P4-Phương Trình Mặt Cầu

Viết phương trình mặt cầu S có tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I.. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng ∆ , bán kính bằng 1 và tiếp xúc v

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

PHẦN 4 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Bài 81 Viết phương trình mặt cầu ( ) S

( ) a Đi qua bốn điểm A (2;3;1), (4;1; 2), (6;3;7), ( 5; 4;8) B − C D − −

( ) b Đi qua ba điểmA (2;1;0), (1;0;3), (4;0;1) B C và có tâm thuộc mặt phẳng

( ) : 2x P + − − = y z 2 0.

( ) c Đi qua hai điểmA (1;2;3), ( 2;3;1) B − và có tâm thuộc đường thẳng

( ) :

Bài 82. (D-08) Cho bốn điểm A (3;3;0), (3;0;3), (0;3;3), (3;3;3) B C D

( ) a Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A B C D , , ,

( ) b Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác∆ ABC

Bài 83. Cho điểm I ( 2;0;1 ) , mặt phẳng ( ) P : 2 x y z + − − = 2 0, đường thẳng : 1 1

d + = = −

Viết phương trình mặt cầu tâm I

( ) a tiếp xúc với mặt phẳng ( ) P .

( ) b tiếp xúc với đường thẳng d

Bài 84. Cho đường thẳng

:

d + = = −

và điểm I ( 0;0;3 ) Viết phương trình mặt cầu ( ) S có

tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I

Câu 85. (D2012) Cho đường thẳng

:

x − y − z

∆ = = và mặt phẳng ( ) P : 2 x y − + = 2 z 0 Viết phương

trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng ∆ , bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) P .

Câu 86. (B2012) Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho đường thẳng

1 :

− và hai điểm

( 2;1;0 , ) ( 2;3;2 )

A B − Viết phương trình mặt cầu đi qua A B , và có tâm thuộc đường thẳngd.

Bài 87. Cho d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) P : x − 2 y + z − 9 = 0 , ( ) Q : 2 y + z + 5 = 0 Viết phương

trình mặt cầu tâm I ( ) 1 ; 1 ; 1 cắt d tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 16

Bài 88. (D2012) Cho mặt phẳng ( ) P : 2 x + y − 2 z + 10 = 0 và điểm I ( 2 ; 1 ; 3 ) Viết phương trình mặt cầu

tâm I và cắt ( ) P theo một đường tròn có bán kính bằng 4

Câu 89. Cho đường thẳng d :

x − = y + = z

và mặt phẳng ( ) P : 2 x y z + − + = 2 2 0 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d, tiếp xúc với ( ) P và có bán kính bằng 1

Câu 90. Cho ba điểm A ( 2;0;1 ) , B ( 1;0;0 ), C ( ) 1;1;1 và mặt phẳng ( ) P : x y z + + − = 2 0 Viết phương trình

mặt cầu đi qua ba điểm A B C , , và có tâm thuộc mặt phẳng ( ) P

Bài 91. Cho hai mặt phẳng ( ) P x y : + − + = 2 5 0 z , ( ) Q : 2 x y z − + + = 2 0và đường thẳng

:

d = − = +

Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d , và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng( ) ( ) P Q , .

Bài 92. (A2011) Cho mặt cầu ( ) S x y z : 2+ + − − − =2 2 4 4 x y 4 z 0 và điểm A ( 4;4;0 ) Viết phương

trình mặt phẳng ( OAB ) , biết điểm B thuộc ( ) S và tam giác OAB đều

Câu 93 Cho điểm A ( 0;0; 2 − ) và đường thẳng ∆ : x + 2 2 = y 3 − 2 = z 2 + 3 Tính khoảng cách từ điểm A

đến ∆ Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ tại hai điểm phân biệt B và C sao cho

8

BC = .

Câu 94. Cho mặt phẳng ( ) P : 2 2 x − − − = y z 4 0 và mặt cầu ( ) S x y z : 2+ + − − − − =2 2 2 4 6 11 0 x y z Chứng

minh rằng mặt phẳng ( ) P cắt mặt cầu ( ) S theo một đường tròn Xác định tọa độ tâm và tính bán kính

của đường tròn đó.

Câu 95. (D2014) Cho mặt phẳng ( ) :6 3 2 1 0 P x y z + − − = và mặt cầu

( ) : S x + + − − − − = y z 6 x 4 y 2 11 0 z Chứng minh rằng mặt phẳng ( ) P cắt mặt cầu ( ) S theo một đường tròn Xác định tọa độ tâm đường tròng đó

Câu 96. (B2007) Trong không gian Oxyz,Cho mặt cầu ( ) : S x2+ + − + + − = y2 z2 2 x 4 y 2 3 0 z và mặt phẳng

1. Viết phương trình mặt phẳng ( ) Q chứa trục Oxvà cắt ( ) S theo một đường tròn có bán kính bằng

3.

2. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu ( ) S sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( ) P lớn nhất

Câu 97. Viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua A ( 0; 1;2 − ), B ( 1;0;3 ) và tiếp xúc với mặt cầu ( ) S :

( ) (2 ) ( )2 2

x − + − y + + z = .

Câu 98. Viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua A ( ) 1;1;2 , vuông góc với mặt phẳng ( ) Q :

2 x y z + − + = 6 5 0 và tiếp xúc với mặt cầu ( ) S : x y z2+ + − + − + =2 2 2 4 4 5 0 x y z .

Bài 99. Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C 1 1 1 với A ( 0; 3;0 − ) , B ( 4;0;0 ) , C ( 0;3;0 ) , B1( 4;0;4 ) .

( ) a Tìm tọa độ các đỉnh A1, C1 Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng ( BCC B1 1)

( ) b Gọi M là trung điểm của A B1 1 Viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua hai điểm A, M

và song song với BC1 Mặt phẳng ( ) P cắt đường thẳng AC1 1 tại điểm N Tính độ dài đoạn

MN

Câu 100. Cho mặt phẳng ( ) P : 2 3 x + + − = y z 11 0 và mặt cầu ( ) S x y z : 2+ + − + − − =2 2 2 4 x y 2 8 0 z Chứng

minh ( ) P tiếp xúc với ( ) S Tìm tọa độ tiếp điểm của ( ) P và ( ) S

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

GIẢI PHẦN 4 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

oanhhlqt@gmail.com, Tranthanhha484@gmail.com

Bài 81 Viết phương trình mặt cầu ( ) S

( ) a Đi qua bốn điểm A (2;3;1), (4;1; 2), (6;3;7), ( 5; 4;8) B − C D − −

( ) b Đi qua ba điểmA (2;1;0), (1;0;3), (4;0;1) B C và có tâm thuộc mặt phẳng

( ) : 2x P + − − = y z 2 0.

( ) c Đi qua hai điểmA (1;2;3), ( 2;3;1) B − và có tâm thuộc đường thẳng

( ) :

Lời giải

Tác giả:Trần Thanh Hà; Fb: Hà Trần

( ) a Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A (2;3;1), (4;1; 2), (6;3;7), ( 5; 4;8) B − C D − −

Cách 1: Gọi I x y z ( ; ; ) là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm

(2;3;1), (4;1; 2), (6;3;7), ( 5; 4;8).

Theo bài ra ta có:

IA IB

=



x y z







13 4

9 2

x

z

 =







 =



Mặt cầu

13 21 9

( ) :

1310 4

I Tâ S

A

m

bk R I





Vậy phương trình mặt cầu ( ) S có dạng:

x − + + y + − z =

Cách 2: Phương trình mặt cầu( ) S có dạng: x2 + + + y2 z2 2 ax + 2 by + 2 z c d + = 0.

Vì mặt cầu đi qua bốn điểm A B C D , , , nên ta có hệ phương trình:

14 4 6 2 0

a b c d

a b c d

a b c d

a b c d



 + + − + =



 + + + + =





13 4 21 4 9 2 47 2

a b c d

 = −





 =



⇔ 

 = −





= −





Vậy phương trình mặt cầu ( ) S có dạng:

9z = 0.

x + y + − z x + y − −

( ) b Đi qua ba điểmA (2;1;0), (1;0;3), (4;0;1) B C và có tâm thuộc mặt phẳng

( ) : 2 P x y z + − − = 2 0

Gọi I x y z ( ; ; ) là tâm mặt cầu ( ) S , theo bài ta ta có:

2 2

2 2

IA IB

IA IB

IA IC IA IC

=





x y z



 + − =



x y

x y

x y z





 + − =



2

2; ;

5 4

x

z



=





 =



Mặt cầu

3 5 2; ;

4 4 ( ) :

74 4

Tâm I S

bk R IA





Vậy phương trình mặt cầu ( ) S có dạng:

x − + + y + − z =

( ) c Đi qua hai điểmA (1;2;3), ( 2;3;1) B − và có tâm thuộc đường thẳng

( ) :

Gọi I ( 2 ;3 1; 1) ( ) − t t − + ∈ t d là tâm mặt cầu ( ) S , theo bài ta ta có:

2 2

IA IB = ⇔ IA = IB ( ) (2 ) ( ) (2 2 ) (2 )2 2

1 2 t 3 3 t 2 t 2 2 t 3 4 t t

Mặt cầu

6 2 10

; ;

7 7 7 ( ) :

62 7

T I S

bk R IA

âm







Vậy phương trình mặt cầu ( ) S có dạng:

x + + − y + − z = .

Bài 82. (D-08) Cho bốn điểm A (3;3;0), (3;0;3), (0;3;3), (3;3;3) B C D

( ) a Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A B C D , , ,

( ) b Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác∆ ABC

Lời giải

Tác giả:Trần Thanh Hà; Fb: Hà Trần

( ) a Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A B C D , , ,

Phương trình mặt cầu( ) S có dạng: x2 + + + y2 z2 2 ax + 2 by + 2 z c d + = 0.

Vì mặt cầu đi qua bốn điểm A B C D , , , nên ta có hệ phương trình:

3

2

9

a

b c d

c

b c d

d

 = −









 =



Vậy phương trình mặt cầu ( ) S có dạng: x2 + + − − − + y2 z2 3 6 x y 3z 9= 0.

( ) b Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác∆ ABC

Gọi I a b c ( ; ; )là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC

Khi đó ta có:

2 2

2 2

IA IB

IA IB

I mp ABC I mp ABC

=





, 9(1;1;1)

A ABC

n AB AC

∈



r uuur uuur Phương trình mặt phẳng ( ABC x y z ) : + + − = 6 0

2 2

2

6

IA IB

I mp ABC x y z

luuhuephuongtailieu@gmail.com

Bài 83. Cho điểm I ( 2;0;1 ) , mặt phẳng ( ) P : 2 x y z + − − = 2 0, đường thẳng : 1 1

d + = = −

Viết phương trình mặt cầu tâm I

( ) a tiếp xúc với mặt phẳng ( ) P .

( ) b tiếp xúc với đường thẳng d

Lời giải

Tác giả: Lưu Huệ Phương, Fb: Lưu Huệ Phương

( ) a Mặt cầu ( ) S tiếp xúc với ( ) P ⇔ = R d I P ( , ( ) ) 2 2 ( )2

2.2 0 1 2 1

6

Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng ( ) P là: ( )2 2 ( )2 1

6

x − + y + − z =

( ) b Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u r ( − − 2; 1;3 ) .

Lấy điểm A ( − 1;0;1 ) ∈ d ⇒ IA uur ( − 3;0;0 ) ⇒   u IA r uur ,   = − − ( 0; 9; 3 )

Mặt cầu ( ) S tiếp xúc với đường thẳng d ⇔ = R d I d ( ) ,

, 3 35

7

u IA R

u

r uur r

Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng d là: ( )2 2 ( )2 45

7

x − + y + − z =

luuhuephuongtailieu@gmail.com

Bài 84. Cho đường thẳng

:

d + = = −

và điểm I ( 0;0;3 ) Viết phương trình mặt cầu ( ) S có

tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I

Lời giải

Tác giả: Lưu Huệ Phương, Fb: Lưu Huệ Phương

Đường thẳng d đi qua M ( − 1;0;2 ) và có VTCP u r ( 1;2;2 )

Do đó: uuur IM ( − 1;0; 1 − ) ⇒   u IM r uuur ,   = − − ( 2; 1;2 ) , suy ra d I d ( ) , u IM , 3

u

r uuur r

Vì tam giác IAB là tam giác vuông cân tại I nên IBA · = ° 45

Khi đó tam giác IBH là tam giác vuông cân tại H

2

IB IH

⇒ = ⇔ = R 2 d I d ( ) , ⇔ = R 3 2

Phương trình mặt cầu ( ) S cần tìm là: 2 2 ( )2

3 18

x + + − y z =

Hungvn1985@gmail.com

Câu 85. (D2012) Cho đường thẳng

:

x − y − z

∆ = = và mặt phẳng ( ) P : 2 x y − + = 2 z 0 Viết

phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng ∆ , bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng

( ) P .

Lời giải

Tác giả: Phạm Ngọc Hưng, FB: Phạm Ngọc Hưng

Gọi I a b c ( ; ; ) là tâm của mặt cầu Do I ∈ ∆ ⇒ I ( 1 2 ;3 4 ; + t + t t ) Do mặt cầu có bán kính bằng

1 và tiếp xúc với ( ) P nên ta có

( )

( )2

Với t = ⇒ 2 I ( 5;11;2 ) nên phương trình mặt cầu là ( ) (2 ) (2 )2

x − + − y + − z =

Với t = − ⇒ − − − 1 I ( 1; 1; 1 ) nên phương trình mặt cầu là ( ) ( ) ( )2 2 2

x + + + + + = y z

Câu 86. (B2012) Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho đường thẳng

1 :

− và hai điểm A ( 2;1;0 , ) ( B − 2;3;2 ) Viết phương trình mặt cầu đi qua A B , và có tâm thuộc đường thẳngd

Lời giải

Tác giả: Phạm Ngọc Hưng, FB: Phạm Ngọc Hưng

Gọi I là tâm mặt cầu Do I ∈ ∆ ⇒ I (1 2 ; ; 2 ) + t t t −

Do mặt cầu đi qua hai điểm A B , nên ta có

Vậy phương trình mặt cầu là: ( )2 2 2

1 ( 1) ( 2) 17

x + + + + − y z =

1nguyenbaomai@gmail.com

Bài 87. Cho d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) P : x − 2 y + z − 9 = 0 , ( ) Q : 2 y + z + 5 = 0 Viết phương

trình mặt cầu tâm I ( ) 1 ; 1 ; 1 cắt d tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 16

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Bảo Mai; Fb: Bao An

( ) P có vectơ pháp tuyến n 1( 1 ; − 2 ; 1 ), ( ) Q có vectơ pháp tuyến n 2( 0 ; 2 ; 1 ) nên d có vectơ chỉ phương u  = [ ] n 1; n 2 = ( − 4 ; − 1 ; 2 )

d đi qua điểm N ( 14;0; 5 − ) ⇒ = uur IN ( 13; 1; 6 − − ⇒ )   uur r IN u ,   = ( 8;2;17 )

Khoảng cách từ I đến d là

[ ]

( ) ( ) 4 1 2 17

17 2 8 ,

2 2 2

2 2 2

= +

− +

−

+ +

=

=

u

u IN



Gọi M là hình chiếu của I trên d ⇒ M là trung điểm của AB và IM = h , AM = 8

Bán kính mặt cầu là R = IA = h2+ AM2 = 17 + 82 = 9.

Phương trình mặt cầu cần tìm là ( ) ( ) ( ) x − 12 + y − 12 + z − 12 = 81

Bài 88. (D2012) Cho mặt phẳng ( ) P : 2 x + y − 2 z + 10 = 0 và điểm I ( 2 ; 1 ; 3 ) Viết phương trình mặt cầu

tâm I và cắt ( ) P theo một đường tròn có bán kính bằng 4

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Bảo Mai; Fb: Bao An

Khoảng cách từ I đến ( ) P là 2 1 ( ) 2 3

10 3 2 1 2 2

2 2

− + +

+

− +

=

h

Bán kính mặt cầu là R = h2 + r2 = 32 + 42 = 5

Phương trình mặt cầu cần tìm là ( ) ( ) ( ) x − 2 2 + y − 12 + z − 3 2 = 25

Nguyendac1080@gmail.com

maithu88ns@gmail.com

Câu 89. Cho đường thẳng d:

x − = y + = z

và mặt phẳng ( ) P : 2 x y z + − + = 2 2 0 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d, tiếp xúc với ( ) P và có bán kính bằng 1

Lời giải

Tác giả: Mai Đức Thu

Gọi I là tâm của mặt cầu Do I d ∈ nên I t ( 3 1; 2; + − t t ), với t là tham số thực.

Mặt khác, mặt cầu tiếp xúc với ( ) P và có bán kính bằng 1 nên d I ( ;(P) 1 ) =

2(3 1) 2 2 2

1

2 1 ( 2)

+ + −

5 2 3 t

⇔ + =

1

5 2 3

5

1

t

t



 + = −

Với

1 5

t = , ta có 8 9 1 ; ;

5 5 5

I  − 

1

t = − I ( − − − 2; 3; 1 )

Như vậy có hai phương trình mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán là

1

x + + + y + + z =

Câu 90. Cho ba điểm A ( 2;0;1 ) , B ( 1;0;0 ), C ( ) 1;1;1 và mặt phẳng ( ) P : x y z + + − = 2 0 Viết phương

trình mặt cầu đi qua ba điểm A B C , , và có tâm thuộc mặt phẳng ( ) P

Lời giải

Tác giả: Mai Đức Thu

Gọi ( ) S là mặt cầu có phương trình tổng quát: x y z ax by cz d2+ + + + + + =2 2 0 với a b c d , , ,

là các hằng số thỏa mãn a b c d2+ + − >2 2 0 Suy ra ( ) S có tâm I  − − − 2 a ; b 2 ; 2 c 

Theo bài ra ta có hệ phương trình

2 0

2 2 2

a c d

a d

a b c d

a b c



 + + =



 + + + + =



− − − − =

Giải hệ trên ta được

2 0 2 1

a b c d

= −



 =



 = −



 =

Vậy phương trình của ( ) S thỏa mãn yêu cầu bài toán là x y z2+ + − − + =2 2 2 2 1 0 x z

dinhgamltv@gmail.com

Bài 91. Cho hai mặt phẳng ( ) P x y : + − + = 2 5 0 z , ( ) Q : 2 x y z − + + = 2 0và đường thẳng

:

d = − = +

Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d , và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng( ) ( ) P Q , .

Lời giải

Tác giả: ĐinhGấm; Fb:đinhgấm

Gọi tâm và bán kính mặt cầu lần lượt là ,I R

Vì tâm I d ∈ nên I t t ( 2 ; 1;2 1 + t − )

Do mặt cầu tiếp xúc với 2 mặt phẳng ( ) ( ) P Q , nên d I P ( , ( ) ) = d I Q ( , ( ) ) = R.

Có ( , ( ) ) 2 1 2 2 1 5 ( ) 8

d I Q − − + − +

4

2

t





+ Với

5

; ; ;

t

t = ⇒ I   R = =

Phương trình mặt cầu là:

+ Với 2 ( 4; 1; 5 ; ) 5 5 6

3 6

t

t = − ⇒ − − − I R = =

Phương trình mặt cầu là: ( ) (2 ) (2 )2 50

3

x + + + y + + z = .

Bài 92. (A2011) Cho mặt cầu ( ) S x y z : 2+ + − − − =2 2 4 4 x y 4 z 0 và điểm A ( 4;4;0 ) Viết phương

trình mặt phẳng ( OAB ) , biết điểm B thuộc ( ) S và tam giác OAB đều

Lời giải

Tác giả: ĐinhGấm; Fb:đinhgấm

Mặt cầu ( ) S có tâm I ( 2;2;2 ) và bán kính R = 2 3

Nhận xét: O A , cùng thuộc ( ) S .

Xét V OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp

4 2

OA

r = =

Khoảng cách ( ( ) ) 2 2 32 2

d I P = R − = r − =

Phương trình mặt phẳng ( ) P qua O có dạng: ax by cz + + = 0, a b c2+ + >2 2 0

Vì( ) P qua Anên 4 4 0 a b + = ⇔ = − b a

( )

,

3 2

d I P

+ +

⇒ + = ⇒ = ± c a

+ Vớic a = − , chọna = ⇒ = − = − 1 b 1; c 1 ⇒ ( ) P x y z : − − = 0.

+ Vớic a = , chọna = ⇒ = − = 1 b 1; 1 c ⇒ ( ) P x y z : − + = 0

Vậy phương trình mặt phẳng ( ) P thỏa mãn là: x y z − − = 0 hoặc x y z − + = 0

hoainlht@gmail.com

Tvluatc3tt@gmail.com

Câu 93 Cho điểm A ( 0;0; 2 − ) và đường thẳng : 2 2 3

x + y − z +

∆ = = Tính khoảng cách từ điểm

A

đến ∆ Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ tại hai điểm phân biệt B và C sao cho 8

BC =

Lời giải

Tác giả : Trần Luật, FB: Trần Luật

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M ( − 2;2; 3 − ) và có một vectơ chỉ phương là u r = ( 2;3;2 ) .

Ta có MA uuur = − ( 2; 2;1 ) ⇒   u MA r uuur ,   = ( 7;2; 10 − ) .

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là ( , ) , 49 4 100 3

4 9 4

u MA

d A

u

+ +

r uuur r

Gọi ( ) S là mặt cầu tâm A, cắt ∆ tại hai điểm phân biệt B và C sao cho BC = 8nkhi đó ta có

bán kính của mặt cầu ( ) S là 2( ) , 2 3 42 2 5

4

BC

R = d A ∆ + = + =

Vậy phương trình mặt cầu ( ) 2 2 ( )2

S x + + + y z =

Câu 94. Cho mặt phẳng ( ) P : 2 2 x − − − = y z 4 0 và mặt cầu ( ) S x y z : 2+ + − − − − =2 2 2 4 6 11 0 x y z .

Chứng minh rằng mặt phẳng ( ) P cắt mặt cầu ( ) S theo một đường tròn Xác định tọa độ tâm và

tính bán kính của đường tròn đó

Lời giải

Tác giả : Trần Luật, FB: Trần Luật

S x + + − − − − = ⇔ − + − y z x y z x y + − z = ⇒ mặt cầu

( ) S có

tâm I ( ) 1;2;3 và bán kính R = 5

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng ( ) P là ( ( ) )

( )2

2.1 2.2 3 4

d I P = − − − = <

phẳng

( ) P cắt mặt cầu ( ) S theo giao tuyến là đường tròn ( ) C .

Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng ( ) P khi đó ta có IH d I P = ( , ( ) ) = 3 ⇒ bán kính đường tròn ( ) C là r = R IH2− 2 = 5 3 42− =2

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua I ( ) 1;2;3 và vuông góc với mặt phẳng ( ) P khi đó ∆ nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) P là n r = − − ( 2; 2; 1 ) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình đường thẳng ∆ là

1 2

3

z t

= +





 = −

Tọa độ điểm H x y z ( ; ; ) là nghiệm của hệ phương trình

3

1 2

0

2 2

2 3

x y z

x

y

z

z t



 = +

 = −

Vậy H ( 3;0;2 )

hoainlht@gmail.com

hoangthihonghanhc3ln@gmail.com

Câu 95. (D2014) Cho mặt phẳng ( ):6 3 2 1 0 P x y z + − − = và mặt cầu