Tìm vị trí của M và điều kiện của a, b, c để thiết diện MNPQ là hình vuông, tính diện tích thiết diện trong trường hợp đó... Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn.. Xác định điểm M bên trong ta
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————————
TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG
KỲ THI HSG CẤP TRƯỜNG LỚP 11 NĂM HỌC 2012-2013
ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu I: (2,0 điểm)
1.Giải phương trình: (1 t anx)cos x (1 cot x)sin x 3 3 2sin 2x.
2 Tìm các nghiệm trong khoảng ; của phương trình:
2sin 3x 1 8sin 2x cos 2x.2
4
Câu II: (2,0 điểm)
1 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có 3 số chẵn và 3 số lẻ ?
2 Cho k là số tự nhiên thỏa mãn 5 k 2011
Chứng minh rằng: C C05 k2011 C C15 2011k 1 C C55 k 52011 Ck2016
Câu III: (2,0 điểm)
2) 1)(n (n
2 1
3.4
2 1 2.3
2 1 Gọi Un là số hạng tổng quát của Pn Tìm Un
n lim
2 Tìm giới hạn:
x 0
(x 2012) 1 2x 2012 4x 1 lim
x
Câu IV: (1,0 điểm).
Cho dãy số (un) xác định bởi : 1
1
11
u
Tìm công thức tính un theo n
Câu V: ( 3,0 điểm)
1 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c M là điểm tùy ý trên
cạnh AB, (P) là mặt phẳng qua M và song song với AC và BD cắt BC, CD, DA lần lượt tại N,
P, Q Tìm vị trí của M và điều kiện của a, b, c để thiết diện MNPQ là hình vuông, tính diện tích thiết diện trong trường hợp đó
Trang 22 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn Xác định điểm M bên trong tam giác sao cho MA +
MB + MC nhỏ nhất
-Hết -Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Trang 3HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN : TOÁN 11 THPT
1 (1.0 đ) ĐK: sin x cos x 0 Khi đó pt trở thành:
sinx cos x 2 sin x cos x (1)
0.25
ĐK: sinx cos x 0 dẫn tới
sinx 0;cos x 0
0.25 Khi đó: (1) sin 2x 1 x k
4
0.25
KL nghiệm : x 2m
4
0.25
2 (1.0 đ).ĐK: sin 3x 0.
4
(1)
0,25
Khi đó phương trình đã cho tương đương với pt:
1
sin 2x
2
12
5
12
0.25 Trong khoảng ; ta nhận các giá trị :
x
12
12
x 12
12
0.25 Kết hợp với đk (1) ta nhận được hai giá trị thỏa mãn là:
x
12
; 7
12
0,25
1 (1.0 đ)
TH1: Trong 3 số chẵn đó có mặt số 0
Số các số tìm được là 5.C C 5! 3600024 35 (số)
Trang 4TH2: Trong 3 số chẵn đó không có mặt số 0
Số các số tìm được là C C 6! 2880034 35 (số) 0.25 Đ/ số 36000 28800 64800 số
0.25
2 (1.0 đ) Dễ thấy 1 x 5 1 x 2011 1 x 2016; và
5 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
M 1 x C C x C x C x C x C x
N 1 x 2011 C02011 C12011x1 C k2011xk C 2011 20112011x
P 1 x 2016 C02016 C12016x C k2016xk C 2016 20162016x
0.25
0.25
Ta có hệ số của xk trong P là Ck2016
Vì P M.N , mà số hạng chứa xk trong M.N là :
0 k k 1 k 1 k 1 2 2 k 2 k 2 3 3 k 3 k 3 4 4 k 4 k 4 5 5 k 5 k 5
5 2011 5 2011 5 2011 5 2011 5 2011 5 2011
C C x C xC x C x C x C x C x C x C x C x C x
0.25 nên
C C50 k2011 C C15 k 12011 C C55 k 52011 Ck2016
3 (1 điểm)
Ta có:
1
2
3
11 10 1
10 11 1 9 102 100 2
10 102 1 9 2 1003 1000 3
u
Dự đoán: un = 10n + n (1) 0.25 Chứng minh:
Ta có: u1 = 11 = 101 + 1 , công thức (1) đúng với n=1
Giả sử công thức (1) đúng với n=k ta có : uk = 10k + k 0.25
Ta có: uk + 1 = 10(10k + k) + 1 - 9k = 10k+1 + (k + 1) Công thức(1) đúng với n=k+1
Vậy un = 10n + n, n N.
0.25
1 (1 đ)
Ta có: (k 1)(k 2)
3) k(k 2)
1)(k (k
2 1
0.25
Trang 51.4.2.5.3.6 n(n 3)
2.3.3.4.4.5 (n+2)(n 1)
n
Un= (n 3)
3(n 1)
Un
n lim = lim (n 3) 1
0.25 2.(1 điểm)
Ta có
3 3
x 0
0.25
3
x 0
Lim x 1 2x 0
3
x x( (1 2x) 1 2x 1) ( (1 2x) 1 2x 1) 3
0.25 IV
3.0 1.(2 đ)
+) Chứng minh được MNPQ là hình bình hành
0.5
+) MNPQ là hình vuông
MN NP
MP NQ
M là trung điểm của AB và a = c
1.0 +) Lúc đó SMNPQ = 1 2
4 b
0.5
2.(1 đ) Dùng phép quay quanh A với góc quay 600 biến M thành M’; C thành C’ 0.25
Ta có MA+MB+MC = BM+MM’+M’C’
MA+MB+MC bé nhất khi bốn điểm B,M,M’,C’ thẳng hàng 0.5 Khi đó góc BMA=1200, góc AMC=1200
Ta được vị trí của M trong tam giác ABC 0.25
Chú ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa