Toán 10 Bài 4 hệ TRỤC tọa độ

HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Mục tiêu Kiến thức + Hiểu được khái niệm trục tọa độ, tọa độ một điểm và tọa độ một vectơ trên trục tọa độ + Nắm được khái niệm độ dài đại số và hệ thức Sac-lơ + Hiểu đượ

BÀI 4 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Mục tiêu

 Kiến thức

+ Hiểu được khái niệm trục tọa độ, tọa độ một điểm và tọa độ một vectơ trên trục tọa độ

+ Nắm được khái niệm độ dài đại số và hệ thức Sac-lơ

+ Hiểu được các phép toán liên quan đến tọa độ vectơ

 Kĩ năng

+ Xác định được tọa độ một điểm, một vectơ trên trục, hệ trục tọa độ

+ Tính được độ dài một vectơ qua tọa độ

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Trục và độ dài đại số trên trục

- Trục tọa độ là một đường thẳng trên đó đã xác

định một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn

vị r

e

- Cho M là một điểm tùy ý trên trục ( );r

O e Khi đó

có duy nhất một số k sao cho uuuurOM =ke Số k đượcr

gọi là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho

- Cho hai điểm A, B trên trục ( ); r

O e , tồn tại duy

nhất một số a sao cho uuurAB ae Ta gọi số a đó là= r

độ dài đại số của vectơ uuur

AB đối với trục đã cho, kí

O j vuông góc với nhau Điểm gốc O chung của

hai trục gọi là gốc tọa độ Trục ( );r

O i j còn được kí hiệu là Oxy.

Tọa độ của vectơ

- Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ r

u tùy ý Tồn

tại một cặp số duy nhất (x y sao cho ; ) ur = +xi y jr r

Cặp số (x y duy nhất đó được gọi là tọa độ của; )

hoành độ, y được gọi là tung độ của vectơ r

u

Tọa độ của một điểm

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy

ý Tọa độ vectơ OMuuuur đối với hệ trục Oxy được gọi

là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó

Tọa độ trọng tâm tam giác

- Cho tam giác ABC có A x( A; y A) (, B x B; y và B)

( C; C)

C x y Khi đó, tọa độ trọng tâm G x( G; y G)

của tam giác ABC thỏa mãn

; 23

G− 

Sơ đồ lí thuyết: Hệ trục tọa độ

Trung điểm I của đoạn AB: 2

y y y

Hệ trụctọa độ(O i j; ;r r)

Cácphéptoán tọa

độ củavectơ

Côngthứctrungđiểm vàtrọngtâm

HỆ TRỤC

TỌA ĐỘ

- Nếu OMuuuur=m e.r thì ta mói điểm M có tọa độ là m

- Nếu hai điểm A, B thuộc trục và uuurAB a e= r thì độ

dài đại số AB a=

Phương pháp thực hiện:

- Để tìm tọa độ điểm M thuộc trục ( )O e; r

thì ta tìm

cách biểu thị OMuuuurtheo vectơ đơn vị er

- Để tính độ dài đại số AB thì ta tìm cách biểu thị

⇒uur= uuur uuur+ = r+ r = r

Vậy trung điểm I của AB có tọa độ là 5.

Chú ý: Nếu hai điểm A, B có tọa độ lần lượt là a và b thì AB b a= −

Ví dụ 2 Trên trục x'Ox, cho 2 điểm M, N có tọa độ tương ứng là 3 và 9 Gọi K là điểm đối xứng của N

qua M Tính độ dài đại số OK

Gọi a là tọa độ của điểm K trên trục x’Ox Từ giả thiết, suy ra M là trung điểm của KN.

Áp dụng công thức tọa độ trung điểm của đoạn thẳng ta có

Vậy tọa độ điểm A trên trục x’Ox là 15

b) Theo bài ra và kết quả ở câu a) ta có OAuuur=15 ,e OBr uuur=10er

Khi đó

2MA MBuuur uuur r− = ⇔0 2 OA OMuuur uuuur− − OB OMuuur uuuur− = ⇒0r OMuuuur=2OA OBuuur uuur− =20er

Vậy tọa độ của điểm M trên trục x’Ox là 20

Ví dụ 4 Trên trục ( )O e; r

cho ba điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là -5; 2; 4 Tìm tọa độ điểm M trên trụcthỏa mãn đẳng thức 2MAuuur+3MCuuuur+4MBuuur r=0

Hướng dẫn giải

Cách 1 Từ giả thiết, suy ra OAuuur= −5 ,e OBr uuur=2 ,e OCr uuur =4er

Ta có 2MAuuur+3MCuuuur+4MBuuur r= ⇔0 2(OA OMuuur uuuur− ) (+3 OC OMuuur uuuur− ) (+4 OB OMuuur uuuur− ) =0r

⇔ uuur+ uuur+ uuur= uuuur⇔uuuur= uuur+ uuur+ uuur = r

Vậy tọa độ của điểm M trên trục là 10

uuur uuuur uuur r

Vậy tọa độ của điểm M trên trục là 10

9

Ví dụ 5 Trên trục ( )O e; r

cho điểm A, B có tọa độ lần lượt là -2 và 5 Gọi M, N là hai điểm trên trục thỏa

mãn MAuuur+2MBuuur r=0 và 3NA NB− =1 Tính độ dài đại số MN

Hướng dẫn giải

Theo bài ra, ta có OAuuur= − ⇒2er OA= −2;OBuuur=5er⇒OB=5

Khi đó MAuuur+2MBuuur r= ⇔0 (OA OMuuur uuuur− ) (+2 OB OMuuur uuuur− ) =0r

A 7 B -3 C -7 D 3

Câu 6: Trên trục ( )O e; r

cho hai điểm A, B thỏa mãn AB=2, điểm B có tọa độ bằng -6 Tọa độ trung

điểm của đoạn thẳng AB là

Câu 7: Trên trục ( )O e; r

cho hai điểm A, B có tọa độ tương ứng là 1 và -3 Gọi M là một điểm trên trục

và thỏa mãn MA+3MB=0 Độ dài đại số BM bằng

Lưu ý: Nhiều bài toán, việc tìm tọa độ điểm quy về

tìm điều kiện để hai vectơ bằng nhau

Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho

Ví dụ 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M, N thỏa mãn OMuuuur= −3ri 2rj, ONuuur r= +i 6rj

a) Xác định tọa độ của MNuuuur

b) Xác định tọa độ trung điểm của đoạn thằng MN

Hướng dẫn giải

a) Ta có MNuuuur uuur uuuur=ON OM− = − +2ri 8rj⇒MNuuuur= −( 2; 8)

b) Từ giả thiết, suy ra M(3; 2 ,− ) N( )1; 6

Gọi I là trung điểm của MN

Vậy tọa độ trung điểm của đoạn thẳng MN là (2; 2)

Ví dụ 2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A( ) (1; 3 , B −2; 2 ,) (C 0; 7)

a) Xác định tọa độ điểm M thỏa mãn uuuurAM =2BCuuur

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành

⇔uuur= uuur

Đến đây giải quyết như Ví dụ 2a.

Ví dụ 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm E(−3; 1 ,) (F 2; 9) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu

của E, F trên trục hoành Độ dài đoạn thẳng HK bằng

Ví dụ 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm P( ) (1; 4 ,Q −5; 2) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục

Ox sao cho MP MQuuur uuuur+ đạt giá trị nhỏ nhất

A (−2; 3) B (0; 3) C (−6; 0) D (−2; 0)

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của PQ, ta có I(−2; 3) và MP MQuuur uuuur+ = 2MIuuur=2MI

Khi đó MP MQuuur uuuur+ nhỏ nhất  MI nhỏ nhất

Điều này xảy ra khi M là hình chiếu vuông góc của I trên trục Ox hay M(−2; 0)

Chọn D

Chú ý: Bài toán này có sử dụng đến bài toán hình học “Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến điểm cố định I cho trước là nhỏ nhất” Những bài toán hình học kiểu như vậy sẽ giúp ta xác định được vị trí tương đối của điểm với các điểm và đường thẳng đã cho làm cơ sở cho việc tìm tọa

độ của điểm.

Lời bình: Mấu chốt của bài toán này là việc chỉ ra điểm I.

Trong biến đổi vectơ, để làm xuất hiện điểm nào đó thì ta chỉ việc xen điểm đó vào các vectơ đó, cụ thể như sau:

MP MQ+

uuur uuuur

(MI IP) (MI IQ)

= uuur uur+ + uuur uur+ =2MIuuur+(IP IQuur uur+ )

đúng với điểm I tùy ý Qua đây ta thấy rằng, việc chọn I là trung điểm của PQ mục đích là để

Với nhận xét này sẽ giúp ta giải quyết được bài toán dạng trên kể cả khi ta tăng số điểm hay thay đổi hệ

số trước các vectơ

Ví dụ 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm E(3; 3 ,− ) ( )F 7; 1 Tìm tọa độ điểm K thuộc trục Oysao cho 3KEuuur−2KFuuur đạt giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn giải

Gọi I là điểm thỏa mãn 3IEuur−2IFuur r= ⇒ − −0 I( 5; 11)

Khi đó 3KEuuur−2KFuuur = 3(KI IEuur uur+ ) (−2 KIuur uur+IF) = KIuur = KI

Do đó 3KEuuur−2KFuuur đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ KI ngắn nhất

Điều này xảy ra  K là hình chiếu của I trên trục Oy, khi đó K(0; 11− )

Vậy điểm K cần tìm là K(0; 11− )

Ví dụ 7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(2; 0 ,) (B 5; 7 ,− ) (C − −1; 5) và M là một điểm thay đổi trên trục hoành Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= MA MB MCuuur uuur uuuur+ +

Hướng dẫn giải

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ⇒G(2; 4− ) và GA GB GCuuur uuur uuur r+ + =0

Ta có MA MB MCuuur uuur uuuur+ + =(MG GAuuuur uuur+ ) (+ MG GBuuuur uuur+ ) (+ MG GCuuuur uuur+ ) =3MGuuuur

⇒ uuur uuur uuuur+ + = uuuur =

Do đó P nhỏ nhất  MG nhỏ nhất  M là hình chiếu của G trên Ox

Khi M là hình chiếu của G trên Ox thì M(2; 0) và MG= − − =4 0 4

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(2; 5− ) Khẳng định nào sau đây đúng?

A OAuuur= −5ri 2rj B OAuuur=2rj−5ri C OAuuur= − +5rj 2ir D OAuuur=3rj

Câu 5: Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A( ) (2; 1 , B −1; 7) Tọa độ điểm M thỏa mãn hệ

thức 3uuuur uuur rAM +AB=0 là

A M(1; 3− ) B M(5; 5− ) C M(1; 1− ) D M(3; 1− )

Câu 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(3; 4 ,) (B −1; 0 ,) (C 2; 7) Tọa độ điểm M

thỏa mãn đẳng thức MAuuur+2MB MCuuur uuuur r− =0 là

Câu 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(−2; 1 ,) (B 4; 3 ,) (C 5; 0) M là điểm thuộc

trục hoành sao cho MA MB MCuuur uuur uuuur+ + đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó hoành độ điểm M thuộc khoảng nào sauđây?

A (−1; 1) B ( )1; 3 C (3; 5) D (5; 6)

Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm A( ) (1; 0 , B 0; 3 ,) (C − −3; 5) Tọa độ điểm M thuộc trục

Ox sao cho T = 2MAuuur−3MBuuur+2MCuuuur bé nhất là

Ví dụ 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(2; 1 ,− ) (B 5; 0 ,) (C 3; 2) Tọa độ điểm M thỏamãn đẳng thức 6MAuuur−11MBuuur+9MCuuuur r=0 là

uuur uuur uuuur r

Vậy tọa độ điểm M cần tìm là M(−4; 3)

* Điều kiện ba điểm thẳng hàng:

Trong mặt phẳng, cho ba điểm phân biệt A, B, C.

Khi đó: A, B, C thẳng hàng⇔uuurAB k AC= uuur

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ

Ví dụ 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A( ) (1; 1 , B 2 5 ,− ) (C 7; 3) .

Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác

Vậy A, B, C là ba đỉnh của một tam giác

Ví dụ 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(3; 2 ,− ) ( )B 1; 3 Tìm tọa độ điểm E thuộc trụchoành sao cho A, B, E thẳng hàng

số hóa tọa độ điểm).

Ví dụ 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M( )1; 1 , N(2; 3) và đường thẳng :d y=4x+3.

Trên d, lấy điểm P sao cho M, N, P thẳng hàng Tọa độ của điểm P là

IA IB AB , dấu “=” xảy ra  I, A, B thẳng hàng và I nằm giữa A và B.

Dựa vào tọa độ của A và B ta thấy rằng A, B nằm về hai phía so với trục Oy.

Do đó, giao điểm của AB với trục Oy nằm giữa hai điểm A và B => điểm I cần tìm chính là giao điểm của

- Cách giải quyết bài toán vẫn không thay đổi nếu ta thay thế trục tung bởi một đường thẳng tùy ý.

- Trong trường hợp hai điểm A, B nằm cùng phía với trục Oy thì giao điểm của AB với Oy không phải là điểm thỏa mãn yêu cầu.

- Nếu xảy ra trường hợp A, B nằm cùng phía với trục Oy thì ta tìm điểm C thay thế cho A sao cho B, C nằm khác phía với Oy và thỏa mãn IB IC+ =IA IB hay + IC =IA với mọi điểm I Oy , tức C đối xứng∈

với A qua Oy.

Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 2 ,− ) (B 0; 2) Vectơ nào sau đây cùng hướngvới vectơ uuur

Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A( ) (1; 1 , B 3; 2− ) Tìm trên trục hoành điểm E

sao cho ba điểm A, B, E thẳng hàng

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 7 ,) (B − −1; 5) Tọa độ điểm E thuộc trục tung

sao cho ba điểm A B, E thẳng hàng là

Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có các đỉnh A(1; 2 ,− ) (B − −1; 3 ,) ( )C 3; 1 Tọa

độ điểm D trên trục hoành sao cho tứ giác BCAD là hình thang có các đáy BC và AD là

* Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ cho

a) Hai điểm A(3; 6 ,− ) ( )B 1; 0 Tọa độ trung điểm

P Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là

(4; 2− )

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A( ) (1; 4 , B −5; 6)

a) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.

b) Tìm tọa độ điểm B' đối xứng với B qua A.

y y y

Vậy tọa độ điểm B' cần tìm là B′(7; 2)

Ví dụ 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(0; 2 ,) (B −5; 3 ,) ( )C 2; 1

a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

b) Tìm tọa độ điểm E sao cho A là trọng tâm của tam giác BCE.

3 33

Ví dụ 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(3; 3− ) Tìm tọa độ các điểm B, C lần lượt thuộc trục tung

và đường thẳng y=2 sao cho tam giác ABC nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm.

Ví dụ 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(2; 3) Xác định tọa độ trung

điểm M của cạnh BC biết đỉnh A(−2; 5).

Ví dụ 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có tọa độ đỉnh A(2; 2− ) và trung điểm

của đường chéo BD là I(−4; 1) Xác định tọa độ trọng tâm G của tam giác BCD.

Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(7; 1 ,− ) (B −2; 5 ,) (C 10; 1− ) Tọa độ

trọng tâm tam giác ABC là

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(1; 1 ,− ) (B 2; 2 ,) (C 0; 5 ,) (D x y Biết C là trọng; )

tâm của tam giác ABD Giá trị tích x y là

Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2; 3 ,− ) N(−3; 5 ,) (P −5; 1) lần lượt là

trung điểm của các cạnh BC, CA, AB Tọa độ đỉnh A là

Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có đỉnh A(0; 8) Trung điểm các cạnh

DC, BC lần lượt là M(4; 1 ,− ) N( )2;5 Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol ( )P :y =x và điểm 2 K(3; 2) M là một điểm trên trục

hoành, M' là điểm đối xứng với M qua K Trong trường hợp M′∈( )P thì tổng hoành độ của các điểm M

thỏa mãn yêu cầu là

ĐÁP ÁN Dạng 1 Tìm tọa độ điểm và độ dài đại số của một vectơ trên trục ( ), r

Tọa độ của A, B trên trục tương ứng là -8 và -6

Do đó tọa độ trung điểm của AB là 8 ( )6

72

− + −

= −

Câu 7.

Gọi tọa độ điểm M là m

Ta có OMuuuur=m e OA e ,r uuur r= ⇒ uuur uuur uuuurMA OA OM= − = −(1 m e)r⇒uuurMA= −1 m

Tương tự MB= − −3 m

Khi đó MA+3MB= ⇔ − + − −0 1 m 3 3( m) = ⇔ = −0 m 2

Vậy BM = + =m 3 1

Câu 8.

Gọi tọa độ của M, N trên trục lần lượt là m, n

Theo tính chất trọng tâm tam giác thì uuur uuur uuuurMA MB MC+ + =3uuuurMG

⇒ uuur uuur uuuurMA MB MC nhỏ nhất + + ⇔ 3uuuurMG nhỏ nhất hay MG nhỏ nhất.

Vì G cố định và M thuộc trục hoành nên MG nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G trên trục Ox Khi đó hoành độ của G và M là bằng nhau.

Gọi I là điểm thỏa mãn hệ thức 5uurIA−4uur rIB= ⇒ = − −0 I ( 3; 11)

Lập luận tương tự như câu 9, điểm M cần tìm chính là hình chiếu của I trên đường thẳng y =2 hay(−3; 2) ⇒ + = −1

Dạng 3 Tìm tọa độ của các vectơ tổng hiệu, tích của vectơ với một số

Lại có OMuuuur=2uuurOA−5OBuuur=(2.1 5.4; 2.1 5 7− − ( )− ) = −( 18; 37)

Tổng tung độ và hoành độ của M là 18 37 19− + =

Ba điểm A, B, E thẳng hàng ⇔uuur uuurAE AB cùng phương , 1 1 5

Lưu ý: Bài toán này có thể giải bằng phương pháp giải tích như sau:

- Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B (đồ thị hàm bậc nhất)

- Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và trục hoành

- Giao điểm đó chính là điểm E cần tìm

Câu 9.

Dễ thấy A, B cùng nằm về phía bên phải đường thẳng x=1

Gọi A' là điểm đối xứng của A qua đường thẳng x= ⇒1 A′(−1; 2)

Khi đó NA NB+ = NA′+NB≥ A B′ luôn đúng với mọi điểm N thuộc đường thẳng x=1

Dấu “=” xảy ra  N, A', B thẳng hàng

Giả sử N( )1; n ⇒uuuurA N′ =(2;n−2 ,) uuurA B′ =(3; 3− )

Dễ thấy E, F nằm về cùng một phía so với trục Ox (phía trên).

Ta có PE PF− ≤EF,∀ ∈P Ox Dấu “=” xảy ra  P, E, F thẳng hàng và P nằm ngoài đoạn EF (hoặc trùng với E, F).

Gọi G là trọng tâm ∆ABC => G cũng là trọng tâm ∆MNP Do đó G = −( 2; 1)

Áp dụng tính chất trọng tâm tam giác, ta có uuurAG=2GMuuuur⇒ A(−10; 9)

Ta có E là trung điểm của IC

Ta có

2

43