BÀI 4 hệ TRỤC tọa độ

HỆ TRỤC TỌA ĐỘ MỤC TIÊU Kiến thức: - Hiểu được khái niệm trục tọa độ, tọa độ một điểm và tọa độ một vectơ trên trục tọa độ.. Kỹ năng: - Xác định được tọa độ một điểm, một vectơ trên t

Trang 1

BÀI 4 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ MỤC TIÊU

Kiến thức:

- Hiểu được khái niệm trục tọa độ, tọa độ một điểm và tọa độ một vectơ trên trục tọa độ

-Nắm được khái niệm độ dài đại số và hệ thức Sác-lơ

- Hiểu được các phép toán liên quan đến tọa độ vectơ

Kỹ năng:

- Xác định được tọa độ một điểm, một vectơ trên trục, hệ trục tọa độ

- Tinh được độ dài một vectơ qua tọa độ

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Trục và độ dài đại số trên trục

- Trục tọa độ là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị e

- Cho M là một điểm tùy ý trên trục  O e; Khi đó có duy nhất một số k sao cho OM ke Số k được gọi là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho

- Cho hai điểm A, B trên trục  O e; , tồn tại duy nhất một số a sao choABae Ta gọi số a đó là độ dài đại số của vecto AB đối với trục đã cho, kí hiệu là aAB

Chú ý:

Nhận xét Nếu AB cùng hướng với e thìAB AB , còn nếu AB ngược hướng với e thì AB AB Nếu hai điểm A và B trên trục  O e; có tọa độ lần lượt là a và b thì AB b a

Hệ trục tọa độ

- Hệ trục tọa độ (O, ; )i j gồm hai trục ( ; ) và ( ; )O i O j vuông góc với nhau Điểm gốc O chung của hai

trục gọi là gốc tọa độ Trục  O i; được gọi là trục hoành và kí hiệu là Ox , trục  O; j được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy Các vectơ i và j là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy với | | | | 1i  j  Hệ trục tọa độ (O; ; )i j còn được kí hiệu là Oxy

Chú ý:

Tọa độ của vectơ

- Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ u tùy ý Tồn tại một cặp số duy nhất  x y sao cho ;

uxi yj Cặp số  x y duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ ; u đối với hệ tọa độ Oxy và viết là u

( ; )

u  x y hoặc ( ; )u x y Trong đó: x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của vectơ u

Tọa độ của một điểm

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý Tọa độ vectơ OM đối với hệ trục Oxy được gọi

là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó

( ; )

M x y OM xiyj

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ OM thỏa mãn OM 3i 4 j Khi đó tọa độ điểm M trong mặt phẳng Oxy là M 3; 4   

Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng

- Trong mặt phẳngOxy , cho hai điểm A x y A; A và B x y B; B

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng

- Cho đoạn thẳng AB có A x y A; A và B x y B; B Khi đó, tọa độ trung điểm I x y của AB thỏa mãn  ;

,

A I

Ví dụ: Cho A 3; 4 và B 1;6 Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là I 2;5

Tọa độ trọng tâm tam giác

- Cho tam giác ABC có A x y A; A ,B x y B; B và C x C;y C Khi đó, tọa độ trọng tâm G x G;y G của tam giác ABC thỏa mãn

,

G G

Cho trục ( ; )O e và điểm M trên trục  O, e

- Nếu OM m e thì ta nói điểm M có tọa độ là m

- Nếu hai điểm A, B thuộc trục và ABa e thì độ dài đại số ABa

Trang 3

Phương pháp thực hiện:

- Để tìm tọa độ điểm M thuộc trục( ; )O e thì ta tìm cách biểu thị OM theo vectơ đơn vị e

- Để tính độ dài đại số AB thì ta tìm cách biểu thị AB theo vectơ đơn vị e

- Ngoài ra có thể sử dụng hệ thức ABBC AC với A, B, C là ba điểm tùy ý trên trục (Hệ thức Sác-lơ)

Ví dụ: Trên trục ( ; )O e cho điểm M thỏa mãn OM 2e thì

- Tọa độ điểm M trên trục ( ; )O e bằng 2

Nếu hai điểm A,B có tọa độ lần lượt là a và b thì AB b a

Ví dụ 2 Trên trục x Ox , cho 2 điểm M, N có tọa độ tương ứng là 3 và 9 Gọi K là điểm đối xứng của N qua M Tính độ dài đại sốOK

Gọi a là tọa độ của điểm K trên trục 'x Ox Từ giả thiết, suy ra M là trung điểm của KN

Áp dụng công thức tọa độ trung điểm của đoạn thẳng ta có

Trang 4

a) Gọi e là vectơ đơn vị trên trục 'x Ox

OBOAABOAO BAB O A e

Vậy tọa độ của điểm A trên trục ' x Ox là 15

b) Theo bài ra và kết quả ở câu a) ta có OA15 ,e OB10e

Khi đó

2MA MB  0 2(OA OM ) ( OB OM ) 0 OM 2OA OB 20e

Vậy tọa độ của điểm M trên trục 'x Ox là 20

Ví dụ 4 Trên trục (O; )e cho ba điểm A,B,C có tọa độ lần lượt là5; 2; 4 Tìm tọa độ điểm M trên trục thỏa mãn đẳng thức 2MA3MC4MB0

Câu 6 Trên trục O e; , cho hai điểm A,B thỏa mãn AB2 , điểm B có tọa độ bằng -6 Tọa độ trung

điểm của đoạn thẳng AB là

Câu 7 Trên trục  O e; , cho hai điểm A,B có tọa độ tương ứng là1 và -3 Gọi M là một điểm trên trục

và thỏa mãnMA3MB0 Độ dài đại số BM bằng

Tọa độ của A, B trên trục tương ứng là -8 và -6

Do đó tọa độ trung điểm của AB là 8 ( 6) 7

Lưu ý: Nhiều bài toán, việc tìm tọa độ điểm quy về tìm điều kiện để hai vectơ bằng nhau

Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho A(-2;1), B(5;2)

b) Từ giả thiết, suy ra M3; 2 ,    N 1;6

Gọi I là trung điểm của

3 12

I

N

x MN

Vậy tọa độ trung điểm của đoạn thẳng MN là  2; 2

Ví dụ 2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy , cho ba điểm A  1;3 , B 2;2 ,   C 0;7

a) Xác định tọa độ điểm M thỏa mãn AM 2BC

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành

Đến đây giải quyết như Ví dụ 2a

Ví dụ 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm E3;1 ,   F 2;9 Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của E,F trên trục hoành Độ dài đoạn thẳng HK bằng

Ví dụ 5 Trong mặt phẳng tọa độOxy , cho hai điểm P  14 , Q 5; 2  Tìm tọa độ điểm M thuộc trục

Ox sao cho | MP MQ | đạt giá trị nhỏ nhất

A.2;3  B. 0;3 C.6;0  D 2;0 

Chú ý: Bài toán này có sử dụng đến bài toán hình học “Tìm điểm M trên đường thẳng ở sao cho khoảng

cách từ M đến điểm cố định I cho trước là nhỏ nhất” Những bài toán hình học kiểu như vậy sẽ giúp ta xác định được vị trí tương đối của điểm với các điểm và đường thẳng đã cho làm cơ sở cho việc tìm tọa

độ của điểm,

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của PQ, ta có : I( 2;3) và | MP MQ | | 2 MI| 2 MI

Trang 8

Khi đó |MP MQ | nhỏ nhất MI nhỏ nhất

Điều này xảy ra khi M là hình chiếu vuông góc của I trên trục Ox hay M2;0 

Chọn D

Lời bình: Mấu chốt của bài toán này là việc chỉ ra điểm I

Trong biến đổi vectơ, để làm xuất hiện điểm nào đó thì ta chỉ việc xem điểm đó vào các vectơ đó, cụ thể như sau:

Do đó P nhỏ nhất MG nhỏ nhất M là hình chiếu của G trên Ox

Khi M là hình chiếu của G trên Ox thì M(2;0) và MG   | 4 0 | 4

A.1;1  B. 1;3 C. 3;5 D  5;6

Câu 9 Trong mặt phẳng tọa độOxy , cho 3 điểm A    1;0 , B 0;3 , C  3; 5  Tọa độ điểm M thuộc trục

Ox sao cho T| 2MA3MB2MC| bé nhất là

A.M 2;0 B M(4 ; 0) C.M4;0  D M2;0 

Câu 10 Trong mặt phẳng tọa độOxy , cho hai điểm A   1;1 , B 2; 4 Gọi M a b là điểm thuộc đường  ;

thẳng y = 2 sao cho T| 5MA4MB| đạt giá trị nhỏ nhất Tổng a + b bằng

Gọi I là điểm thỏa mãn hệ thức 5IA4IB    0 I ( 3; 11)

Lập luận tương tự như câu 9, điểm M cần tìm chính là hình chiếu của I trên đường thẳng y = 2 hay

*Đáp án trắc nghiệm

Trong mặt phẳng tọa độOxy , cho hai vectơ a a a 1; 2 ,b b b1; 2

• ,a b cùng phương khi và chỉ khi

• Điều kiện ba điểm thẳng hàng:

Trong mặt phẳng, cho ba điểm phân biệt A,B,C Khi đó: A,B,C thẳng hàng ABk AC

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ a(2; 6) Vectơ nào sau đây cùng phương với a ? A

A a1(1;3)

B a2( 3;1)

C a3( 1;3)

Chọn B

Ví dụ 2 Trong mặt phẳng tọa độOxy , cho ba điểm A  1;1 ,B 2 5 ,   C 0;3 Chứng minh rằng A, B, C

là ba đình của một tam giác

Vậy A,B,C là ba đỉnh của một tam giác

Ví dụ 3 Trong mặt phẳng tọa độOxy , cho hai điểm A3; 2 ,   B 1;3 Tìm tọa độ điểm E thuộc trục

hoành sao cho A,B,E thẳng hàng

Trang 15

Ví dụ 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M   1;1 , A 2;3 và đường thẳngd y: 4x3

Trên d , lấy điểm P sao cho M,N,P thẳng hàng Tọa độ của điểm P là

- Trong ví dụ này ( kể cả ví dụ 2 và ví dụ 3), việc lập tỉ số phải đảm bảo mẫu số luôn khác 0

- Điểm P trong ví dụ này chính là giao điểm của đường thẳng MN và d, do đó ta cũng có thể nhìn nhận đây la bài toán tương giao của hai đồ thị hàm số

Ví dụ 5 Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai điểm A  1;3 , B  2; 3  Tìm tọa độ điểm I thuộc trục tung sao

cho IA IB nhỏ nhất

Hướng dẫn giải

Ta có IOy I (0; )y

IA IB AB dấu "=" xảy ra I A B, , thẳng hàng và I nằm giữa A và B

Dựa vào tọa độ của A và B ta thấy rằng A, B nằm về hai phía so với trục Oy

Do đó, giao điểm của AB với trục Oy nằm giữa hai điểm A và B  điểm I cần tìm chính là giao điểm của AB với trục tung

Bài toán đã cho trở thành “Tìm tọa độ điểm I thuộc trục Oy sao cho I,A,B thẳng hàng”

Ta được kết quả I 0;1

Lời bình:

- Mấu chốt của bài toán là đánh giá IA IB AB , đây là một tính chất hình học khá quen thuộc ở lớp dưới thường sử dụng

- Cách giải quyết bài toán vẫn không thay đổi nếu ta thay thế trục tung bởi một đường thẳng tùy ý

- Trong trường hợp hai điểm A, B nằm cùng phía với trục Oy thì giao điểm của AB với Oy không phải là điểm thỏa mãn yêu cầu

- Nếu xảy ra trường hợp A,B nằm cùng phía với trục Oy thì ta tìm điểm C thay thế cho A sao cho B, C nằm khác phía với Oy và thỏa mãnIBICIA IB hay IC IA với mọi điểm IOy , tức C đối xứng với A qua Oy

Trang 16

Câu 3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai vectơ (2; ), (1; )a m b n Điều kiện cần và đủ để a b ,cùng phương là

A.m2 n B n2 m C.m n 0. D m2n0

Câu 4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy , cho hai điểm A  1;1 , B 3; 2   Tìm trên trục hoành điểm E

sao cho ba điểm A,B,E thẳng hàng

Câu 5 Trong mặt phẳng tọa độOxy , cho hai điểm A  27 , B  1; 5  Tọa độ điểm E thuộc trục tung

sao cho ba điểm A,B,E thẳng hàng là

A E(0 ; 7) B.E0; 5  C E(0 ; 1) D E(0 ;-1)

Câu 6 Trong mặt phẳng tọa độOxy , cho hai điểm A 1; 8 ,   B 3; 4 Tọa độ điểm M trên đường thẳng

y =1 để ba điểm M,A,B thẳng hàng là

A.M 3;1 B.M1;1  C.M 2;1 D M 4;7

Câu 7 Trong mặt phẳng tọa độOxy , cho tam giác ABC có các đỉnh A1; 2 ,  B  1; 3 ,  C 3;1 Tọa độ

điểm D trên trục hoành sao cho tứ giác BCAD là hình thang có các đáy BC và AD là

A (7;0) B (9;0) C (1:0) D (3;0)

Câu 8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy , cho hai điểm A2;1 ,  B 0;3 Gọi M là điểm thuộc trục

hoành sao cho tổng MA MB đạt giá trị nhỏ nhất Hoành độ của điểm M thuộc khoảng nào sau đây?

Lưu ý: Bài toán này có thể giải bằng phương pháp giải tích như sau:

- Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B (đồ thị hàm bậc nhất)

- Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và trục hoành

Dễ thấy A, B cùng nằm về phía bên phải đường thẳng x = 1

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng x = 1 A'(-1;2)

Khi đó NA + NB = NA' + NB  A'B luôn đúng với mọi điểm N thuộc đường thẳng x = 1

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ cho

a) hai điểm A3; 6 ,    B 1;0 Tọa độ trung điểmcủa đoạn thẳng AB là 2; 3  

b) tam giác MNP có M2; 5 ,   N 3;0 và P7; 1   Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là 4; 2 

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Trong mặt phẳng tọa độOxy , cho hai điểm A  1; 4 , B 5;6 

a) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB

b) Tìm tọa độ điểm B đối xứng với B qua A '

Vậy tọa độ điểm B cần tìm là B' 7; 2  

Ví dụ 2 Trong mặt phẳng tọa độOxy , cho ba điểm A  0; 2 ,B 5;3 ,  C 2;1

a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

b) Tìm tọa độ điểm E sao cho A là trọng tâm của tam giác BCE

Hướng dẫn giải

a) Dễ dàng chứng minh được A,B,C không thẳng hàng (Xem ví dụ 2 trong dạng 4)

Ví dụ 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A3; 3   Tìm tọa độ các điểm B,C lần lượt thuộc trục tung

và đường thẳng y2 sao cho tam giác ABC nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm,

  D  5;1 Câu 3 Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho A10;3 , B 4; 5   Gọi A a b là điểm đối xứng với A qua ' ; 

Câu 6 Trong mặt phẳng tọa độOxy , cho tam giác ABC có M2; 3 ,  N 3;5 ,  P 5;1 lần lượt là

trung điểm của các cạnh BC,CA,AB Tọa độ đỉnh A là

Câu 8 Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho hình bình hành ABCD có đỉnh A 0;8 Trung điểm các cạnh

DC,BC lần lượt là M4; 1 ,   N 2;5 Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

Câu 9 Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho A  2;0 ,B 2; 3  và điểmCOx Trọng tâm G của tam giác

ABC nằm trên đường thẳng y x Tọa độ trung điểm BC là

Trang 21

Câu 10 Trong mặt phẳng tọa độOxy , cho parabol 2

( ) :P yx và điểm K 3; 2 M là một điểm trên trục hoành, M là điểm đối xứng với M qua K Trong trường hợp ' M' P thì tổng hoành độ của các điểm

M thỏa mãn yêu cầu là

3

5

33

Gọi G là trọng tâmABC G cũng là trọng tâmMNP Do đó G =(-2;1)

Áp dụng tính chất trọng tâm tam giác, ta có AG2GM A( 10;9)

Gọi I ACBD, E là trung điểm của MN E(3;2)

Ta có E là trung điểm của IC

Trang 22

Ta có

2

43