DE CUONG ON THI TOT NGHIEP MON TOAN TICH PHANBAN COBAN

[r]

C / Chủ đề 3 : Nguyên hàm – Tích phân :

I / Các kiên thức cơ bản :

- Bảng nguyên hàm các hàm số :

- Công thức tính tích phân : ( )  ( )  ( )  ( )

b

b a a

f x dx F x F b F a

- Tính chất của tích phân :

1

kf x dx k f x dx( )  ( )

2

f x g x dx  f x dx g x dx

[ ( ) ( )] ( ) ( )

3

f x dx( )  f x dx( )  f x dx( )

(a < c < b)

- Các phương pháp tính nguyên hàm ,tích phân :

+ Công thức đổi biến số : b  

a

f x dx( )  f ( ) ( )t t dt



 



+ Công thức tích phân từng phần :

a

Hàm hợp

- Ứng dụng tính diện tích và thể tích :

+ Công thức tính diện tích :Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], trục hoành và 2 đường thẳng x = a, x = b thì diện tích S của nó được tính bởi công thức

b a

Sf x dx( )

Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số

y = f 1 (x) và y = f 2 (x) liên tục trên [a; b] và hai đừng thẳng

x = a, x = b, thì diện tích S của nó được tính bởi công thức

b a

Sf x1( ) f x dx2( )

+ Công thức tính thể tích :

b a

V S x dx( ) ; Vật tròn xoay :

b a

V f x dx2( )

Chú ý : Để làm tốt một số bài tập nguyên hàm và tích phân cần nắm chắc khái niệm vi phân và bảng đạo hàm các hàm số , nhất là trong phương pháp tích phân từng phần.

II / Các dạng toán thường gặp :

1 / Sử dụng công thức Niu tơn _ Lai – bơ –nit

2 / Sử dụng tích phân từng phần :

3 / Sử dụng phương pháp đổi biến số

(sinx)’ = cosx ;

(cosx)’=-sinx ; (tanx)’ =;

(sinu)’=u’.cosu

( cos u)’ = - u’.sinu (tanu)’ =

(xn)’=nxn-1. (nN*, n>1,x R)

Giả sử các hàm số u = u(x), v = v(x)

có đạo hàm tại các khoảng xác định Ta có:

(u+v)’ = u’ + v’ (1)

(u-v)’ = u’ – v’ (2)

(uv)’= u’v+uv’ (3)

(v(x)≠0) (4)

(v =v(x)≠0)

(cotx)’ =; (cotu)’ =;

+ Dạng : ( ).sinxdx; ( ) osxdx; ( ) dx;

x

Ta đặt u = P(x) ; dv = sinxdx ( tương tự với cosx , ex )

+ Dạng :

+ Dạng ln ( )

b

a

x P x dx

 ; đặt u = ln :

+ Dạng ( ) '.

b

a

f u u dx

 Đặt t = u ( x ) + Dạng sinx ; cosx.

  Đặt u = sinx ( u = cosx ), dv = ex dx + Dạng sin(lnx) ; cos(lnx).

  Đặt u = sin(lnx) ( cos(lnx) ) ; dv = dx

4 / Sử dụng biến đổi đồng nhất thức :    

A.B B A A B

5 / Tính diện tích , thể tích :Chú ý phải khử dấu giá trị tuyệt đối bằng định nghĩa hoặc tìm giao điểm các đồ thị …

III / Bài tập áp dụng :

Bài 1 / Tính tích phân I = 2

0

x

1 sin os

x

c dx







1

1

1 2

x

x I

Bài 2 / Tính I =

0 sin 2x

dx 2 (2 sin x) /2 

 



Đặt t 2 sin x   dt cosxdx





x = 0 t = 2 , x = t 1

2

I = 2 dt 2 dt 4 2dt 2 ln t 1 4

I ln 4 2

®

®

Bài 3 : Tính

1 2

0 3 2

dx I





Giải

Áp dụng phương pháp đồng nhất thức : Mẫu thức x 2 + 3x + 2 = ( x + 1 ) ( x + 2 )

2

2

2ln 2 ln 3

x dx

I



B i 4 ài 4 :Tính

1

1 ln

e

x

x





Gi i: ải:

Đặt : t :

2 2 2

1

1 ln

2 3

2

x

u

I





B i 5 ài 4 : Tính

1 0

( 1) x

I x e dx

Giải

Đặt u x x 1 du dx x

dv e dx v e



1 1 0 0

( 1)

1

I e

 



Bài 6 : Tính

2

1

.ln

Giải

Đặt 2

1 ln

2

du dx

v















1 1 2

0 0

1 ln

3 2ln 2

4

x

I



Bài 7 : Tính I 4x cos xsinxdx

0

3

 





Giải

cos sin sin cos sin

Đặt u  cosx du  sindx du sinxdx

2

2 4

; 0

2 2

0 3 4

0

4

0

3 sin sin

x

I









4

1 sin



xdx x

I 



















x v dx du xdx dv x u

cos sin

2

2 2

1





 I 

16

1 4

2 2

0

4

2 u  

I

16

1 2 8 2

 

I

Bài 8 : Tính 

1

0 2

1 x dx

x I

Giải :

Đặt u x du xdx du 2xdx

2 2



x 0  u 1 ;x 1  u 2

2

1 ln

2

1 2

1 1

2 1 2

1

1

0



I

Bài 9 : Tính :

1

0

1

I x  x dx

Giải

Đặt

   

2

2

0 1; 1 0;

3

2

3

 

 

Vậy ta có:

1

.

4

45

I



Bài 10 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2 – x 2 và đường thẳng y =-x

Áp dụng công thức : ( ) ( )

b

a

S   f x  g x dx

Cận a , b là hai nghiệm của phương trình : 2 – x 2 = -x Hay x 2 –x – 2 = 0 , pt có hai nghiệm a = -1

và b = 2 , ta có

( ) ( )

b

a

S   f x  g x dx =

2

2 1

2

2 1

2

1

(2 ) ( )

2











Vậy diện tích cần tìm là : S = 9

2 ( đvdt )

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

g x   = -x

f x   = 2-x 2