BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP

- Xác định được độ dài trục lớn, trục nhỏ, tiêu cự, tiêu điểm của elip.. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa đường Elip Cho hai điểm cố định F; F, và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F F.. L

Trang 1

BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP

MỤC TIÊU

Kiến thức

- Trình bày được cách viết phương trình đường elip

- Nhận biết được các yếu tố của elip khi biết phương trình

Kỹ năng

- Viết được phương trình chính tắc của elip

- Xác định được độ dài trục lớn, trục nhỏ, tiêu cự, tiêu điểm của elip

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Định nghĩa đường Elip

Cho hai điểm cố định F; F, và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F F 1 2

Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho M F +M F =2a 1 2

Ta có thể viết ( ) :E M F M∣ 1 F M2 2a trong đóF ,1 F là tiêu điểm Độ dài 2 F F = 2c gọi là tiêu cự 1 2

của elip

Phương trình chính tắc của elip

Trong mặt phẳng Oxy cho hai tiêu điểm F (-c ; 0) ; F (c ; 0) và độ dài không đổi 2a Khi đó ta có phương 1 2 trình chính tắc của elip

2 2

2 2

( ) :E x y 1

a b  , trong đó a2 b2 c a2;  b 0

Các thành phần của elip (E)

• Bốn đỉnh: A (-a ; 0), A (a ; 0), B (0 ;-b), B (0 ; b) 1 2 1 2

• Độ dài trục lớn: A A = 2a 1 2

• Độ dài trục nhỏ: B B = 2b 1 2

• Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F (-c;0), tiêu điểm phải 1 F (c;0) với 2 b2 a2c2

• Tiêu cự:FF =2 c 1 2

Hình dạng của elip Elip

Elip có hai trục đối xứng là hai trục tọa độ và tâm đối xứng là gốc tọa độ

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

*Dạng 1 Lập phương trình chính tắc của một elip khi biết các thành phần đủ để xác định elip đó Phương pháp giải

Để viết phương trình chính tắc của elip ta làm như sau:

- Phương trình chính tắc của elip Có dạng:

2 2

x y

a b

a b   

- Từ giả thiết của bài toán ta thiết lập các phương trình, hệ phương trình để tìm các đại lượng a, b của

elip Từ đó, viết được phương trình chính tắc của nó

Ví dụ: Viết phương trình chính tắc của elip biết elip có độ dài trục lớn là 6 và có 2

3

c

a 

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm có dạng: x22 y22 1(a b 0)

a b   

Độ dài trục lớn là 6 nên 2a  6 a 3

Trang 2

3

c

c

Ta có b2 a2c2   9 4 5

Vậy ( ) : 2 2 1

x y

E  

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong môi trường hợp sau:

a) (E) có toạ độ một đỉnh là (0, 5) và đi qua điểm 4 10; 1

5



b) (E) có tiêu điểm thứ nhất ( 3;0) và đi qua điểm 1;4 33

5

 

c) Độ dài trục nhỏ bằng 12 và tiêu cự bằng 16

Hướng dẫn giải

Phương trình chính tắc của (E) có dạng: 2 2

x y

a b

a b    a) (E) Có một định là (0; 5) nằm trên trục tung nên b = 5

Do đó phương trình chính tắc của (E) có dạng:

2 2

5

x y

a

a    Mặt khác (E) đi qua điểm 4 10; 1

5



2 2

Vậy phương trình chính tắc của (E) là 2 2 1

x  y 

b) (E) có tiêu điểm F1( 3;0)nên c = 3 suy ra a2 b2 c2 b2 3 (1)

Mặt khác 1;4 33 ( ) 12 5282 1

Thế (1) vào (2) ta được

Vậy phương trình chính tắc của (E) là

1

100 36

  c) Độ dài trục nhỏ bằng 12 nên 2b12 b 6

2c16  c 8 a b c 6 8 100 Vậy phương trình của elip (E) là

1

100 36

 

Ví dụ 2 Phương trình chính tắc của elip có trục lớn gấp đôi trục bé và đi qua điểm M (2;-2) là

A

2 2

1

24 6

x y

2 2

1

36 9

x y

2 2

1

16 4

x  y  D

1

20 5

x y

 

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình chính tắc của elip có dạng

2 2

x y

a b

a b   

Vì trục lớn gấp đôi trục bé nên 2 2

a ba  b

Trang 3

Điểm (2;-2) thuộc elip (E)

2 ( 2)

x y



Ta được hệ phương trình:

2 2

2 2

4

5

20 1

4

b a

b b



Vậy phương trình chính tắc của elip là 2 2 1

20 5

x  y 

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip (E) có độ dài trục lớn bằng 12 và độ dài trục bé

bằng 6 Phương trình nào sau đây là phương trình của elip (E)

A

1

144 36

2 2

1

9 36

x  y 

C

1

36 9

x y

0

144 36

  Câu 2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip (E) có độ dài trục nhỏ bằng 8 và độ dài tiêu cự

bằng 10 Phương trình nào sau đây là phương trình của elip (E)?

A.

2 2

1

25 16

2 2

1

16 41

x  y 

C

1

36 9

x y

2 2

1

41 16

x  y 

Câu 3 Phương trình chính tắc của elip đi qua đi (0;6) và có 1

2

c

a  là

A.

2 2

1

2 2

1

36 27

x y

 

C

2 2

1

1

36 18

x y

  Câu 4 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip (E) có độ dài trục lớn bằng 10 và độ dài tiêu cự

bằng 6 Phương trình nào sau đây là phương trình của elip (E)?

A.

2 2

1

25 16

x y

2 2

1

16 25

x  y 

C.

2 2

1

36 9

0

144 36

x  y  Câu 5 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng 6 và đi

qua điểm A(0;5) là

A

1

100 81

1

34 25

x y

 

C

1

25 9

2 2

1

25 16

x  y 

Câu 6 Phương trình chính tắc của elip có trục lớn bằng 6 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng1

3là

A.

2 2

1

x  y  B

2 2

1

x  y  C.

2 2

1

x  y  D

2 2

1

x  y 

Trang 4

Câu 7 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, phương trình elip (E) đi qua điểm (0;3), 3; 12

5

  là

A.

2 2

1

x  y  B

x y

2 2

x  y  D

2 2

36

x y

 

Câu 8 Phương trình chính tắc của elip có trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng 4 3 là

A.

2 2

36

x  y  B

36 24 1

x  y  C.

2 2

x  y  D

2 2

16

x  y 

Câu 9 Phương trình chính tắc của elip có một tiêu điểm F1( 3;0) và đi qua 1; 3

2

M 

  là

A.

2 2

x  y  B

2 2

x  y  C.

2 2

x  y  D

2 2

x  y  Câu 10 Lập phương trình chính tắc của elip có tâm O, hai trục đối xứng là hai trục toạ độ và qua hai

điểm 2 3;3 , 2;3 3

A.

2 2

x  y  B

2 2

x  y  C.

2 2

x  y  D

2 2

9 16 1

x  y  Đáp án trắc nghiệm

1 - C 2 - D 3 - B 4 - A 5 - B 6 - B 7 - B 8 - D 9 - B 10 -C Hướng dẫn giải

Câu 7

Phương trình elip có dạng:

2 2

x y

a b 

Elip đi qua hai điểm M (0;3), 3; 12

5

N  

  nên ta có

2

2 2

2

1

9

1 25

b

a b

a





Vậy phương trình elip là

1

25 9

x  y 

Câu 8

Gọi phương trình chính tắc của elip có dạng

2 2

x y

a b

a b   

Vì trục lớn gấp đôi trục bé nên a2ba2 4b2 (1)

Vì elip có tiêu cự bằng 4 3 nên 2 2

2c4 3 c 2 3a  b 12 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy phương trình chính tắc của elip là 2 2 1

16 4

x  y 

Câu 9

Phương trình chính tắc của elip có dạng ( ) :E x22 y22 1,a b 0

a b   

Trang 5

Vì c 3 và b2 a2c2 nên a2b2  3a2b23 (1)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

3



Vậy phương trình elip là

2 2

x y

E  

Câu 10

Gọi phương trình chính tắc elip cần tìm là ( ) :E x22 y22 1, (a b 0)

a b   

Do elip đi qua 2 3;3 , 2;3 3

    nên ta có hệ

2

2

12 9

1

16 4

1 4

a

b







Vậy elip cần tìm là

2 2

1

16 9

x  y 

Dạng 2 Xác định các thành phần của một clip khi biết phương trình chính tắc của elip đó

Phương pháp giải

Từ phương trình chính tắc của (E):

2 2

x y

a b  ta có thể định được:

• Các đỉnh: A (-a ; 0), A (a ; 0), B (0 ;-b), B (0 ; b) 1 2 1 2

• Trục lớn: A A =2a , trục nhỏ1 2 B B =2b 1 2

• Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F(-c;0), tiêu điểm phải F(c;0) với 2 2 2

b a c

• Tiêu cự: FF =2c 1 2

Ví dụ: Cho elip (E):

2 2

x y

E   Xác định các đỉnh, độ dài trục lớn, trục nhỏ, các tiêu điểm và tiêu

cự của elip đó

Hướng dẫn giải

Ta có:a2  9 a 3;b2  4 b 2

Vậy các đỉnh của elip là: A (-3 ; 0), A (3 ; 0), B (0 ; 2), B (0 ;-2) 1 2 2 1

Độ dài trục lớn: A A =6; Độ dài trục nhỏ: 1 2 B B = 4 1 2

• Trục lớn: AA, = 2a, trục nhỏ: BB = 2b

Ta có : b2 a2c2 c2 a2b2   9 4 5

Hai tiêu điểm là : F1( 5;0) và ( 5;0)F2

Tiêu cự là : F F1 2 2c2 5

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho elip có phương trình: 2 2 1

x  y  Khi đó độ dài trục lớn, trục nhỏ của elip lần lượt là

Trang 6

Hướng dẫn giải

Ta có:

2

2

3 9

2 4

a a

b b

   

   

Độ dài trục lớn:A A =2a=2.3=6 1 2

Độ dài trục nhỏ: B B =2b=2.2=4 1 2

Chọn B

Ví dụ 2 Cho elip có phương trình: 2 2 1

16 9

x  y  Khi đó tọa độ tiêu điểm của elip là:

A F1( 7;0),F2( 7;0) B F (-16 ; 0), F (16 ; 0) 1 2

C F (-9 ; 0), F (9 ; 0) 1 2 D F (-4 ; 0), F (4 ; 0) 1 2

Hướng dẫn giải

Ta có:

2

2 2 2

16

7 9

a

b

 





Tiêu điểm là: F1( 7;0),F2( 7;0)

Chọn A

Ví dụ 3 Cho elip có phương trình 2 2 1

x  y  Khi đó tọa độ hai đỉnh trên trục lớn của elip là:

A A (-1;0), A (1;0) 1 2 B A (0;-1), A (0;1) 1 2

C A (2;0), A (-1;0) 1 2 D A (-2;0), A (2;0) 1 2

Hướng dẫn giải

Ta có:a2   4 a 2 Hai đỉnh trên trục lớn là:A (-2;0), A (2;0) 1 2

Chọn D

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1 Cho elip có phương trình

2 2

1

x  y  Khi đó tọa độ hai đỉnh trên trục nhỏ của elip là:

A B (-2;0), B (2;0) 1 2 B B (3;0), B (2;0) 1 2

C B (-3;0), B (-2;0) 1 2 D B (-3;0), B (3;0) 1 2

Câu 2 Elip

2 2

1

16 7

x  y  có tiêu cự bằng

Câu 3 Đường elip

2 2

1

x  y  có một tiêu điểm là:

A (0,3) B (0; 6 ) C (- 3 ;0) D (3;0) Câu 4 Cho elip9x236y21440 Khẳng định nào sau đây sai?

A Độ dài trục lớn bằng 8 B Tiêu cự bằng 4 3

3

c

Trang 7

Câu 5 Cho elip (E): 1

16 12

x  y  và điểm M nằm trên (E) Nếu điểm M có hoành độ bằng 1 thì các khoảng cách từ M tới hai tiêu điểm của (E) bằng

A 4 2 và 4 2 B 3 và 5

2

 và 4 2

2



Câu 6 Cho elip (E) có phương trình chính tắc là

2 2

x y

khẳng định nào sau đây đúng?

A Với M x M;y M( )E và các tiêu điểm là F (-c ; 0), F (c ; 0) thì 1 2 1 c x M , 2 c x M

B Với M x M;y M( )E và các tiêu điểm là F (-c ; 0), F (c ; 0) thì 1 2 1 c x M , 2 c x M

C Với M x M;y M( )E và các tiêu điểm là F (-c ; 0), F (c ; 0) thì 1 2 1 c x M , 2 c x M

D Với M x M;y M( )E và các tiêu điểm là F (-c ; 0), F (c ; 0) thì 1 2 1 c x M , 2 c x M

Câu 7 Cho elip có phương trình:

2 2

1

16 4

x  y  Điểm M là điểm thuộc (E) sao cho M F =M F Khi đó tọa 1 2

độ điểm M là:

A M (0;1), M (0;-1) 1 2 B M (0;2), M (0;-2) 1 2

C M (-4;0), M (4;0) 1 2 D M (0;4), M (0;-4) 1 2

Câu 8 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elip (E):

2 2

1

x  y  và hai điểm A(3;-2) B(-3;-2) Tìm tọa độ, điểm C thuộc elip và có hoành độ, tung độ không âm sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất

là

A C(0;3) B C(0;2) C C(3;0) D C(2;0)

Câu 9 Cho elip

2 2

16 9

x y

E   và đường thẳng d: 3x + 4y - 12 =0 Biết rằng d luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt A,B Khẳng định nào sau đây đúng?

A AB = 5 B AB = 3 C AB = 4 D AB = 10

Câu 10 Trong mặt phẳng Oxy cho (E) có phương trình:

2 2

1

x  y  Có bao nhiêu điểm M thuộc (E) nhìn đoạn F F dưới một góc 60° (biết rằng 1 2 F , 1 F , là các tiêu điểm của elip)? 2

Đáp án trắc nghiệm

1 - A 2 - B 3 - C 4 - D 5 - C 6 - D 7 - B 8 - B 9 - A 10 - D Hướng dẫn giải

Câu 7

Phương trình chính tắc của elip có dạng

2 2

2 2

( ) :E x y 1 (a b 0)

a b   

Ta có a = 4; b =2

Trang 8

Vì M F =M F nên M thuộc đường trung trực của1 2 F F chính là trục Oy 1 2

Mà M là điểm thuộc (E) nên M là giao điểm của elip và trục Oy

Vậy M (0;2), 1 M (0;-2) 2

Câu 8

A , B có hoành độ là hoành độ của 2 đỉnh của hai bán trục lớn của (E) và nằm trên đường thẳng

y + 2 = 0 Điểm C có hoành độ và tung độ không âm thì C nằm trên cung phần tư thứ nhất

Tam giác ABC có AB = 6 cố định Vì thế tam giác có diện tích lớn nhất khi khoảng cách từ C đến AB lớn nhất Khi đó dễ thấy C trùng với đỉnh của bán trục bé là (0;2)

Câu 9

4

x

2 2

16 9

x y

E   ta được:

2

2

3

3

( 4) 4

x

  

Vậy d luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt A(0;3), B(4;0) và độ dài AB =5

Câu 10

2

Theo định lí coossin , ta có

F F MF MF  MF MF   MF MF  MF MF

            

20 9

Vậy có bốn điểm thỏa mãn

Dạng 3 Chứng minh điểm M di động trên một elip

Phương pháp giải

Để chứng tỏ điểm M di động trên một elip ta có hai cách sau:

Cách 1: Chứng minh tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cố định F , 1 F là một hằng số 2a (2 F F < 2a) 1 2

Khi đó M di động trên elip Có hai tiêu điểm E, F, và trục lớn là 2a

Cách 2: Chứng minh trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M x M;y Mcó tọa độ thỏa mãn phương trình

a  b  với a, b là hai hằng số thỏa mãn 0< b < a

Ví dụ 1: Cho hai đường tròn (C ) có tâm là1 F và bán kính1 R ,(1 C ) có tâm là 2 F , và bán kính 2 F (2 C ) 1

chứa trong (C ) và2 F1F2 Gọi M là tâm đường tròn (C) thay đổi nhưng luôn tiếp xúc ngoài với (C) và tiếp xúc trong với (C ) Chứng tỏ rằng M di động trên một elip 1

Hướng dẫn giải

Ta có (C) tiếp xúc ngoài với (C )1 MF1 R1 R

Trang 9

(C) tiếp xúc trong với (C )2 MF2 R2R

Do đó, M F +M F =R +R+R -R=R +R không đổi 1 2 1 2 1 2

Vậy M di động trên một elip Có hai tiêu điểm làF , 1 F và độ dài trục lớn bằng2 R1R2

Ví dụ Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M(x;y) di động có tọa độ luôn thỏa mãn:

5cos

4sin





 

 ,với t là tham số thay đổi Tìm quỹ tích điểm M

Hướng dẫn giải

Ta có:

2

2

2 2 2

2

cos

4sin

sin 4

cos

25

1

25 16 sin

16

x

t

t

x

t

x y y

t











Vậy điểm M di động trên elip có phương trình

2 2

1

25 16

x  y 

Ví dụ mẫu

Ví dụ Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A di động trên trục Ox và điểm B di động trên trục Oy sao

cho AB = k không đổi Tìm tập hợp điểm M thuộc đoạn AB sao cho MB = 2MA

Hướng dẫn giải

Gọi A a( ;0)Oxvà B(0; )b Oy

Do AB = k nên a2b2 k2không đổi (1)

Vì M thuộc đoạn AB và MB = 2MA nên MB 2MA

11

3

2 2

3

M

M M

x x

a

b y y







Thay vào (1), ta được:

9

4 4

M

y k

Vậy tập hợp điểm M là elip có phương trình (E):

2

k  k 

Bài tập tự luyện dạng 3

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M(x;y) di động có tọa độ luôn thỏa mãn: 7 cos

5sin





 

với t là tham số thay đổi Khi đó điểm M di động trên elip có phương trình là

A.

100 81 1

2 2

49 25 1

x y

2 2

x y

25 16 1

x y

  ĐÁP ÁN

Trang 10

Ta có

2

2

2 2 2

2

1



Vậy điểm M di động trên elip có phương trình

Chọn đáp án B