Bài 1 Hàm số và đồ thị Bài 1 trang 45 SBT Toán 10 Tập 1 Tập xác định của các hàm số sau a) f(x) = 4x 1 2x 5 ; b) f(x) = 2 x x 3 x 7 ; c) 1 khi x 0 f x x 3 1 khi x 0 [.]
Trang 1Bài 1: Hàm số và đồ thị Bài 1 trang 45 SBT Toán 10 Tập 1: Tập xác định của các hàm số sau:
a) f(x) = 4x 1
2x 5
;
b) f(x) =
x 23 xx 7
c) 1 khi x 0
f x x 3
1 khi x 0
Lời giải:
a) Biểu thức 4x 1
2x 5
có nghĩa khi 2x – 5 > 0 hay x >
5
2
Vậy tập xác định của hàm số là D = 5;
2
b) Biểu thức
x 23 xx 7
có nghĩa khi (x + 3)(x – 7) ≠ 0 ⇒ x ≠ – 3 và x ≠ 7
Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ \ {– 3; 7}
c) Hàm số lấy giá trị bằng 1 khi x < 0 nên hàm số xác định với mọi x < 0
Khi x ≥ 0, hàm số xác định khi và chỉ khi x – 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 3
Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ \ {3}
Bài 2 trang 45 SBT Toán 10 Tập 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) x khi x 2
f x
x 2 khi x 2;
b) f(x) = |x + 3| – 2
Lời giải:
a) + Vẽ đồ thị hàm số g(x) = x2 và giữ lại phần đồ thị ứng với x ≤ 2:
Đồ thị hàm số g(x) = x2 là một parabol có đỉnh là gốc tọa độ O, trục đối xứng là trục
Oy, đồ thị có bề lõm hướng lên trên, đi qua các điểm (1; 1), (– 1; 1), (2; 4), (– 2; 4)
Ta giữ lại phần đồ thị nằm bên trái đường thẳng x = 2:
+ Vẽ đồ thị hàm số h(x) = x + 2 và giữ lại phần đồ thị ứng với x > 2
Đồ thị hàm số h(x) = x + 2 là một đường thẳng đi qua hai điểm (0; 2) và (– 2; 0)
Ta giữ lại phần đường thẳng nằm bên phải đường thẳng x = 2
Ta được đồ thị cần vẽ như hình sau:
b) Với x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ – 3, ta có: |x + 3| – 2 = x + 3 – 2 = x + 1
Trang 2Với x + 3 < 0 ⇔ x < – 3, ta có: |x + 3| – 2 = – (x + 3) – 2 = – x – 3 – 2 = – x – 5
Khi đó ta có: x 1 khi x 3
f x
x 5 khi x 3
Ta vẽ đồ thị hàm số g(x) = x + 1 và giữ lại phần đồ thị ứng với x ≥ – 3: Đồ thị hàm
số g(x) = x + 1 là đường thẳng đi qua hai điểm (0; 1) và (– 1; 0)
Ta vẽ đồ thị hàm số h(x) = – x – 5 và giữ lại phần đồ thị ứng với x < – 3: Đồ thị hàm
số h(x) = – x – 5 là đường thẳng đi qua hai điểm (– 5; 0) và (– 3; – 2)
Ta được đồ thị của hàm số cần vẽ như hình sau:
Bài 3 trang 46 SBT Toán 10 Tập 1: Trong kinh tế thị trường, lượng cầu và lượng
cung là hai khái niệm quan trọng Lượng cầu chỉ khả năng về số lượng sản phẩm
cần mua của bên mua (người dùng), tùy theo đơn giá bán sản phẩm; còn lượng cung
chỉ khả năng cung cấp số lượng sản phẩm này cho thị trường của bên bán (nhà sản
xuất) cũng phụ thuộc vào đơn giá sản phẩm
Người ta khảo sát nhu cầu của thị trường đối với sản phẩm A theo đơn giá của sản
phẩm này và thu được bảng sau:
Đơn giá sản phẩm A (đơn vị: nghìn đồng) 10 20 40 70 90
Lượng cầu (nhu cầu về số sản phẩm) 338 288 200 98 50
a) Hãy cho biết tại sao bảng giá trị trên xác định một hàm số? Hãy tìm tập xác định
và tập giá trị của hàm số đó (gọi là hàm cầu)
b) Giả sử lượng cung của sản phẩm A tuân theo công thức x2
y f x
50
, trong đó
x là đơn giá sản phẩm A và y là lượng cung ứng với đơn giá này Hãy điền các giá trị của hàm số f(x) (gọi là hàm cung) vào bảng sau:
Đơn giá sản phẩm A (đơn vị: nghìn đồng) 10 20 40 70 90
Lượng cung (khả năng cung cấp về số sản
phẩm)
c) Ta nói thị trường của một sản phẩm là cân bằng khi lượng cung và lượng cầu
bằng nhau Hãy tìm đơn giá x của sản phẩm A khi thị trường cân bằng
Lời giải:
a) Từ bảng đã cho ta có thể thấy với mỗi mức đơn giá, đều có duy nhất một giá trị
về lượng cầu Do vậy bảng giá trị cho ở đề bài xác định một hàm số
Hàm số này có tập xác định D = {10; 20; 40; 70; 90} và có tập giá trị T = {338; 288; 200; 98; 50}
b) Ta có hàm cung: x2
y f x
50
Với x = 10 thì 102
50
Trang 3Với x = 20 thì 20
50
Với x = 40 thì 402
50
Với x = 70 thì 702
50
Với x = 90 thì 902
50
Vậy ta điền được bảng sau:
Đơn giá sản phẩm A (đơn vị: nghìn đồng) 10 20 40 70 90
Lượng cung (khả năng cung cấp về số sản
phẩm)
2 8 32 98 162
c) Từ hai bảng giá trị của lượng cung và lượng cầu, ta tìm được giá trị x = 70 thì
lượng cung và lượng cầu đều bằng 98
Vậy thị trường của sản phẩm A cân bằng khi đơn giá của sản phẩm A là 70 000
(đồng)
Bài 4 trang 46 SBT Toán 10 Tập 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của các
hàm số sau:
a) 1
f x
x 5
;
b) f(x) = |3x – 1|
Lời giải:
a) Tập xác định của hàm số là: D = ℝ \ {– 5}
+ Xét khoảng (– ∞; – 5):
Lấy hai số x1, x2 tùy ý thuộc (– ∞; – 5) sao cho x1 < x2
Ta có: 1 2
f x f x
21 21
x x
x 5 x 5
Vì x1, x2 ∈ (– ∞; – 5) nên x1 + 5 < 0 và x2 + 5 < 0
Lại có: x1 < x2 nên x1 – x2 < 0
Do đó, f(x1) – f(x2)
1 1 22
x x
x 5 x 5
< 0 hay f(x1) < f(x2)
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; – 5) (1) + Xét khoảng (– 5; + ∞):
Lấy hai số x3, x4 tùy ý thuộc (– 5; + ∞) sao cho x3 < x4
Ta có: 3 4
f x f x
43 34
x x
x 5 x 5
Vì x3, x4 ∈ (– 5; + ∞) nên x3 + 5 > 0 và x4 + 5 > 0
Lại có: x3 < x4 nên x3 – x4 < 0
Do đó, f(x3) – f(x4)
3 3 44
x x
x 5 x 5
< 0 hay f(x1) < f(x2)
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (– 5; + ∞) (2)
Từ (1) và (2) suy ra hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (– ∞; – 5) và (– 5; +
∞)
Trang 4b) Với 3x – 1 ≥ 0 hay x ≥ 1
3, ta có: |3x – 1| = 3x – 1
Với 3x – 1 < 0 hay x < 1
3, ta có: |3x – 1| = – (3x – 1) = – 3x + 1
Khi đó ta có:
1 3x 1 khi x
3
f x
1 3x 1 khi x
3
Ta xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số g(x) = 3x – 1 trên khoảng 1;
3
của hàm số h(x) = – 3x + 1 trên khoảng ;1
3
+ Lấy hai số x1, x2 tùy ý thuộc khoảng 1;
3
sao cho x1 < x2:
Ta có: f(x1) – f(x2) = (3x1 – 1) – (3x2 – 1) = 3(x1 – x2) < 0 (do x1 < x2 nên x1 – x2 <
0)
Suy ra f(x1) < f(x2)
Vậy hàm số g(x) đồng biến trên 1;
3
hay f(x) đồng biến trên
1
; 3
(1)
+ Lấy hai số x3, x4 tùy ý thuộc khoảng ;1
3
sao cho x3 < x4:
Ta có: f(x3) – f(x4) = (– 3x3 + 1) – (– 3x4 + 1) = 3(x4 – x3) > 0 (do x3 < x4 nên x4 – x3
> 0)
Suy ra f(x3) > f(x4)
Vậy hàm số h(x) nghịch biến trên ;1
3
hay f(x) nghịch biến khoảng
1
; 3
(2)
Từ (1) và (2) suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng ;1
3
và đồng biến trên
khoảng 1;
3
Bài 5 trang 46 SBT Toán 10 Tập 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm
số có đồ thị như sau:
Lời giải:
Quan sát Hình 3 ta thấy:
- Đồ thị hàm số có dạng đi lên từ điểm có tọa độ (– 1; 1) đến điểm có tọa độ (1; 4) nên hàm số đồng biến trên khoảng (– 1; 1);
Trang 5- Đồ thị hàm số có dạng đi xuống từ điểm có tọa độ (1; 4) đến điểm có tọa độ (5; –
2) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 5);
- Đồ thị hàm số có dạng đi lên từ điểm có tọa độ (5; – 2) đến điểm có tọa độ (9; 6)
nên hàm số đồng biến trên khoảng (5; 9)
Vậy hàm số có đồ thị như Hình 3 đồng biến trên các khoảng (– 1; 1) và (5; 9), nghịch
biến trên khoảng (1; 5)
Bài 6 trang 47 SBT Toán 10 Tập 1: Vẽ đồ thị hàm số sau:
2
x 1 khi x 1
f x 1 khi 1 x 1
x khi x 1
Lời giải:
Ta vẽ đồ thị hàm số g(x) = – x + 1 trên khoảng (– ∞; – 1), đồ thị hàm số h(x) = 1
trên nửa khoảng [– 1; 1), đồ thị hàm số k(x) = x2 trên nửa khoảng [1; + ∞)
Khi đó ta có đồ thị hàm số f(x) như sau:
Bài 7 trang 47 SBT Toán 10 Tập 1: Trong các đường biểu diễn được cho trong
Hình 4, chỉ ra trường hợp không phải là đồ thị hàm số và giải thích tại sao?
Lời giải:
Hai đường biểu diễn ở Hình b và Hình c không phải là đồ thị hàm số vì ứng với một giá trị của x, có đến hai (hay nhiều) giá trị khác nhau của y (quan sát trên hình sau)
Trang 7Bài 2: Hàm số bậc hai Bài 1 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1: Hàm số nào trong các hàm sau đây không phải
là hàm số bậc hai?
a) y = 3x2 + x – 3 ;
b) y = x2 + |x + 1|;
c)
2
2
x 1 khi x 0
y
2x x khi x 0;
d) y = 2(x2 + 1) + 3x – 1
Lời giải:
+ Hàm số a) có dạng y = ax2 + bx + c với a = 3 ≠ 0, b = 1 và c = 3 nên đây là
hàm số bậc hai
+ Hàm số b) không phải là hàm số bậc hai vì công thức của hàm số có chứa dấu giá
trị tuyệt đối
+ Hàm số c) không phải là hàm số bậc hai vì hàm số này được cho bởi hai công thức
+ Ta có y = 2(x2 + 1) + 3x – 1 hay y = 2x2 + 3x + 1 nên hàm số d) là hàm số bậc hai
vì nó có dạng y = ax2 + bx + c với a = 2 ≠ 0, b = 3 và c = 1
Vậy trong các hàm số đã cho, hàm số b) và hàm số c) không phải là hàm số bậc hai
Bài 2 trang 55 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hàm số bậc hai có đồ thị là parabol có
đỉnh S, đi qua các điểm A, B, C(0; – 1) được cho trong Hình 10
a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho;
b) Tìm tập giá trị của hàm số và chỉ ra các khoảng biến thiên của hàm số
Lời giải:
a) Ta vẽ parabol có bề lõm hướng lên trên và đi qua các điểm A, S, C, B, ta được đồ thị của hàm số đã cho như sau:
Trang 8b) Đồ thị hàm số đã cho là parabol quay bề lõm lên trên nên hàm số có giá trị nhỏ
nhất bằng tung độ đỉnh của parabol
Từ đồ thị, ta có đỉnh S có tọa độ (– 1; – 3) Suy ra hàm số có tập giá trị là [– 3; + ∞)
Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị đi xuống từ trái qua phải trên khoảng (– ∞; – 1) nên
hàm số nghịch biến trên khoảng (– ∞; – 1) và đồ thị đi lên từ trái qua phải trên khoảng
(– 1; + ∞) nên hàm số đồng biến trên khoảng (– 1; + ∞)
Bài 3 trang 55 SBT Toán 10 Tập 1: Tìm công thức của hàm số có đồ thị vẽ được
ở Bài tập 2
Lời giải:
Hàm số bậc hai có công thức tổng quát: y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 1 nên c = – 1
Hoành độ đỉnh là xS = – 1 nên b 1
2a
Suy ra b = 2a
Do đó công thức của hàm số là: y = ax2 + 2ax – 1
Lại có đồ thị đi qua đỉnh S(– 1; – 3) nên ta có: – 3 = a (– 1)2 + 2a (– 1) – 1 Suy ra a = 2 (t/m) và b = 2 2 = 4
Vậy hàm số cần tìm là y = 2x2 + 4x – 1
Bài 4 trang 55 SBT Toán 10 Tập 1: Tìm công thức hàm số bậc hai biết:
a) Đồ thị hàm số đi qua 3 điểm A(1; – 3), B(0; – 2), C(2; – 10)
b) Đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường thẳng x = 3, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 16 và một trong hai giao điểm với trục hoành có hoành độ là – 2
Lời giải:
Hàm số bậc hai có công thức tổng quát: y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
a) Đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; – 3) nên: – 3 = a 12 + b 1 + c hay a + b + c = –
3 (1)
Đồ thị hàm số đi qua điểm B(0; – 2) nên: – 2 = a 02 + b 0 + c hay c = – 2
Đồ thị hàm số đi qua điểm C(2; – 10) nên: – 10 = a 22 + b 2 + c hay 4a + 2b + c = – 10 (2)
Thay c = – 2 vào (1) ta được: a + b – 2 = – 3 ⇔ a + b = – 1 ⇔ a = – 1 – b (3) Thay c = – 2 vào (2) ta được: 4a + 2b – 2 = – 10 ⇔ 4a + 2b = – 8 ⇔ 2a + b = – 4 (4)
Thay (3) vào (4) ta được: 2.(– 1 – b) + b = – 4 ⇔ – 2 – 2b + b = – 4 ⇔ b = 2
Trang 9Thay b = 2 vào (3) ta được: a = – 1 – 2 = – 3 (t/m)
Vậy công thức hàm số là y = – 3x2 + 2x – 2
b) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 16 nên c = – 16
Khi đó, công thức hàm số là f(x) = ax2 + bx – 16
Một trong hai giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành có hoành độ bằng – 2 nên
ta có a (– 2)2 + b (– 2) – 16 = 0 hay 2a – b – 8 = 0 (*)
Đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường thẳng x = 3 nên b 3
2a
hay b = – 6a
Thay b = – 6a vào (*) ta có: 2a – (– 6a) – 8 = 0 ⇔ 8a = 8 ⇔ a = 1
Suy ra: b = – 6 1 = – 6
Vậy công thức hàm số là y = x2 – 6x – 16
Bài 5 trang 55 SBT Toán 10 Tập 1: Tìm khoảng biến thiên và tập giá trị của các
hàm số sau:
a) y = f(x) = – 2x2 – 4x + 7;
b) y = f(x) = x2 – 6x + 1
Lời giải:
a) Hàm số y = f(x) = – 2x2 – 4x + 7 có a = – 2 < 0 và đồ thị của hàm số là parabol có
tọa độ đỉnh S là xS =
1 2a 2 2
, yS = – 2 (– 1)2 – 4 (– 1) + 7 = 9 hay
S(– 1; 9)
Ta có bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên (– ∞; – 1) và nghịch biến trên (– 1; + ∞)
Hàm số có tập giá trị là T = (– ∞; 9]
b) Hàm số y = f(x) = x2 – 6x + 1 có a = 1 > 0 và đồ thị hàm số là parabol có tọa độ đỉnh S là xS b 6 3
2a 2.1
, yS = 32 – 6 3 + 1 = – 8 hay S(3; – 8)
Ta có bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trên (– ∞; 3) và đồng biến trên (3; + ∞)
Hàm số có tập giá trị là T = [– 8; + ∞)
Bài 6 trang 55 SBT Toán 10 Tập 1: Tìm tập xác định, giá trị lớn nhất của hàm số,
tập giá trị và các khoảng biến thiên của hàm số biết đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh S như Hình 11
Trang 10Lời giải:
- Hàm số có đồ thị là parabol nên là hàm số bậc hai, do đó hàm số này có tập xác
định D = ℝ
- Parabol có bề lõm hướng xuống dưới, có đỉnh S(2; – 1) nên hàm số có bảng biến
thiên như sau:
Từ đó, ta thấy hàm số có giá trị lớn nhất là – 1 nên có tập giá trị là T = (– ∞; – 1] và
hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; 2), nghịch biến trên khoảng (2; + ∞)
Bài 7 trang 56 SBT Toán 10 Tập 1: Giả sử hàm số bậc hai mô phỏng vòm phía
trong một trụ của cầu Nhật Tân là
y = f(x) = 187x2 8041x
856 856
(đơn vị đo: mét)
a) Hãy tính chiều dài đoạn dây dọi sử dụng nếu khoảng cách từ chân của trụ cầu đến quả nặng là 30 cm
b) Hãy tính khoảng cách từ chân trụ cầu đến quả nặng nếu biết chiều dài đoạn dây dọi sử dụng là 15 m
Lời giải:
Từ Bài 4 phần Bài tập mẫu, ta có đồ thị hàm số y = f(x) = 187 2 8041
856 856
hình sau:
Ta xét điểm B trên hình
a) Đổi 30 cm = 0,3 m
Chiều dài l của đoạn dây dọi sử dụng là tung độ của điểm B trên parabol có xB = 0,3
Trang 11Nên ta có: l = BB’ = f(0,3) = 187 2 8041
0,3 0,3 2,8
Vậy chiều dài dây dọi khoảng 2,8 m
b) Khoảng cách từ chân trụ đến quả nặng là hoành độ điểm B trên parabol với yB =
15
Ta có: 187x2B 8041xB
856 856
⇔ – 187xB2 + 8041xB – 12840 = 0
Suy ra x1 ≈ 41,34 và x2 ≈ 1,66
Vậy khoảng cách từ chân trụ cầu bên trái đến quả nặng là khoảng 1,66 m, khoảng
cách từ chân trụ cầu bên phải đến quả nặng là khoảng 41,34 m
Theo đề bài, ta chọn kết quả 1,66 m
Bài tập cuối chương III
A Trắc nghiệm Bài 1 trang 56 SBT Toán 10 Tập 1: Một hàm số có thể được cho bằng:
A Bảng giá trị của hàm số;
B Đồ thị của hàm số;
C Công thức của hàm số;
D Tất cả đều đúng
Lời giải:
Đáp án đúng là: D
Một hàm số có thể được cho bằng bảng giá trị của hàm số, hoặc bằng đồ thị của hàm số hoặc bằng công thức của hàm số Vậy các đáp án A, B, C đều đúng, ta chọn đáp án D
Bài 2 trang 56 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) = 2(x + 1)(x – 3) + 2x – 6 Giá
trị của hàm số khi x = 3 là:
A 8;
B 0;
C – 6;
D 3
Lời giải:
Đáp án đúng là: B
Thay x = 3 vào hàm số ta được:
f(3) = 2.(3 + 1).(3 – 3) + 2 3 – 6 = 0 + 6 – 6 = 0
Vậy giá trị của hàm số khi x = 3 là 0
Trang 12Bài 3 trang 56 SBT Toán 10 Tập 1: Hàm số y = f(x) = x 1 21
x 9
có tập xác định
D là:
A D = [1; + ∞);
B D = ℝ \ {– 3; 3};
C D = [1; + ∞) \ {3};
D D = [3; + ∞)
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
Biểu thức x 1 21
x 9
có nghĩa khi 2
x 3
x 9 0
x 1
x 3
Vậy tập xác định của hàm số là D = [1; + ∞) \ {3}
Bài 4 trang 56 SBT Toán 10 Tập 1: Hàm số nào trong các hàm sau đây không phải là
hàm số bậc hai?
A y = f(x) = 3 x2 + x – 4;
B y = f(x) = x2 + 1
x – 5;
C y = f(x) = – 2x(x – 1);
D y = f(x) = 2(x2 + 1) + 3x – 1
Lời giải:
Đáp án đúng là: B
+) Hàm số y = f(x) = 3 x + x – 4, đây là hàm số bậc hai do nó có dạng y = ax + bx + c với a = 3 ≠ 0, b = 1, c = – 4
+) Hàm số y = f(x) = x2 + 1
x – 5 không phải là hàm số bậc hai vì nó không có dạng y =
ax2 + bx + c
+) Hàm số y = f(x) = – 2x(x – 1) hay y = f(x) = – 2x2 + 2x, đây là hàm số bậc hai do nó
có dạng y = ax2 + bx + c với a = – 2 ≠ 0, b = 2, c = 0
+) Hàm số y = f(x) = 2(x2 + 1) + 3x – 1 hay y = f(x) = 2x2 + 3x + 1, đây hàm số bậc hai
do nó có dạng y = ax2 + bx + c với a = 2 ≠ 0, b = 3, c = 1
Vậy trong các hàm số đã cho, chỉ có hàm số ở đáp án B không phải là hàm số bậc hai
Bài 5 trang 57 SBT Toán 10 Tập 1: Tập giá trị của hàm số y = f(x) = – 2x2 + 2 x + 1
là
A T = 5;
4
B T = 5;
4
C T = ;5
4
D T = ;5
4
Lời giải:
Đáp án đúng là: D
Do hàm số y = f(x) = – 2x2 + 2 x + 1 là hàm số bậc hai nên đồ thị hàm số này là parabol
có tọa độ đỉnh S là