P4 phương trình mặt cầu

Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng , bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng  P.. Viết phương trình mặt cầu tâm và cắt theo một đường tròn có bán kính bằng 4.. Viết

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

PHẦN 4 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Bài 81 Viết phương trình mặt cầu ( )S

 a

Đi qua bốn điểm A(2;3;1), (4;1; 2), (6; 3;7),B  C D( 5; 4;8). 

 b

Đi qua ba điểmA(2;1; 0), (1; 0;3), (4; 0;1)B C và có tâm thuộc mặt phẳng

( ) : 2xP    y z 2 0

 c

Đi qua hai điểmA(1; 2;3), ( 2;3;1)B  và có tâm thuộc đường thẳng ( ) :d x2  y31 z11.

Bài 82. (D-08) Cho bốn điểm A(3;3;0), (3;0;3), (0;3;3), (3;3;3).B C D

 a

Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A B C D, , ,

 b Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC.

Bài 83. Cho điểm I2;0;1

, mặt phẳng  P : 2x   y z 2 0, đường thẳng d: x21 y1 z31.

Viết phương trình mặt cầu tâm I

 a

tiếp xúc với mặt phẳng  P

 b tiếp xúc với đường thẳng d

Bài 84. Cho đường thẳng

:

và điểm I0;0;3

Viết phương trình mặt cầu  S

có

tâm I và cắt d tại hai điểm A , B sao cho tam giác IAB vuông tại I

Câu 85. (D2012) Cho đường thẳng

:

và mặt phẳng  P : 2x y 2z0 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng , bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng  P

.

Câu 86. (B2012) Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho đường thẳng

1 :

d   

 và hai điểm

2;1;0 ,  2;3;2 

A B  Viết phương trình mặt cầu đi qua A B, và có tâm thuộc đường thẳngd.

Bài 87. Cho là giao tuyến của hai mặt phẳng Viết phương trình mặt cầu tâm cắt tại hai điểm phân

biệt sao cho

Bài 88. (D2012) Cho mặt phẳng và điểm Viết phương trình mặt cầu tâm và cắt theo một đường tròn

có bán kính bằng 4

Câu 89. Cho đường thẳng d :

x  y  z

và mặt phẳng  P

: 2x y 2z 2 0 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d, tiếp xúc với  P

và có bán kính bằng 1

Câu 90. Cho ba điểm A2;0;1

, B1;0;0

, C1;1;1

và mặt phẳng  P

: x y z   2 0 Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A B C, , và có tâm thuộc mặt phẳng  P

Bài 91. Cho hai mặt phẳng  P x y:  2z 5 0,  Q : 2x y z   2 0và đường thẳng

:

Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d , và tiếp xúc với cả hai mặt

phẳng   P , Q

Bài 92. (A2011) Cho mặt cầu  S x: 2y2 z2 4x4y4z0 và điểm A4; 4;0

Viết phương trình mặt phẳng OAB

, biết điểm B thuộc  S

và tam giác OAB đều.

Câu 93 Cho điểm A0;0; 2 và đường thẳng :x22  y32  z23 Tính khoảng cách từ điểm A

đến  Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt  tại hai điểm phân biệt B và C sao cho

8

BC .

Câu 94. Cho mặt phẳng  P : 2x2y z  4 0 và mặt cầu  S x: 2y2 z2 2x4y  6z 11 0 Chứng

minh rằng mặt phẳng  P

cắt mặt cầu  S

theo một đường tròn Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó.

Câu 95. (D2014) Cho mặt phẳng ( ) : 6P x3y2z 1 0 và mặt cầu

( ) :S x y z  6x 4y 2z 11 0  Chứng minh rằng mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu ( )S theo

một đường tròn Xác định tọa độ tâm đường tròng đó

Câu 96. (B2007) Trong không gian Oxyz,Cho mặt cầu ( ) :S x2y2z22x4y2z  và mặt phẳng3 0

( ) : 2P x y 2z 14 0.

1 Viết phương trình mặt phẳng ( )Q chứa trục Oxvà cắt ( )S theo một đường tròn có bán kính bằng

3.

2 Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu ( )S sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( )P lớn nhất

Câu 97. Viết phương trình mặt phẳng  P

đi qua A0; 1; 2 , B1;0;3

và tiếp xúc với mặt cầu  S :

  2  2 2

Câu 98. Viết phương trình mặt phẳng  P

đi qua A1;1;2

, vuông góc với mặt phẳng  Q

:

2x y 6z 5 0 và tiếp xúc với mặt cầu  S

: x2y2 z2 2x4y4z 5 0.

Bài 99. Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C với 1 1 1 A0; 3;0 

, B4;0;0

, C0;3;0

, B14;0;4

 a

Tìm tọa độ các đỉnh A , 1 C Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt1

phẳng BCC B1 1

 b

Gọi M là trung điểm của A B Viết phương trình mặt phẳng 1 1  P

đi qua hai điểm A , M

và song song với BC Mặt phẳng 1  P

cắt đường thẳng A C tại điểm N Tính độ dài đoạn1 1

MN

Câu 100. Cho mặt phẳng  P : 2x3y z  11 0 và mặt cầu  S x: 2y2 z2 2x4y2z 8 0 Chứng

minh  P

tiếp xúc với  S

Tìm tọa độ tiếp điểm của  P

và  S

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

GIẢI PHẦN 4 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

oanhhlqt@gmail.com, Tranthanhha484@gmail.com

Bài 81 Viết phương trình mặt cầu ( )S

 a

Đi qua bốn điểm A(2; 3;1), (4;1; 2), (6;3;7),B  C D( 5; 4;8). 

 b

Đi qua ba điểmA(2;1; 0), (1; 0;3), (4; 0;1)B C và có tâm thuộc mặt phẳng ( ) : 2xP    y z 2 0

 c

Đi qua hai điểmA(1; 2;3), ( 2; 3;1)B  và có tâm thuộc đường thẳng ( ) :d x2  y31 z11.

Lời giải

Tác giả:Trần Thanh Hà; Fb: Hà Trần

 a

Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(2;3;1), (4;1; 2), (6;3;7), ( 5; 4;8).B  C D  

Cách 1: Gọi I x y z( ; ; ) là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm

(2;3;1), (4;1; 2), (6;3; 7), ( 5; 4;8)

Theo bài ra ta có:

IA IB



�

�

�

�

13 4

9 2

x

z

� 

�

�

�

� 

�

Mặt cầu

13 21 9

( ) :

1310 4

I Tâ S

A

m

bk R I

�

�

Vậy phương trình mặt cầu ( )S có dạng:

Cách 2: Phương trình mặt cầu( )S có dạng: x2  y2 z2 2ax2by2 zc d= 0.

Vì mặt cầu đi qua bốn điểm A B C D, , , nên ta có hệ phương trình:

�

�     

�

�

�

13 4 21 4 9 2 47 2

a b c d

�  

�

�

� 

�

� �

�  

�

�

 

�

� Vậy phương trình mặt cầu ( )S có dạng:

2 2 2 13 21 47

9z = 0

x  y z  x y 

 b

Đi qua ba điểmA(2;1;0), (1; 0;3), (4; 0;1)B C và có tâm thuộc mặt phẳng ( ) : 2P x   y z 2 0.

Gọi I x y z( ; ; ) là tâm mặt cầu ( )S , theo bài ta ta có:

2 2

2 2

IA IB



�

�

x y z

�

� �

�   

�

�

�   

� �

�   

�

2

2; ;

5 4

x

z

�



�

�

�

� 

�

Mặt cầu

3 5 2; ;

4 4 ( ) :

74 4

Tâm I S

bk R IA



�

�

�

Vậy phương trình mặt cầu ( )S có dạng:

2 3 2 5 2 37

 c

Đi qua hai điểmA(1; 2; 3), ( 2; 3;1)B  và có tâm thuộc đường thẳng ( ) :d x2  y31 z11. Gọi I( 2 ;3 t t1;t �1) ( )d là tâm mặt cầu ( )S , theo bài ta ta có:

2 2

1 2 t  3 3t  2t  2t2  3t4 t

�

Mặt cầu

6 2 10

; ;

7 7 7 ( ) :

62 7

S

bk R IA

âm

�

�

�

Vậy phương trình mặt cầu ( )S có dạng:

Bài 82. (D-08) Cho bốn điểm A(3;3;0), (3;0;3), (0;3;3), (3;3;3).B C D

 a

Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A B C D, , ,

 b Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC.

Lời giải

Tác giả:Trần Thanh Hà; Fb: Hà Trần

 a Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A B C D, , ,

Phương trình mặt cầu( )S có dạng: x2  y2 z2 2ax2by2 zc d= 0.

Vì mặt cầu đi qua bốn điểm A B C D, , , nên ta có hệ phương trình:

3

2

9

a

c

d

�  

�

�

�

�

� 

� Vậy phương trình mặt cầu ( )S có dạng: x2  y2 z2 3x6y3z 9 = 0.

 b

Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC. Gọi I a b c( ; ; )là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC.

Khi đó ta có:

2 2

2 2

IA IB



�

�

, 9(1;1;1)

�

�

� � � 

�

r uuur uuur

Phương trình mặt phẳng (ABC) :x   y z 6 0

2 2

2

6

luuhuephuongtailieu@gmail.com

Bài 83. Cho điểm I2;0;1

, mặt phẳng  P : 2x   y z 2 0, đường thẳng d: x21 y1 z31.

Viết phương trình mặt cầu tâm I

 a

tiếp xúc với mặt phẳng  P

 b

tiếp xúc với đường thẳng d

Lời giải

Tác giả: Lưu Huệ Phương, Fb: Lưu Huệ Phương

 a

Mặt cầu  S

tiếp xúc với  P � Rd I P ,   2 2  2

2.2 0 1 2 1

6

�

Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng  P

là:  2 2  2 1

6

 b

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương ur 2; 1;3 . Lấy điểm A1;0;1�d �IAuur3;0;0 � � ��u IAr uur, �0; 9; 3  

Mặt cầu  S tiếp xúc với đường thẳng d � R d I d  , 

7

u IA R

u

�

r uur r

Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng d là:  2 2  2 45

7

luuhuephuongtailieu@gmail.com

Bài 84. Cho đường thẳng

:

và điểm I0;0;3

Viết phương trình mặt cầu  S

có

tâm I và cắt d tại hai điểm A , B sao cho tam giác IAB vuông tại I

Lời giải

Tác giả: Lưu Huệ Phương, Fb: Lưu Huệ Phương

Đường thẳng d đi qua M1;0; 2 và có VTCP ur1; 2; 2

Do đó: uuurIM1;0; 1  � ��u IM, �  �  2; 1; 2

r uuur

, suy ra

 ,  u IM, 3

d I d

u

r uuur r

Vì tam giác IAB là tam giác vuông cân tại I nên IBA�  �.45

Khi đó tam giác IBH là tam giác vuông cân tại H

2

IBIH

� � R 2.d I d ,  � R3 2

Phương trình mặt cầu  S

cần tìm là: 2 2  2

3 18

Hungvn1985@gmail.com

Câu 85. (D2012) Cho đường thẳng

:

và mặt phẳng  P : 2x y 2z0 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng , bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng

 P

Lời giải

Tác giả: Phạm Ngọc Hưng, FB: Phạm Ngọc Hưng

Gọi I a b c ; ; 

là tâm của mặt cầu Do I� � I1 2 ;3 4 ; t  t t Do mặt cầu có bán kính bằng

1 và tiếp xúc với  P

nên ta có

 

 2

    

   Với t �2 I5;11;2 nên phương trình mặt cầu là   2  2 2

Với t 1�I  1; 1; 1 nên phương trình mặt cầu là   2  2 2

Câu 86. (B2012) Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho đường thẳng

1 :

d   

 và hai điểm A2;1;0 , B 2;3;2  Viết phương trình mặt cầu đi qua A B, và có tâm thuộc đường

thẳng d

Lời giải

Tác giả: Phạm Ngọc Hưng, FB: Phạm Ngọc Hưng

Gọi I là tâm mặt cầu Do I� � I(1 2 ; ; 2 ) t t  t .

Do mặt cầu đi qua hai điểm A B, nên ta có

Vậy phương trình mặt cầu là:  2 2 2

1 ( 1) ( 2) 17

1nguyenbaomai@gmail.com

Bài 87. Cho là giao tuyến của hai mặt phẳng Viết phương trình mặt cầu tâm cắt tại hai điểm phân

biệt sao cho

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Bảo Mai; Fb: Bao An

có vectơ pháp tuyến , có vectơ pháp tuyến nên có vectơ chỉ phương

đi qua điểm N14;0; 5  �INuur13; 1; 6   � � ��IN uuur r, �8; 2;17

Khoảng cách từ đến là

Gọi là hình chiếu của trên là trung điểm của và

Bán kính mặt cầu là

Phương trình mặt cầu cần tìm là

Bài 88. (D2012) Cho mặt phẳng và điểm Viết phương trình mặt cầu tâm và cắt theo một đường tròn

có bán kính bằng 4

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Bảo Mai; Fb: Bao An

Khoảng cách từ đến là

Bán kính mặt cầu là

Phương trình mặt cầu cần tìm là

Nguyendac1080@gmail.com

Câu 89. Cho đường thẳng d :

x  y  z

và mặt phẳng  P

: 2x y 2z 2 0 Viết phương

trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d , tiếp xúc với  P

và có bán kính bằng 1

Lời giải

Tác giả: Mai Đức Thu

Gọi I là tâm của mặt cầu Do I d� nên I t3 1; t 2;t, với t là tham số thực.

Mặt khác, mặt cầu tiếp xúc với  P và có bán kính bằng 1 nên d I ;(P) 1

2 2 2

2(3 1) 2 2 2

1

2 1 ( 2)

t    t t



�

  

5t 2 3

�

1

5 2 3

5

1

t

t

�

�

  

Với

1 5

t , ta có

8 9 1

; ;

5 5 5

I ��  ��

Với t  , ta có 1 I  2; 3; 1.

Như vậy có hai phương trình mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán là

1

� � �  � �  �

� � � � � � ;   2  2 2

Câu 90. Cho ba điểm A2;0;1

, B1;0;0

, C1;1;1

và mặt phẳng  P

: x y z   2 0 Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A B C, , và có tâm thuộc mặt phẳng  P

Lời giải

Tác giả: Mai Đức Thu

Gọi  S

là mặt cầu có phương trình tổng quát: x2y2 z2 ax by cz d    với 0 a b c d, , ,

là các hằng số thỏa mãn a2   b2 c2 d 0 Suy ra  S có tâm 2; 2; 2

I ��   ��

Theo bài ra ta có hệ phương trình

2 0

2 2 2

a c d

a d

a b c d

a b c

   

�

�  

�

�    

�

�    

Giải hệ trên ta được

2 0 2 1

a b c d

 

�

� 

�

�  

�

� 

Vậy phương trình của ( )S thỏa mãn yêu cầu bài toán là x2y2 z2 2x2z 1 0.

dinhgamltv@gmail.com

Bài 91. Cho hai mặt phẳng  P x y:    2z 5 0,  Q : 2x y z   2 0và đường thẳng

:

Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d , và tiếp xúc với cả hai mặt

phẳng   P , Q

Lời giải

Tác giả: ĐinhGấm; Fb:đinhgấm

Gọi tâm và bán kính mặt cầu lần lượt là I R,

Vì tâm I�d nên I2 ;t t1;2 1t .

Do mặt cầu tiếp xúc với 2 mặt phẳng    P , Q

nên d I P ,   d I Q ,   R.

Có  ,   2 1 2 2 1  5 8

4

2

t

�

  

�

     

+ Với

5

; ; ;

t

t � �I� ��R 

Phương trình mặt cầu là:

� � �  � �  �

+ Với 2  4; 1; 5 ; 5 5 6

3 6

t

t  �I    R 

Phương trình mặt cầu là:   2  2 2 50

3

Bài 92. (A2011) Cho mặt cầu  S x: 2y2 z2 4x4y4z0 và điểm A4; 4;0

Viết phương trình mặt phẳng OAB

, biết điểm B thuộc  S

và tam giác OAB đều.

Lời giải

Tác giả: ĐinhGấm; Fb:đinhgấm

Mặt cầu  S

có tâm I2;2;2

và bán kính R2 3.

Nhận xét: O A, cùng thuộc  S

Xét OABV đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp

4 2

OA

Khoảng cách     2 2 32 2

Phương trình mặt phẳng  P

qua O có dạng: ax by cz  0, a2 b2 c2 0.

Vì P

qua Anên 4a4b0�b a.

 

,

3 2

d I P

 

�

2 2 2

2a c 3c

+ Với c  , chọna a1�b 1;c 1� P x y z:   0

+ Với c a , chọna1�b 1;c1� P x y z:   0

Vậy phương trình mặt phẳng  P

thỏa mãn là: x y z  0

hoặc x y z  0. hoainlht@gmail.com

Tvluatc3tt@gmail.com

Câu 93 Cho điểm A0;0; 2 và đường thẳng :x22  y32  z23 Tính khoảng cách từ điểm A

đến  Viết phương trình mặt cầu tâm A , cắt  tại hai điểm phân biệt B và C sao cho

8

BC

Lời giải

Tác giả : Trần Luật, FB: Trần Luật

Đường thẳng  đi qua điểm M2;2; 3  và có một vectơ chỉ phương là ur 2;3;2 .

Ta có MAuuur2; 2;1  � ��u MA, �� 7;2; 10 

r uuur

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng  là

4 9 4

u MA

d A

u

 

r uuur r

Gọi  S

là mặt cầu tâm A , cắt  tại hai điểm phân biệt B và C sao cho BC nkhi đó ta có 8

bán kính của mặt cầu  S

là 2 ,  2 32 42 5

4

BC

Vậy phương trình mặt cầu   2 2  2

S x y  z 

Câu 94. Cho mặt phẳng  P : 2x2y z  4 0 và mặt cầu  S x: 2y2 z2 2x4y  6z 11 0.

Chứng minh rằng mặt phẳng  P cắt mặt cầu  S theo một đường tròn Xác định tọa độ tâm và

tính bán kính của đường tròn đó

Lời giải

Tác giả : Trần Luật, FB: Trần Luật

S x y  z x y z  � x  y  z  � mặt cầu

 S có

tâm I1;2;3

và bán kính R 5

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng  P

là

 

 2

2.1 2.2 3 4

  

nên mặt phẳng

 P cắt mặt cầu  S theo giao tuyến là đường tròn  C .

Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng  P

khi đó ta có IH d I P ,    � bán kính3 đường tròn  C

là r R2IH2  52  32 4 Gọi  là đường thẳng đi qua I1;2;3

và vuông góc với mặt phẳng  P

khi đó  nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P

là nr 2; 2; 1   làm vectơ chỉ phương.

Phương trình đường thẳng  là

1 2

3

 

�

�

 � 

�  

Tọa độ điểm H x y z ; ; 

là nghiệm của hệ phương trình

3

1 2

0

2 2

2 3

x

y

z

   

�  

�  

Vậy H3;0;2

hoainlht@gmail.com

hoangthihonghanhc3ln@gmail.com

Câu 95. (D2014) Cho mặt phẳng ( ) : 6P x3y2z 1 0 và mặt cầu

( ) :S x y z  6x 4y 2z 11 0  Chứng minh rằng mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu ( )S theo một đường tròn Xác định tọa độ tâm đường tròng đó

Lời giải

Tác giả: Hoàng Thị Hồng Hạnh Fb: hoangthihonghanhc3ln@gmail.com

Mặt cầu ( )S có tâm I(3; 2;1) và bán kính R 5

6.3 3.2 2.1 1

6 3 ( 2)

  

Do đó mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu ( )S theo một đường tròn ( )C tâm H

Do IH vuông góc với mặt phẳng ( )P nên phương trình đường thẳng

:

 suy ra H(3 6 ; 2 3 ;1 2 ) t  t  t H thuộc mặt phẳng ( )P nên

3 6(3 6 ) 3(2 3 ) 2(1 2 ) 1 0

7

suy ra

3 5 13 ( ; ; )

7 7 7

H

Câu 96. (B2007) Trong không gian Oxyz,Cho mặt cầu ( ) :S x2y2z22x4y2z 3 0 và mặt

phẳng ( ) : 2P x y 2z 14 0.

1. Viết phương trình mặt phẳng ( )Q chứa trục Ox và cắt ( )S theo một đường tròn có bán kính bằng 3

2. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu ( )S sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( )P lớn nhất

Lời giải

Tác giả: Hoàng Thị Hồng Hạnh Fb: hoangthihonghanhc3ln@gmail.com

1. Mặt cầu ( )S có tâm I(1; 2; 1)  và bán kính R 3

Mặt phẳng ( )Q cắt ( )S theo một đường tròn có bán kính bằng 3 nên mặt phẳng ( )Q chứa tâm (1; 2; 1)

Mặt phẳng ( )Q có cặp véctơ chỉ phương là OIuur(1; 2; 1), (1;0;0)  ir .

Suy ra ( )Q có véctơ pháp tuyến là nr(0;1; 2) .

Phương trình mặt phẳng ( )Q chứa gốc O(0;0;0)là y2z0.

2. Gọi d là đường thẳng đi qua tâm I và vuông góc với mặt phẳng ( )P Đường thẳng d cắt