13 Dạng 22: Viết pt mp P chứa d và cắt mặt cầu S theo giao tuyến làđường tròn C có bán kính r hoặc diện tích , chu vi cho trước.. 14 Dạng 23: Viết pt mp P chứa d và cắt mặt cầu S theo g
Trang 1MỤC LỤC
Trang
Dạng 1: Viết PT mp đi qua A và có VTPT
Dạng 2: Viết pt mp (P) đi qua Avà // mp (Q). 4
Dạng 3: Viết pt mp(P) đi qua Avà vuông góc với đường thẳng (d). 5
Dạng 4: Viết pt mp (P) đi qua A và vuông góc với 2 mp(Q) , mp(R). 5
Dạng 5: Viết pt mp (P) đi qua 3 điểm A,B,C không thẳng hàng 5
Dạng 6: Viết pt mp (P) đi qua A,B và vuông góc mp (Q). 6
Dạng 7: Viết pt mp (P) đi qua A ;vuông góc mp(Q) và song song với dt (d). 6
Dạng 8: Viết pt mp (P) chứa hai đường thẳng(d)và (d’) cắt nhau. 6
Dạng 9: Viết pt mp (P) chứa hai đường thẳng(d)và (d’) song song nhau. 7
Dạng 10: Viết pt mp (P) là trung trực của AB. 8
Dạng 11: Viết pt mp (P) chứa (d) và đi qua A. 8
Dạng 12: Viết pt mp (P) chứa (d) và song song dt (d’). 8
Dạng 13: Viết pt mp(P) chứa (d) và vuông (Q). 9
Dạng 14: Viết pt mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h. 9
Dạng 15: Viết pt mp (P) chứa (d) và d(A,(P))=h. 9
Dạng 16: Viết pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc 90 0 10
Dạng 17: Viết pt mp (P) chứa (d) và hợp với ()một góc 90 0 11
Dạng 18: Cho A và (d), viết pt mp (P) chứa (d) sao cho d(A,(P)) là lớn nhất 12 Dạng 19: Viết pt mp (P) // với (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S) 12
Dạng 20: Viết pt mp(P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là
đường tròn(C) có bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi) cho trước 13 Dạng 21: Viết pt mp (P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S). 13
Dạng 22: Viết pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến làđường
tròn (C) có bán kính r (hoặc diện tích , chu vi cho trước). 14
Dạng 23: Viết pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường
tròn (C)có bán kính nhỏ nhất. 15
1.Đề tài: Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz cho học sinh khối 12
Trang 22.Người thực hiện: NGUYỄN BÁ TƯỜNG
A PHẦN MỞ ĐẦU
I Lý do chọn đề tài:
Khi học đến chương phương pháp tọa độ trong không gian học sinh thường gặp khó khăn khi gặp bài toán viết phương trình mặt phẳng và dạng phương trình mặt phẳng có nhiều dạng Để giúp học sinh có thể giải tốt các bài tập về viết phương
trình mặt phẳng thường gặp trong chương trình lớp 12 nên tôi chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz”
II Ý nghĩa của việc thực hiện đề tài :
Do đặc điểm lớp 12 là năm học sinh phải thi tốt nghiệp Trung học phổ thông, Đại học và Cao đẳng nên phần lớn học sinh có ý thức trong học tập và trang bị những kiến thức cần thiết cho các kỳ thi vào cuối năm học Nhằm giúp các em giải tốt các dạng bài tập viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz chương trình học lớp 12
Qua quá trình giảng dạy lớp 12 nhiều năm tôi thấy học sinh thường lúng túng trước một bài toán viết phương trình mặt phẳng, không định được hướng giải quyết, vì thế tôi đã hệ thống một số dạng bài tập cơ bản yêu cầu học sinh phải nắm vững và từ đó có thể viết được phương trình mặt phẳng trong chương trình
TrườngTHPT Lưu Văn Liệt có học sinh điểm tuyển đầu vào khá cao so với các trường trong tỉnh nhưng chất lượng lại không đều, số lượng học sinh yếu hằng năm
còn chiềm tỉ lệ trên dưới 5% Với đề tài “Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz” sẽ giúp học sinh không bị lúng túng trước
một bài toán viết phương trình mặt phẳng trong chương trình
BẢN ĐỒ TƯ DUY VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶ PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Trang 3B PHẦN NỘI DUNG
I/Các kiến thức cơ bản:
Trang 4Trước tiên học sinh phải nắm thật kĩ các kiến thức cơ bản sau:
+ Sự liên hệ giữa cặp vectơ chỉ phương (VTCP) và vectơ pháp tuyến (VTPT): mặt phẳng (P) có cặp vectơ chỉ phương a b ; và vectơ pháp tuyến n thì n=[a b ; ] + Phương trình mặt phẳng (P) đi qua một điểm M x y z0 ( ; ; ) 0 0 0 và có một vectơ pháp tuyến n ( ; ; )A B C
phương trinh mặt phẳng( ) : (P A x x 0 ) B y y( 0 ) C z z( 0 ) 0
+ Phương trình mặt phẳng( ) : Ax By Cz D 0 (A +B +C 2 2 2 0)
Để viết phương trình của mặt ta sử dụng một trong hai cách sau:
+ Biết một điểm M x y z0 ( ; ; ) 0 0 0 vả một vectơ pháp tuyến n( ; ; )A B C
ta sử dụng công thức: ( ) : ( A x x 0 ) B y y( 0 ) C z z( 0 ) 0
+ Phương trình mặt phẳng (P): Ax By Cz D 0 (A +B +C 2 2 2 0)dựa vào giả thiết của bài toán chúng ta xác định các hệ số A; B; C; D
II/ Các dạng viết phương trình mặt phẳng thường gặp:
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M x y z0( ; ; )0 0 0 và một
vectơ pháp tuyến n( ; ; )A B C
+Cách 1:(P) : A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0 0 0 0
+ Cách 2: (P): Ax By Cz D 0;M0(P) D trả lời phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
0 ( 2;3;1)
M và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm A(3;1; 2) : (4; 3;1) B
Giải:
- VTPT n AB (1; 4;3)
- Cách 1: (P): 1(x2) 4( y 3) 3( 1) 0 z ( ) :P x 4y3 11 0z
- Cách 2: (P): x 4y 3z D 0; M0( 2;3;1) ( ) P D11
(P): x 4y3 11 0z
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M x y z0( ; ; )0 0 0 và song
song với mặt phẳng( ) : AxQ By Cz D 0.
+Cách 1: (P)//(Q) ( ) ( ) ( ; ; )
Q P
0 0 0 (P) : A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0
+ Cách 2: (P)//(Q) (P) : Ax By Cz D' 0(D' D) ; M0 ( ) D'
phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
0 ( 2;3;1)
M và song song với mặt phẳng (Q): 4x 2y3z 5 0
Giải:
+ Cách 1: (P)//(Q) ( ) ( ) (4; 2;3)
Q P
VTPT n VTPT n
(P) : 4(x 2) 2(y 3) 3(z 1) 0
(P) : 4x 2y 3z 11 0
Trang 5+ Cách 2: ( )P //( )Q ( ) : 4x-2P y 3z D 0(D 5)
0( 2;3;1)
M ( )P D11 ( ) : 4x-2P y3 11 0z
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (P)đi qua điểm M x y z0 ( ; ; ) 0 0 0 và vuông
góc với đường thẳng(d)
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
0 ( 2;3;1)
Giải:
( ) ( ) ( )d VTPT n P VTCPu d ( 2;1;3)
( ) : 2( 2) ( 3) 3( 1) 0
( ) : 2 3 10 0
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M x y z0 ( ; ; ) 0 0 0 và vuông
góc với hai mặt phẳng (P)&(Q)
+
(P) (R)
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp(P)
Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
0 ( 2;3;1)
M và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x-3y+2z-1=0; (R): 2x+y-z-1=0
Giải:
(P) (R)
(P) : (x 2) 5(y 3) 7(z 1) 0
(P) : z 5y 7z 20 0
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A x y z( ; ; );A A A
( ; ; ); ( ; ; )B B B C C C
+ Cặp VTCP mặt phẳng (P) ( ) ,
AC
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm
(2;0; 1); (1; 2;3); (0;1;2)
Giải:
( 1; 2;4)
( 2;1;3)
AB
AC
Trang 6( ) : 10( 2) 5( 0) 5( 1) 0
P x y z
Dạng 6: Viết ptmp (P) đi qua A x y z B x y z( ; ; ); ( ; ; )A A A B B B và (Q)
+ Cặp VTCP mặt phẳng( )
( )
Q
AB
n ( ) , ( )
VTPT n AB n
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp(P)
Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm
(2;0; 1); (1; 2;3)
A B và vuông góc với mặt phẳng (Q):x y z 1 0
Giải:
Cặp VTCP mặt phẳng (P)
( )
( 1; 2;4) (1; 1;1)
Q
AB
VTPT n AB n
P x y z
Dạng 7: Viết ptmp (P) đi qua A x y z( ; ; )A A A ; (Q) và // với đt (d)
+ Cặp VTCP mặt phẳng (P) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
,
Q
P Q d d
n
VTPT n n u u
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp(P)
Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
(1; 2;3)
A vuông góc với mặt phẳng (Q):x 2y z 5 0 và song song với đường
Giải:
( )
(1;2; 1)
( 2;1;3)
d
n
VTPT n n u u
( ) : 7( 1) ( 2) 5( 3) 0
( ) : 7 5 20 0
Dạng 8: Viết ptmp (P) chứa hai đường thẳng(d)và (d’) cắt nhau.
+ Cặp VTCP mặt phẳng (P) ( ) ( ) ( ) ( ')
( ')
,
d
d
u
u
+ Lấy điểm M0 (d) hoặc M0 (d’)
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Trang 7Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P)chứa hai đường
x y z
1
2 2 3
z
Giải:
( )
d
d M VTCP u ; ' '(1;2;3) ( ') ( 1;2;0)
d
( ) ( ') ( ) ( ')
' (0;3; 9); , (6;3;1)
d d
d d
u u MM
( ) & ( ')d d cắt nhau
Cặp VTCP mặt phẳng (P) ( ) ( ) ( ) ( ')
( ')
d
P d d d
u
VTPT n u u u
( ) : 6( 1) 3( 2) ( 3) 0
( ) : 6 3 15 0
Dạng 9: Viết ptmp (P)chứa hai đường thẳng(d)và (d’) song song nhau.
+M1(d), VTCP u d; ,M2(d')VTCP u d’
( ) ( ')
,
M M
VTPT n M M u
u hoacë u
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường
thẳng song song với nhau (d): 1 1 12
1 2
3 3
Giải:
( ) ( ') ( )
d d d
Cặp VTCP mặt phẳng (P)
1 2
( ) 1 2 ( ) ( )
(0;3; 9)
(1; 1; 3)
d
M M
u
( ) : 18( 1) 9( 2) 3( 3) 0
P x y z
Dạng 10: Viết ptmp (P) là trung trực của AB.
+ VTPT n ( )P AB
Trang 8+ Tìm tọa độ trung điểm M0 của đoạn AB
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của
đoạn AB biết A(1;1; 1); (5;2;1). B
Giải:
( )
P
2
M
(P) : 4(x 3) (y ) 2(z 0) 0 (P) : 4x y 2z 0
Dạng 11: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A
+(d) M 0, VTCP u d
( )
,
d
M A
u
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường
và đi qua điểm A (1;1; 1)
Giải:
0 (1; 1;12) ( )d (1; 1; 3)
d M VTCP u
; M A 0 (0;2; 13)
Cặp VTCP mặt phẳng (P)
0
( ) 0 ( ) ( )
(0;2; 13)
(1; 1; 3)
d
M A
u
( ) : 19( 1) 13( 1) 2( 1) 0
( ) :19 13 2 30 0
Dạng 12: Viết pt mp (P) chứa (d) và // ()
+ Tìm điểm M0(d)
( )
,
d
u
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng (d):
x y z
; ( )
Viết phương trình mp (P) chứa (d) và song song với ( )
Giải:
( )
(1;1;2)
u
VTPT n u u
Trang 9(d) M (0;0;0)Mặt phẳng (P) đi qua M0 và có VTPT ( ) ( 1; 5;3)
P
n
(P) : 1(x 0) 5(y 0) 3(z 0) 0 (P) : x y 3z 0
Dạng 13: Viết Pt mp(P) chứa (d) và (Q)
+ Tìm điểm M0(d)
( )
,
d
Q
u
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong không gian oxyz cho đường thẳng (d): 21 1 32
x
và mặt phẳng (Q) : 2x y z 1 0 Viết phương trình mp (P) chứa (d) và vuông góc với
mp (Q)
Giải:
(d) (d) M(1;0; 2) VTCP u (2;1; 3)
( )
(2;1; 3)
(2;1;1)
d
Q
u
VTPT n u n n
(P) : 4(x 1) 8(y 0) 0(z 2) 0
(P) : 2x 4y 2 0
Dạng 14: Viết PT mp (P) // với (Q): Ax + By +Cz + D=0 và d(A;(P))=h
A A A
A(x ;y ;z )cho trước
+ Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D’=0 (trong đó D’ D) + Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D’ Kết luận pt mặt phẳng (P)
Ví dụ: Trong không gian oxyz cho mặt phẳng: (Q): x - 2y + 2z - 3 = 0 và điểm
A(3; 1; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) //mp (Q) và d(A;(P))=2
Giải:
Vì (P) // (Q) nên pt mp (P): x - 2y + 2z + D = 0 ( D - 3)
Vậy (P ) : x 2y 2z 9 0;(P ) : x 2y 2z 3 01 2
Dạng 15: Viết PT mp (P) chứa (d) và d(A,( P))=h; A x y z( ; ; )A A A
+ Gọi VTPT của mp (P) là n = (A; B; C) với đk là A( )P 2 + B2 + C2 0
+ (d) M0(x0; y0; z0), VTCP ud
+ Vì (d) nằm trong (P) n(P) u(d)
u d ( )
P
n = 0 (1) + PT mp (P) đi qua M0: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
Trang 10+ d(A,( P)) = h (2)
+ Giải (1); (2) ta tìm được A,B theo C từ đĩ chọn A,B,C đúng tỉ lệ, ta viết được
pt mp(P)
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng (d):
3
2 1
2
1
x
và điểm
A(3;1;1) Viết pt mp (P) chứa (d) và d (A,( P))=2 3
Giải:
Gọi VTPT của mp (P) là n = (A; B; C) với đk là A( )P 2 + B2 + C2 0
(d) M (1;0; 2) VTCP u (2;1; 3)
Vì d (P) n u 2A B 3C 0 B 3C 2A 1
(P): A(x 1) B(y 0) C(z 2) 0 Ax By Cz A 2C 0
d(A,( P))= 2 3
2 2 2
2 2 2
2A B 3C
A C
5
*A C chọn A=C=1 B=1 (P):x+y+z+1=0
7
5
Dạng 16: Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một gĩc 90 0
+ Gọi VTPT của mp (P) là n = (A;B;C) với đk là A( )P 2 + B2 + C2 0
+ (d) M0(x0;y0;z0), VTCP u d
+ Vì d (P) u d .n( )P = 0 (1)
+ cos ((P),(Q))= cos (2)
+ Giải (1) ; (2) ta tìm được A,B theo C từ đĩ chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được pt mp(P)
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (Q): x + 2y +z -3 = 0 và đường thẳng (d): x 1 y 2 z 3
Viết phương trình mp (P) chứa (d) và hợp với
mp (Q) một gĩc thỏa cos= 3
6 .
Giải:
Gọi VTPT của mp (P) là n = (A; B; C) với đk là A( )P 2 + B2 + C2 0
(d) M ( 1;2; 3),VTCP u (1; 1; 1)
Vì d (P) ud. ( )
P
n = 0 A B C 0 A B C (1)
Trang 11
2 2 2
A 2B C
cos P , Q cos cos(n ,n )
8
3
*B C chọn B=3;C=-8 A=-5 (P):-5(x+1)+3(y-2)-8(z+3)=0
8
-5x+3y-8z-35=0
Dạng 17: Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đth()một gĩc 90 0
+ Gọi VTPT của mp () là n = (A;B;C) với đk là A( )P 2 + B2 + C2 0
+ (d) M0(x0;y0;z0), VTCP u d
+ Vì d (P) ud. ( )
P
n = 0 (1)
+ sin ((P),( )) = sin (2)
+Giải (1) và (2) tìm được A,B theo C từ đĩ chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được
pt mp(P)
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho hai đường thẳng (d) và ( ) lần lượt cĩ phương trình: (d): x y z
1
2
và ( ) :
1
5 3
2
2
y
x
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và hợp với ( ) một gĩc 30 0
Giải:
Gọi VTPT của mp (P) là n = (A; B; C) với đk là A( )P 2 + B2 + C2 0
d) M (0;2;0)1 và VTCPu(d) (1; 1;1)
; ( ) M (2;3; 5) 2 và VTCP u( ) (2;1; 1)
Vì d (P) u d ( )
P
n = 0 A B C 0 B A C (1)
2 2 2
sin ((P),( )) sin30 cos(n ;u ) sin30
2
2 2A B C 6 A B C (2)
2
*A C chọn A=C=1 B=2 (P):(x-0)+2(y-2)+(z-0)=0 (P):x 2y z 4 0
1
*A C chọn C=-2;A=1 B=-1 (P):(x-0)-(y-2)-2(z-0)=0(P):x y 2z 2 0
2
Dạng 18: Cho A (x A ; y A ; z A ) và (d), viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d (A, (P)) là lớn nhất
Trang 12+ Gọi H là hình chiếu của A lên (d)
+ Ta cĩ: d (A,(P)) = AK AH (tính chất đường vuơng gĩc và đường xiên) Do
đĩ d(A(P)) max AK = AH KH
+ Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT
Ví dụ: Trong khơng gian oxyz cho đường thẳng (d):
1 2
1
y t
và điểm A(1;2;3).Viết phương trình mp (P) chứa (d) sao cho d (A, (P)) là lớn nhất hoctoancapba.com
Giải:
Gọi H là hình chiếu của A lên (d)
Ta cĩ: d (A, (P)) = AK AH (tính chất đường vuơng gĩc và đường xiên)
Do đĩ d(A, (P)) max AK = AH KH
Mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT
(p)
(P) : 2(x 1) 2(y 0) 2(z 1) 0 (P) : x y z 0
Dạng 19: Viết Pt mp (P) // với (Q): Ax + By + Cz + D = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S)
+ Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
+ Vì (P) // (Q) nên (P) cĩ dạng Ax + By + Cz + D' = 0 (D’D)
+ Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d (I, (P))= R tìm được D'
+ Từ đĩ ta cĩ pt (P) cần tìm
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng: (Q): x - 2y + 2z - 3 = 0 và mặt
cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x - 4y - 2z 19 = 0 Viết pt mp (P) // với (Q): Ax + By + Cz
+ D = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S)
Giải:
(S):(x 1) 2 (y 2) 2 (z 1) 2 25 I( 1;2;1) BK R=5
Vì (P) // (Q) (P): x - 2y + 2z + D = 0 (D-3)
(P)tiếp xúc với mặt cầu (S) d I, P R 5 D 3 15
3
1 2
2 Dạng 20: Viết PT mp(P) // (Q): Ax + By + Cz + D=0 và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường trịn(C) cĩ bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi) cho trước.
+ Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
+Adct : Chu vi đường trịn C = 2 r và diện tích S = r2 tính r