5. PT MŨ

Biến đổi, quy về cùng cơ số Đặt ẩn phụ đưa không hoàn toàn: là việc dùng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một một phương trình với một ẩn phụ mà hệ số vẫn còn ẩn x rồi đưa về

CHỦ ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ

A – KIẾN THỨC CHUNG

1 Phương trình mũ cơ bản x  0, �1

● Phương trình có một nghiệm duy nhất khi b0

● Phương trình vô nghiệm khi b�0

2 Biến đổi, quy về cùng cơ số

Đặt ẩn phụ đưa không hoàn toàn: là việc dùng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu

thành một một phương trình với một ẩn phụ mà hệ số vẫn còn ẩn x rồi đưa về tích

Đặt nhiều ẩn phụ đưa về hệ phương trình

 Bước 1 Vẽ đồ thị các hàm số y a x 0 �a 1

và y f x 

.

 Bước 2 Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị

6 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

thì số nghiệm của phương trình f x  k



x

12

 

x

12



x

B x1. C x0. D 43

2log3

Câu 6: Phương trình

39

 

x x

A

6.7



x

1.3



x

D

7.6



x

Câu 9: Phương trình 3 5x x17

có nghiệm là

A log 35.15 B log 5.21 C log 35.21 D log 21.15

Câu 10: Tìm các nghiệm của phương trình 2x2 8100

Câu 14: Cho phương trình: 3x  m 1 Chọn phát biểu đúng

A Phương trình luôn có nghiệm với mọi m

B Phương trình có nghiệm với m�1.

C Phương trình có nghiệm dương nếu m0.

D Phương trình luôn có nghiệm duy nhất xlog3m1.

PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ

Câu 15: Kí hiệu x x là nghiệm của phương trình 1, 2 3x2  4 log 243 

Tính giá trị của biểu thức

2 24

� �

211

� �

� �

112

� �

� �

112

12525



18

5 x x 5

10;

� �

� �

83

Câu 25: Tập nghiệm của phương trình 2x2 5x 6 1



x

D

43



B

12

8.5

Câu 33: Phương trình  

3 5

loglog 2



m

C

52

2 x 16  Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A Tích các nghiệm của phương trình là một số âm

B Tổng các nghiệm của phương tình là một số nguyên

C Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ

D Phương trình vô nghiệm

Câu 39: Cho phương trình:2.3x115x2.5x12

, giá trị nào gần với tổng 2 nghiệm của phươngtrình trên nhất?

PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Câu 44: Cho phương trình 4x41x 3

Khẳng định nào sau đây sai?

A Phương trình vô nghiệm

B Phương trình có một nghiệm

C Nghiệm của phương trình là luôn lớn hơn 0

D Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 42x3.4x 4 0



t

hoặc t  3 x.Bước 2:

+ Với

13



x

và x1.Bài giải trên đúng hay sai?Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Bước 2 B Bước 3 C Đúng D Bước 1

Câu 47: Cho phương trình 2 10 4  

3log

2 D log 63 .

Câu 50: Phương trình 2.4x7.2x 3 0

có tất cả các nghiệm thực là:

A x 1,xlog 32 . B xlog 32 . C x 1 D x1,xlog 32 .

Câu 51: Cho phương trình 21 2 x15.2x 8 0

, khẳng định nào sau dây đúng?

A Có một nghiệm B Vô nghiệm

C Có hai nghiệm dương D Có hai nghiệm âm

Câu 52: Giải phương trình 4x6.2x 8 0

là:

Câu 55: Cho phương trình 9x2 x110.3x2 x 2  1 0.

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là:

có 2 nghiệm x x Phát biểu nào sao đây đúng?1 , 2

A Phương trình có 2 nghiệm nguyên B Phương trình có 2 nghiệm dương

C Phương trình có 1 nghiệm dương D Phương trình có 2 nghiệm vô tỉ

Câu 59: Phương trình 9x3.3x 2 0

có hai nghiệm x x với 1, 2 x1x Giá trị 2 A2x13x là2

A 2log 3.2 B 1 C 3log 2 3 D 4log 2 3

Câu 60: Số nghiệm của phương trình2x2x22 x x2 3

Câu 64: Tìm tổng các nghiệm của phương trình 32x32x 30

Câu 71: Cho phương trình 7 4 3  x 2 3x 6

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Phương trình có một nghiệm vô tỉ B Phương trình có một nghiệm hữu tỉ

C Phương trình có hai nghiệm trái dấu D Tích của hai nghiệm bằng 6.

Câu 72: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

Câu 75: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình m.3x2 3x 234x2 36 3 x cóm

đúng 3 nghiệm thực phân biệt

Câu 76: Cho phương trình4x22x22 6

m Tìm tất cả giá trị mđể phương trình có đúng 3 nghiệm.

A m3 B 2 m 3

C m2 D Không có giá trị m thỏa yêu cầu bài toán

Câu 77: Hỏi phương trình 3.2x4.3x5.4x 6.5x

có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

Câu 78: Phương trình 4x12.6xm.9x 0 có hai nghiệm thực phân biệt khi giá trị của tham số m là:

A m0 B

10

4

 m

14

Câu 82: Với giá trị của tham số m thì phương trình m1 16 x2 2 m3 4 x6m 5 0

có hainghiệm trái dấu?

A    4 m 1. B Không tồn tại m C

31

2

  m

D

51

Câu 89: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình  3 2 x 3 2x2m0

Câu 93: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4xm.2x2m 5 0 có hai

nghiệm trái dấu

A

5

;2

50;

Câu 99: Tìm tập hợp tất cả các tham số m sao cho phương trình 4x2 2x 1m.2x2 2x 23m 2 0 có

bốn nghiệm phân biệt

A

116



m

10

116

Câu 101: Cho bất phương trình:9xm1 3 x m 0 1 

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để

bất phương trình  1

nghiệm đúng  x 1

A

3.2

 

m

C m 3 2 2. D m�3 2 2.

Câu 102: Cho phương trình 8xm22x 12m21 2 x m m3 0

Biết tập hợp các giá trị thực của

tham số m sao cho phương trình có ba nghiệm phân biệt là  a b; Tính Sab?

A

23



S

B

43



S

C

32



S

D

2 33

Câu 104: Tìm tập hợp tất cả các tham số m sao cho phương trình

4x x m.2x x 3m 2 0 cóbốn nghiệm phân biệt

A � ;1 B � �;1 2;�  C 2;�  D 2;� 

Câu 105: Cho phương trình: m2x2   5x 621 x2 2.26 5  xm 1 

Tìm m để phương trình có 4 nghiệmphân biệt

� �m

643

7

� �m

D

647

�

m

PHƯƠNG PHÁP LÔGARÍT HÓA, MŨ HÓA

Câu 108: Tìm tập hợp các giá trị của m để phương trình 3 x 3 m 9x1 (1) có đúng 1 nghiệm.

Câu 110: Xét các số nguyên dương a,b sao cho phương trình 4a xb.2x50 0 có hai nghiệm phân

biệt x x và phương trình 91, 2 xb.3x50a0 có hai nghiệm phân biệt x x thỏa mãn3, 4

Câu 112: Cho số thực a1,b1 Biết phương trình a b x x21 1 có hai nghiệm phân biện x x Tìm1, 2

giá trị nhỏ nhất của biểu thức  

1log 2.

có 2 nghiệm là ,a b Khi đó a b ab  có giá trị bằng

A  1 2log 32 . B 1 log 3 2 . C . 1. D 1 2log 3 2 .

Câu 117: Cho các số nguyên dương a,b lớn hơn 1 Biết phương trình a x21 b có hai nghiệm phân x

A 1 nghiệm duy nhất thuộc vào 0;� B .1 nghiệm duy nhất.

C Vô nghiệm D Có 2 nghiệm phân biệt

Câu 122: Với giá trị nào của tham sốm thì bất phương trình 2sin2x3cos2x �m.3sin2x có nghiệm?

Câu 125: Tính tổng các nghiệm phương trình x2.5x 13x3.5x 1x2.5x 1 3x 0.

Câu 133: Tìm các giá trị của m để phương trình: 3x 3 5 3 x 

m có 2 nghiệm phân biệt:

Câu 137: Giả sử x y0; 0

là một nghiệm của phương trình

   

4x 2 sin 2x x    y 1 2 2x2.sin 2x  y 1

.Mệnh đề nào sau đây đúng?

A 4 x0 7 B x0 7 C .   2 x0 4 D    5 x0 2

C –HƯỚNG DẪN GIẢI

BẢNG ĐÁP ÁN

PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

NHẬN BIẾT - THÔNG HIỂU:

Câu 1 [DS12.C2.5.D01.a] Phương trình

1

3x 4

có nghiệm là

A xlog 32 . B xlog 23 . C xlog 34 . D xlog 43 .

Hướng dẫn giải Chọn C.



x

12

 

x

12



2 2

2log 2



x

B x1. C x0. D 43

2log3



x

.Hướng dẫn giải

3 2

Câu 4 [DS12.C2.5.D01.b] Tích các nghiệm của phương trình 22x3.2x232 0

Câu 5 [DS12.C2.5.D01.a] Nghiệm của phương trình 12.3x3.15x5x120

là:

A xlog 5 13  . B xlog 53 . C xlog 5 13  . D xlog 3 15  .

Hướng dẫn giải

112.3x3.15x5x 20�3.3 5x x 4 5 5x 4 0 �5x4 3  x 1 5 0

1

3  5

� x

3log 5 1

 

x x

có nghiệm là

Hướng dẫn giải Chọn A.

Phương trinh đã cho �3x2 31 2 x �x  2 1 2x� x1.

Nghiệm của phương trình làx1.

Câu 7 [DS12.C2.5.D01.a] Tập nghiệm của phương trình

2 4 12

A

6.7



x

1.3



x

D

7.6

3 3 

6.7



� x

Câu 9 [DS12.C2.5.D01.a] Phương trình 3 5x x1 7

có nghiệm là

A log 35.15 B log 5.21 C log 35.21 D log 21.15

Hướng dẫn giải Chọn A.

Phương pháp: +Giải phương trình tìm tất cả các nghiệm của phương trình

+ Áp dụng công thức lũy thừa ta được phương trình tương đương với: 2x27x 5 0.Cách giải: Phương trình có 2 nghiệm là: x11 và 2

52



x

Câu 13 [DS12.C2.5.D01.a] Cho phương trình: 3x  m 1 Chọn phát biểu đúng

A Phương trình luôn có nghiệm với mọi m

B Phương trình có nghiệm với m�1.

C Phương trình có nghiệm dương nếu m0.

D Phương trình luôn có nghiệm duy nhất xlog3m1.

Hướng dẫn giải Chọn C.

+ A sai vì với m 2 phương trình đã cho �3x  1

PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ

NHẬN BIẾT - THÔNG HIỂU:

Câu 14 [DS12.C2.5.D02.a] Kí hiệu x x là nghiệm của phương trình 1, 2 3x2  4 log 243 

Tính giá trịcủa biểu thức M x x1 2

211

� �

� �

112

� �

� �

112



18



Hướng dẫn giải Chọn A.

Hướng dẫn giải Chọn C.

� �

� �

83

x

D

43



B

12

8.5

Hướng dẫn giải Chọn A.

4 x 2 x �2 x 2 x �4x  10 2 x

8.5

 

� x

Câu 32 [DS12.C2.5.D02.a] Phương trình  

3 5

loglog 2

Vậy tổng bình phương hai nghiệm bằng 5.

Câu 34 [DS12.C2.5.D02.b] Tìm các giá trị của m để phương trình 2x1 m.2x22x3 luôn thỏa

mãn  ��x

32



m

C

52

2 x 16  Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A Tích các nghiệm của phương trình là một số âm

B Tổng các nghiệm của phương tình là một số nguyên

C Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ

D Phương trình vô nghiệm

Hướng dẫn giải

2 28

bằng 0.

Câu 38 [DS12.C2.5.D02.b] Cho phương trình:2.3x115x2.5x 12

, giá trị nào gần với tổng 2nghiệm của phương trình trên nhất?

2.3 15 2.5 12

log 26.3 12 5 3 2.5 0 6(3 2) 5 (3 2) 0 (3 2)(6 5 ) 0

Nhập vào máy tính biểu thức: 2.3x115x2.5x12

SOLVE được 2 nghiệm vô tỉ lưu vào biến A, B và tính tổng A+B giống câu 50

Vậy m0 thỏa mãn ycbt.

Câu 40 [DS12.C2.5.D02.c] Số nghiệm của phương trình 2  12

Tất nhiên ở dạng có tham số việc dùng Casio khó hơn ở dạng số.

Đầu tiên ta sẽ chọn khoảng thỏa mãn đáp án Chẳng hạn câu a chom0 ta chọn m2.Nhập vào máy biểu thức:5x2 4x 51

SOLVE với m2, quan sát thấy máy đơ ra (không biết máy có báo Can’t Solve không vìtác giả không đợi lâu) nên ta thoát ra

Chuyển hướng SOLVE với 1 giá trị m0 ví dụ m 1

Nhập vào máy biểu thức:5x2 x 11

SOLVE với 1 giá trị dương ví dụ X 1 ta được nghiệm 1.61803…

Tiếp tục SOLVE với 1 giá trị âm X  1 ta được nghiệm -0.61803…

Tới đây ta nhận xét m0 làm phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

Tiếp tục trường hợp với m4 ta chọn được đáp án

Chọn C.

PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU:

Câu 43 [DS12.C2.5.D03.a] Cho phương trình 4x41x 3

Khẳng định nào sau đây sai?

A Phương trình vô nghiệm

B Phương trình có một nghiệm

C Nghiệm của phương trình là luôn lớn hơn 0

D Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 42x3.4x 4 0

Hướng dẫn giải

Đặt t4x (t0), khi đó phương trình đã cho tương đương với



t

hoặc t 3 x.Bước 2:

+ Với

13



x

và x1.Bài giải trên đúng hay sai?Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Bước 2 B Bước 3 C Đúng D Bước 1

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Bài giải trên hoàn toàn đúng

Câu 46 [DS12.C2.5.D03.a] Cho phương trình 32x106.3x4 2 0 1 

Vậy khi đặt t3x5t0 thì  1 trở thành phương trình t2   2t 2 0

Câu 47 [DS12.C2.5.D03.a] Số nghiệm của phương trình 3x31x 2

3log

.Suy ra 1 log 2 log 3 log 2 log 6 3  3  3  3

Câu 49 [DS12.C2.5.D03.a] Phương trình 2.4x7.2x 3 0

có tất cả các nghiệm thực là:

A x 1,xlog 32 . B xlog 32 . C x 1 D x1,xlog 32 .

Hướng dẫn giải Chọn A.

Câu 50 [DS12.C2.5.D03.a] Cho phương trình 21 2 x15.2x 8 0

, khẳng định nào sau dây đúng?

A Có một nghiệm B Vô nghiệm

C Có hai nghiệm dương D Có hai nghiệm âm

Hướng dẫn giải

1 2

Vậy phương trình có hai nghiệm x1 và x2.

Câu 52 [DS12.C2.5.D03.a] Tìm tập nghiệm S của phương trình 4x14x1 272.

là:

Hướng dẫn giải

Phương trình tương đương với

11

Vậy phương trình có nghiệm x0, x1.

Câu 54 [DS12.C2.5.D03.b] Cho phương trình 9x2 x 110.3x2 x 2 1 0.

Tổng tất cả các nghiệm củaphương trình là:

Hướng dẫn giải

Đặt t3x2 x1 (t0), khi đó phương trình đã cho tương đương với

2

2

1 2

x

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng 2.

Câu 55 [DS12.C2.5.D03.b] Tìm tích các nghiệm của phương trình  2 1  x 2 1 x2 2 0

Vậy tích của hai nghiệm x x1 2 1 1   1

Câu 56 [DS12.C2.5.D03.b] Tổng các nghiệm của phương trình 22x33.2x2 1 0

Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng 3.

Câu 57 [DS12.C2.5.D03.b] Phương trình 9x113.6x4x10

có 2 nghiệm x x Phát biểu nào1 , 2sao đây đúng?

A Phương trình có 2 nghiệm nguyên B Phương trình có 2 nghiệm dương

C Phương trình có 1 nghiệm dương D Phương trình có 2 nghiệm vô tỉ

Hướng dẫn giải Chọn A.

02

Vậy phương trình có 2 nghiệm nguyên

A 2log 3.2 B 1 C 3log 2 3 D 4log 2 3

Hướng dẫn giải Chọn C

00

33log 2

3 52

3 52

Hướng dẫn giải

02

Câu 63 [DS12.C2.5.D03.b] Tìm tổng các nghiệm của phương trình 32x32x 30

Câu 64 [DS12.C2.5.D03.b] Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào máy tính 1   2

5x 5 0, 2 x 26

Nhấn dấu  để lưu phương trình

Shift Solve 0= Ra nghiệm x1

Shift Solve 4= Ra nghiệm x3

Câu 66 [DS12.C2.5.D03.b] Gọi S là tổng các nghiệm của phương trình 4x13.2x 7 0

Tính S

Vậy S log 6 2 22  log 6 2 22   log2��6 2 2 6 2 2   ��log 282

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là:

Câu 70 [DS12.C2.5.D03.b] Cho phương trình 7 4 3  x 2 3x 6

Khẳng định nào sau đây

là đúng?

A Phương trình có một nghiệm vô tỉ B Phương trình có một nghiệm hữu tỉ

C Phương trình có hai nghiệm trái dấu D Tích của hai nghiệm bằng 6.

Hướng dẫn giải

7 4 3  x 2 3x 6  8

Thấy rằng nếu log2t0�t1 ta có 2 giá trị phân biệt của x

Vậy để phương trình có đúng 3 nghiệm thì điều kiện cần là x2 log2t0�x0�m3.Thử lại với m3 ta thấy thỏa mãn

Câu 74 [DS12.C2.5.D03.c] Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình

2 3 2 4 2 6 3.3x x 3 x 3 x

m        có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.m

C m2 D Không có giá trị m thỏa yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải Chọn A.

Do đề bài có 2x2 và phương trình có đúng 3 nghiệm nên phải có 1 nghiệm x0

x

.Vậy m3 thì phương trình có đúng 3 nghiệm

Câu 76 [DS12.C2.5.D03.c] Hỏi phương trình 3.2x4.3x5.4x6.5x

có tất cả bao nhiêu nghiệmthực?

Câu 77 [DS12.C2.5.D03.c] Phương trình 4x12.6xm.9x0 có hai nghiệm thực phân biệt khi

giá trị của tham số m là:

10

4

 m

14

1 4 00

S

Câu 78 [DS12.C2.5.D03.c] Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình sau có đúng

3 nghiệm thực phân biệt 9x2 2.3x213m 1 0.

A

10.3

Đặt t3x2 �30 1 Phương trình trở thành t2   6t 1 3m Nhận xét nếu phương trình có

1 nghiệm t � có hai nghiệm 1 x2 log3t�x�log3t Nên phương trình muốn có ba

nghiệm thì phải có nghiệm x0�t1�m2.

Thử lại:

2

2 2

x t

2 1 2

1

3 10log

2

2 3 10

3 10log

Vậy tổng hai nghiệm bằng 0

Câu 81 [DS12.C2.5.D03.c] Với giá trị của tham số m thì phương trình

m1 16 x2 2 m3 4 x6m 5 0 có hai nghiệm trái dấu?

A    4 m 1. B Không tồn tại m C

31

2

D

51

có hai nghiệm phân biệt� pt 1

có hai nghiệm phân biệt

Để phương trình ban đầu có nghiệm thì (*) phải có ít nhất 1 nghiệm dương

Thông thường để định điều kiện cho (*) ta phải hợp các trường hợp: phương trình có 2ngiệm dương, phương trình có nghiệm kép dương và phương trình có 2 nghiệm trái dấu

Ở đây vì đã có diều kiện t0 ta có thể làm như sau:

  

y t t trên 0;�.

 2 3 4

1'

t t

Vậy điều kiện cần tìm là 0 m 1

Câu 86 [DS12.C2.5.D03.c] Tìm m để phương trình: e2xme x  3 m 0, có nghiệm: