Dang 3. Viết phương trình mặt phẳng(VDT

Lời giải FB: dacphienkhao Chọn B Gọi I là tâm của mặt cầu.. Viết phương trình mặt phẳng song song với  P và cắt  S theo thiết diện là đường tròn  C sao cho khối nón có đỉnh là tâm

Câu 1 [2H3-2.3-3] (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Trong không gian Oxyz ,

mặt phẳng ax by c  z 18 0  cắt ba trục toạ độ tại , ,A B C sao cho tam giác ABC có trọng tâm G  1; 3; 2  Giá trị a c bằng

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hồng Hạnh; Fb: Nguyễn Hồng Hạnh

Chọn D

Giả sử mặt phẳng  P :ax by c  z 18 0 

cắt 3 trục toạ độ Ox Oy Oz lần lượt tại , ,, , A B C

Do A Ox  A x A;0;0

; B Oy  B0;y B;0

; C Oz  C0;0;z C

Vì G  1; 3; 2  là trọng tâm tam giác ABC nên :

0 0

1

3

6

0 0

2 3

A

A B

B

C C

x

x y

z z

 















 







Do A B C, ,  P nên mp P có phương trình: 3 9 6 1 6 2 3 18 0

Suy ra: a6;c Vậy 3 a c 3

Câu 2 [2H3-2.3-3] (Sở Vĩnh Phúc) Trong không gian Oxyz , cho điểm M1; 3; 2 

Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng đi qua M và cắtcác trục tọa độ tạiA,B,C mà OA OB OC  0?

A 3.B 1 C 4 D 2

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Quang Nam ; Fb: Quang Nam

Chọn A

Gọi A a ;0;0, B0; ;0b  , C0;0;c Từ đó ta có OAa

, OBb , OCc

Mặt phẳng qua các điểm A,B,C có phương trình theo đoạn chắn: x y z 1  P

a b c   .

Vì M P

nên

1 3 2

1

a b c   Vì OA OB OC   a b c

Từ đó ta có hệ phương trình:

1 3 2

1

a b c









1 3 2

1

a b c

a b

b c















1 3 2

1

a b c

a b

b c





 



  





 

 





1 3 2

1

1 3 2

1

1 3 2

1

1 3 2

1

a b c

a b c

a b c

a b c

a b c

 









  

 





   

 

   





 









  

 





   

 

   



4 6 2

  







   

Vậy có 3 mặt phẳng thỏa mãn

Câu 3 [2H3-2.3-3] (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu

  S : x12y2z 22 9

Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A1;3;2

có phương trình là

A x y  4 0. B y  3 0. C 3y  1 0. D x  1 0.

Lời giải

FB: dacphienkhao

Chọn B

Gọi I là tâm của mặt cầu Khi đó I1;0;2

Mặt phẳng   tiếp xúc với  S tại điểm A1;3;2

nên nhận IA 0;3;0

làm véctơ pháp tuyến Mặt khác mặt phẳng ( ) đi qua điểm A1;3;2 nên có phương trình tổng quát

  :y 3 0

Câu 4 [2H3-2.3-3] (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt

cầu   S : x12y22z 32 12 và mặt phẳng ( ) : 2P x2y z  3 0 Viết phương trình mặt phẳng song song với  P

và cắt  S

theo thiết diện là đường tròn  C

sao cho khối nón có đỉnh là tâm mặt cầu và đáy là hình tròn  C

có thể tích lớn nhất

A. ( ) : 2Q x2y z 2 0 hoặc ( ) : 2Q x2y z  8 0

B. ( ) : 2Q x2y z 1 0 hoặc ( ) : 2Q x2y z 11 0

C. ( ) : 2Q x2y z  6 0 hoặc ( ) : 2Q x2y z  3 0

D. ( ) : 2Q x2y z 2 0 hoặc ( ) : 2Q x2y z 2 0

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Huỳnh Như ; Fb: Nhu Nguyen

x 2 3

M

I

H

Chọn B

    / / P    : 2x2y z d  0(d 3)

Mặt cầu  S

có tâm I1; 2;3 , bán kính R  2 3.

Gọi  H

là khối nón thỏa đề bài với đường sinh l R   2 3 Đặt x h d I   ( , ) Khí đó bán kính đường tròn đáy hình nón : r 12 x2

Thể tích khối nón:

2 ( )

1

3

H

V    x x

, với 0   x 2 3 Xét sự biến thiên của hàm số :

2

1

3

f x    x x

trên 0   x 2 3

Khi đó f x( ) đạt giá trị lớn nhất tại x  , hay 2 d I ( , ( ))  2

2.1 2.( 2) 3

d

d I

trungminhnhi@gmail.com

Câu 5 [2H3-2.3-3] (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

 S : x2y2z12 4 và điểm A2; 2;2 Từ A kẻ ba tiếp tuyến AB , AC , AD với B ,

C , D là các tiếp điểm Viết phương trình mặt phẳng BCD

A 2x2y z 1 0 B 2x2y z  3 0

C 2x2y z   1 0 D 2x2y z  5 0

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Ngọc Diệp; Fb: Nguyễn Ngọc Diệp

Chọn D

B

C

D

A J

Mặt cầu  S : x2y2z124

có tâm I0;0;1

và bán kính R  2

Do AB , AC , AD là ba tiếp tuyến của mặt cầu  S

với B , C , D là các tiếp điểm nên:

AB AC AD

IA

IB IC ID R







 là trục của đường tròn ngoại tiếp BCD IABCD

Khi đó mặt phẳng BCD có một vectơ pháp tuyến n IA  2;2;1

Gọi J là tâm của đường tròn ngoại tiếp BCD  J IA và IJ BJ

Ta có: IBA vuông tại B và BJ IA nên:

2

IB

IA

       

Đặt J x y z ; ;   IJ x y z; ; 1

, IA  2; 2;1

; ;

IJ  IA J  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mặt phẳng BCD

đi qua

8 8 13

; ;

9 9 9

J  

  và có véctơ pháp tuyến n  2; 2;1

có phương trình:

Câu 6 [2H3-2.3-3] (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm

 ; ; 

H a b c

với , ,a b c  Mặt phẳng ( )0 P chứa điểm H và lần lượt cắt các trục Ox Oy Oz tại, ,

, ,

A B C thỏa mãn H là trực tâm của tam giác ABC Phương trình của mặt phẳng ( )P là

x y z ab bc ca

x y z

a b c  .

C. ax by cz a   2 b2 c2  0 D. a x b y c z a2  2  2  3 b3 c3  0

Lời giải

Tác giả:Kien Phan ; Fb:Kien Phan

Chọn C

Cách 1:

Gọi A x 0;0;0

, B 0; y0;0

, C 0;0; z 0

Khi đó mặt phẳng ( )P có phương trình theo đoạn

chắn là: 0 0 0

1

x  y z  .

Ta có : AH a x b c 0; ; 

, BC0; y z0; 0



, BH a b y c;  0; 



, AC  x0;0;z0

Vì Hlà trực tâm tam giác ABCnên ta có hệ:

 

0

0

0

b b

z

c



















 

 

Thay vào phương trình mặt phẳng ( )P ta được: 2 ax2 2 2 by2 2 2 cz2 2 1

a b c a b c a b c 

Hay  P ax by cz a:    2 b2 c2  0

hay OH  P

Do đó mặt phẳng ( )P qua H và nhận OH a b c  ; ; 

làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là :

a x a b y b c z c   ax by cz a    b  c 

Câu 7 [2H3-2.3-3] (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Trong không

gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua điểm M1; 2;3 và cắt các trục Ox Oy Oz, , lần lượt tại ba điểm A B C, , khác với gốc tọa độ O sao cho biểu thức

OA OB OC có giá trị nhỏ nhất.

A  P x: 2y z 14 0 B  P x: 2y3z14 0

C  P x: 2y3z11 0 D  P x y:  3z14 0

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Dạ Thu ; Fb: Nguyen Da Thu

Chọn B

Gọi H là trực tâm ABC

Ta có:

BH AC

OB AC









Chứng minh tương tự ta có: BCOH 2

Từ    1 , 2  OH ABC

OA OB OC OH .

Vậy để biểu thức 2 2 2

OA OB OC đạt giá trị nhỏ nhất thì OH đạt giá trị lớn nhất.

Mà OH OM nên suy ra OH đạt giá lớn nhất bằng OM hay H M

Vậy OM ABC   P có 1 vectơ pháp tuyến là OM  1;2;3

Phương trình mặt phẳng  P : 1x12y 23z 3  0 x2y3z14 0

Câu 8 [2H3-2.3-3] (CổLoa Hà Nội) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng  P ax by cz:    27 0

qua hai điểm A3; 2;1

, B  3;5;2

và vuông góc với mặt phẳng  Q : 3x y z    Tính4 0 tổng S  a b c

Lời giải

Tác giả: Hàng Tiến Thọ ; Fb: Hàng Tiến Thọ

Chọn B

Do  P đi qua A nên 3a2b c  27 0 (1)

Do  P

đi qua B nên 3a5b2c 27 0 (2)

Do    P  Q

nên 3a b c  0 (3)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình

Khi đó S     a b c 6 27 45 12

Câu 9 [2H3-2.3-3] (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Trong không

gian Oxyz

:

d    

 và mặt phẳng  P : 2x y  2z 4 0 Mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng  P góc với số đo nhỏ nhất có phương trình là

A x z  2 0 B x z  2 0 C 3x y z   1 0 D x y z   3 0

Lời giải

Tác giả: Ngô Nguyễn Anh Vũ ; Fb: Euro Vu Phản biện: Lê Trọng Hiếu ; Fb: Hieu Le

Chọn D

Lấy điểm A0; 1;2  thuộc đường thẳng d

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng  P

Gọi E K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên mặt phẳng  Q và đường thẳng d

Ta có: AH  P HE,  Q      P , Q AHE 

Xét cos

HE HK

HA HA

Để  có số đo nhỏ nhất khi cos lớn nhất  E K Lúc đó mặt phẳng  Q chứa đường thẳng

d và vuông góc với mặt phẳng HAK

Mặt phẳng AHK là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông với mặt phẳng  P

,

AHK d P

n u n 

là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng AHK

Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Q  n Q u n d, AHK  6; 6;6 

 phương trình mặt phẳng Q : x y z   3 0

Câu 10 [2H3-2.3-3] (THTT lần5) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2;1) và B(3; 1;5) Mặt

phẳng ( )P vuông góc với đường thẳng AB và cắt các trục Ox , Oy và Oz lần lượt tại các

điểm D, E và F Biết thể tích của tứ diện ODEF bằng

3

2, phương trình mặt phẳng ( )P là

A 2x 3y4z336 0 B

3

2

x y z 

C 2x 3y4z12 0 D 2x 3y4z 6 0

Lời giải

Tác giả: Đồng Anh Tú; Fb: AnhTu

Chọn D

Vì AB( )P nên mặt phẳng ( )P có một véc tơ pháp tuyến là AB (2; 3; 4)

, do đó phương

trình mặt phẳng ( )P có dạng 2x 3y4z d 0, từ đây tìm được ( 2;0;0)

d

D 

, (0; ;0)3

d E

, (0;0; )

4

d

suy ra 2

d

OD 

d

OE 

d

OF 

Mặt khác tứ diện ODEF có OD OE OF, ,

đôi một vuông góc nên

1 6

ODEF

V  OD OE OF

3

144 2

d

.Vậy phương trình mặt phẳng ( )P là 2x 3y4z 6 0

Câu 11 [2H3-2.3-3] (Đặng Thành Nam Đề 17) Trong không gian Oxyz , có bao nhiêu mặt phẳng qua

điểm M4; 4;1 

và chắn trên ba trục tọa độ Ox , Oy , Oz theo ba đoạn thẳng có độ dài theo

thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng

1

2?

Lời giải Chọn C

Gọi A a ;0;0 , B0; ;0 ,b  C0;0;c

là giao điểm của mặt phẳng  P

và các trục tọa độ

 P :x y z 1

a b c

Theo giả thiết có:









Vậy có 3 mặt phẳng thỏa mãn

Câu 12 [2H3-2.3-3] (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Trong không gianOxyz,

cho mặt cầu  S :x2y2z2 2x 4y 6z 2 0 Viết phương trình mặt phẳng   chứa

Oy cắt mặt cầu  S theo thiết diện là đường tròn có chu vi bằng 8 .

A   : 3x z 0 B   : 3x z 0

C   :x 3z0 D.  : 3x z  2 0

Lời giải

Tác giả: Hải Vân; FB: Hải Vân

Chọn A

 S có tâm I1;2;3 , bán kính R  Đường tròn thiết diện có bán kính 4 r  4

 mặt phẳng   qua tâm I

  chứa Oy    :ax cz 0

Mà I   a3c 0 a3c

Chọn c 1 a 3   : 3x z 0

Câu 13 [2H3-2.3-3] (TRƯỜNG THỰC HÀNH CAO NGUYÊN – ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN NĂM

2019) Cho mặt cầu   S : x12y 22z52 16 và điểm A1; 2; 1 

Điểm B a b c ; ;  thuộc mặt cầu sao cho AB có độ dài lớn nhất Tính a b c 

Lời giải

Tác giả: Nguyễn văn Sỹ; Fb: Nguyễn văn Sỹ

Chọn A

+ Mặt cầu  S có tâm I1; 2; 5 

và bán kính R 4 + Gọi  là đường thẳng đi qua 2 điểm A và I Véc tơ chỉ phương của đường thẳng  là

0;0; 4

u IA

 phương trình đường thẳng  là:

 

1

1 4

x









  





+ Vì A1;2; 1 

thuộc mặt cầu  S nên ABcó độ dài lớn nhất  AB là đường kính  B là

giao điểm còn lại của đường thẳng và mặt cầu  S .

+ B   B1; 2; 1 4   t   1 12 2 22  1 4 52 16 0

2

t

t





+ Với t  0 B1; 2; 1 

(Loại vì BA)

+ Với t  2 B1; 2; 9 

Vậy a b c    1 2 96

Cách 2: Vì A1;2; 1 

thuộc mặt cầu  S

nên AB có độ dài lớn nhất  AB là đường kính, tức là I là trung điểm của đoạn AB

Câu 14 [2H3-2.3-3] (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm

(1;0;0), (0;1;0)

A B Mặt phẳng đi qua các điểm A B, đồng thời cắt tia Oz tại C sao cho tứ diện

OABC có thể tích bằng

1

6có phương trình dạng x ay bz c   0 Tính giá trị a3b 2c

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Thị Phương Thảo; Fb: Nguyễn Thị Phương Thảo

Chọn D

Mặt phẳng đi qua các điểm ,A B đồng thời cắt tia Oz tại C0;0;c, c  có phương trình là0

1

1 1

x y z

c

Mặt khác:

OABC

V   OA OB OC  c

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng 1 1 1 1 1 0

x y z

x y z

Vậy a b  , 1 c 1 a3b 2c 1 3.1 2 6 

Thanhdonguyen0683@gmail.com

Câu 15 [2H3-2.3-3] (THPT-Toàn-Thắng-Hải-Phòng) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho

hai mặt phẳng  Q1 : 3x y 4z  và 2 0 Q2: 3x y 4z  Phương trình mặt phẳng8 0

 P

song song và cách đều hai mặt phẳng  Q1

và Q2

là:

A  P : 3x y 4z10 0 B  P : 3x y 4z  5 0

C  P : 3x y 4z10 0 D  P : 3x y 4z 5 0

Lời giải

Tác giả: Hoàng Ngọc Quang; Fb: Hoàng Ngọc Quang

Chọn B

Gọi M x y z là điểm thuộc mặt phẳng  ; ;   P cần tìm.

Ta có d M Q , 1  d M Q , 2 

x y z x y z

3x y 4z 5 0

Vậy phương trình mặt phẳng  P là: 3 x y 4z 5 0.

Ducchinh2308@gmail.com

Câu 16 [2H3-2.3-3] (Sở Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm

(1;2;1 ,) (3;4;0)

, mặt phẳng ( )P :ax by cz+ + +46=0

Biết rằng khoảng cách từ A B, đến mặt phẳng ( )P

lần lượt bằng 6 và 3 Giá trị của biểu thức T = + + bằnga b c

Lời giải

Tác giả: Vũ Ngọc Tân ; Fb: Vũ Ngọc Tân Phản biện: Nguyễn Thị Trà My; Fb: Nguyễn My.

Chọn B

Gọi H K, lần lượt là hình chiếu của A B, trên mặt phẳng  P .

Khi đó theo giả thiết ta có: AB  , 3 AH  , 6 BK  3

Do đó A B, ở cùng phía với mặt phẳng  P

Lại có: AB BK AK AH  H K

Suy ra A B H, , là ba điểm thẳng hàng và B là trung điểm của AH nên tọa độ H5;6; 1 

Vậy mặt phẳng ( )P

đi qua H5;6; 1 

và nhận AB 2; 2; 1 

là VTPT có nên phương trình

2 x 5 2 y 6 1 z1  0 2x2y z  23 0

Theo bài ra thì  P : 4 x 4y2z46 0 , nên a4,b4,c2

Vậy T = + + = - a b c 6

Nguyenmy181@gmail.com

Câu 17 [2H3-2.3-3] (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Trong không gian Oxyz ,

mặt phẳng qua ba điểm A1;3;2

, B2;5;9

, C  3;7; 2 

có phương trình là

3x ay bz c   0 Giá trị a b c  bằng

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hoàng Huy; Fb: Nguyen Hoang Huy

Chọn A

1; 2;7

AB 

, AC   4; 4; 4 

Mặt phẳng ABC

qua điểm A1;3; 2

và có một vectơ pháp tuyến là

nAB AC   

 



Vậy phương trình mặt phẳng ABC

: 36x1 24y 312z 2 hay0

3x2y z  7 0

7

a

c







      

 

Câu 18 [2H3-2.3-3] (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Trong không

gian Oxyz, cho ba điểm A10;1;1

, B10;4;1

và C10;1;5

Gọi  S1

là mặt cầu có tâm A, bán kính bằng 1; gọi S2

là mặt cầu có tâm B, bán kính bằng 2 và  S3

là mặt cầu có tâm

C , bán kính bằng 4 Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu  S1 , S2,  S3

?

Lời giải

Tác giả: Đào Hoàng Diệp; Fb: Diệp Đào Hoàng

Chọn C

Giả sử mp P 

là mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu  S1

, S2 ,  S3

Xét vị trí tương đối giữa 3 mặt cầu  S1

, S2 ,  S3

có bán kính lần lượt là 1, 2, 4

AB R R    Mặt cầu  S1

và S2

tiếp xúc ngoài

AC R R    Mặt cầu  S1

và  S3

cắt nhau

BC  R R    Mặt cầu S2

và  S3

cắt nhau

Từ vị trí trên ta có nhận xét: tâm của cả ba mặt cầu phải nằm về cùng 1 phía so với mp P .

 Có hai mp P  thỏa mãn đề bài  Chọn đáp án C.

Câu 19 [2H3-2.3-3] (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Trong không gian Oxyz ,

biết mặt phẳng ax by cz   24 0 qua A1; 2;3 và vuông góc với hai mặt phẳng

 P : 3x 2y z  4 0,  Q : 5x 4y3z 1 0 Giá trị a b c  bằng

Lời giải

Tác giả: Đỗ Hoàng Tú; Fb: Đỗ Hoàng Tú

Chọn D

Gọi   là mặt phẳng cần tìm và n  



là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng   Mặt phẳng  P : 3x 2y z  4 0có véc tơ pháp tuyến n P3; 2;1 

; mặt phẳng

 Q : 5x 4y3z 1 0

có véc tơ pháp tuyếnn Q5; 4;3 

Ta có:

   

   

P Q













  n   n n P; Q   2; 4; 2  



   

Mặt phẳng   qua A có véc tơ pháp tuyến n  

 nên có phương trình là:

2 x 1 4 y 2 2 z 3 0

        2x 4y 2z16 0    : 3x6y3z 24 0 Vậy a b c     3 6 3 12

Câu 20. [2H3-2.3-3] (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019) Trong không gian Oxyz , cho hinh lập phương

1 1 1 1

ABCD A B C D biết A0;0;0

, B1;0;0

, D0;1;0

,A10;0;1

Gọi  P ax by cz:    3 0 (với , , a b c  ) là phương trình mặt phẳng chứa  CD và tạo với mặt phẳng 1 BB D D1 1 

một góc có số đo nhỏ nhất Giá trị của T   a b c bằng

Lời giải

Tác giả: Phạm Tuấn ; Fb:Phạm Tuấn

Chọn C

Từ giả thiết ta có C1;1;0

, B11;0;1

, D10;1;1

Gọi d là giao tuyến của  P

và BB D D1 1 , E là trung điểm của AC ; K là hình chiếu vuông

góc của E trên d Ta có         

1 1

,

d CE

d EK









Do đó       

1 1

1

1

2

CE CE

CK CD

suy ra góc giữa mặt phẳng  P và

BB D D1 1  nhỏ nhất bằng 30

Dấu "=" xảy ra khi d vuông góc với CD , mặt khác d vuông1

góc với AC suy ra d cùng phương với CD AC1, 

 

Do đó

1 1;0;1

CD  

;AC 1;1;0; n P CD AC CD1, , 1 1;2;1



  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

     