BÀI 2 BPT và hệ BPT một ẩn

- Nắm được khái niệm tập nghiệm của bất phương trình, hệ bất phương trình một ẩn.. Kỹ năng: - Xác định tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất một ẩn.. Bất phương trình một ẩn Bất phư

Trang 1

BÀI 2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

MỤC TIÊU

Kiến thức

- Nắm được khái niệm bất phương trình, hệ bất phương trình một ấn

- Nắm được khái niệm tập nghiệm của bất phương trình, hệ bất phương trình một ẩn

- Nắm được khái niệm bất phương trình tương đương

Kỹ năng:

- Xác định tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất một ẩn

- Kiểm tra hai bất phương trình tương đương

LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Bất phương trình một ẩn

Bất phương trình ẩn x là một trong các mệnh đề chứa biến

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

Tập nghiệm của bất phương trình

Nghiệm của bất phương trình là giá trị của ẩn thay vào bất phương trình ta được một khẳng định đúng Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất phương trình

Bất phương trình tương đương

Hai bất phương trình tương đương là hai bất phương trình có cùng tập nghiệm

.( ) ( )

x x x x

x x

x x

Trang 3

b) Bất phương trình xác định khi và chỉ khi x    2 0 x 2

Vậy điều kiện xác định của bất phương trình là x 2

c) Bất phương trình xác định khi và chỉ khi

Vậy điều kiện xác định của bất phương trình là x(3; 4)(4;)

d) Bất phương trình xác định khi và chỉ khi

1

.2

3

x x

x x

x x

x x

x  

 

Câu 5 Điều kiện xác định của bất phương trình 1

5 4 5

x x

Tập xác định của hai bất phương trình là DR

Vì a b a3 b3 nên hai bất phương trình 3x2x1 và (3 )x 3(2x1)3 là tương đương

► Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Các cặp bất phương trình sau có tương đương không? Vì sao?

Vậy hai bất phương trình đã cho tương đương

b) Nhận xét rằng x0 là nghiệm của bất phương trình thứ hai nhưng không là nghiệm của bất phương trình thứ nhất

Vậy hai bất phương trình đã cho không tương đương

Ví dụ 2 Trong các bất phương trình sau đây, bất phương trình nào tương đương với bất phương trình

  (1) không tương đương với 5x 1 0 vì x5là nghiệm của bất phương trình

(*) nhưng không phải là nghiệm của bất phương trình (1)

  tương đương với bất phương trình 5x +1>0

Ví dụ 3 Không giải bất phương trình, hãy giải thích vì sao các bất phương trình sau vô nghiệm

Ví dụ 4 Bạn Hồng giải bất phương trình | 3  x| x 3 như sau

Bất phương trình tương đương với

(3x)  (x 3)  9 6x x x 6x 9 12x  0 x 0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  ( , 0]

Theo em bạn Hồng giải như vậy là đúng hay sai? Nếu sai hãy sửa lại cho đúng

Hướng dẫn giải

(mâu thuẫn với x 3)

Với x>-3, bất phương trình trở thành 3     x x 3 3 3 (vô lí)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  

Ví dụ 5 Tìm tất cả các giá trị của m sao cho các bất phương trình sau đây tương đương

Vậy với m 3 thì hai bất phương trình đã cho không tương đương

+) Với m 2 thì hệ số của x ở (1) bằng 0 , hệ số của x ở (2) khác 0 nên hai bất phương trình không tương đương

+) Với m 1 thì hệ số của x ở (1) dương, hệ số của x ở (2) âm Suy ra nghiệm của hai bất phương trình ngược chiều nên m 1không thỏa mãn

+) Với m3 , ta có

Trang 10

4(1) : 5 4 ;

54(2) :10 8

- Với b0 thì tập nghiệm của bất phương trình là S

- Với b <0 thì tập nghiệm của bất phương trình là S

* Nếu m2 thì tập nghiệm của (1) là S(m 2; ) S (m 2; )

* Nếu m2 thì tập nghiệm của (1) là S ( ;m2)

* Nếu m2 thì tập nghiệm của (1) là S 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   ( ; 1)

Ví dụ 2 Giải và biện luận bất phương trình  2 

- Nếu m 1 thì (1) 0x 4, nghiệm đúng với  x

- Nếu m3 thì (1) 0 x>0, bất phương trình vô nghiệm

- Nếu m 1 hoặc m3 thì (1) 1

1

x m





Kết luận:

• Với m 1 tập nghiệm của bất phương trình là S

• Với m3tập nghiệm của bất phương trình là S  

• Với m1 hoặc m3, tập nghiệm của bất phương trình là 1 ;

1

S m

Với m 1, tập nghiệm của bất phương trình là S 

Ví dụ 4 Tìm tất cả các giá trị của a sao cho bất phương trình 2 3 0



 ( vô nghiệm)

Điều kiện để (1) và (2) có nghiệm là b 1

Gọi T T lần lượt là tập nghiệm của (1), (2) Ta có 1, 2

Ta thấy (4) vô nghiệm (vì ,a b , ,a b 0) Hệ (3), (4) vô nghiệm

Vậy không có giá trị nào của a và b thỏa mãn bài toán

Chú ý: Trong cách giải trên ta đã tìm hai tập nghiệm của hai bất phương trình theo , a b và cho T1T2.

Ở đây chúng ta chú ý phân biệt điều kiện để hai bất phương trình có nghiệm chung, hay mọi nghiệm của bất phương trình này là nghiệm của bất phương trình kia

Ví dụ 6 Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình sau vô nghiệm 2 2

2

2 2

Vậy m1, bất phương trình vô nghiệm

Ví dụ 7 Tìm tất cả các giá trị của m sao cho bất phương trình 2

m x   x m có nghiệm [ 1; 2]

x 

A m 2. B m 2.

C m 2. D m 2.

Hướng dẫn giải

S m

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

1-D 2-B 3-C 4-B 5-C 6-D 7-A 8-A 9-C 10-A

Bất phương trình tương đương với x2020

Do đó x2020 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 4 Chọn B

Điều kiện:x4 Bất phương trình tương đương với x   2 4 x 6

Kết hợp với điều kiện, ta có S (4;6] Do x nên x5;x6

x x

    

       

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S {2} [3; )

Rõ ràng nếu m1, bất phương trình luôn có nghiệm

Với m1 bất phương trình trở thành 0x3 (vô nghiệm)

 Khi đó bất phương trình luôn có nghiệm

• Vớim1 , bất phương trình trở thành 0x1 (vô nghiệm)

• Vớim2 , bất phương trình trở thành 0x0(vô nghiệm)

Trang 18

•Với m 2, bất phương trình trở thành 0x0 (vô nghiệm)

• Với m3, bất phương trình trở thành 0x 5 (vô nghiệm)

Suy ra S   2;3 

Vậy tổng các phần tử của S là   2 3 1

Câu 14 Chọn D

Bất phương trình tương đương với (m3)2x m 3

• Vớim 3, bất phương trình luôn có nghiệm

• Với m 3, bất phương trình trở thành 0x 6 (nghiệm đúng với mọix )

Câu 15 Chọn C

Để ý rằng, bất phương trình ax b 0 (hoặcax b 0,ax b 0,ax b 0)

• Vô nghiệm SØ hoặc có tập nghiệm là S  thì chỉ xét riêng a0

• Có tập nghiệm là một tập con của thì chỉ xét a0 hoặc a0

Bất phương trình viết lại 2 

+) x    1 0 x 1.Tập nghiệm của bất phương trình thứ ba là S3  ( 1; )

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là

51; 3

S   S S S   

 

 

x x

Trường hợp 1: Với m0 thì 0x1 luôn đúng Tập nghiệm của (*) là T2

Khi đó, tập nghiệm của hệ là T  T1 T2 T1, do đó nghiệm của hệ không phải là duy nhất

do đó nghiệm của hệ không phải là duy nhất Do đó m0 không thỏa mãn

Trường hợp 3: Với m0, khi đó x 1 m

Với m1, bất phương trình nghiệm đúng với mọi x 1

Với m 1, bất phương trình nghiệm đúng với mọi x 1

Với |m|<1, bất phương trình có nghiệm là | | 1.x 

Với |m|>1, bất phương trình có nghiệm là | | 1.x 

Ví dụ 5 Tìm tất cả các giá trị của a sao cho hệ bất phương trình ( 2) 3

.9

a x a x

a a

x a x

Chú ý: Bài toán giải và biện luận hệ bất phương trình luôn là một bài toán khó bởi vì nó có rất nhiều trường hợp, ngoài việc ta phải tính toán, nắm được cách giải của dạng bài, ta còn phải trình bày một cách có hệ thống để người đọc có cảm giác không rườm rà Bài toán tìm điều kiện của tham số để một hệ



 

 hệ bất phương trình vô nghiệm

+) Với m0, ta có hệ bất phương trình tương đương với

2

2

2

4 1

m x m m x m

x x

x x

x x

2

x x

72

m m D m 1

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

1-A 2-C 3-A 4-B 5-C 6-A 7-C 8-D 9-B

.21

2

8

x x

x x

m Thử lại

x x