BÀI 3 hàm số bậc HAI

Xác định một số điểm cụ thể của parabol chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục tọa độ và các điểm đối xứng của chúng qua trục đối xứng.. Đồ thị cắt trục tung tại điểm 0;c nằm phí

- Phát hiện được vấn đề toán học và về hàm số được nghiên cứu từ những bài toán thực tế

- Phát biểu và vận dụng được điều kiện để điểm M x y 0; 0 thuộc đồ thị hàm sốyax2 bx c , điều kiện để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập X, điều kiện để hàm số là hàm chẵn (hàm lẻ) trên D

Kỹ năng:

- Xét được tính đồng biến, nghịch biến của hàm số yax2 bx c và lập được bảng biến thiên của hàm

số khi a > 0, a < 0

- Xác định được tọa độ đỉnh, phương trình trục đối xứng của parabol yax2 bx c, tìm giao điểm của

đồ thị hàm số với các trục tọa độ và và xét sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số

- Xác định được hàm sốyax2 b c , khi biết đồ thị của nó thỏa mãn một số điều kiện cho trước

24

 

Bước 3 Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục tọa độ

và các điểm đối xứng của chúng qua trục đối xứng)

Bước 4 Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol

Sự biến thiên của hàm số bậc hai

- Khia0 , hàm số nghịch biến trên khoảng ;

2

b a

  

  , đồng biến trên khoảng 2 ;

b a

 

  và có giá trị hỏ nhất là

244

ac b a

 khi

2

b x a

  Bảng biến thiên của hàm số khi a0 như sau:

Trang 2

- Khia0 , hàm số đồng biến trên khoảng ;

2

b a

  

  , nghịch biến trên khoảng 2 ;

b a

 

  và có giá trị lớn nhất là 4 2

4

ac b a

 khi

2

b x a

  Bảng biến thiên của hàm số khi a0 như sau:

Chú ý : Hàm số yax a2( 0) là một trường hợp đặc biệt của hàm số bậc hai khi b c 0

Ví dụ: Đồ thị hàm số 2

yx  x là một prabol có đỉnh l1;3 nhận đường thẳng x 1 làm trục đối xứng và và có bề lõm hướng lên trên do a0

Trang 3

- Hàm số yx24x1 có a 1 0 và 2

2

b a

  nên hàm số nghịch biến trên khoảng ; 2 ,đồng biến trên khoảng 2; và có giá trị nhỏ nhất là 5 khi x2

Bảng biến thiên của hàm số như sau :

- Hàm số y  x2 2x2 có a  1 0 và 1

2

b a

   nên hàm số đồng biến trên khoảng  ; 1 ,

, nghịch biến trên khoảng  1;  và có giá trị lớn nhất là 1 khi x 1

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

  

  và đồng biến trên khoảng 2 ;

b a

Trang 5

- Nếu a0 thì hàm số đồng biến trên khoảng ;

2

b a

  

  và nghịch biến trên khoảng 2 ;

b a

 

  Bảng biến thiên của hàm số như sau

  và tọa độ đỉnh

24

- Vẽ đường cong đi qua các điểm vừa xác định

Lưu ý đến sự biến thiên của hàm số

Hàm số nghịch biến trên khoảng ;3

Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 1 và nghịch biến trên khoảng  1; 

Trang 6

- Bảng giá trị của một số điểm

- Đồ thị  P như hình vẽ sau

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Lập bảng biến thiên, xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị của các hàm số

bậc hai sau đây

Hàm số nghịch biến trên khoảng ;0 và đồng biến trên khoảng 0;

Trang 7

Chú ý: Đường thẳngxx0 vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x 0

Đường thẳngyy0 , vuông góc với trục Oy tại điểm có tung độ bằng y

Điểm M0x y0; 0 là giao điểm của hai đường thẳng vuông góc xx0 và yy0

Bảng biến thiện của hàm số như sau

Hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 và đồng biến trên khoảng 1;

Đồ thị của hàm số yx22x1 là parabol (P) có trục đối xứng là đường thẳng x1 và đỉnh là điểm

Do đồ thị quay bề lõm xuống dưới nên a0

Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;c) nằm phía dưới gốc tọa độ nên c0

Hoành độ đỉnh của đồ thị nhận giá trị âm nên 0

2

b a

  , dẫn tới b0

Để vẽ đồ thị hàm số ta thực hiện các bước như sau:

- Bước 1 Ta vẽ đồ thị hàm số y x2 2x (hình 1), cách vẽ tương tự như ví dụ 1

- Bước 2 Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị y x2 2x nằm phía dưới trục hoành (hình 2)

- Bước 3 Xóa đi toàn bộ phần đồ thị y x2 2x nằm phía dưới trục hoành thu được đồ thị hàm số 2

2

y x  x như hình 3 dưới đây

Chú ý: Ta có thể vẽ đồ thị các hàm số y x2 2x và y  x2 2x trên cùng một hệ trục toạ độ rồi xóa

đi toàn bộ những phần đồ thị nằm phía bên dưới trục hoành, khi đó sẽ thu được đồ thị hàm số

a) Tìm m để (P) đi qua điểm A 1;0

b) Tìm điểm cố định mà (P) luôn đi qua với mọi m

c) Tìm quỹ tích đỉnh của (P) khi m thay đổi

1 1 1

Chú ý: Để tìm phương trình của (P 1 ) ta có thể thực hiện như sau:

- Hoành độ đỉnh của parabol (P) là 3 1

Trang 11

Ví dụ 5 Cho hàm số 2

4 2 1

y x  x  x Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng (; 2) và đồng biến trên khoảng (2;)

B Hàm số nghịch biến trên khoảng (;3) và đồng biến trên khoảng (3;)

C Hàm số đồng biến trên khoảng (;1) và nghịch biến trên khoảng (1;)

D Hàm số nghịch biến trên các khoảng (;0), (1; 4) và đồng biến trên các khoảng (0;1), (4;)

Hướng dẫn giải

Ta viết lại hàm số 2

4 2 1

y x  x  x như sau 2

Chú ý: Nếu một hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên tập D và X là tập con khác rỗng bất kì của D

thì hàm số đó đồng biến (tương ứng nghịch biến trên X

Trang 12

Câu 6 Bảng ở hình bên là bảng biến thiên của hàm số nào sau đây?

A y  x2 2x1 B y 2x24 x C y 2x24x1 D yx22 x

Câu 7 Cho hàm số y  x2 4x1. Khẳng định nào sau đây sai?

A Hàm sổ đồng biến trên (;1] và nghịch biến trên [3;)

B Hàm số đồng biến trên (; 2] và nghịch biến trên [2;)

C Hàm số đồng biến trên (; 0] và nghịch biến trên [4;)

D Hàm số đồng biến trên (;3] và nghịch biến trên [3;)

Câu 8 Để trục đối xứng của đồ thị hàm số yx2(m2)x3m2 đi qua điểm M 4;3 thì

Bài tập nâng cao

Câu 11 Đồ thị hàm số ymx2 (2 3 )m x2m1 luôn đi qua hai điểm cố định A,B với mọi m Độ dài đoạn thẳng AB là

Câu 13 Cho điểm F1; 4  và đường thẳng :y1. Tập hợp tất các các điểm M trong mặt phẳng sao

cho M cách đều điểm F và đường thẳng  là

Câu 14 Gọi m là giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số 0 y x2 2mx1 trên đoạn 1;3

đạt nhỏ nhất Khẳng định nào sau đây đúng?

76

 

  được gọi là đường thẳng

chuẩn 4a của parabol ( ) :P yax2 bx c Trục đối xứng :

- Nếu (1) vô nghiệm thì (P), (d) không có điểm chung

- Nếu (1) có nghiệm kép xx0 thì (P), (d) có điểm chung duy nhất M0x a x0; 2 0b2 Lúc này (P) và (d)

tiếp xúc với nhau tại M 0 Ta gọi đường thẳng (d) là tiếp tuyến của parabol (P), điểm M 0 được gọi là tiếp điểm

- Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt xx x1, x2 thì (P), (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

- Nếu (2) vô nghiệm thì    P1 , P không có điểm chung 2

- Nếu (2) là phương trình bậc nhất và có nghiệm duy nhất xx0, thì    P1 , P cắt nhau tại điểm duy nhất 2

0 0; 1 0 1 0 1

- Nếu (2) là phương trình bậc hai có nghiệm kép xx0, thì    P1 , P tiếp xúc với nhau tại 2

0 0; 1 0 1 0 1

M x a x b x c Điểm M 0 được gọi là tiếp điểm

- Nếu (2) có hai nghiệm phân biệt xx x1, x2 thì    P1 , P cắt nhau tại hai điểm phân biệt 2

Phương trình này có hai nghiệm phân biệt x1, x3. Thay các giá trị của x vào phương trình của (d)

(cũng có thể thay vào phương trình của (P)), ta được các giá trị tương ứng y2 y8 Vậy (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M1 1;2 ,M2 3,8

Ví dụ 2: Xét hàm số 2

y x  x có đồ thị là  P và hàm số 1 yx2 x 2có đồ thị là  P2 Phương trình hoành độ giao điểm 2 2 2

2x 3x 6 x   x 2 x 4x 4 0

Phương trình này có nghiệm kép x 2

Thay giá trị này của x vào phương trình của  P (cũng có thể thay vào phương trình của1  P ), ta được 28

Vậy  P và 1  P tiếp xúc với nhau tại điểm 2 M0( 2;8).

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Đường thẳng nào sau đây cắt parabol 2

yx tại hai điểm phân biệt?

A y  3x 2 B y  1 x C y 2x1 D y5x8

Hướng dẫn giải

x    x x  x  (Có hai nghiệm phân biệt)

Vậy đường thẳng y  3x 2 cắt parabol y = x tại hai điểm phân biệt

yx  x y  x Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hai parabol không có điểm chung

B Hai parabol cắt nhau tại một điểm duy nhất (không tiếp xúc)

C Hai parabol tiếp xúc với nhau tại một điểm duy nhất

D Hai parabol cắt nhau tại hai điểm phân biệt

y x  x y x  x Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hai parabol không có điểm chung

B Hai parabol cắt nhau tại một điểm duy nhất (không tiếp xúc)

C Hai parabol tiếp xúc với nhau tại một điểm duy nhất

D Hai parabol cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của hai parabol là 2 2

3x 2x3x      x 7 3x 7 0 (là phương trình bậc nhất và có đúng một nghiệm)

Vậy hai parabol cắt nhau tại một điểm duy nhất (không tiếp xúc)

Chọn B

Ví dụ 4 Cho parabol 2

( ) :P yx (m2)x1 và đường thẳng  d :ym1x2m1 Để (d) là tiếp tuyến của (P) thì

Trang 17

Hàm hằng ym có đồ thị là đường thẳng d vuông góc với trục Oy tại điểm có tung độ bằng m (ở cùng

phương với Ox) Số nghiệm phân biệt của phương trình 2

6 7

x  x m là số điểm chung phân biệt của (P) và d

Từ đồ thị ta nhận thấy

- Nếu m 2 thì (P) và d không có điểm chung, nên phương trình đã cho vô nghiệm

- Nếu m 2 thì (P) và d có một điểm chung, nên phương trình đã cho có một nghiệm,

- Nếu m 2 thì (P) và ở có hai điểm chung phân biệt, nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

b) Từ đồ thị hàm số 2

yx  x ta suy ra đồ thị của hàm số 2

6 7

y x  x là đường cong (P 1 ) như

hình vẽ Hàm số y 1 m Có đồ thị là đường thẳng d, vuông góc với trục Oy tại điểm có tung độ bằng 1-

m (d, cùng phương với Ox ) Số nghiệm phân biệt của phương trình 2

x  x  m là số điểm chung phân biệt của  P v d 1 à 1

Từ đồ thị ta nhận thấy

- Nếu 1   m 0 m 1 thì  P1 và d không có điểm chung, nên phương trình đã cho vô nghiệm 1

- Nếu 1   m 0 m 1 thì  P1 và d có hai điểm chung phân biệt, nên phương trình đã cho có hai 1nghiện phân biệt

- Nếu 0 1      m 2 1 m 1 thì  P1 và d có bốn điểm chung phân biệt, nên phương trình đã cho có 1bốn nghiệm phân biệt

- Nếu 1    m 2 m 1 thì  P1 và d có ba điểm chung phân biệt, nên phương trình đã cho Có ba 1nghiệm phân biệt

- Nếu 1    m 2 m 1 thì  P1 và d có hai điểm chung phân biệt, nên phương trình đã cho cả hai 1nghiệm phân biệt

yx  x  là đường cong (P 2 ) như hình vẽ Hàm số y2m7 có đồ thị là

đường thẳng d 2 , vuông góc với trục Oy tại điểm có tung độ bằng 1- m (d 2 cùng phương với Ox) Số nghiệm phân biệt của phương trình 2

6 | | 2

x  x  m là số điểm chung phân biệt của  P và 2 d 2

Để vẽ đồ thị (P 2 ) ta thực hiện như sau:

Trang 18

- Vẽ phần parabol yx26x7 ứng với x0

- Lấy đối xứng phần đồ thị vừa vẽ qua trục Oy

- Hợp của hai phần đó là đồ thị (P) của hàm số y x2 6 | | 7.x 

Dễ thấy 2

6 | | 7

yx  x  là hàm chẵn trên và (P2) nhận Oy làm trục đối xứng

Từ đồ thị ta nhận thấy

- Nếu 2m   7 7 m 0 thì  P và 2 d không có điểm chung, do đó phương trình đã cho vô nghiệm 2

- Nếu 2m   7 7 m 0 thì  P và 2 d có một điểm chung, do đó phương trình đã cho có đúng một 2

Cách 2 Vẽ đồ thị hàm số y f x và đồ thị hàm số y f x  trên cùng một hệ trục tọa độ Xóa toàn

bộ phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành của hai hàm số nói trên Phần còn lại thu được chính là đồ thị hàm số y f x( ) Đồ thị hàm số y f x( ) không có điểm nào nằm phía dưới trục hoành

2) Cách vẽ đồ thị hàm số y f  x

Vẽ phần đồ thị của hàm số y f x  ứng với x0.Lấy đối xứng phần đồ thị vừa vẽ qua trục tung Toàn

bộ phần thu được chính là đồ thị hàm số y f  x Hàm số y f  x là hàm chẵn và đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng

(3) Gọi    C1 , C lần lượt là đồ thị của hai hàm số 2 y f x ,yg x  Ta gọi phương trình

Câu 4 Gọi d là tiếp tuyến chung của hai parabol 2   2

( ) :P yx 2 ,x P :y∣x 3 x Điểm nào sau đây

Bài tập nâng cao

Câu 10 Cho hai phương trình x2 3x 2m 1 0(1).   x2 x m 0 (2) Để mỗi phương trình trên đều

có hai nghiệm phân biệt và các nghiệm của (1) nằm xen kẽ với các nghiệm của (2) thì điều kiện của m là

D Nếu d y: kxm là một tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho thì f x( )kxm, x

Câu 12 Cho hàm số yax2 bx c (với a, b, c là các hằng số, a0) có đồ thị (P) tiếp xúc với

Hai phương trình (1) và (2) mỗi phương trình có hai nghiệm phân biệt, các nghiệm của phương trình này

nằm xen kẽ với các nghiệm của phương trình kia khi và chỉ khi điểm M nằm phía dưới trục hoành, tức là

P yax  x đi qua điểm M, (2;-8)

Giá trị của abc là

Trang 22

Hướng dẫn giải

Parabol y  x2 bx cđi qua điểm A(2;-3) nên 2b c  7

Parabol yx2 bx cđi qua điểm B(1;1) nên b c 0

y  x m x m với m là tham số, có đồ thị (P) Hãy xác định

hàm số bậc hai đã cho, biết rằng (P) tiếp xúc với trục hoành

Hướng dẫn giải

Vì parabol (P): yax2 bx ccó đỉnh I3; 8  nên

6 , 03

.2

9 8

b

b a a a

Câu 6 Cho (P): yax2 bx c với a, b, c là các hằng số, a0 Biết rằng (P) có đỉnh là điểm (1:8) và

cắt trục hoành tại hai điểm M,N thỏa mãn MN = 4 Giá trị của 3 3 3

Bài tập nâng cao

Câu 8 Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ bay theo quỹ đạo là một cung parabol trong mặt phẳng tọa

độ Oth, trong đó t là thời gian kể từ khi quả bóng được đá lên (tính bằng giây), h là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng Giả sử quả bóng được đá lên từ độ cao 1,1m Sau 1 giây nó đạt độ cao 8,6 m Sau 2 giây,

nó đạt độ cao 6m Hỏi độ cao lớn nhất mà quả bóng đạt được gần với giá trị nào sau đây nhất?

A 8,888m B 8,897 m C 9,1m D 9,291m

    Suy ra max( )h 8,897