Một số bài toán cực trị cho đa thức nhiều biến

Lời cam đoanTôi xin cam đoan nội dung trong luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giảitích với đề tài: "MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ CHO ĐA THỨC NHIỀU BIẾN"được hoàn thành bởi nhận thức của tôi,

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

—————————————————

LÃ THỊ THANH XUÂN

MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ CHO ĐA THỨC NHIỀU BIẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

—————————————————

LÃ THỊ THANH XUÂN

MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ CHO ĐA THỨC NHIỀU BIẾN

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa họcGS.TSKH NGUYỄN QUANG DIỆU

Thái Nguyên - Năm 2017

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan nội dung trong luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giảitích với đề tài:

"MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ CHO ĐA THỨC NHIỀU BIẾN"được hoàn thành bởi nhận thức của tôi, không trùng lặp với luận văn, luận án

và các công trình đã công bố

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017

Người viết Luận văn

Lã Thị Thanh Xuân

Lời cảm ơn

Qua luận văn này, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trongkhoa Toán trường Đại học sư phạm Thái Nguyên nói chung và các thầy côtrong chuyên ngành Toán Giải tích nói riêng đã tạo điều kiện cho em học tập

và nghiên cứu Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH.Nguyễn Quang Diệu, người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ em trongsuốt quá trình làm luận văn Em xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọingười đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ em để em có thể hoàn thànhnhiệm vụ của mình Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình

độ còn hạn chế và nội dung luận văn còn khá mới mẻ nên bản thân khóa luậnkhó tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong các thầy cô, và các bạn học viênnhận xét, đóng góp ý kiến để bản luận văn này được hoàn thiện và phát triểnhơn Em xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017

Người viết luận văn

Lã Thị Thanh Xuân

Mục lục

1.1 Định nghĩa hàm chỉnh hình 4

1.2 Định nghĩa đa thức Chebyshev 5

1.2.1 Đa thức Chebyshev loại một 5

1.2.2 Đa thức Chebyshev loại hai 5

1.3 Tập lồi, nón lồi, phiếm hàm Minkowski 6

1.3.1 Tập lồi 6

1.3.2 Nón lồi 7

1.3.3 Phiếm hàm Minkowski 8

1.4 Bất đẳng thức Chebyshev và bất đẳng thức Remez 12

2 BÀI TOÁN CỰC TRỊ CHEBYSHEV VÀ BÀI TOÁN CỰC

Bằng cách sử dụng đa thức Chebyshev chúng ta có thể đưa ra các ước lượng

về chuẩn của các đa thức trên các tập compact của R Kết quả quan trọngsau đây được tìm ra bởi Remez ở đầu thế kỉ XX

B Bài toán Remez Ước lượng chuẩn của một đa thức trên một tập K ⊂ Rm

bằng chuẩn của nó trên một tập con của K với độ đo "đủ lớn" Nghĩa là đánhgiá đại lượng sau khi mà 0 < ε < 1 đã cho trước

sup

(

kpkC(K)kpkC(F ) : p ∈ Pn, p 6≡ 0; F ⊂ K, ηm(F ) ≥ (1 − ε) ηm(K)

)

Lời giải của hai bài toán được biết trong trường hợp một biến nhờ hai định

lý trên Nội dung của luận văn là trình bày lại các kết quả chính của bài báo

“ Some Extremal Problems for Multivariate Polynomials on Convex Bodies”,

nhằm giải quyết hai bài toán nêu trên Để làm được điều đó chúng tôi chialuận văn thành 2 chương:

Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày khái niệm về hàm chỉnh hình, tập lồi,nón lồi, phiếm hàm Minkowski, bất đẳng thức Chebyshev và bất đẳng thứcRemez ,các kí hiệu, khái niệm và một số tính chất cơ bản Đặc biệt là chúngtôi trình bày cách xây dựng và tính chất của đa thức Chebyshev Đồng thờichúng tôi trình bày bất đẳng thức Chebyshev và Remez cho đa thức một biến.Chương II: Một số bài toán cực trị của đa thức nhiều biến trên vật thể lồiĐây là chương chính của luận văn Trong chương này chúng tôi mở rộng bấtđẳng thức Chebyshev và Remez trong trường hợp nhiều biến, từ đó đưa ra lờigiải cho bài toán Chebyshev và bài toán Remez

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017

Người viết Luận văn

Lã Thị Thanh Xuân

Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của f

tại z, kí hiệu là f0(z) hay dfdz(z)

Như vậy f0(z) = lim

Nói cách khác f liên tục tại z

Cũng như đối với hàm biến thực, bởi quy nạp ta viết

f(k) = (f(k−1))0

nếu vế phải tồn tại và gọi là đạo hàm phức cấp k của f trên D.

1.2 Định nghĩa đa thức Chebyshev

1.2.1 Đa thức Chebyshev loại một

Định nghĩa 1.2.1 Đa thức Chebyshev bậc n loại một Tn(x) được xác địnhnhư nghiệm của phương trình sai phân

Tn+1(x) − 2xTn(x) + Tn−1(x) = 0

T0(x) = 1

T1(x) = x

Nghiệm của phương trình sai phân trên là

Tn(x) = cos(n arccos x), Tn(cos θ) = cos(nθ), (n = 0, 1, 2, )

1.2.2 Đa thức Chebyshev loại hai

Định nghĩa 1.2.2 Đa thức Chebyshev bậc n loại hai Un(x) được xác địnhnhư nghiệm của phương trình sai phân

Un+1(x) − 2xUn(x) + Un−1(x) = 0

U0(x) = 1

U1(x) = 2x

Nghiệm của phương trình sai phân trên là

x = cos θ, Un(cosθ) = sin[(n + 1)θ]

sin θ .

1.3 Tập lồi, nón lồi, phiếm hàm Minkowski

Trong mục này ta sẽ trình bày các khái niệm tập lồi trong không gian Rn

và phiếm hàm Minkowski kết hợp với các tập hợp đó

Ta nêu ra dưới đây một số tính chất cơ bản của tập lồi

a) Giao của một họ bất kỳ các tập lồi là lồi

Ta gọi bao lồi của một tập A ⊂Rn, ký hiệu coA, là giao của tất cả các tập lồichứa A Từ tính chất trên coA cũng là một tập lồi và là tập lồi bé nhất chứaA.Một tổ hợp affine x = Pm

i=1λiai với các λi ≥ 0 sẽ được gọi là một tổ hợplồi của các véc tơ {a1, , am}

b) coA = x / x là tổ hợp lồi của các véc tơ thuộc A.

c) C là tập lồi khi và chỉ khi C = coC, tức là

C =

( mX1

λiai|m ∈ N∗; ai ∈ C; λi ≥ 0 :

mX1

Một tập K ⊂ Rn được gọi là nón nếu với mọi điểm k ∈ K và λ > 0 ta

có λk ∈ K Nếu hơn nữa, K là tập lồi thì nó sẽ được gọi là nón lồi Một tổhợp tuyến tính Pmi=1λiai sẽ được gọi là một tổ hợp dương nếu λi ≥ 0 với mọi

i, là tổ hợp dương không tầm thường nếu tồn tại ít nhất một hệ số λi dươngchặt

Ta nêu ra dưới đây một số tính chất cơ bản của nón lồi

a) Giao của một họ bất kỳ các nón lồi là nón lồi

Ta gọi bao nón lồi của một tập A ⊂ Rn , ký hiệu con coA, là nón lồi bé nhấtchứa A

b) K là nón lồi khi và chỉ khi K = con coK, tức là

K =

( mX1

λiki|m ∈; ki ∈ K; λi ≥ 0 :

mX1

f (x) := infα > 0 : αx ∈ K với ∀x ∈ cone (K) := {ax : x ∈ K; a > 0}

Bổ đề 1.3.3.1 Phiếm hàm Minkowski có các tính chất sau

a) f là hàm lồi trên cone(K)

b) 0 < f (x) < ∞ (x ∈ cone (K))

c) f (x) ≤ 1 với ∀x ∈ K và f (x) < 1 với ∀x ∈ Int (K)

d) f (tx) = tf (x) với ∀t > 0, ∀x ∈ cone (K)

Chứng minh a) f là hàm lồi trên cone(K)

Thật vậy, nếu x, y ∈ cone(K), và 0 ≤ θ ≤ 1 thì x/f (x) , y/f (y) ∈ K, và dotính lồi của K nên

b) 0 < f (x) < ∞ (x ∈ cone (K))

Thật vậy, với x ∈ cone (K) ⇒ x = ax0 với x0 ∈ K ⇒ x

a ∈ K ⇒ f (x) ≤ a <+∞

Bổ đề 1.3.3.2 Cho K là một vật thể lồi, x0 ∈ K Khi đó hai phát biểu sauđây tương đương với nhau:

(i) f (x) ≥ f (x0) cho mỗi x ∈ K ;

(ii) Tồn tại siêu phẳng tựa song song cho tập K tại điểm x0 và x0/f (x0)

Chứng minh (i) 7→ (ii) Hiển nhiên ta có 0 < f (x0) < 1 Xét một tia l phát

ra từ gốc tọa độ và đi qua điểm x0 Khi đó, x0 sẽ là một điểm vào của l tới K,

và x0/f (x0) là một điểm ra từ K Xét tập mở lồi K1 = K0 + x0 − x0/f (x0)

trong đó K0 := intK là tập trong K Chúng ta sẽ chỉ ra rằng K1 ∩ K0 = ∅.Giả sử phản chứng, tồn tại x1, x2 ∈ K0 sao cho x1 = x2 + x0 − x0/f (x0) Khiđó

mâu thuẫn với tính cực tiểu của x0

Bởi vậy nếu K1∩ K0 = ∅ thì do K1 và K0 là tập lồi và mở Theo định lý Hahn– Banach chúng có thể tách rời bằng một phiếm hàm tuyến tính liên tục Khi

đó, với c khác không thuộc Rm ta có

hx, ci ≤ hy, ci , x ∈ K1, y ∈ K0

Bởi vì mối quan hệ trên cũng đúng cho tập đóngK0 vàK1 = K0+x0−x0/f (x0)

Nghĩa là L2 := {x ∈ Rm : hx, ci = hx0/f (x0) , ci} là một mặt phẳng tựa cho

K tại x0/f (x0) ∈ K Vì siêu phẳng L1 và L2 là song song với nhau nên suy rađược phát biểu (ii)

(ii) 7→ (i) Giả sử rằng với c ∈ Rm ta có

hx0, ci > 0 (1.5)

x +px2 − 1n +x −px2 − 1n, x ∈ C,

= n2

[n/2]

Xk=0

Nói cách khác Tn ∈ Pn nhận giá trị ±Tn[−1,1] và đan dấu với số lần cực đạitrên đoạn [-1,1] (Những điểm cực trị gồm cos (kπ/n) , k = 0, 1, , n Đa thứcChebyshev Tn có tính chất cực trị sau đây:

Định lý 1.4.1 ( Bất đẳng thức Chebyshev ) Cho là đa thức bậc n, hệ sốcao nhất bằng 1

Hơn nữa cực tiểu đạt được duy nhất tại p (x) = 21−nTn(x)

Chứng minh Ta chia chứng minh làm hai bước

Bước 1: Ta chứng minh sup

và dấu bằng đạt được khi q (x) = xn− 21−nTn(x)

Ta chỉ cần chứng minh đối với trường hợp q ∈ Pn−1 vì khi q ∈ Pcn−1 , ta

có thể xét đa thức phần thực của q thay cho q

Từ công thức trên của Tn ta có

vì vậy

21−nTn(x) − (xn− f (x)) = s (x) + f (x) ∈ Pn−1

đổi dấu giữa hai cực trị liền nhau của Tn , vì vậy nó sẽ bằng không ít nhất tại

n điểm trên (-1,1), thế nên nó sẽ bị triệt tiêu cùng nhau Điều này mâu thuẫnvới chứng minh tính duy nhất trong bước 2

Bước 2 Chứng minh tính duy nhất của cực tiểu

Trong đó Tn đa thức Chebyshev cấp được định nghĩa trong (1.6.1) Dấu bằngxảy ra khi và chỉ khi

cũng mâu thuẫn mới giả thiết cực đại của p*

Bây giờ ta chỉ ra rằng |p∗(ζ)|= ||p∗|| không đúng nếu ζ ∈ (−1, 1) Để chứngminh, không giảm tính tổng quát ta giả sử |p∗(ζ)|= ||p∗|| Khi đó đa thức

q1(x) := p∗

ζ−1

2 + ζ+12 x



và q2(x) := p∗

ζ+1

2 + ζ−12 x



thỏa mãn qj (1) = kqjk = kp∗k , j = 1, 2 Vì p∗ ∈ Pn(s) là cực trị nên độ đoLebesgue m(Ωj) của

p1(x) :=

mYj=1

Định lý được chứng minh.

Chương 2

BÀI TOÁN CỰC TRỊ CHEBYSHEV

VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ REMEZ

Trong chương này chúng ta sẽ mở rộng bất đẳng thức Chebyshev và Remez

về ước lượng chuẩn của các đa thức nhiều biến trên các tập compact của Rn Xét tập Pn gồm những đa thức giá trị phức của m biến thực và bậc caonhất là n:

Pn :=





X

xk = Qm

j=1xkj

j và |k| = k1 + + km Cho một tập compact K ⊂ Rm ký hiệubởi kpkC(K) := supx∈K |p (x)| chuẩn đều của p trên K, và đặt ηm(K) là độ đoLebesque m chiều của K ⊂ Rm

Trong chương này, chúng ta xét 2 bài toán cơ bản sau

A Bài toán Chebyshev Ước lượng chuẩn của một đa thức trên tập F vớiđiều kiện chuẩn của nó trên một tập K là biết trước, cụ thể hơn với F,K ⊂ Rm

cho trước chúng ta ước lượng đại lượng

B Bài toán Remez Liên quan tới ước lượng chuẩn của một đa thức trên

một tậpK ⊂ Rm bởi chuẩn của nó trên một tập con của K với độ đo "đủ lớn",

đó là với 0 < ε < 1 đã cho, xác định:

sup

(

kpkC(K)kpkC(F ) : p ∈ Pn, p 6= 0; F ⊂ K, ηm(F ) ≥ (1 − ε) ηm(K)

)

Lời giải của bài toán trên được biết trong trường hợp một biến, khi K

là những khoảng hữu hạn trên trục số thực Nghiệm này dựa trên đa thức

Chebyshev loại 1 được định nghĩa bởi

Tn(x) = cos(n arccos x), (|x| ≤ 1)

Bất đẳng thức Chebyshev [1, mục 5 1] Với mọi p ∈ Pn(m = 1) và x ∈ R

[−1, 1] ta có

|p (x)| ≤ Tn(|x|) kpkC[−1,1] (2.1)Bất đẳng thức Remez [7] Cho p bất kỳp ∈ Pn(m = 1)thỏa mãnη1{x ∈ [−1, 1] : |p (x)| ≤ 1} ≥

Ước lượng (2.1) và (2.2) là rõ ràng bởi vì chúng đạt được với Tn hoặc dịch

chuyển của nó Bởi vậy (2.1) và (2.2) cho nghiệm chính xác đối với bài toán

A và B trong trường hợp K là một đoạn thẳng (chú ý rằng trong [7] bất đẳng

thức (2.2) đã được chứng minh với đa thức có hệ số thực, nhưng trong trườnghợp hệ số phức thì ta cũng có thể suy ra từ hệ quả của ước lượng thực).

Mục đích của luận văn là mở rộng bất đẳng thức Chebyshev và Remez trongtrường hợp nhiều biến Trong phần đầu tiên tôi sẽ xét bài toán Chebyshev nhiềubiến Phần tiếp theo sẽ là bài toán Remez với đa thức nhiều biến

2.1 Bất đẳng thức Chebyshev cho đa thức nhiều biến

Để bắt đầu, ta sẽ đưa ra một số ký hiệu và định nghĩa Cho K ⊂ Rm làmột tập compact, a, b ∈ K và c ∈ Rm, c 6= 0 sao cho hc, ai ≤ hc, bi ( Trong đó

hx, yi ký hiệu là tích vô hướng của x, y ∈ Rm ) Khi đó tập điểm

S := {x ∈ R : hc, ai ≤ hc, xi ≤ hc, bi} , (a, b ∈ K) (2.3)được gọi là miền tựa cho tập K nếu K ⊂ S Bởi vậy, miền tựa của K bao gồmtập hợp những điềm nằm trong giữa hai siêu phẳng tựa song song của K Kýhiệu S (K) là tập tất cả các miền tựa của K Hơn nữa, với mỗi một miền tựa

S cho bởi (2.3), mở rộng bậc α của S (α > 1) được định nghĩa như sau

Điều đó dẫn đến khái niệm mở rộng bậc α của một tập K ⊂ Rm như sau

Kα := {∩Sα : S ∈ S (K)} , α > 1

Rõ ràng,K ⊂ Kα ⊂ Kβ (1 < α < β) Sử dụng ký hiệu này ta xây dựng khoảngcách từ một tập F tới K theo công thức

% (F, K) := inf {α : Kα ⊃ F } (2.5)Dựa trên định nghĩa này ta có thể giải bài toán Chebyshev trong trường hợp

K ⊂ Rm là một vật thể lồi, nghĩa là tập con lồi của Rm với phần trong khácrỗng

Định lý 2.1.1 ChoK ⊂ Rm là một vật thể lồi bất kỳ, xét tập compact F ⊂ Rm(m ≥ 1) Khi đó

sup

(

kpkC(F )kpkC(K) : p ∈ Pn, p 6= 0

)

= Tn(% (F, K)) (2.6)Chú ý Trong trường hợp đặc biệt khi tập nền K là lồi ngặt và tập compact

F bao gồm một điểm duy nhất (2.6) đã được nghiên cứu bởi Rivlin và Shapiro[8] Phương pháp tiếp cận của tôi dựa trên ký hiệu của khai triển α được giớithiệu ở trên, đưa ra nghiệm hình học đơn giản trong trường hợp tổng quátmới tập compact F bất kỳ Một đặc trưng khác của chứng minh Định lý 2.1.1

là nó có thể ứng dụng với bất kỳ một vật thể phức K Trong trường hợp khi

F = Bm, đường tròn đơn vị trong Rm , cũng được nghiên cứu trong bài báocủa Brudnyi và Ganzburg [3]

Nguyên lý cơ bản của phương pháp tiếp cận này so với phương pháp [3]

là việc sử dụng Định lý 2.1.1 của khoảng cách % dựa trên ký hiệu khai triển α.Khai triển α của một vật thể lồi dẫn đến "mặt phẳng định mức" khi %

là một hằng số Điều đó được chỉ ra sau đây khi bổ xung giả thuyết K là

đối xứng (nghĩa là 0 ∈ K , và x ∈ K kéo theo −x ∈ K ) chúng ta có

Để chứng minh Định lý 2.1.1 ta cần bổ đề sau đây về thông tin hình họccủa Kα

Bổ đề 2.1.2 Cho K ⊂ Rm là một tập compact bất kỳ Khi đó với mỗi mộtmiền tựa S ∈ S (K) cho bởi (2.3) ta có

c,eb + (α − 1)eb −ea

2

+)

(2.8)

c, a −ebE ≥ 0; 1+α2 hec, b −eai ≥ 0 (α > 1)

và bởi vậy

ec, b + (α − 1)b−a2  = 1−α2 hec, ai + 1+α2 hec, bi

≥ 1−α 2

De

Hệ quả 2.1.3 ChoK ⊂ Rm là một vật lồi (m ∈N ) Khi đó với mọi x∗ ∈ R\K

tồn tại một đường thẳng l đi qua x∗ với K ∩ l = [A, B], sao cho K chứa siêuphẳng tựa song song tại A và B

Chứng minh Ta giả sử rằng x∗ = 0 Xét hàm f(x) tương ứng được định nghĩatrong 1.1.3 Cho x0 ∈ K là một điểm mà tại đó f(x) đạt giá trị cực tiểu Khi

đó, từ Bổ đề 1.1.3.2 ta có K sẽ chứa siêu phẳng tựa song song tại A := x0 và

B := x0/f (x0) và K cũng chứa điểm nằm trên đường thẳng đi qua gốc tọa độ.Chú ý với một vật lồi ngặt K hệ quả trên được suy ra từ [8]

Bây giờ ta sẽ xác định chuẩn của hàm tử điểm định giá trong không gian

Chứng minh Từ Hệ quả 2.1.3, tồn tại đường thẳng l đi quax∗ vớiK∩l = [A, B]

sao cho với c ∈ Rm

α1 < α ta có x∗ ∈ S/ α1, trong đó S là một dải tựa cho K được định nghĩa bởi(2.13) Khi đó α = % (x∗, K) Xét một điểm bất kỳ p ∈ Pn với kpkC(K) = 1

Vậy nên p (t) = p ((A + B) /2 + t (B − A) /2)e là một đa thức đơn biến với

(t ∈ R)bậc cao nhất là n, và|p (t)| ≤ 1e vớit ∈ [−1, 1] Do vậy, từ bất đẳng thứcChebyshev với hàm một biến (sử dụng với x∗ = (A + B) /2 + γα (B − A) /2

≤ 1, x ∈ K,

tức là đa thức (2.15) có

|p∗n(x)| ≤ 1, x ∈ K (2.16)Mặt khác, vì x∗ = (A + B) /2 + γα (B − A) /2 (γ = 1 hoặc – 1 ) và từ (2.15)

ta thu được

|p∗n(x∗)| =



= Tn(α) = Tn(% (x∗, K))

Đẳng thức này cùng với (2.16) ta suy ra được cận dưới của Định lý 2.1.4.Chú ý rằng Định lý 2.1.4 trùng với Định lý 2.1.1 nếu F = {x∗}là một đơn

điểm Hơn nữa rõ ràng là

% (F, K) = sup

x∈F

% (x, K)

Định lý 2.1.1 được suy ra trực tiếp từ (17)

Nhận xét 2.1.5 a) Khi vật lồi K là đối xứng, dải tựa của nó có thể được miêu

tả bởi (8) với a = −b Từ đó kết hợp với Bổ đề 2.1.2 suy ra được Kα = αK

và % (x, K) là hàm Minkowski trong trường hợp đối xứng

b) Dễ dàng nhìn thấy Định lý 2.1.1 và Định lý 2.1.4 không còn đúng nữa nếu

K không phải vật lồi: Thật vậy, trong trường hợp đó, tồn tại ex ∈ conv (K) \K

trong đó conv(K) là một bao lồi của K Mặt khác, với mọi α > 1 ta có Kα ⊃

conv(K) vì Kα là lồi và Kα ⊃ K (α > 1) Điều đó nghĩa là x ∈ Ke α với bất

kỳα > 1, nghĩa là % (x, K) = 1e Bởi vậy (2.12) là đúng với một tập K không lồidẫn tới với mọi p ∈ Pn sao cho |p| ≤ 1 trên K, ta sẽ có |p| ≤ 1 trên conv(K).Nhưng điều này là sai về mặt tổng quát

2.2 Bất đẳng thức Remez cho đa thức nhiều biến

Trong phần này chúng ta sẽ tìm hiểu bài toán Remez nhiều biến Bàitoán này bao gồm ước lượng kpkC(K) với p ∈ Pn và K ⊂ Rm với điều kiện

|p| ≤ 1 trên tập con F ⊂ K thỏa mãn ηm(F ) ≥ (1 − ε) ηm(K)

Ta giới thiệu một đại lượng tương ứng là phương tiện để giải quyết bài toántrên: cho một tập K ⊂ Rm với ηm(K) > 0, đặt

Φn,m(K, ε) = sup

0<ε<1

(

kpkC(K)kpkC(F ) : p ∈ Pn, p 6= 0; F ⊂ K, ηm(F ) ≥ (1 − ε) ηm(K)

)

2.2 Bất đẳng thức Remez cho đa thức nhiều biến

Trong phần tìm hiểu toán Remez nhiều biến Bàitoán bao gồm... (1 − ε) ηm(K)

Ta giới thiệu đại lượng tương ứng phương tiện để giải toántrên: cho tập K ⊂ Rm với ηm(K) > 0, đặt

Φn,m(K,...



= Tn(α) = Tn(% (x∗, K))

Đẳng thức với (2.16) ta suy cận Định lý 2.1.4.Chú ý Định lý 2.1.4 trùng với Định lý 2.1.1 F = {x∗}là