P2-Phương Trình Mặt Phẳng

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIANPhần 2 Phương trình mặt phẳng Bài 19.. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với  P.. Viết phương trình mặt phẳng  P qua A và cắt các trục

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Phần 2

Phương trình mặt phẳng

Bài 19. Cho bốn điểm A1;1;2

, B2;1;0

, C3;1; 1  và D6;1;5

Viết phương trình các mặt phẳng (a)  P1

chứa ba điểm A B C, , (b)  P2

đi qua D và song song với ABC

(c)  P3 đi qua C và vuông với AB

(d)  P4

đi qua M1; 4;1

và song song với AB và CD

(e)  P5

chứa CD và cắt đoạn thẳng AB tại điểm H sao cho HA3HB. (f)  P6

là mặt phẳng trung trực của đoạn AB

Bài 20 Cho hai mặt phẳng  P :19x6y4z27 0 ,  Q : 42x8y  3z 11 0cắt nhau theo giao

tuyến d Viết phương trình mặt phẳng

(a)  R1

đi qua A1; 2;3 và vuông góc với  P

,  Q

(b)  R2

đi qua A1;2;3, B4;7;9 và vuông góc với  P

(c)  R3

đi qua A1; 2;3và chứa d

(d)  R4 chứa d và vuông góc với  P .

Bài 21. Cho mặt phẳng  P x y z:   3 Viết phương trình mặt phẳng  Q

đi qua M1;0; 1 , chứa

giá của vectơ ur2;2; 1  và vuông góc với mặt phẳng  P

Bài 22. Lập phương trình mặt phẳng  Q

qua M4;9; 12  và cắt các tia Ox Oy Oz, , lần lượt tại

, ,

Bài 23. Lập phương trình mặt phẳng  P

qua điểm M 4; 9;12 , A2;0;0

và cắt tia Oy , Oz lần lượt tại B , C sao cho OB 1 OC ( B , C không trùng gốc O ).

Bài 24. Cho hai điểm A2;0;1

, B0; 2;3  và mặt phẳng  P :2x y z   4 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc  P

sao cho MA MB  3

Câu 25 (D2013) Cho điểm A1;3; 2  và mặt phẳng  P x: 2y2z 5 0 Tính khoảng cách từ A

đến  P

Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với  P

Câu 26 (B2012) Cho A0;0;3

, M1;2;0

Viết phương trình mặt phẳng  P

qua A và cắt các trục

,

Ox Oy lần lượt tại B C, sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM .

Bài 27 (B008) Cho ba điểmA(0;1; 2), B(2; 2;1) , C( 2;0;1) .

a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A B C, ,

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng2x2y z  3 0 sao cho MA MB MC 

Bài 28. Viết phương trình mặt phẳng  P

qua điểm M(1; 2; 4) sao cho  P

cắt 3 trục Ox Oy Oz, , lần lượt tại A B C, , sao cho M là trọng tâm của tam giác ABC

Câu 29. Viết phương trình mặt phẳng  P

đi qua M1; 2;3

sao cho  P

cắt các tia Ox Oy Oz, , lần lượt tại 3 điểm A B C, , và tứ diện OABC có thể tích lớn nhất.

Bài 30. Viết phương trình mặt phẳng  P

đi qua điểm M1;1;1

sao cho  P

cắt các trục Ox Oy Oz, , lần lượt tại ba điểm phân biệt A B C, , sao choM là trực tâm của tam giác ABC

Bài 31. Viết phương trình mặt phẳng  P

đi qua A1;1;1 , B 0;2;2

sao cho  P

cắt các trục tọa độ ,

Ox Oy lần lượt tại hai điểm phân biệt M , N sao cho OM 2ON.

Bài 32. Cho các điểm A1;0;0 , B 0; ;0 ,b  C 0;0;c

, trong đó b c, dương và mặt phẳng

 P y z:   1 0 Xác định b và c , biết mặt phẳng ABC

vuông góc với mặt phẳng  P

và

khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ABC

bằng

1 3

Bài 33. (B2009) Cho tứ diện ABCD có các đỉnh A1;2;1

, B2;1;3, C2; 1;1 , D0;3;1

Viết phương trình mặt phẳng  P

đi qua A B, sao cho khoảng cách từ C đến  P

bằng khoảng

cách từ D đến  P

Bài 34. Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A0; 2;0

, B2;0;0

và tạo với mặt phẳng yOz

góc 60�

Bài 35. Cho điểm A0;0;1 , B 3;0;0

Lập phương trình mặt phẳng  P

đi qua hai điểm A B, và tạo

với mặt phẳng Oxy

góc 60 0

Bài 36. Cho hai mặt phẳng  P x y z:    3 0

và  Q x y z:    1 0

Viết phương trình mặt

phẳng  R

vuông góc với  P

và  Q

sao cho khoảng cách từ O đến  R

bằng 2

Câu 37. Cho ba điểm A1;1;0 , B 0;0; 2 ,  C 1;1;1 Viết phương trình mặt phẳng  P

đi qua A B,

sao cho khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  P

bằng 3

Câu 38. Cho đường thẳng

1 :

và điểm A0;3; 2  Viết phương trình mặt phẳng  P

đi

qua điểm A song song với đường thẳng d và khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng

 P

bằng 3

Bài 39. Viết phương trình mặt phẳng  P

đi qua 2 điểm A0; 1;2  , B1; 1;3  sao cho khoảng cách

từ điểm M0;3; 1  đến  P đạt giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất)

Câu 40. Cho ba điểm A1; 2;0 , B 0;4;0 , C 0;0;3

Viết phương trình mặt phẳng  P

chứa OA sao

cho khoảng cách từ B và C đến mặt phẳng  P

bằng nhau

Câu 41. Cho hai điểm A 1; 1; 3, B1; 0; 4

và mặt phẳng  P x: 2y z  5 0 Viết phương trình mặt phẳng  Q đi qua sao cho góc tạo bởi hai mặt phẳng  P và  Q có số đo nhỏ nhất

Câu 42. Cho ba điểm A10; 2; 1 , B1; 0;1

, C3;1; 4

Viết phương trình mặt phẳng  P

đi qua A , song song với BC và khoảng cách từ B đến  P

đạt giá trị lớn nhất

Câu 43. Cho hai điểm A1; 2; 2  và mặt phẳng  P : 2x2y z  5 0 Tìm điểm B thuộc Ox sao

cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng  P

bằng BA

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Giải Phần 2

Phương trình mặt phẳng

Phản biện: Tạ Trung Kiên –trungkienta1909@gmail.com

Capuchino135@gmail.com

Bài 19. Cho bốn điểm A1;1;2

, B2;1;0

, C3;1; 1  và D6;1;5

Viết phương trình các mặt phẳng (a)  P1

chứa ba điểm A B C, , (b)  P2

đi qua D và song song với ABC

(c)  P3

đi qua C và vuông với AB

(d)  P4

đi qua M1; 4;1

và song song với AB và CD

(e)  P5

chứa CD và cắt đoạn thẳng AB tại điểm H sao cho HA3HB. (f)  P6

là mặt phẳng trung trực của đoạn AB

Lời giải

Tác giả: Trần Thơm ; Fb: Kem LY

(a)  P1

chứa ba điểm A B C, , nên nhận uuurAB1;0; 2 ,  uuurAC2;0; 3  là các vectơ chỉ

phương

�  P1 có vectơ pháp tuyến nr ��uuur uuurAB AC, ��0; 1;0 

Vậy  P1

đi qua A1;1;2

, có vectơ pháp tuyến nr 0; 1;0  nên có phương trình tổng quát:

0 x 1 1 y 1 0 z 2 0� y 1 0

(b)  P2

song song với ABC �nuuuur uuuuur P2 nABC ��uuur uuurAB AC, ��0; 1;0 

Vậy  P2

đi qua D6;1;5

, có vectơ pháp tuyến nr 0; 1;0  nên có phương trình tổng quát:

0 x 1 1 y 1 0 z 2 0� y 1 0

(c)  P3

vuông với AB nên nhận uuurAB1;0; 2  là vectơ pháp tuyến  P3

đi qua C3;1; 1 

nên có phương trình tổng quát:

     

1 x 3 0 y 1 2 z 1 0� x2z 5 0. (d)  P4

song song với AB và CD nên nhận uuurAB1;0; 2 ,  CDuuur3;0;6 là các vectơ chỉ

phương

�  P4

có vectơ pháp tuyến nr��uuur uuurAB CD, ��0; 12;0 

Vậy  P4

đi qua M1; 4;1

, có vectơ pháp tuyến nr 0; 12;0  nên có phương trình tổng quát:

0 x 1 12 y 4 0 z 1 0� y 4 0

(e)  P5 cắt đoạn thẳng AB tại điểm H sao cho HA3HB�HAuuur3uuurHB hoặc uuurHA 3HBuuur.

TH1: HAuuur3HBuuur.

Giả sử H x y z ; ; �HAuuur 1 x;1y;2z và HBuuur 2 x;1 y z; .

 

5

1

x

z

� 

�

uuur uuur

Vậy

5

;1; 1 2

H ��  ��

 P5

đi qua 3 điểm C D H, , nên nhận

;0;0 , ;0;6

HC�� ��HD�� ��

uuur uuur

làm vectơ chỉ phương

Do đó cũng nhận các vectơ uur11;0;0 , uuur2 7;0;12 làm vectơ chỉ phương.

�  P5

có vectơ pháp tuyến nr ��u uur uur1, 2��0; 12;0 

Vậy phương trình của  P5

là:

0 x 3 12 y 1 0 z 1 0� y 1 0. TH2: HAuuur 3HBuuur.

Giả sử H x y z ; ; �HAuuur 1 x;1y;2z và HBuuur 2 x;1 y z; .

 

7

1

2

x

� 

   

  ��    � �

�

uuur uuur

Vậy

7 1

;1;

4 2

 P5

đi qua 3 điểm C D H, , nên nhận

HC��  ��HD�� ��

làm vectơ chỉ phương Do đó cũng nhận các vectơ uur1 5;0; 6 ,  uuur2 17;0;18 làm vectơ chỉ phương.

�  P5

có vectơ pháp tuyến nr ��u uur uur1, 2��0; 192;0 

Vậy phương trình của  P5

là:

0 x 3 192 y 1 0 z 1 0� y 1 0.

(f)  P6 là mặt phẳng trung trực của đoạn AB nên nó đi qua trung điểm

3

;1;1 2

� � và nhận

1;0; 2

uuur

là vectơ pháp tuyến Vậy phương trình của  P6

là:

3

2

� �     �   

mp01100207@gmail.com

Bài 20 Cho hai mặt phẳng  P :19x6y4z27 0 ,  Q : 42x8y  3z 11 0cắt nhau theo giao

tuyến d Viết phương trình mặt phẳng

(a)  R1

đi qua A1; 2;3 và vuông góc với  P

,  Q

(b)  R2

đi qua A1;2;3, B4;7;9 và vuông góc với  P

(c)  R3

đi qua A1; 2;3và chứa d

(d)  R4

chứa d và vuông góc với  P

Lời giải

Gọi nuurP 19; 6; 4   là một véc tơ pháp tuyến của mp P , nuurQ 42; 8;3  là một véc tơ pháp

tuyến của mp Q

(a) Gọi nur1

là một véc tơ pháp tuyến của mp R1

Do  R1

vuông góc với  P

,  Q

nên

1 1

P Q

� 

�

�



�

ur uur

ur uur

chọn nur1��n nuur uurP, Q��  50; 225;100 2nr

,

2;9; 4

nr 

Mà mp R1

đi qua A1;2;3nên phương trình mp R1

có dạng

2 x 1 9 y 2 4 z 3 0�2x9y  4z 4 0

(b) Ta có uuurAB  3;5;6 Gọi nuur2

là một véc tơ pháp tuyến của mp R2

 R2

đi qua A1; 2;3, B4;7;9 và vuông góc với  P

nên

2

2 P

� 

�

�



�

uur uuur uur uur

Khi đó chọn nuur2 ��uuur uurAB n, Q��16;102; 77 

Mà mp R2 đi qua A1;2;3nên phương trình mp R2 có dạng:

16 x 1 102 y 2 77 z 3 0�16x102y77z43 0

c) Ta có đường thẳng d là giao tuyến của  P và  Q Chọn M1;7;1 ,

5 0; ;3 2

� �thuộc

đường thẳng d ; uuuurAM 2;5; 2 , ur 2MNuuuur2;9; 4 .

Do mp R3

đi qua A1;2;3và chứa d nên mp R3

nhận nuur3 ��uuuur rAM u, ��  2; 4;8

làm véc

tơ pháp tuyến suy ra phương trình mp R3

có dạng:

1 x 1 2 y 2 4 z 3 0�x2y4z 17 0.

(d) Gọi nuur4

là một véc tơ pháp tuyến của mp R4

, 1; 9;2 2 2;9; 4

2

MN   �� ���u  MN  

Do  R4

chứa d và vuông góc với  P

nên

4

4 P

� 

�

�



�

uur r uur uur

Khi đó chọn nuur4 ��u nr uur; P��  60; 68; 183  

Mà mp R4

đi qua M1;7;1

nên phương trình mp R4

có dạng:

60 x 1 68 y 7 183 z 1 0�60x68y183z719 0 .

Bài 21. Cho mặt phẳng  P x y z:   3 Viết phương trình mặt phẳng  Q

đi qua M1;0; 1 , chứa

giá của vectơ ur2;2; 1  và vuông góc với mặt phẳng  P

Lời giải

Tác giả: Đinh Văn Vang; Fb: Tuan Vu

Ta có vectơ pháp tuyến của  P

là nr1;1;1

, 3;3;0

n u

� � 

� �

r

v

Mặt phẳng  Q

chứa giá của vectơ ur2;2; 1  và vuông góc với mặt phẳng  P

có VTPT

1; 1;0  và đi qua M1;0; 1  nên có phương trình : 1x 1 1  y 0 0 z 1 0

1 0

x y  

Bài 22. Lập phương trình mặt phẳng  Q

qua M4;9; 12  và cắt các tia Ox Oy Oz, , lần lượt tại

, ,

Lời giải

Tác giả: Đinh Văn Vang; Fb: Tuan Vu

Gọi A a ;0;0

, B0; ;0b 

,C0;0;c

,(a b c, , 0) Phương trình mặt phẳng  Q

qua A B C, , có

a  b c

(phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn)

Từ giả thiết ta có

4 9 12

1

4 1 1

c a b

�   

�

�

 

�

�

�  

a b



13 6

1

7 2

14

c

a b

�  

�

 



���  �� �

�

Vậy mặt phẳng  Q

là 7 7 14 1

x y z  �2x2y z  14 0

dunghung22@gmail.com

Bài 23. Lập phương trình mặt phẳng  P

qua điểm M 4; 9;12 , A2;0;0

và cắt tia Oy , Oz lần lượt tại B , C sao cho OB 1 OC ( B , C không trùng gốc O ).

Lời giải

Tác giả: Hoàng Dũng; Fb: Hoang Dung

Gọi B0; ;0b  , C0;0;c (b0;c0 do mặt phẳng  P cắt tia Oy , Oz lần lượt tại B , C ).

Khi đó phương trình mặt phẳng  : 1

2

P

  

Có b  1 c

Có M 4; 9;12  �P � 24b9 12 c 1

,

Ta có hệ phương trình:

0; 0

3

4 9 12

1

2 2

1

b c

�

�    �

�

 

Suy ra phương trình mặt phẳng  : 1

2 3 2

Bài 24. Cho hai điểm A2;0;1, B0; 2;3  và mặt phẳng  P :2x y z   4 0 Tìm tọa độ điểm M

thuộc  P

sao cho MA MB  3

Lời giải

Tác giả: Hoàng Dũng; Fb: Hoang Dung

Gọi Mx; ;y z

, điểm M thuộc  P

sao cho MA MB  3

Ta có

2

7 11 4 0

Suy ra x y z; ;   0;1;3 hoặc  ; ;  6 4 12; ;

7 7 7

Do đó M0;1;3

hoặc

6 4 12

; ;

7 7 7

anhson9802@gmail.com,langtham313vt@gmail.com

Câu 25 (D2013) Cho điểm A1;3; 2  và mặt phẳng  P x: 2y2z 5 0 Tính khoảng cách từ A

đến  P

Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với  P

Lời giải

Tác giả : Nguyễn Minh Cường, FB: yen nguyen

* Khoảng cách từ A đến  P

:  ,   1 6 4 5 2

3

1 4 4

   

 

d A P

* Gọi  Q

là mặt phẳng cần tìm

 Q

đi qua A và có một vectơ pháp tuyến là nr 1; 2; 2   .

Vậy phương trình   Q :1 x 1 2 y 3 2 z 2 0�x2y2z 3 0.

Câu 26 (B2012) Cho A0;0;3, M1;2;0 Viết phương trình mặt phẳng  P qua A và cắt các trục

,

Ox Oy lần lượt tại B C, sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM .

Lời giải

Tác giả : Nguyễn Minh Cường, FB: yen nguyen

 ;0;0 , 0; ;0

B Ox� �B b C Oy� �C c

 P

có dạng: 3 1

b  c

và trọng tâm ABC là 3 3; ;1

b c

1; 2; 3

uuuur

Phương trình đường thẳng

3 :

 .

Vì G AM� nên

2

b  c 

 �b2,c4. Vậy phương trình  P

: 2 4 3 1 6 3 4 12 0

luulien1507@gmail.com

Bài 27 (B008) Cho ba điểmA(0;1; 2), B(2; 2;1) , C( 2;0;1) .

a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A B C, ,

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng2x2y z  3 0 sao cho MA MB MC 

Lời giải

Tác giả: Lưu Thị Liên; Fb: LưuLiên

a)

(2; 3; 1)

2; 4; 8 ( 2; 1; 1)

AB

n AB AC AC

�   

�

   

�

uuur

r uuur uuur uuur

,

Mặt phẳng đi qua A B C, , có vectơ pháp tuyến là nr2; 4; 8  hay ur1; 2; 4 

Suy ra phương trình mặt phẳng ABC

là 1(x 0) 2(y 1) 4(z 2) 0 hay

2 4z 6 0

b) M thuộc mặt phẳng 2x2y z   �3 0 M a b c( ; ; ) thỏa mãn 2a2b c  3 0 (1)

Vì MA MB MC  nên

�

�



2

�

�

Từ (1) và

�    � 

Bài 28. Viết phương trình mặt phẳng  P

qua điểm M(1; 2; 4) sao cho  P

cắt 3 trục Ox Oy Oz, , lần lượt tại A B C, , sao cho M là trọng tâm của tam giác ABC

Lời giải

Tác giả: Lưu Thị Liên; Fb: LưuLiên

Gọi A a ;0;0 ,B0; ;0b  ,C(0;0; )c với abc� 0

Phương trình mặt phẳng  P

a b  c

M là trọng tâm của tam giác ABC suy ra

0 0

1 3

3

0 0

4 3

a b

c

 

�

�

 

�

�

 

�

�

Phương trình mặt phẳng  P là 3x y6 12 z 1

 hay 4x2y z  12 0

dieptuandhsp@gmail.com

Câu 29. Viết phương trình mặt phẳng  P

đi qua M1;2;3

sao cho  P

cắt các tia Ox Oy Oz, , lần lượt tại 3 điểm A B C, , và tứ diện OABC có thể tích lớn nhất.

Lời giải

Tác giả: Diệp Tuân; Fb: Tuân Diệp

Giả sử mặt phẳng  P

cắt các tia Ox Oy Oz, , lần lượt tại các điểm khác gốc tọa độ là

 ;0;0 ,  0; ;0 ,  0;0; 

với a b c, , 0

Khi đó phương trình của  P

có dạng: x  y z 1

Vì  P

đi qua M nên ta có:

1 2 3

1

  

Thể tích khối tứ diện OABC là:

1 6



Từ (1), áp dụng BĐT Cô si ta có:

3

1 � 3 abc 27.6

Suy ra V �27 Đẳng thức xảy ra

1 2 3 1

3, 6, 9 3

Vậy phương trình  P : 6x3y2z 18 0

Bài 30. Viết phương trình mặt phẳng  P

đi qua điểm M1;1;1

sao cho  P

cắt các trục Ox Oy Oz, , lần lượt tại ba điểm phân biệt A B C, , sao choM là trực tâm của tam giác ABC

Lời giải

Tác giả: Diệp Tuân ; Fb: Tuân Diệp

Giả sử mặt phẳng  P

cắt các trục tọa độ tại các điểm khác gốc tọa độ là

 ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; 

với a b c, , �0.

Phương trình mặt phẳng  P

có dạng x  y z 1.

Mặt phẳng  P

đi qua điểm M1;1;1

nên

1 1 1

1 (1)

  

a b c

Ta có:uuuurAM  1 a;1;1 , uuurBC0;b c BM; , uuuur1;1b;1 , CAuuura;0;c

Điểm M là trực tâm tam giác ABC khi và chỉ khi

 

�

�

�



�

�

uuuur uuur uuuuruuur

AM BC

BM CA

1 1 1

1

3; 3; 3

�   

�

�

�

a b c

Phương trình mặt phẳng ( )P cần tìm là x y z   3 0.

Bài 31. Viết phương trình mặt phẳng  P

đi qua A1;1;1 , B 0;2;2

sao cho  P

cắt các trục tọa độ ,

Ox Oy lần lượt tại hai điểm phân biệt M , N sao cho OM 2ON.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thành Đô; Fb:Thành Đô Nguyễn