Cuc tri ham da thuc

Chøng minh ®å thÞ c¸c hµm sè sau cã ba ®iÓm cùc trÞ cïng n»m trªn mét Parabol:. a.[r]

Tuần 3

(Từ ngày 21/9/2009 đến ngày 26/9/2009)

cực trị hàm số đa thức

A Kiến thức cơ bản

1 Điều kiện cần: Hàm số y = f(x) liên tục, có đạo hàm tại điểm x0 và đạt cực trị tại điểm x0 thì f’(x0) = 0

2 Điều kiện đủ: Nếu hàm số f(x) liên tục trên một lân cận của điểm x0 và đổi dấu khi x đi qua x0 thì f(x) đạt cực trị tại x0

3 Quy tắc 1: Lập bảng biến thiên

4 Quy tắc 2: Sử dụng đạo hàm cấp 2

B Các dạng toán thờng gặp.

I Dạng I: Tìm cực trị của hàm số đa thức

* Kĩ năng tính nhanh cực trị của hàm số yf x( )ax3bx2 cx d a ;( 0)

- Nếu hàm số đạt cực trị tại các điểm x1;x2 thì ta có f’(x1) = f’(x2) = 0 nên ta chia

đa thức f(x) cho f’(x) ta đợc y = f’(x).q(x) + r(x) Từ đó suy ra giá trị cực trị

1 Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:

a y x 3 3x2 9x5 b y x 4  8x3 22x2  24x10

c y x 4  2x2  1 d y x3 3x2  1

e y x 3 3x2 4x 2 f 1 4 2 3

2 Tìm cực trị của các hàm số sau:

a y 2x  3 x2 4x5 b y x2  x 1 x2  x1

c 2 3

1

x y

x





1 1

x y





 

e y  1 3x5 x2 2 f y3x 10 x2

II Dạng II: Điều kiện để hàm số có cực trị

* Cho hàm số yf x( )ax3bx2 cx d a ;( 0), ta có:

2

f x  ax  bx c

a Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi f’(x) không đổi dấu:

+/ a = b = 0 và c khác 0

+/ 0

0

a 





 



b Hàm số có đúng một cực trị: f’(x)= 0 có nghiệm duy nhất: a = 0 và b khác 0

c Hàm số có hai cực trị (có CĐ và CT): f’(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt

d Hàm số có CĐ và CT với các hoành độ thỏa mãn điều kiện K:

- Điều kiện để hàm số có CĐ và CT: f’(x) = 0 có hai nghiệm x1; x2 phân biệt

- Vận dụng định lí Viet và kiểm tra điều kiện K

e Hàm số có CĐ và CT trong khoảng I: Phơng trình f’(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt trong khoảng I

f Hàm số có CĐ (hoặc CT) trong khoảng I: Lập BBT để suy ra các điểm cực trị

Điều kiện để hàm số có CĐ (hoặc CT) trong khoảng I là xCĐ (hoặc xCT) thuộc I

g Hàm số có CĐ và CT thỏa mãn xCĐ < xCT khi a > 0 và  0

Hàm số có CĐ và CT thỏa mãn xCĐ > xCT khi a < 0 và  0

h Hàm số đạt CĐ (hoặc CT) tại điểm x0: 0

0

'( ) 0

"( ) 0;( "( ) 0)

f x









y f x  mx  m x  m x Tìm m để:

a Hàm số có cực trị

b Hàm số đạt CĐ và CT tại x1; x2 thỏa mãn x1+ 2x2 = 1

c Hàm số đạt CĐ và CT tại các điểm có hoành độ dơng

d Hàm số đạt CĐ và CT thỏa mãn xCĐ < xCT

e Hàm số đạt CĐ tại điểm x0 = 0

2 Cho hàm số y f x( )x33mx2 3(m2  1)x m 3 3m

Cmr với mọi m hàm số đã cho luôn có CĐ và CT; đồng thời khi m thay đổi thì các

điểm CĐ, CT luôn chạy trên hai đờng thẳng phân biệt

Hớng dẫn:

- Chứng minh phơng trình f’(x) = 0 luôn có hai nghiệm pb

- Tìm y1 = f(x1) và y2 = f(x2) sau đó rút gọn m để tìm quỹ tích

( ) (cos 3sin ) 8(cos 2 1) 1 3

a Cmr hàm số đã cho luôn có CĐ, CT

b Giả sử hàm số đạt cực trị tại các điểm x1 và x2 Cmr: x12x22 18

4 Cho hàm số y f x( )x3  2(cosasin )a x2 sin 2a x 1

a Tìm a để hàm số có cực trị

b Giả sử hàm số đạt cực trị tại các điểm x1 và x2 Tìm a để: x1x2 x12 x22

5 Cho hàm số y f x( )x4 8mx3 3(1 2 ) m x2 4 Tìm m để:

a Hàm số có cực đại và cực tiểu với tổng bình phơng các hoành độ bằng 27

b Hàm số có CĐ, CT với các hoành độ không âm

c Hàm số chỉ có CT mà không có CĐ

Hớng dẫn:

x







a Hàm số có CĐ và CT (có 3 cực trị) khi f’(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt Điều kiện là g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 Gọi x1; x2 là các nghiệm của phơng trình g(x) = 0 thì điều kiện bài toán là:

2 2

1 2

5

6

b Hàm số có CĐ, CT với các hoành độ không âm khi g(x) = 0 có hai nghiệm

d-ơng phân biệt ĐS: 1 1 7



c Hàm số chỉ có CT mà không có CĐ khi:

( ) 0; ' 0

g x      x   m 

+/ g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 0:

' 0 1 (0) 0 m 2

g

 



 







6 Cho hàm số yf x( )x4 2mx2 2m m 4 Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm CĐ và CT là các đỉnh của một tam giác đều

Hớng dẫn:

- Hàm số có CĐ, CT khi f’(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt ( m > 0)

- Khi đó ta có các điểm cực trị là:

A m  m B  m m  m  m C m m  m  m

- Điều kiện để tam giác ABC đều là:

AB AC

AB BC











7 Cho hàm số y f x( )x4 mx3mx2 mx1

Chứng minh rằng với mọi m hàm số không thể đồng thời có CĐ và CT

Hớng dẫn:

- Ta có

3

2

4 '( ) 0 ( )

x



 

- Số nghiệm của phơng trình f’(x) = 0 là số giao điểm của đờng thẳng y = m với

đồ thị hàm số y = g(x)

- Ta có:

(3 2 1)

 

nên hàm số y = g(x) luôn nghịch

biến Suy ra phơng trình g(x) = m có đúng một nghiệm, tức là f’(x) = 0 có đúng một nghiệm Vậy, hàm số không thể đồng thời có CĐ và CT

8 Cho hàm số y f x( )x4  6x2 4x6 Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có 3

điểm cực trị và gốc tọa độ O là trọng tâm tam giác tạo bởi 3 điểm cực trị đó

Hớng dẫn:

- Ta có: f x'( ) 4 x3 12x4

- Nhận xét: f’(-2) = - 4; f’(-1) = 12; f’(1) = - 4; f’(2) = 12 Từ đó suy ra phơng trình f’(x) = 0 luôn có ba nghiệm phân biệt với mọi m Vậy đồ thị hàm số luôn có

ba điểm cực trị với mọi m

- Giả sử các điểm cực trị là A x y B x y C x y( ; ); ( ; ); ( ; )1 1 2 2 3 3 thì ta có:

+/ x1x2 x3 0

2

1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3

3 0 2( 3) 0 6 0

Suy ra O(0; 0) là trọng tâm tam giác ABC

III Dạng III: Đờng thẳng (đờng cong) đi qua các điểm cực trị.

* Bài toán 1: Cho hàm số y f x( )ax3bx2cx d Viết phơng trình đờng thẳng đi qua các điểm CĐ và CT của đồ thị hàm số:

- Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

- Giả sử A x y B x y( ; ); ( ; )1 1 2 2 là các điểm cực trị của đồ thị hàm số Khi đó

ta có f x'( )1 f x'( ) 02  (*)

- Chia y cho y’ ta đợc: yf x q x'( ) ( ) r x( ) Do điều kiện (*) nên ta có:

1 ( );1 2 ( )2

y r x y r x Từ đó suy ra các điểm cực trị có tọa độ thỏa mãn phơng trình đờng thẳng y r x ( )

* Bài toán 2: Cho hàm số y f x( )ax4 bx3cx2 dx e Viết phơng trình

đờng cong đi qua các điểm CĐ và CT của đồ thị hàm số:

- Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu (có 3 cực trị)

- Giả sử A x y( ; )0 0 là điểm cực trị của đồ thị hàm số Khi đó f x '( ) 00 (*)

- Chia y cho y’ ta đợc: y f x q x'( ) ( ) r x( ) Do điều kiện (*) nên ta có:

0 ( )0

y r x Từ đó suy ra các điểm cực trị có tọa độ thỏa mãn phơng trình đờng cong y r x ( )

1 Viết phơng trình đờng thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị các hàm số sau:

a y x 3 x2  94x95

b y x 3 3x2  6x8

2 Tìm tham số m để đồ thị các hàm số sau có CĐ, CT và viết phơng trình đờng thẳng đi qua các điểm cực trị:

a y x 3 3(m1)x2 2(m2 7m2)x 2 (m m2)

b y3x33(m 3)x2 11 3 m

c y x 3mx2 7x3

d y x 3  3(m 1)x2 (2m2 3m2)x m m (  1)

e y 2x3 3(3m1)x2 12(m2 m x) 1

3 Cho hàm số y f x( )x3 3mx2 4m3 Tìm m để các điểm CĐ, CT của đồ thị hàm

số đối xứng nhau qua đờng thẳng ( ) : y x 

Hớng dẫn:

- Ta có: y' 3 x2  6mx và 1 2 3

m

- Điều kiện để hàm số có CĐ, CT là y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt  m0

- Giả sử A x y B x y( ; ); ( ; )1 1 2 2 là các điểm cực trị Ta có:

1 2 2 ; 1 2 0; 1 2 1 4 ; 2 2 2 4

x x  m x x  y  m x  m y  m x  m Suy ra phơng trình đờng thẳng AB là: y 2m x2 4m3

- Gọi I là trung điểm đoạn AB Khi đó, điều kiện để A và B đối xứng nhau qua đờng thẳng ( ) : y x  là:

2

1 2 1 2

2 2

m AB

m

I

 

 



4 Cho hàm số y x 3 3x2m x m2  Xác định m để các điểm CĐ, CT của đồ thị hàm

số đối xứng nhau qua đờng thẳng ( ) : x 2y 5 0

5 Cho hàm số 3 3 2

2

y x  mx m Xác định m để các điểm CĐ, CT của đồ thị hàm số nằm về hai phía của đờng thẳng ( ) : x y 0

6 Cho hàm số y mx 3 3mx2 (2m1)x 3 m Xác định m để hàm số có CĐ, CT Cmr đờng thẳng đi qua các điểm cực trị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định

7 Chứng minh đồ thị các hàm số sau có ba điểm cực trị cùng nằm trên một Parabol:

a y x 4  x3 5x2 1

b 1 4 3 2

4

c y x 4  6x2 4x6

8 Cho hàm số y x 4(m1)x2 1

a Tìm m để hàm số có CĐ, CT

b Xác định phơng trình đờng cong đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số

9 Cho hàm số 1 4 3 3 2

a Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị

b Xác định phơng trình đờng cong đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số