C 4 C 0 F ( ) − = 1 2.

Câu 18 [2D3-1.2-2] (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Gọi F x ( ) là nguyên hàm của hàm

8

=

−

x

f x

x thỏa mãn F ( ) 2 0 = Khi đó phương trình F x ( ) = x có nghiệm là:

Lời giải

Tác giả: Huỳnh Trọng Nghĩa ; Fb: Huỳnh Trọng Nghĩa

Chọn D

Ta có: ( ) 2

8

x

x

=

−

∫ Đặt t = − ⇒ = − ⇒ 8 x2 t2 8 x2 2 tdt = − 2 xdx ⇒ xdx tdt =

8

t x

−

−

Mà F ( ) 2 = ⇒ − − + = ⇒ = 0 8 22 C 0 C 2

F x = − − + x

Ta có:

2 2

x

x

F x = ⇔ − − + = ⇔ − = − ⇔   − ≥

− = −



2

2 2

1 3

1 3

2 4 4 0

1 3

x x

x x

x

≤



  = +

Vậy ta chọn đáp án D

binhlt.thpttinhgia1@thanhhoa.edu.vn

Câu 19 [2D3-1.2-2] (Chuyên Vinh Lần 2) Biết F x ( ) là một nguyên hàm của hàm số

1 2

f x

x

= −

− và F ( ) − = 4 3 Tính

3 2

F  − 

 ÷

 

A

F  −  =

 ÷

F  −  =

 ÷

F  −  =

 ÷

F  −  =

 ÷

Lời giải

Tác giả: Giáp Văn Quân ; Fb: quanbg.quan

Chọn C

1 2

x

−

Mà F ( ) − = 4 3 nên C = 4 Vậy

F  −  =

 ÷

Câu 20 [2D3-1.2-2] (Kim Liên 2016-2017) Cho F x ( ) là một nguyên hàm của hàm số

( ) 2

1

x

f x

x x

+

= + + và F ( ) − = 2 ln81 Tính F ( ) 2 .

A F ( ) 2 ln 9 = B F ( ) 2 2ln 7 ln9 = −

C F ( ) 2 ln 7 ln9 = − D F ( ) ( 2 2 ln 7 ln 3 = + ) .

Lời giải

Tác giả: Phí Văn Đức Thẩm ; Fb: Đức Thẩm

Chọn D

Cách 1.

Ta có: ( ) ( ) 2

1

x

x x

+

+ +

• Đặt u x x = + +2 1

d u 2 1 d x x 2d u 2 2 1 d x x 2d u 4 2 d x x

• Khi đó

2 2

1

+ +

Vậy nên F x ( ) = 2ln x2+ + + x 1 C, mà F ( ) − = 2 ln81, thay vào ta được:

( ) ( ) ( )2

F − = − + − + + C ⇔ ln81 2ln3 C = + ⇔ = C ln81 2ln3 2ln3 − =

• Do đó F x ( ) = 2ln x2+ + + x 1 2ln 3

( ) 2 2ln 2 2 1 2ln3 2ln 7 2ln3 2 ln 7 ln 32 ( )

F

Cách 2 Minh Thuận

• Hàm số ( ) 2

1

x

f x

x x

+

= + + liên tục trên ¡

2

1

x

x x

+

+ +

2

1

x

x x

−

+

+ +

• Dùng MTCT bấm và so sánh với đáp án

Câu 21 [2D3-1.2-2] (Sở Điện Biên) Cho 5 ( )

1

d 6

f x x =

1

d 8

g x x =

∫ Giá trị của

( ) ( )

5

1

4 f x − g x d x

Lời giải

Chọn A

Ta có 5 ( ) ( ) 5 ( ) 5 ( )

4 f x − g x d x = 4 f x x d − g x x d = 4.6 8 16 − =