BAT DANG THUC SCHUR VA PHUGNG PHAP DOI BIEN P,Q,R Vo Thanh Van Lớp 11 Toán-Khối chuyên THPT-DĐHEKH Huế Như các bạn đã biết, bất đăng thức Schur là một bất đẳng thức mạnh và có nhiều ứn
Trang 1BAT DANG THUC SCHUR VA PHUGNG PHAP DOI
BIEN P,Q,R
Vo Thanh Van
Lớp 11 Toán-Khối chuyên THPT-DĐHEKH Huế
Như các bạn đã biết, bất đăng thức Schur là một bất đẳng thức mạnh và có nhiều ứng dụng, tuy nhiên nó vẫn còn khá xa lạ với nhiều bạn học sinh THCS cũng như THPT Qua bài viết này, tôi muốn cũng cấp thêm cho các bạn một kĩ thuật đề sử dụng tốt BDT Schur, đó là kết hợp với phương pháp đổi biến p, g,r
Trước hết, tôi xin nhac lai vé bat dang thức Schur và phương pháp đổi biến p, g, r
1 Bất đẳng thức Schur
Định lý 1 (Bất đăng thức Schur) Với mọi số thực không âm a, b,c, k, ta luôn có
đ*(øœ — b)(a — e) + b°*(b— e)(b— a) + c°(e— a)(e— b) > 0
Hai trường hợp quen thuộc được sử dụng nhiều là k = 1 và k = 2
a(œ — b)(œ — e) + b(b — c)(b — a) + c(c— a)(ce—b) >0 (i) a2(a — b)(œ — e) + bŸ(b — e)(b— a) + e?(e— a)(e— b) >0 (ii)
2 Phuong pháp đổi biến p,q,r
Đối với một số bài bất đăng thức thuần nhất đối xứng có các biến không âm thì ta có thê đổi biến lại như sau Đặt p = a + ồ+c,qg= ab + be + ca,r — abc Và ta thu được một sô đăng thức sau
ab(a + b) + bc(b+¢)+ca(e+a) = pq-3r
(a+ b)(b+c)\(c+ta) = pq-r ab(a? + 6) + bcb? +c?) +ca(P +07) = p?qạ— 242 — pr
(a+ d)(ate)+(b+o(b+a)+(ctal(e+b) = p+
a+h+ec = pˆ—9q
a+? +3 = p*?—3pq+3r at++b+4+c4 = p*—Ap2q4+ 2q7 + 4pr
a2b` + b2c2 +c?a?” = g—2pr
a5bÖ + bŠc3 + a3 = qg)— 3pạr + 3r?
a*b* + b4ce8 + hat = q`— 4pdˆr + 2pˆrŸ + 4qr?
Dat L = p*q? + 18pqr — 27r? — 4q? — 4p*r, khi do
(a—b)(b—c)(c—a) = +VL
Trang 23 CAC VI DU MINH HOA
Có thê thấy ngay lợi ích của phương phap nay 1a méi rang budc giita cac bién p,g,r ma cac bién a, b,c ban dau khong co nhu
p 2 3q
p° > ir
g > 3pr
pq = Or
2p° +9r > Tpq
peqt3pr > Aq?
p +4q°+6pr > 5p2q Những kết quả trên đây chắc chắn là chưa đủ, các bạn có thê phát triển thêm nhiều đăng thức, bất đăng thức liên hệ giữa 3 biên p, g,7 Và điêu quan trọng mà tôi muôn nói đên là từ bât đăng thức (1) và (1), ta có
p(4q — p°)
>
"= 9 (từ ())
Aq — p*)(p? —
p> EG PVP" =D rie Gin)
6p Tuy nhiên trong một số trường hợp thì có thể các đại lượng 4g — p có thể nhận giá trị âm lẫn giá trị dương nên ta thường sử dụng
c> ma fo, =)
Có lẽ đến đây các bạn đã hiểu được phần nào về bất đăng thức Schur và phương pháp đổi biến p, g, r Sau đây
là một sô ví dụ minh họa, nhưng trước hết, các bạn hãy tập làm thử rôi xem đáp án sau
3 Cac vi du minh họa
3.1 Bất đẳng thức Schur
Ví dụ I Cho các số dương a, b,c Chứng mình rằng
+o fre a
8ab(4a + 46 + c) 8bc(4b + 4c + a) 8ca(4c + da +b) ~ `
(V6 Thanh Van)
LỜI GIẢI Đặt
Vi 8ab(4a + 4b + c) 8bc(4b + 4c + a) Sca(4e + 4a + 6)
Q = 840(41a+ 4b+ c) + 8bc(4b + 4c + a) + 8ca(de + 4a + b)
=_ 32(a+ + c)(ab + be + ca) — 72abc
Áp dụng bất đăng thức Holder, ta có
Pˆ.Q>8(a+b+e)?
(@VõÕ 'THÀNH VĂN
Trang 33.1 Bat dang thitc Schur 3 CAC VI DU MINH HOA
Ta can chimg minh
8(a+b+ c)? >Q
& 8(a+ 6+)? > 32(a + b+ e)(ab + be + ca) — 72abe
© (a+b+e)> 4(a+ b+ e)(ab + be + ca) — 9abe (đúng theo bất đăng thức Schur)
Ví dụ 2 Cho các số dương a, b,c Chứng mình rằng
(a? + 2)(b? + 2)(c? + 2) > 9(ab + be + ca)
(APMO 2004) LOI GIAI Khai trién bất đẳng thức trên, ta cần chứng minh
a*b?c? + 2(a7b? + Be? + a?) + 4(a? + 0? +c?) +8 > 9(ab + be + ca)
Ta co
g2 -E b + c2 > ab + be + ca
(ab? + 1) + (b?c? +1) + (ca? +1) > 2(ab + be + ca)
9ab a2b2c2+ 1+1 > 3Wa2i2c2 > — —
ø-+b+ec
4(ab + be + ca) — (a +6 +c)? (theo bat dang thire Schur)
Áp dụng các bất đẳng thức trên, ta có
(a be? + 9) + 2(aˆbŠ + bÊc? + c?aˆ + 3) + 4(a2 + bŠ + cŸ)
> 2(ab+ be + ca) + 4(ab + be + ca) + 3(a? + 6? +c’)
> 9(ab+ be + ca)
Bất đăng thức được chứng minh Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi ø = b = c = 1 L]
Ví dụ 3 Cho các số dương a, b,c Chứng mình rằng
2(a? + 0° +c?) + abe + 8 > 5(a+b+ c)
(Trần Nam Dũng) LờI GIẢI Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
6VT = 12(a2 +6? +c?) + 3(2abe + 1) + 45 —5-2-3(a+b+ c)
> 12° +0 +?) +9Va2b2c? + 45 —5 [(a+b+c)? +9]
Qabc
— r(œ?+b?+c7)+ ( tư 19 — 10(ab + be + ca )
9.42, 2 27abe
> T(a* +b" +c) + —— — 10(ab + bc + ca)
at+b+e
Mặt khác, sử dụng bat dang thức Schur,
9 a+b+e > A(ab + bc + ca) — (a+b +c)? = 2(ab + be + ca) — (a2 + bŸ + cŸ)
(VO THANH VAN
Trang 43.1 Bat dang thitc Schur 3 CAC VI DU MINH HOA
Do do
2 p24 2 27 T(a* + b* + c*) + ——— — 10(ab+ bc + ca)
a+tb+e
> 7(a* +b? +c?) 4+ 6(ab + bc + ca) — 3(a? + 6? +c?) — 10(ab + bc + ca)
= 4(a° +6? + —ab—be—ca) > 0
Bất đăng thức được chứng minh Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi ø = b = c = 1 L]
Ví dụ 4 Cho các số không âm a b,e, không có 2 số nào động thời bằng 0 Chứng minh rằng
Bb+38 a+ a3+b3 — 5(a2+2+c?)T— ab— bc— ca
(Michael Rozenberg) LỜI GIẢI Bất đăng thức cần chứng minh tương đương với
b3+c3 — — 5(a? + b? +c?) — ab — bc — ca
cục
=> =F >
eat Lipp aah ~ 5(a? + 6? +c?) — ab — be — ca
Áp dụng bất đăng thức Cauchy-Schwarz, ta có
b3+c3 “ ` Sa2(bŠ + c3)
cục cục
a b? +c? —bc ~ Soa(b? + c? — bc)
cyc
Ta can chimg minh
(a2 + b2 + c2)? (a+b+c) ` 18(a+b+c) 53a2(b3+c3) — 3)a(b2+c7T—bc) — 5(a2+b2+c2)T— ab— be— ca
Giả sita + b + ø — 1 và dat ab + be + ed — q,abe — r => r > max {0, Ó4=11Œ1=#) Ì, Ta cần chứng minh
gq? —(q+2)r q—6r — 5— ll1q
Bất đăng thức cuối dễ dàng chứng minh bằng cách xét 2 trường hợp 1 > 4g và 4g > 1
Đăng thức xảy ra khi a = 6b = c hoặc ø = 6, c = 0 hoặc các hoán vị tương ứng LÌ
Ví dụ 5 Cho các số đương a, b, c thỏa mãn a* + b* + cŠ = 3 Chứng mình rằng
1 + 1 + 1 <1
4—ab 4—be 4-ca— `
(Moldova TST 2005)
(VO THANH VAN
Trang 53.1 Bat dang thitc Schur 3 CAC VI DU MINH HOA
LỜI GIẢI Quy đồng mẫu số rồi khai trién, ta cần chứng minh
49 — 8(ab + bc + ca) + (a +b + e)abe < 64 — 16(ab + be + ca) + 4(ø + b+ e)abe — a bŸc?
& 164 3(a+b+ c)abe > a?b?c? + 8(ab + be + ca)
Áp dụng bất đăng thức Schur và giả thiét a+ + b* + c* = 3, ta có
(øŠ + b3 + cŸ) + 3abe)(œ + b + e) > [ab(ø + b) + be(b + e) + ca(e + a)] (a-+b~+ )
& 34 3abc(a + b+ ¢) > (ab + bc)? + (be + ca)? + (ca + ab)?
Áp dụng bất đăng thức AM-GM, ta có
(ab + be)? + (be + ca)? + (ca + ab)? + 12 > 8(ab+ be + ca)
= 15+ 3abc(a + b + e) > 8(ab + be + ca)
Mặt khác ta lại có
1> a?b?c?
Vậy ta có đpcm Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi ø = b = c = I L]
Ví dụ 6 Cho các số không âm a b,c thỏa mãn ab + be + ca —= 3 Chứng mình rằng
a® + 6? +c? + Tabc > 10
(Vasile Cirtoaje)
Ap dung bat dang thitc Schur, ta có
— m2 —_ „2
r> may (0, FC) P ì = max 0, P=) P ì
Ta cần chứng minh
p”— 9p-+ 10r > 10
Néu p > 2⁄3 thì ta có
pỶ — 9p + 10r — 10 > p3 — 9p — 10 > 12p — 9p — 10 = 3p — 10 >0 Nếu p < 2/3 < 4 thi
p? —9p + 10r —10>p ~ 9p + | p(l2 — p*) — 10 = 9 (p — 8)[(16 — øˆ) + 34 — p) + 2] 2 0
Vậy ta có đpcm Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi ø = b = c = 1
Ví dụ 7 Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c —= 3 Chứng minh rằng
3+ —>ö|-+tx++-]
(V6 Thanh Van)
(VO THANH VAN
Trang 63.1 Bat dang thitc Schur 3 CAC VI DU MINH HOA
LOI GIAI Déi bién theo p, g,r, bat dang thitc can chimg minh được viết lại như sau
3r +12 > 5g Mat khac,theo bat dang thức Schur, ta có
4q — 2
ar > Sea P) _ 4g g
Ta can chimg minh
Aq -—9+12 > 5q
<= q < 3 (ding)
Vậy ta có đpcm Dang thitc xay ra khi va chi khi a = b = c = 1 L]
Ví dụ § Cho a,b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 + bˆ + c2 —= 3 Chứng minh rằng
(Phạm Kim Hùng) Quy đồng, rút gọn và đôi biện theo p, q,r, bat đăng thức cân chứng minh tương đương với
8p+ 3r > 12+ 5q
Áp dụng bất đăng thức Schur, ta có
p(4qg—p*) _ p@4~ 3)
3r > "= 3 3
Từ giả thiết
p`—2q=3
2
,ˆ.—Š
12
Thay 2 điều trên vào bất đăng thức cần chứng minh, ta có
“—6 5(p? — 3
gp + Pe ape ve )
= (2p — 3)(p — 3)” > 0 Bất đăng thức cuối đúng nên ta có đpcm Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi ø = b = c = I
Ví dụ 9 Cho các số không âm a, b, c thỏa mãn a -+ b + c —= 3 Chứng minh rằng
1 1 1 1 1 Q—ab 9-—be 9-ca
< =,
—8
(Crux mathematicorum) LỜI GIẢI Bài này đã được anh Hùng sử dụng cho phần bất đẳng thức Chebyshev trong cuốn "Sang tao bat đăng thức” Bây giờ các bạn sẽ được thây một lời giải khác với bât đăng thức Schur và phương pháp đôi biên p,q,r rât tự nhiên
Biến đổi bất đăng thức cần chứng minh và chuyên về dạng p, g, r„ ta có
8(243 — 18p + 3r) < 3(729 — 81q + 27r — r?)
(VO THANH VAN
Trang 73.2 Phương pháp đổi biến p,q,r 3_ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
© 243 — 99g + 57r — 3r? > 0 Theo bát đăng thức AM-GM thì
6
3=3 (2) > 3(abe)? = r?
Theo bat dang thire Schur, ta có
_ 2 —
„> Pdq—P”) _ 1ạ— 9
=> 57r > 19(4q — 9) Nên ta cần chứng minh
72 — 23q — 3r? > 0
©3—r”)+23(3 — ạ) > 0 (đúng)
Vậy bất đăng thức được chứng minh Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi ø = b = c = I L]
3.2 Phương pháp đổi biến p,g,r
Ví dụ 10 Cho các số không dm a,b,c thoa man a +b + ¢ = 3 Ching minh rằng
a2b + be + ca <1
4—be 4-ca 4-ab—`
(Pham Kim Hung) LỜI GIẢI Quy đồng mẫu số rồi khai trién, ta cần chứng minh
a2bŠc
Sử dụng bất đăng thức quen thuộc 4 — ^ø2b > ae, ta cần chứng minh
cục
a2bŠc
be >
w= LIT be cục
ab
©l1>
2.1 — be cục
< 64 — 32) 0ab + 8S (arbe + 45076 > abc (so + cr)
cục cục cục cục
Tiếp tục sử dụng bất đăng thức trên,ta cần chứng minh
64 — 32S "ab + 8Ề a2be + 49 (076? > dabe
cục cục cục
©16—8g+g '—=r>0 vol g = ab+bc+ca,r = abc
Ap dung bất đăng thức AM-GM, ta có g2 > 9z nên cần chứng minh
q2 16— 8g + đˆ — >0
= (q— 3)(q— 6) 2 0
Bất đăng thức cuối hiển nhiên đúng nên ta có đpem
Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi ø = 6 = c= 1 hodc a = 2,6 = 1,c = 0 hoac cac hoan vi tuong ung LÌ
(@VõÕ 'THÀNH VĂN
Trang 83.2 Phương pháp đổi biến p,q,r 3_ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ I1 Cho các số dương a,b,c Ching minh rang
Pits 3a + 30 + 3c
a b c ` øa2+2bc b)+92ca c+2ab
Đặt a :— ¬ b:= mì C:= 4, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
1
a(a? — bc) 2a? + bc
cyc
3
a
7 32 sp + be = 2
Áp dụng bất đăng thức Cauchy-Schwarz, ta có
— 25343 + 3abe
cục
2 ( 2)
a? cyc
» = 2a + be >
Đến đây, ta cần chứng minh
3 33) > (> (de 4 te) Giả sử ø + b+ c = 1, chuyên về dạng p, g, r, bất đẳng thức trở thành
3(1 — 2q)? > 2-—6q + 9r
Str dung bat dang thire g? > 3r, ta cần chứng minh
3(1 — 2a)Ÿ > 2— 6q + 3a?
© 3_— 12g + 12g” > 2— 6g + 3qˆ
& (1 — 3q)? > 0 (đúng)
Vậy ta có đpcm Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi ø = b = c
Ví dụ 12 Cho các số không âm a,b, c Ching minh rang
1
a*{(b + e) + b'(e + a) + c`(a +b) < 79 (@ +b+c)°
LỜI GIẢI Chuẩn hóa cho p = 1, bất đẳng thức trở thành
l
(1 — 3q)q + (5q — l)r < 13
(Dương Đức Lám)
(Vasile Cirtoaje)
Đến đây ta sử dụng một thủ thuật khi dùng bất đăng thức Schur, đó là chia trường hợp để giải quyết
(@VõÕ 'THÀNH VĂN
Trang 93.2 Phương pháp đổi biến p,q,r 3_ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
k La: ,
Nêu g < 5 thì ta có
1 1 /1—3q¢+3q\7 1 (1 3q)a + Ga Ir < (= 3q)q= 30 ~ 3) 3g < 5 (A) =—
Nếu q > ‡, ta có
(1 — 3q)q + (5q — 1)r < (1— 3g)g + (5q — 1)- 5 = 3g (880° + 324 — 3) + —<
12 12°
Vậy bất đăng thức được chứng minh
3+v3 3-V3
6
Dang thitc xay ra khi a = 0,0 = ,C = ““g"~và các hoán vị L] Với kĩ thuật xét trường hợp để giải, chúng ta có thể dễ dàng giải quyết các bài toán sau
Bài toán 1 Cho các số không âm a,Ù,c thỏa mãn a + b + c —= 1 Chứng minh rằng
(a2 + b2)(bŸ + c?)(c2+a?) < s
HƯỚNG DÃN Nhân vào rồi rút gọn, chuyển bất đăng thức về dạng ø, g, 7, ta cần chứng minh
1 2—9qg”—r(2+r_— 4q) < —
Đến đây chúng ta xét 2 trường hợp g < 4 và q> i: L] Bài toán 2_ Cho các số dương a,b,c thỏa mãn abc — 1 Chứng mình rằng
a + b + C <3
(Duong Duc Lam) HƯỚNG DÂN Đưa bất đẳng thức về một hàm theo p
ƒ(p) = 27p — (54 + 12q)p + 9g? — 58q + 120 > 0 Đến đây chúng ta chia thành 2 trường hợp 18g > 58 + 12p và 18g < 58 + 12p L]
Ví dụ 13 Cho các số không âm a,b,c thoa man a? + bÊ +} c2 — 8 Chứng minh rằng
4(a+b+c— 4) < abc
(Nguyên Phi Hùng) LỜI GIẢI Theo giả thiết, ta có p? — 2g = 8 Mặt khác, theo bất đẳng thức Schur bậc 4, ta có
„> (ú=p))Š=4) _ (pˆ= 16)0` + 8)
Vì vậy, ta cần chứng minh
(p* — 16)(p* + 8) 12p (p — 4)*(p? + p — 8)
12p
> A(p — 4)
> 0 (dung)
Dang thire xay ra khi va chi khi a = b = 2,c = 0 hodac cac hoan vi tuong tng L]
(@VõÕ 'THÀNH VĂN
Trang 103.2 Phương pháp đổi biến p,q,r 3_ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 14 Cho các số dương a, b,c thỏa mãn a + b + c — 1 Chứng minh rằng
Vaz +tabe Vb2 + abc ve? + abe _ 1
LỜI GIẢI Đồi biến thành p, g, z„ ta có bộ để
g (1— 4)
"59039
Ap dung BDT Cauchy-Schwarz, ta có
2 ST) Jaz + abc
Z(b+e)(b+ a)
email)
S342 + Scab
cục cục a+ 3
(a+ b)(b+e)(c +a) \Kvb+e
Ta co
=> 1 _` b < l _ (atb+c)
b+c b+C eo te eo te Sa? + Soab
Nên ta cân chứng minh
cục cục > <
(a+ 6)(b+ c)(c +a) l% =a tà — đabec
cục cục
(TH 1 )<t
q—-r\q-r l-q/” 4r
— q2 —
¿ 1 —4 )_4e q—T
A(1 — q°
& 1 Œ) Ges
Sử dụng bổ đề, ta có
v?< Os - ate =3- _ TT = =
Vay ta co đpcm Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c= 3
Nhận xét Í Với bài toán này, chúng tôi có 2 câu hỏi thú vị xin dành cho các bạn
1 Chứng minh bô đề mà chúng tôi đã nêu ở trên
2 Hãy chỉ ra con đường để tìm bồ đề này
(@VõÕ 'THÀNH VĂN I0