on thi tot nghiep hoc ky 1

Taâm maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp laø giao cuûa truïc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ña giaùc ñaùy vaø maët phaúng trung tröïc cuûa moät caïnh beân.. Phöông phaùp tìm taâm maët caàu ngo[r]

ÔN TẬP HỌC KỲ I CÁC QUY TẮC VÀ CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM

1 Định nghĩa Đạo hàm của hàm số y = f(x) được kí hiệu là y’ hay f’(x).

o Nếu y = C (C là hằng số) thì: y’ = C’ = 0  Ví dụ (2004)’ = (828676)’ = 0

2 Các quy tắc.

a) Quy tắc 1 Đạo hàm của tổng bằng tổng các đạo hàm.

(u + v + w)’ = u’ + v’ + w’.

o Trong đó u, v, w là các hàm số theo x.

o Nếu C là hằng số thì (u  C)’ = u’.

o Ví dụ (x3  2x 2 + 3)’ = (x 3 )’  (2x 2 )’ + (3)’

b) Quy tắc 2 (đạo hàm của tích)

(u.v)’ = u’v + v’u

o Nếu C là hằng số thì (u.C)’ = C.u’.

c) Quy tắc 3 (đạo hàm của một thương)

d) Quy tắc 4 (đạo hàm của hàm số hợp)

o Nếu u = (x) có đạo hàm tại x là: u’ x = ’(x).

o Hsố y = g(u) có đạo hàm tại u là: y’ u = g’(u) thì hàm số hợp:

y = f(x)= g[(x)] có đạo hàm tại x là: y’ x = f’(x)= g’(u).’(x) hay y’ x = y’ u u’ x

x

2 cos 1

= 1 + tg 2 x (cotgx)’= 

sin x



= (1 + cotg 2 x)

(sinu)’ = u’.cosu (cosu)’ = u’.sinu

cos

u u



= u’(1 + tg 2 u) (cotgu)’ =  '

sin

u u



= u’(1 + cotg 2 u)Hàm số

(ln  x  )’ = 1x(log a  x  )’ = x ln1 a

(lnu)’ = u' u(log a u)’=ulnu'a

ĐẠI SỐ

A CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

I) DẠNG 1: Tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a,b)

Nếu f’(x)> 0 x (a,b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên (a,b)

Nếu f’(x)< 0 x (a,b) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên (a,b)

(Nếu f’(x) =0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a,b) thì định lý vẫn còn đúng).

II) DẠNG 2: Cực trị của hàm số.

i) x0 là điểm cực trị của hàm số y f x    f x' đổi dấu qua x0

Một số lưu ý

 Hàm số bậc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d (a  0)  không có cực trị hoặc có 2 cực trị

 Hàm số không có cực trị   y' 0

 Hàm số có cực trị (có hai cực trị)   y' 0

 Hàm số bậc 4 dạng : y = ax4 + bx2 + c (a  0)  có 1 cực trị hoặc 3 cưc trị

x

b x

 Hàm số có ba cực trị  0

2

b a

 Hàm số nhất biến dạng:y ax+bcx+d  chỉ tăng hoặc chỉ giảm và không có cực trị

 Hàm số hữu tỷ (2/1)dạng: ax2

bx c y

a x b



  không có cực trị hoặc có 2 cưc trị

III) DẠNG 3: G iá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

1) Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D

Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu:

: ( ) : ( )

o Tính y' Cho y' = 0 và tìm nghiệm x.

o Lập BBT trên khoảng (a, b).

IV DẠNG 4: Phương trình tiếp tuyến.

a) Phương trình tiếp tuyến tại M(x 0 , y 0 )  (C) () : y = f ’ (x 0 )(x–x 0 ) + y 0

 Tìm các yếu tố x0, y0, f x' 0 Thế vào phương trình đường thẳng ()

b) Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

i) Tiếp tuyến song song với đường thẳng  d y ax b:  

o Phương trình tiếp tuyến có dạng (): y = f ’(x 0 )(x-x 0 ) + y 0

o Tiếp tuyến () song song với đường thẳng  d khi : f ’(x0) = a

Giải phương trình tìm x 0 suy ra y 0 ? thế vào phương trình 

ii) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  d y ax b:  

o Phương trình tiếp tuyến có dạng () : y = f ’(x 0 )(x-x 0 ) + y 0

o Tiếp tuyến () song song với đường thẳng  d khi : f ’ (x0) a= –1

Giải phương trình tìm x 0 suy ra y 0 ? thế vào phương trình 

c) Phương trình tiếp tuyến qua A (x A ,y A )

o Phương trình tiếp tuyến có dạng () : y = f ’(x 0 )(x-x 0 ) + y 0

o Đường thẳng () qua A(x A ; y A ) khi: y A = f ’(x 0 )(x A -x 0 ) + f(x 0 )

Giải phương trình tìm x 0 suy ra y 0 ? thế vào phương trình 

V DẠNG 5: Biện luận phương trình bằng đồ thị.

Cho hai đường cong (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x)

o Tọa độ giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ) là nghiệm của hệ phương trình :  

o Như vậy phương trình hoành độ điểm của (C 1 ) và (C 2 ) là: f x  g x  (1)

o Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của 2 đồ thị.

B KHẢO SÁT HÀM SỐ

1 KHẢO SÁT HÀM SỐ y = ax3 + bx + cx + d (a 2  0)

10 Tập xác định

20 Sự biến thiên

 Giới hạn

 Bảng biến thiên

+ Tính y’, Cho y’= 0 tìm nghiệm

+ Lập bảng biến thiên

+ Nhận xét

30 Đồ thị

+ Cho thêm điểm

+ Vẽ: Hệ trục oxy, cực trị, trung điểm của hai cực trị, các điểm khác.

Ví dụ 1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = x3 + 3x2 – 4

10 Tập xác định: D =

20 Sự biến thiên

 Giới hạn : xlim  y   và xlim y

 Bảng biến thiên

y’ = 3x2 + 6x , y’= 0  x = 0 v x = -2

Hàm số đồng biến trên các khoảng   ; 2 và 0;

Hàm số nghịch biến trên khoảng 2;0

Hàm số đạt cực đại tại x 2; y CĐ y2 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x 0; y CT y 0 4

30 Đồ thị

Cho x1 y0 Đồ thị qua điểm M1;0

Ví dụ 2 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = –x3 + 3x2

4 3 2 1 -1

-2 -3

- 4

2 1

x y

M’

M

10 Tập xác định: D =

20 Sự biến thiên

 Giới hạn : xlim  y  và xlim y  

 Bảng biến thiên

y’ = 3x2 – 6x , y’= 0  x = 0 v x = 2

Hàm số đồng biến trên khoảng 0;2

Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;0 và 2;

Hàm số đạt cực đại tại x 2; y CĐ y 2 4

Hàm số đạt cực tiểu tại x 0; y CT y 0 0

30 Đồ thị

Cho x 3 y 0 Đồ thị qua điểmM3;0

2 KHẢO SÁT HÀM SỐ y = ax4 + bx2 + c (a  0)

4 3 2 1 -1

4 3

2 1

x

y

M M’

10 Tập xác định.

20 Sự biến thiên

 Giới hạn

 Bảng biến thiên

+ Tính y’, Cho y’= 0 tìm nghiệm

+ Lập bảng biến thiên

+ Nhận xét

30 Đồ thị (Đồ thị đối xứng qua oy)

+ Cho thêm điểm ( x  2 )

+ Vẽ: Hệ trục oxy, cực trị, các điểm khác

Có 3 cực trị

y CĐ M'

CT CT

Ví dụ 1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y x 4  2x2

10 Tập xác định: D =

20 Sự biến thiên

 Giới hạn : xlim  y  và xlim y 

 Bảng biến thiên

y’ = 4x3 – 4x, y’= 0  4x3 – 4x = 0  x = 0 v x = 1

Hàm số đồng biến trên các khoảng 1;0 và 1;

Hàm số nghịch biến trên các khoảng   ; 1 và 0;1

Hàm số đạt cực đại tại x 0; y CĐ y 0 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x 1; y CT y 1 1

30 Đồ thị (Đồ thị đối xứng qua oy)

Cho x 2  y 0, Đồ thị qua điểm M 2;0

Ví dụ 2 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y x 4  2x2  3

10 Tập xác định: D =

20 Sự biến thiên

 Giới hạn: xlim  y và xlim y

 Bảng biến thiên

y’ = 4x3 – 4x, y’= 0  4x3 – 4x = 0  x = 0 v x = 1

Hàm số đồng biến trên các khoảng 1;0 và 1;

Hàm số nghịch biến trên các khoảng   ; 1 và 0;1

Hàm số đạt cực đại tại x 0; y CĐ y 0 3

Hàm số đạt cực tiểu tại x 1; y CT y 1 4

30 Đồ thị (Đồ thị đối xứng qua oy)

Cho x 2  y 4, đồ thị qua điểm M 2; 4 

Ví dụ 3 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y x4  2x2 3

10 Tập xác định: D =

20 Sự biến thiên

 Giới hạn: xlim  y và xlim y

 Bảng biến thiên

y’ = - 4x3 – 4x , y’= 0  - 4x3 – 4x = 0  x = 0

Hàm số đồng biến trên các khoảng  ;0

Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;

Hàm số đạt cực đại tại x 0; y CĐ y 0 3

30 Đồ thị (Đồ thị đối xứng qua oy)

Cho x 1  y0 Đồ thị qua1;0

10 Tập xác định.

20 Sự biến thiên

 Giới hạn ( Tiệm cận )

 Bảng biến thiên

+ Tính y’ ( xét y’> 0 hay y’< 0 )

+ Lập bảng biến thiên

+ Nhận xét

30 Đồ thị (Đồ thị đối xứng qua giao điểm của hai tiệm cận)

+ Giao với các trục tọa độ, các điểm khác ( nếu cần )

+ Vẽ: Hệ trục oxy, tiệm cận, các điểm khác

M' N'

   Tiệm cận đứng là x 1

 Bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;1 và 1;

30 Đồ thị (Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng)

Cho x   10 y Đồ thị cắt oy tại 0;1

Cho y  0 x 12 Đồ thị cắt ox tại 1 ;0

1) Cho hàm số y13x3 x2

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ lànghiệm của phương trình f x "  0

2) Cho hàm số y x 3  6x2 9x

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho

b) Giải và biện luận phương trình x3  6x2 9x m 0

3) Cho hàm số y2x33x2  1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm của nó vàtrục tung

4) Cho ham số y x3 3x2  2

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho (*)

b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 1;2

5) Cho hàm số y x 4  2x2 1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho

b) Tìm m để đường thẳng y m tiếp xúc với đồ thị hàm số đã cho

6) Cho hàm số y x4  2x2 3

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm của nó vớitrục hoành

7) Cho hàm số y 2x x11

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho

b) Tìm m để đường thẳng y x m  cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phânbiệt

8) Cho hàm số 



mx y

x m

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m1

b) Xát định m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó

BÀI GIẢI

-1 -2 -3 -4

4 3

2 1

2 1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho

b) Viết PTTT của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ là nghiệm của PT f " x   0

 Giới hạn : xlim y     và xlim y  

 Bảng biến thiên.

y’ = x 2 – 2x , y’= 0  x = 0 v x = 2

Hàm số đồng biến trên các khoảng   ;0 và 2; Hàm số nghịch biến trên 0;2

Hàm số đạt cực đại tại x 0  ; y CĐ  y 0   0

Hàm số đạt cực tiểu tại x 2  ; CT  

4

3

3 0 Đồ thị Cho x 3   y  0 Đồ thị hàm số qua M 0;3 

b) Phương trình tuyến cần tìm có dạng:y f x '  0 x x 0y0

2) Cho hàm số y x 3  6x2  9x

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho

0

4 3



+

-1 -2 -3 -4

4 3 2 1 -1 -2

4 3 2 1

 Giới hạn : xlim y     và xlim y  

 Bảng biến thiên.

y’ = 3x 2 – 12x + 9 , y’= 0  x = 1 v x = 3

Hàm số đồng biến trên các khoảng   ;1 và 3; Hàm số nghịch biến trên 1;3

Hàm số đạt cực đại tại x 1  ; y CĐ  y 1   4

Hàm số đạt cực tiểu tại x 3  ; y CT  y 3   0

3 0 Đồ thị

Cho x 0   y  0 Đồ thị qua góc tọa độ 0;0

b) Số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = m.

Dựa vào đồ thị ta có:

 thì phương trình đã cho có hai nghiệm.

+ Nếu 0 m 4   thì phương trình đã cho có ba nghiệm.

3) Cho hàm số y 2x3  3x2  1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm của nó và trục tung Giải

a) 1 0 Tập xác định: D =

2 0 Sự biến thiên

 Giới hạn : xlim y     và xlim y  

 Bảng biến thiên.

y’ = 6x 2 + 6x , y’= 0  x = 0 v x = – 1

Hàm số đồng biến trên khoảng    ; 1 và 0; Hàm số nghịch biến trên  1;0

Hàm số đạt cực đại tại x  1 ; y CĐ  y 1   0

Hàm số đạt cực tiểu tại x 0  ; y CT  y 0   1

3 0 Đồ thị Cho x 1   y  4 Đồ thị hàm số qua M 1;4 

b) Phương trình tuyến cần tìm có dạng:y f x '  0 x x 0y0

Giao điểm của đồ thị và trục oy là:  1;0  x0  1 , y 0  0

y’ = 6x 2 + 6x  f ' x 0  f ' 1   6 1  2 6 1   0

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 0 x 1 1      y  1

4) Cho ham số yx3  3x2  2

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho (*)

4 3 2 1 -1 -2 -3

- 4

4 3 2 1

x

y

M

M ’

b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn  2;2

Giải

a) 1 0 Tập xác định: D =

2 0 Sự biến thiên

 Giới hạn : xlim y    và xlim y   

 Bảng biến thiên.

y’ = –3x 2 + 6x , y’= 0  x = 0 v x = 2

Hàm số đồng biến trên khoảng 0;2 Hàm số nghịch biến trên   ;0và 2 : 

Hàm số đạt cực đại tại x 2  ; yCĐ  y 2  2

Hàm số đạt cực tiểu tại x 0  ; y CT  y 0   2

Vậy xmax y y 2  2;2    18 và xmin y y 0  2;2    2

5) Cho hàm số y x 4 2x2 1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho

4

3 2 1 -1 -2 -3

4 3 2 1

x

y

M

M’

b) Tìm m để đường thẳng y m tiếp xúc với đồ thị hàm số đã cho.

Hàm số đồng biến trên các khoảng  1;0 và 1; 

Hàm số nghịch biến trên các khoảng    ; 1 và 0;1

Hàm số đạt cực đại tại x0 ; y CĐ y 0  1

Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 ; y CT y  1 0

3 0 Đồ thị (Đồ thị đối xứng qua oy)

Cho x 2  y1, Đồ thị qua điểmM 2;1

b) Dựa vào đồ thị hàm số ta có đường thẳng y = m tiếp xúc với đồ thị khi m = 1

6) Cho hàm số yx4  2x2 3

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm của nó với trục hoành Giải

Hàm số đồng biến trên các khoảng    ; 1 và 0;1

Hàm số nghịch biến trên các khoảng  1;0 và 1; 

Hàm số đạt cực đại tại x 1 ; y CT y  1 4

Hàm số đạt cực tiểu tại x0 ; y CĐ y 0  3

3 0 Đồ thị (Đồ thị đối xứng qua oy)

Cho x 2  y3, Đồ thị qua điểmM 2;3

b) Đáp số : y  8 3 x  3 và y 8 3 x    3

7) Cho hàm số  



1

x y x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho

x y’

O -1

-2

2 1

b) Tìm m để đường thẳng y x m  cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt

   Tiệm cận đứng là x  1

 Bảng biến thiên.

Hàm số nghịch biến trên các khoảng   ;1 và 1;

3 0 Đồ thị (Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng)

Cho x 0   y  1 Đồ thị cắt oy tại 0;1

x 2

 Đồ thị cắt ox tại 1;0

b) Đáp số: m 1  hoặc m 5 

8) Cho hàm số 



mx y

3 2 1 0

2 1

-1

- 1

4

6 5

x

y

1 2



b) Xát định m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

Giải.

a) Khi m = – 1   

 1

x y x

   Tiệm cận đứng là x 1 

 Bảng biến thiên.

Hàm số nghịch biến trên các khoảng   ;1 và 1;

3 0 Đồ thị (Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng)

Cho x 0   y  0 Đồ thị qua góc tọa độ 0;0

y 2

- 5

3 2 1 y

0 -1 -2 -3

5 4 3

1

HÀM SỐ LŨY THỪA

1) Lũy thừa với số mũ nguyên

ii) Căn bậc chẳn của số âm không có nghĩa

iii) Khi n là số lẻ thì n a n a

Khi n là số chẳn thì n a n a

c) Tính chất của căn bậc n

1) n ab n a b.n Với a 0,b 0

2) n a

b

n n

a b

HÀM SỐ LÔGARÍT

1) Định nghĩa

Logarit tư nhiên ( logarit Nepe): loge N  ln N

2)Tính chất

aa  N alog N a  N

ii) Với a > 1: 0 x  1  x2  loga x1  loga x2

Với 0 < a <1: 0 x  1  x2  loga x1  loga x2

iii) Cho 1 < a < b hoặc 0 < a < b <1 thì:

Với x > 1: loga x  logb x

Với 0 < x < 1: loga x  logb x

2)Qui tắc tính logarit

i) loga N N1. 2  loga N1 loga N2

iii) loga Nα  α loga N

3)Đổi cơ số

i) logaN log

logb b

N a

Ví dụ: Giải phương trình

Dạng 2: a f x  b  f x log  a b

Ví dụ: Giải phương trình

2) Phương pháp lôgarit hóa

Dạng : a f x  b g x   f x   g x loga b

Ví dụ: Giải phương trình

3) Phương pháp đặt ẩn phụ

Chia hai vế của phương trình cho b 2 f x  ta được:

Ví dụ: Giải phương trình

log x 3 log x 1 3 Đáp số: x 5 (loại x = - 1)

Dạng 2:loga f x  loga g x  ()

B1: Điều kiện f x   0 (hoặc g x   0)

B2: Khi đó () f x   g x 

Ví dụ: Giải phương trình

log x log x 6   log x 2 Đáp số: x 2 (loại x = - 3)

2) Phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải các phương trình

2) 5 log x 1 logx1  2 1

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARÍT

Lưu ý: Khi giải bất phương trình mũ và lôgarít cần nhớ rằng hàm số y a x và

loga

y x đồng biến khi a 1, nghịch biến khi 0 a 1

1) Dạng cơ bản

a) Bất p hương trình mũ

2) Đưa về cùng cơ số

a) Bất p hương trình mũ

Nếu a > 1 thì: a f x  a g x   f x  g x 

Nếu 0 < a <1 thì: a f x  a g x   f x  g x 

b) Bất p hương trình lôgarít

Nếu a > 1 thì: loga f x  loga g x   f x  g x  0

Nếu 0 < a <1 thì: loga f x  loga g x   0 f x   g x 

BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG 2

Bài 1 Giải các phương trình sau:

1) 2x 2  3x 2  4

2) 2x 2   x 8 41 3x 