Đề thi HSG môn Toán 11

Các em có thể tham khảo Đề thi HSG năm 2011 - 2012 môn Toán 11 này để luyện tập những kỹ năng làm bài, rèn luyện kiến thức tiếng Toán để chuẩn bị thật tốt cho các kì thi môn Toán sắp tới.

SỞ GD-ĐT HÀ NAM ĐỀ THI HSG TOÁN 11

(Thời gian làm bài :180 phút )

Câu 1 : (4 điểm) Cho 3  n N.Tìm nghiệm x(0, / 2) của PT

2 2

n

x c x n



Câu 2: (4 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab = 1 + c(a + b)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2

P

Câu 3: ( 4 điểm) GPT

3 2

x x







Câu 4: (4 điểm) Cho thập giac lồi

a) tìm số tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của thập giác đó

b) số tam giác không co cạnh nào là cạnh của thập giác đó

Câu 5 (2điểm) Cho tam giác ABC nhọn ,phía bên ngoài của tam giác ABC dựng hai

tam giác đều ABM và ACN.Tìm một phép dời hình biến đoạn thẳng MC thành đoạn

BN Từ đó suy ra MC=BN

Câu 6 (2 điểm) Giải HPT:

2 2

2 2







……… Hết………

ĐÁP ÁN

Câu 1: (4 điểm) Ta có :

( 2) ô

( 2) ô

n

n s

n

n s









Cộng vế ta được

2 2

n

x c x



Dấu bằng xẩy ra sinx=cosx= 1/ 2 x / 4

Câu 2 (4 điểm)

đặt a tan, b tan, c  tan với , 0; , ;0

     

Từ giả thiết ta có

1 ( ) tan tan 1 tan (tan tan )

tan 1 tan tan

2









     vì

2



     nên

2



  mà

tan os tan os tan os (sin 2 sin 2 2sin )

2

1

[2 sin( ) os( ) 2 sin ] = cos os os( ) +1

2

P  c      c  c 

c

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

os ( )=1

12 1

cos( )

os =

2 2

3

c

c









ab  2 3 , c 3

Vậy GTLN của P bằng 5

4 khi và chỉ khi ab  2 3 , c 3

Câu 3: (4 điểm) GPT

Đặt u= x 1 và v= 2

1

x  x (u,v không âm)

5uv 2(u v )  2

2 5

2( ) 2

1 2

u

u

v







 



TH1 u 2

v  vô nghiệm

TH2 u 1 / 2

v 

2

1

2

5 37 2

x

x













 





Nghiệm của PT là 5 37; 5 37

Câu 4 :(4 điểm)

a) TH1 : số tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của thập giác là

6 x 10 = 60 tam giác

TH2 số tam giác có 2 cạnh là cạnh của thập giác là 10 tam giác vi với mối đỉnh cùng hai cạnh chứa đỉnh đó tạo thành 1 tam giác

Vậy số tam giác ít nhất 1 cạnh là cạnh của thập giác là :60+10= 70 tam giác

b) Tổng số tam giác tạo thành từ 10 đỉnh là: 3

10 120

Vậy số tam giác không co cạnh nào là cạnh của thập giác là:120-70 =50 tam giác

Câu 5

Qua phép quay 0

( ;60 )A

Q thì điểm M biến thành B;điểm C biến thành điểm N Do đó ,qua phép quay 0

( ;60 )A

Q thì đoạn MN biến thành đoạn BN Vậy MC=BN