Luyện tập với Đề thi HSG môn Toán 8 năm 2018-2019 có đáp án - Trường THCS Cảnh Hóa nhằm đánh giá sự hiểu biết và năng lực tiếp thu kiến thức của học sinh thông qua các câu hỏi đề thi. Để củng cố kiến thức và rèn luyện khả năng giải đề thi chính xác, mời quý thầy cô và các bạn cùng tham khảo đề thi.
Trang 1PHÒNG GD& ĐT QUẢNG TRẠCH
TRƯỜNG THCS CẢNH HÓA ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Môn: Toán Năm học 2018-2019
Thời gian: 90 phút(không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2,0 điểm)
Cho biểu thức:
2 2
a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị của A , Biết x = 1
2 .
c Tìm giá trị của x để A < 0 d Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Bài 2 (2,0 điểm) Giải các phương trình sau:
a.b) (6 x 8)(6 x 6)(6 x 7)2 72 b
18
1 42 x 13 x
1 30
x 11 x
1 20
x 9 x
1
2 2
Câu 3 (3,5 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy
điểm F sao cho AE = AF Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và
BC lần lượt tại hai điểm M, N.
a Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.
b Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng:
AC = 2EF.
Câu 4 (1,5 điểm) Cho a b c, , là ba số dương thoả mãn abc1 Chứng minh rằng :
3 3 3
a b c b c a c a b �
Bài 5 (1,0 điểm) Cho an = 1+2+3+…+ n Chứng minh rằng an + an+1 là một số chính phương.
Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh .
PHÒNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH HƯỚNG DẪN CHẤM
Trang 2TRƯỜNG THCS CẢNH HÓA ĐỀ KIỂM TRA HSG NĂM HỌC: 2018 -2019
Môn:Toán
Lớp: 8
Bài 1
(2,0đ)
Biểu thức:
2 2
a
(0.75) Rút gọn được kết qủa: 1
A
x 2
0.75
b
x 2
2
x 2
3
2 hoặc A=
5
c
(0.25)
d
(0.75) A Z x 2 Z
1
x-2 Ư(-1) x-2{ -1; 1}
x{1; 3}
0,5
Bài2
(2,0đ )
a
(1.0)
2 (6 x 8)(6 x 6)(6 x 7) 72 Đặt 6x 7 t. Ta có (t1)( 1)t t2 72�(t21)t2 72�t4 t2 72 0
4 9 2 8 2 72 0 2( 2 9) 8( 2 9) 0 ( 2 9)( 2 8) 0
t t t t t t t t
3
t �t �t� � x hoặc 5
3
x
PT có nghiệm là 2; 5
x � �
0.25
0.25 0.25 0.25
b
(1.0)
x2+9x+20= ( x+4)( x+5) ; x2+11x+30 = ( x+6)( x+5) ;
x2+13x+42 = ( x+6)( x+7) ;
(0,25 điểm)
ĐKXĐ : x 4 ; x 5 ; x 6 ; x 7 Phương trình trở thành :
18
1 ) 7 )(
6 (
1 )
6 )(
5 (
1 )
5 )(
4 (
1
x
18
1 7
1 6
1 6
1 5
1 5
1 4
1
x
18
1 7
1 4
1
x 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
(x+13)(x-2)=0
Từ đó tìm được x=-13; x=2;
0.25
0.25
0.25 0.25
Trang 3Câu 3
(3.5)
a
(1.0)
0.5
Ta có DAM = ABF� � (cùng phụ BAH� )
AB = AD ( gt)
BAF = ADM = 90� � 0 (ABCD là hình vuông)
� ΔADM = ΔBAF(g.c.g)
0.25
=> DM=AF, mà AF = AE (gt)
Nên AE = DM
Lại có AE // DM ( vì AB // DC )
0.25
Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành
Mặt khác.DAE = 90� 0 (gt) 0.25
b
(1.0)
Ta có ΔABH ΔFAH: (g.g)
=
hay BC= BH
Lại có HAB = HBC� � (cùng phụ ABH� )
ΔCBH ΔEAH
2 ΔCBH
ΔEAH
=
� �
� �, mà ΔCBH
ΔEAH
S
= 4
S (gt)
2
BC
= 4 AE
� �
� � �� � nên BC2 = (2AE)2
� BC = 2AE � E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD
0.25
c
(1.0)
Do AD // CN (gt) Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có:
� AD = AM
=
� 0.25 Lại có: MC // AB ( gt) Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có:
MN= MC AB = MC
AN MN 0.25
�
(Pytago)
0.25
�
N M
H F
E
B A
Trang 4Câu 4
(1.5)
Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với a, b, c � R và x, y, z > 0 ta có
2 2 2 2
a b c
(*)
Dấu “=” xảy ra � a b c
x y z
Thật vậy, với a, b � R và x, y > 0 ta có
2 2 2
a b
a b
(**)
� 2 2 2
a y b x x y �xy a b
� 2
0
bx ay � (luôn đúng) Dấu “=” xảy ra � a b
x y
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có
2 2 2 2 2 2
Dấu “=” xảy ra � a b c
a b c b c a c a b ab ac bc ab ac bc
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có
1 1 1
ab ac bc ab ac bc ab bc ac
a b c
(Vì abc1)
0.25
1 1 1 1 2
ab ac bc ab ac bc a b c
a b c � nên 2 2 2
3 2
ab ac bc ab ac bc �
0.25
a b c b c a c a b �
Bài 5
(1.0)
Ta có an+1= 1 +2 +3 +…+ n + n + 1
an+ an+1 = 2(1+ 2 + 3 +…+ n) + n + 1
= 2. ( 1)
2
n n
+n+1 = n2 +2n+1=(n+1)2 là một số chính phương
0.5 0.5
- HẾT