NW359 360 DẠNG 49 cực TRỊ số PHỨC GV

Đoạn AB nếu2aABDạng 1:Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.. Ta có  Quỹ tích điểm M x y ;  biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn AB với Dạng 2:Quỹ tích điểm biểu di

z a  b  abi  a  b  a b a b z z z z

.Lưu ý:

Đoạn AB nếu2aAB

Dạng 1:Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng

 Cho số phức z thỏa mãn z a bi  z , tìm z Min Khi đó ta có

 Quỹ tích điểm M x y ;  biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn OA với A a b ; 



2 2 0

 Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi   z c di . Tìm zmin Ta có

 Quỹ tích điểm M x y ;  biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn AB với

Dạng 2:Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn

 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi   R 0 z z 0 R

Dạng 3:Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip

 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c  z c 2 ,a a c   Khi đó ta có

1 2 0

22

Ta có: P z z3 CM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của C lên  Pmin d C ; 

 Dạng 2: Cho số phức z thoả mãn z z 0  Tìm GTNN, GTLN của R P z z1

Phương pháp: Đặt M z I z   ; 0 ;E z 1

lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z z z Khi đó ; ;0 1

từ giả thiết z z 0 R  IM  R M thuộc đường tròn tâm I bán kính R Ta có: P z z1 ME

lớn nhất  MEmax và Pmin  MEmin

Khi đó: Pmax IE R và Pmin IE R

Ta có: P HM KM HK Dấu bằng xảy ra  M M0 HK  Khi đó Pmin HK.

TH2: ,H K nằm cùng phía so với đường thẳng 

Gọi H  là điểm đối xứng của 

Ta có: P MH MK  MHMKH K Dấu bằng xảy ra khi M M0 H K  

Khi đó từ giả thiết ta có: z z 1  z z2

suy ra MA MB hay tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là

đường trung trực  của AB

Gọi I là trung điểm của HK

2 2

Ta có:

2 22

z  R  N thuộc đường tròn tâm K bán kính R 2

Ta có: P MN Dựa vào các vị trí tương đối của hai đường tròn để tìm MNmax;MNmin.

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021) Xét hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 z1 1,z2  và2

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm Min,Max mođun của số phức

Đặt z1= +a bi z, 2 = + với , , ,c di a b c dÎ ¡ Theo giả thiết thì

Gọi M x y ;  là điểm biểu diễn số phức z ta có: z 2i  z 4i

Biểu thức P z 2 AM trong đó A2;0, theo hình vẽ thì giá trị lớn nhất của P z 2 đạtđược khi M4;3 nên    

z w   z w 

, 1

Ta có z1  3i 5   2 2iz1   6 10i  4  1

; iz2  1 2 i    4  3 z2  6 3  i  12  2

.Gọi A là điểm biểu diễn số phức 2iz1, B là điểm biểu diễn số phức 3z2 Từ  1 và  2 suy rađiểm A nằm trên đường tròn tâm I 1 6; 10   và bán kính R 1 4; điểm B nằm trên đườngtròn tâm I26;3 và bán kính R 2 12.

I 2

I 1

B A

Câu 4. Cho số phức z và w thỏa mãn z w  3 4i và z w  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức9

T z w

A maxT  176 B maxT  14 C maxT  4 D maxT  106

Lời giải Chọn D

Đặt z x yi x y   ,   Do  z w  3 4i nên w3 x  4 y i

.Mặt khác z w  nên 9 z w  2x 322y 42  4x24y212x16y25 9

x 12 y 22 y 12 x2 y x 2

Khi đó T  x yi 1 3i  x12y 32  x12x52

 22

.Vậy Tmin 3 2, dấu bằng xảy ra x2;y0, hay z 2

Câu 6. Cho số phức z và 1 z thỏa mãn 2 z1 z2  , 1 z1z2  Tính giá trị lớn nhất của 3 T z1  z2

A T  10 B T  10 C T  4 D T  8

Lời giải Chọn A

Theo công thức đường trung tuyến ta có:

A 34 1 B 1 34 C 2 13 D 3 17.

Lời giải Chọn B

, với điểm M biểu diễn số phức z và nằm trên đường tròn

 C ; điểm A2; 3 

Suy ra T MA MI IA R IA     1 34

Câu 8. Cho các số phức z , w thỏa mãn z 3w  , 2 34 z w 10

Tìm giá trị lớn nhất của4

2z3w 10 4 z 9w  6 z w z w 100

, 2

Lời giải Chọn C

Suy ra K 4 2 Vậy Kmax 4 2

Câu 10. Xét các số phức z thỏa mãn 1 z1 22 z1i2  và các số phức 1 z thỏa 2 z2 4 i  5

Giátrị nhỏ nhất của z1 z2

Suy ra: min  

55

w i 

và

524

   C : x  3 2  y  2 2  9

Ta có: P MA MB   , với A1; 2 , B5; 2

Gọi H là trung điểm của AB, ta có H3; 2 Khi đó:

PMA MB  MA MB  MH AB

.Mặt khác: MHKH với mọi điểm M C ,

Gọi A B, là hai điểm biểu diễn cho hai số phức z và 1 z 2

+) z1   2 3i   2 A thuộc đường tròn tâm I  2;3, bán kính R  1 2

+) z2  1 2  i   1 z2  1 2  i   1 z2  1 2  i   1 z2  1 2  i   1 B

thuộc đường tròn tâm J1; 2  , bán kính R  2 1

Vì IJ  34  3 R1 R2 nên hai đường tròn I R; 1 và J R; 2 ngoài nhau

.Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1  z2 bằng 3 34

Câu 14. Cho hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 z  1 5 5 và z2   1 3i z2  3 6  i Giá trị nhỏ nhất của

biểu thức z1  z2 bằng

A

12

Lời giải Chọn C

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 1 z  1 5 5 là tập hợp các điểm

 ; 

M x y thoả mãn phương trình:  x  5 2 y2  25 1  

là đường tròn tâm

Câu 15. Cho số phức z và 1 z thỏa mãn 2 z1z2  1 2ivà z z1 2  5

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Đặt z x yi x y1   ,   

Do z1z2  1 2inên z2    1 x    2  y i 

.Mặt khác z z1 2  5

Gọi A B , là hai điểm biểu diễn cho hai số phức z và w.

+) z1 i  1 A thuộc đường tròn tâm I1;1, bán kính R  1 1

+) w 2 3 i  2 w 2 3 i  2 w 2 3 i  2 w 2 3 i  2 B thuộc đường tròn tâm J2; 3 , bán kính R  2 2

Vì IJ  17  3 R1 R2 nên hai đường tròn I R; 1 và J R; 2 ngoài nhau

.Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức z w-

bằng 17 3

Câu 17. Cho hai số phức z w, thỏa mãn z  3 2  2, w 4 2i 2 2 Biết rằng z w đạt giá trị

nhỏ nhất khi z z , 0 w w 0 Tính 3z0  w0

Lời giải Chọn A

Ta có: + z  3 2  2, suy ra tập hợp điểm biểu diễn M biểu diễn số phức z là đường tròn

có tâm I3 2 ; 0

, bán kính r  2.+ w 4 2i 2 2, suy ra tập hợp điểm biểu diễn N biểu diễn số phức w là đường tròn có

Ta có z1  3i 5   2 2iz1   6 10i  4 1 

iz   i    z   i 

Gọi A là điểm biểu diễn số phức 2 ,iz 1 B là điểm biểu diễn số phức 3z2

Từ  1 và  2 suy ra điểm A nằm trên đường tròn tâm I 1 6; 10  , bán kính R  , điểm 1 4 B

nằm trên đường tròn tâm I26;3 , bán kính R 2 12

A 4 2 3 B 2 5 2 C 4 2 D 4 2 3

Lời giải Chọn D

Gọi M x y 1 ; 1 là điểm biều diễn số phức z1, N x y 2 ; 2 là điểm biểu diễn số phức z2

Số phức z1thỏa mãn z1   2 3i  2   x1 2 2  y1 3 2  4

suy ra M x y 1 ; 1

nằm trên đường tròn tâm I  2;3 và bán kính R 1 2

Số phức z2 thỏa mãn z2 1 2i 1   x2 1 2  y1 2 2  1

suy ra N x y 2 ; 2 nằm trên đường tròn tâm J1; 2  và bán kính R 2 1

là điểm biểu diễn của số phức 1 3i

x y

A 0 z  1 B. 1 z  2 C 2 z  3 D. z 3

Lời giải Chọn A

Gọi M x y A ; ; 0;2 ; B  2;0 lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức ; 2 ; 2z i 

Từ giả thiết  MA MB  M :x y  là đường trung trực của đoạn 0 AB

x y

z

.Vậy 0 z  1

Câu 23. Cho số phức z thoả mãn iz 3 2 i  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 P  z 1 i

A. Pmin 3 B. P min 13 3 C. P  min 2 D. Pmin  10

Lời giải Chọn C

Ta có: iz 3 2 i  3 i z. 3i2 3 z 2 3i   Tập hợp điểm 3 M biểu diễn của số

phức z là đường tròn tâm I   2; 3 bán kính R  3

Gọi E1;1

là điểm biểu diễn của số phức 1 i  P EM Do đó Pmin EI R  2

Câu 24. Cho số phức z thoả mãn z 2 3 i  Giá trị lớn nhất của 1 P  z 1 i là:

Lời giải Chọn D

Gọi M x y ; 

là điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng toạ độ.

Do z 2 3 i  1 M nằm trên đường tròn tâm I2;3, bán kính R 1.

P   z i x   y i  x12y12 AM

với A  1;1.

Gọi E2;3

là điểm biểu diễn của số phức 2 3i  P z 2 3 i EM

.Phương trình đường thẳng IE x:  2y  4 0

Phương trình đường tròn tâm I:x22y12 5

Do đó Pmin  IMmin  M là hình chiếu vuông góc của I lên .

2 5

HK  ,IM0 d I ;  3 2

2 2

Gọi M x y I ;  ; 1; 2 

lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z và 1 2i

1 2 2

z  i   M thuộc đường tròn tâm I , bán kính R 2

Gọi A2;3 ; B0;5 lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức 2 3i và 5i

P z  i  z i MA MB

2 22

2

AB MH

T 

32

T 

132

T 

92

lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức 2 i  và 3i

2

M M

Câu 30. Cho số phức z thoả mãn 1 z1 22 z1i2  và số phức 1 z thoả mãn 2 z2 4 i  5 Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pz1 z2

A. min

2 55

P 

B. P min 5. C Pmin 2 5 D min

3 55

Do đó Pmin  MNmin  MN d I ;  R

555

Vậy min

3 55

Gọi A B, lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z z1, 2.

Khi đó A nằm trên đường tròn tâm I bán kính R 1, B nằm trên đường tròn tâm J bánkính R 1

 

 22

A B

Câu 3. Cho các số phức w, z thỏa mãn

Gọi z x y  i, với x y , R Khi đó M x y ;  là điểm biểu diễn cho số phức z .

Theo giả thiết, 5w 2 i  z 4  5 w i    2 i  z 45i  2 i w i     z 3 2i

Gọi M x y ;  là điểm biểu diễn của số phức z x yi, N x y  ;  là điểm biểu diễn của số phức

z x y i  

Ta có z    5 5 x   5 yi   5  x  5 2 y2  52

.Vậy M thuộc đường tròn    C : x  5 2 y2  52

z   i z   i   x    1   y   3  i   x   3    y   6  i

 x  1 2  y  3 2  x  3 2  y  6 2 8 x  6 y  35

Vậy N thuộc đường thẳng :8x6y35

Dễ thấy đường thẳng  không cắt C và z z  MN

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, cho bộ ba điểm I M N, ,  ta có

Câu 5. Cho hai số phức u và v thoả mãn hệ thức 5  u 4i 1  u 4 và  1  i v    1 i  2

Gọigiá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P u 2iv lần lượt là a và b Giá trị của biểuthức T a5b bằng

Lời giải Chọn B

Gọi M là điểm biểu diễn số phức u, A4; 0 , B1; 4 

Ta có 5 u4i1  u 4  u 4u4i1  5 MA MB  5 MA MB AB hayquỹ tích điểm M là đoạn thẳng AB

Gọi N là điểm biểu diễn số phức 2iv, I  2;0

w là số phức thỏa mãn điều kiện 2 w    2 i 3 w   1 2 i  6 2

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Pw z  w z bằng

A 5 2. B 6 2. C 3 2. D 4 2.

Lời giải Chọn A

Gọi z x y i   với x y  , Ta có: z i  z 1  x2  y  1 2   x  1 2 y2  x y   0

.Vậy số phức z z có các điểm biểu diễn là 1, 2 M M thuộc đường thẳng 1, 2 x y 0 d

Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức w.

M d

d  MH

.Không mất tính tổng quát, đặt M H1   a 0

Câu 7. Cho các số phức z , 1 z , 2 z thỏa mãn z1  4 5  iz2  1 1  và z4i z 8 4 i

Tính z1  z2 khi biểu thức Pz z1  z z2 đạt giá trị nhỏ nhất

A 6 B 2 5 C 41. D 8.

Lời giải Chọn B

Gọi M , N, I lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z , z , 1 z 2

Ta có z4i  z 8 4 i  x   4  y i    x  8    y  4  i

Vậy I thuộc đường thẳng d x y :    4 0.

Gọi điểm K đối xứng với điểm 3 K qua đường thẳng 2 d x y :   4  K34; 3  

Do đó, đường tròn    C3 : x  4 2   y  3 2 1

đối xứng với đường tròn C2qua đường thẳng

d

Với mỗi điểm NC2

, gọi điểm Nđối xứng với điểm Nqua d N C3

Dễ thấy MNnhỏ nhất khi M4; 4và N4; 2  Suy ra N2;0.

Vậy z z1 2  MN  20 2 5 

Câu 8. Cho hai số phức z z1, 2

thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: z  1 34,

 là giao của đường tròn C có tâm I1;0bán kính r  34 với đường thẳng d

Ta có z1  z2 MN  z1  z2 lớn nhất khi MN là đường kính, tức là MN đi qua hai điểm

,

K I và nhận I1;0 là trung điểm Khi đó ta được z1 z2  2OI  2

3 55

Theo giả thiết, 5w2i z   4 5w i   2i z   45i 2 i w i     z 3 2 i

là khoảng cách từ một điểm thuộc  P

Do đó MNmin 3 5 1

Câu 11. Cho z x yi  với x , y   là số phức thỏa mãn điều kiện z 2 3i   z i 2 5 Gọi M ,

m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2y28x6y Tính

6 4 2

2 4 6 8 10

x y

-1

A

B

-1 2

J

I K

- Theo bài ra: z 2 3i   z i 2 5  x22  y 32  x 22y12 5

Gọi  C là đường tròn tâm J   4; 3, bán kính R P25

- Đường tròn  C cắt miền  T khi và chỉ khi

(trong đó JK là bán kính đường tròn tâm J và tiếp xúc ngoài với đường tròn C

Gọi B là điểm biểu diễn số phức z , suy ra B nằm trên đường thẳng 2 :x y  6 0

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi B là hình chiếu vuông góc của O trên  và A là giao điểm của

đoạn OB với đường tròn  C

Câu 13. Cho hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 z1 2 i 2 2và z2  5 i z2 7i

Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa z1 iz2

10x 25 2y 1 14x 49 2y 1 4x 4y 24 0 x y 6 0

Điểm M x y2 ;  biểu diễn số phức z Suy ra 2 M thuộc đường thẳng 2 1:x y  6 0

Điểm M3 y x;  biểu diễn số phức iz Ta thấy 2 M là ảnh của điểm 3 M qua phép quay tâm 2 O

, góc quay 900 Suy ra M thuộc đường thẳng 3 2:x y   6 0

Khi đó: z1 iz2 M M1 3 Do đó z1 iz2 nhỏ nhất  M M1 3nhỏ nhất Suy ra:

22

Gọi M z ,  1 N z 2

lần lượt là điểm biểu diễn số phức z và 1 z 2

Từ điều kiện z1 1 3i   Tập hợp điểm M là đường tròn tâm 1 I1;3

Dễ thấy điểm E và đường tròn I R nằm hoàn toàn cùng phía so với đường thẳng ;  d

Gọi F là điểm đối xứng của E qua d

PNEMNNFNI RFI R Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4 điểm , , ,F N M I thẳng hàng.

A 0 B

37 44

2 2

+ Gọi M là điểm biểu diễn của z thì điểm 1 Mthuộc parabol  P y: 2x24x 1

Gọi N là điểm biểu diễn của z thì điểm N thuộc đường tròn 2    

P M O

Câu 17. Cho hai số phức z z, thỏa mãn z5 5

Gọi M x y ; là điểm biểu diễn của số phức  z x yi , N x y ; là điểm biểu diễn của số phức

Vậy Nthuộc đường thẳng :8x6y35

Dễ thấy đường thẳng  không cắt  C

Ta có i1z 3 3 2i   i1 z 3  2 z 3  2

Gọi M là điểm biểu diễn của z ta có M nằm trên đường tròn  C tâm I3;0 , R  2.

Gọi A , B lần lượt là điểm biểu diễn cho z , 1 z ta có 2 z1 z2  2 AB2

Gọi H là trung điểm AB ta có tam giác IAB vuông tại I (theo định lý Pitago đảo)

21

2 2

AB IH

+ Gọi M là điểm biểu diễn số phức u

5 103

A B

a  aPhương trình đường thẳng AB: 3x y 6

+ Goị N là điểm biểu diễn số phức v:

Lời giải Chọn A

Dễ thấy B, A, I nằm trên đường thẳng yx

Xét điểm P nằm trong đoạn BI thỏa mãn IP 2 P5; 5 

Câu 21. Cho hai số phức u, vthỏa mãn 3u 6i 3u 1 3i 5 10, v 1 2i  v i Giá trị nhỏ

1 27

2

3 10

2 2,

Câu 22. Cho các số phức z z1, 2 thỏa mãn z1z2 4, z1 z1 z2

Gọi A A1, 2 lần lượt là điểm biểu

diễn của z z1, 2 Khi z z1 2

đạt giá trị lớn nhất thì diện tích của tam giác OA A1 2 bằng bao

nhiêu?

Lời giải Chọn A

khi và chỉ khi z 1 2 2

và z 2 2

Đến đây, khi xét trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta có OA A1 2 là tam giác cân ở A1, OA 1 2 2,

2 2

OA  .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A1 trên OA2 ta được A H 1 7 .

Vậy diện tích của tam giác OA A1 2 là 1 2

4a . D a2

Lời giải Chọn B

Gọi A B C, , lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z z z1, ,2 3

y

O A

Đặt AOB2 , BOC 2 , COA 2, ta có 0  , , 180 ,0  1800

Áp dụng định lý cosin trong tam giác, ta có:

Hay P 6x12y2128x16y 32

Đặt t x 2 ,y t0;3

Gọi M x y ;  là điểm biểu diễn của số phức z

P z MN Do đó Pmax  MNmax  MNM N0 0 OI R 1R2  Vậy 8 Pmax  8

Câu 26. Xét các số phức z a bi a b   ;   thoả mãn điều kiện  z 4 3 i  5.Tính P a b  khi giá

là trung điểm của

Do đó Q24ME2AB2 mà ME CE 3 5  Q2 4 3 5  2 2 52 200

(Với C là

giao điểm của đường thẳng EI với đường tròn  C ).

Vậy P 10 2 Dấu " " xảy ra khi

422

x y x y

Câu 27. Xét các số phức z thoả mãn z 2 i  z 4 7 i 6 2 Tìm giá trị lớn nhất của P  z 1 i

A. Pmax  13 B Pmax  73 C. Pmax  43 D. Pmax  93

Lời giải Chọn B