Bai 2 Phuong tring LG Day them

Phöông trình cô baûn – Phöông trình baäc nhaát theo moät haøm soá löôïng giaùc Baøi 1. Giaûi caùc phöông trình sau:. 1) cos2x[r]

Trang 1

Bài 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I Kiến thức cơ bản :

1 Phương trình cơ bản – Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác.

Tổng quát: m [– 1 ; 1], n  R

 sinu = m   u arcsin m k2u arcsin m k2 

  tanu = n  u arctan n k   (chú ý đk)

 cosu = m   u arccosm k2u arccosm k2 

  cotu = n  u arccot n k   (chú ý đk)

Nếu m, n là các số đặc biệt : m  0; 1; 12;  22;  23

, n  0; 1;  33;  3

thì :

 sinu = sinv  



















2 k v u

 tanu = tanv  u v k   (chú ý đk)

 cosu = cosv  

















2 k v u

 cotu = cotv u v k   (chú ý đk)

 Chú ý:  Các trường hợp đặc biệt:

sinx = – 1  x = – 2 + k2 tanx = – 1  x = – 4 + k

sinx = 1  x = 2 + k2 tanx = 1  x = 4 + k

cosx = – 1  x = (2k + 1) cotx = – 1  x = – 4 + k cosx = 0  x = 2 + k cotx = 0  x = 2 + k

cosx = 1  x = k2 cotx = 1  x = 4 + k

 Khi gặp dấu trừ ở trước thì:

– sinx = sin(– x) – cosx = cos( – x) – tanx = tan(– x) – cotx = cot(– x)

 Khi giải phải dùng đơn vị là rad nếu đề bài không cho độ (0)

2 Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác.

Là các phương trình mà sau khi biến đổi ta được một trong các dạng sau (a  0):

 asin 2 u + bsinu + c = 0 (1)  acos 2 u + bcosu + c = 0 (1)

Đặt t = sinu Điều kiện: – 1  t  1 Đặt t = cosu Điều kiện: – 1  t  1.

(1)  at 2 + bt + c = 0… (1)  at 2 + bt + c = 0…

 atan 2 u + btanu + c = 0 (1)  acot 2 u + bcotu + c = 0 (1)

Điều kiện: cosu  0 Điều kiện: sinu  0

Đặt t = tanu, (1)  at 2 + bt + c = 0… Đặt t = cotu, (1)  at 2 + bt + c = 0…

 Chú ý: Nếu phương trình có chứa tanu, cotu, sin2u, cos2u, tan2u, cot2u, đặt t = tanu, khi đó:

t

1 u

 , cos2u = 22

t 1



 , tan2u = 12tt2

 , cot2u = 12tt2

3 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx (Phương trình cổ điển).

asinx + bcosx = c (1) với a, b, c  R, và a2 + b2  0

 Điều kiện để phương trình cĩ nghiệm là: a 2 + b 2  c 2

 Chia 2 vế phương trình cho a  2 b 2 , ta được:

Trang 2

Lượng giác 11 Bài 2 Phương trình lượng giác

2

a

 sinx + a2b b2

 cosx = a2c b2



b a

b b

a

2 2

























 nên đặt cos = a2a b2

 , sin = a2b b2



Khi đó ta được: sin(x + ) = a 2 b 2

c

 rồi giải như phương trình cơ bản

 Chú ý:

 Ngoài ra ta có thể dùng công thức tính sinx, cosx theo t = tan2x

Sau đây là cách giải:

Đặt t = tan2x Điều kiện x   + k2

 sinu = 1 t2

t 2

 và cosu = 22

t 1





(1)  a 1 t2

t 2

 + b 22

t 1



 = c  (a + c)t 2 – 2bt + c – a = 0 (2)

Giải (2) tìm nghiệm t1, t2 nếu có, rồi sau đó giải phương trình

2

x tan = t1, tan2x = t2 để tìm nghiệm x (phải thỏa điểu kiện)

 Nếu a = b có thể dùng công thức sau để giải:

sinx  cosx = 2sin(x  4) = 2cos(x 4 )

4 Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sinx và cosx (Phương trình đẳng cấp).

asin 2 x + bsinxcosx + ccos 2 x = 0 (1) Hoặc asin 2 x + bsinxcosx + ccos 2 x = d (2)

(2)  asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d(sin2x + cos2x)

 (a– d)sin2x + bsinxcosx + (c– d)cos2x = 0 (2) Phương trình (2) cũng là dạng (1), nên ta chỉ xét dạng (1) Nếu gặp dạng (2) thì ta đưa về dạng (1) như trên

Sau đây là cách giải dạng (1):

 Nếu a = 0 và b, c  0 thì (1)  cosx.(bsinx + ccosx) = 0  











0 x cos c x sin b

0 x cos

 Nếu c = 0 và b, a  0 thì (1)  sinx.(asinx + bcosx) = 0  









0 x cos b x sin a

0 x sin

 Nếu a, b, c  0:

 Kiểm tra xem với cosx = 0 thì (1) có thỏa hay không? (cosx = 0 thì sinx =  1) Nếu thỏa thì kết luận rằng phương trình có 1 họ nghiệm là x = 2 + k (k  Z)

 Với cosx  0, chia 2 vế của (1) cho cos 2 x, ta được phương trình:

atan 2 x + btanx + c = 0 (1)

(1) là phương trình bậc 2 theo tanx, ta đã biết cách giải (Xem phần 2).

 Nghiệm của (1) là nghiệm của (1) và x = 2 + k (nếu có)

 Chú ý: Ngoài ra ta có thể dùng công thức hạ bậc để đưa (1) về dạng phương trình bậc

nhất theo sinX và cosX (Phần 3) Với:

2

x 2 cos 1 x

2

1 x cos x

 Phương trình đẳng cấp bậc 3: asin 3 x + bsin 2 xcosx + c.sinxcos 2 x + dcos 3 x = 0 giải tương tự

như đẳng cấp bậc 2.

5 Phương trình đối xứng – Phản đối xứng.

Trang 3

ạng1 : a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (1)

Đặt t = sinx + cosx = 2sin(x + 4 ) Điều kiện: – 2 t  2

 t2 = 1 + 2sinxcosx  sinxcosx =

2

1

t 2



(1)  at + b t22 1 = c  bt2 + 2at – b – 2c = 0 (2) Giải phương trình (2), chọn nghiệm thỏa điều kiện: – 2 t  2 Giải phương trình 2sin(x + 4 ) = t để tìm x

D

ạng 2 : a(sinx – cosx) + bsinxcosx = c (1)

Đặt t = sinx – cosx = 2sin(x – 4) Điều kiện: – 2 t  2

 t2 = 1 – 2sinxcosx  sinxcosx = 2

t



(1)  at + b 1 2t

2



= c  bt2 – 2at – b + 2c = 0 (2) Giải phương trình (2), chọn nghiệm thỏa điều kiện: – 2 t  2 Giải phương trình 2sin(x – 4) = t để tìm x

D

ạng 3 : a|sinx  cosx| + bsinxcosx = c (1)

Đặt t = |sinx  cosx| = 2 sin(x )

4



 Điều kiện: 0  t  2 Giải tương tự như trên

6 Phương trình lượng giác không mẫu mực.

a Trường hợp 1 : Tổng hai số không âm:























0B

0A 0BA

0B0 A

b Trường hợp 2 : Phương pháp đối lập:





















MB

MA BA

BMA

c Trường hợp 3 : Sử dụng tính chất :























NB

MA NM

BA

NB vàM A

 sinu + sinv = 2











1 v sin

1 u

sin













1 v sin

1 u sin

Trang 4

 sinu + sinv = – 2

















1 v sin

1 u

sin

 sinu – sinv = – 2

















1 v sin

1 u

sin

 Tương tự cho các trường hợp cosu  cosv =  2 và cosu  cosv  2

d Trường hợp 4 : Sử dụng tính chất :































NB

MA NB

MA N.MB.A

NBvàMA

 sinu.sinv = 1  sin u 1sin v 1  sin usin v11

   sinu.sinv = –1  sin usin v 11 sin u 1sin v 1

 Tương tự cho các trường hợp cosu.cosv = 1, sinu.cosv = 1, cosu.sinv = 1

Trang 5

II Bài tập tự luận :

Phương trình cơ bản – Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác

Bài 1 Giải các phương trình sau:

1) sinx = – 23 2) sinx = 41 3) sin(x – 600) = 21

4) sin2x = – 1 5) cos(3x – 6) = – 22 6) cos(x – 2) = 52

7) cos 2x 3  21









 8) cos(2x + 500) = 21 9) tan2x = tan27

10) tan(3x – 300) = –

3

6 x 4



















4 2

x









3

x



















16) cos(3x – 450) = 23 17) sin3x = – 23 18) sin(2x – 150) = 22

2

x

















22) cos(2x + 500) = –

2

3 23) 2cosx – 3 = 0 24) 3tan3x – 3 = 0

1) cos2x cot 









 4

2

x cot 1 3

x



























3) (1 + 2cosx)(3 – cosx) = 0 4) (cotx + 1) sin3x = 0

5) sin2x cotx = 0 6) tan(x – 300)cos(2x – 1500) = 0

7) (2cos2x – 1)(2sin2x – 3) = 0 8) (3tanx + 3)(2sinx – 1) = 0

9) tan(2x + 600)cos(x + 750) = 0 10) (2 + cosx)(3cos2x – 1) = 0

11) (sinx + 1)(2cos2x – 2) = 0 12) (sin2x – 1)(cosx + 1) = 0

1) sin(2x – 150) = 22 với – 1200 < x < 900 2) cos(2x + 10 = 21 với –  < x < 

3) sin 2 x 3   21









 với 0 < x < 2 4) tan x 4   33









 với 0 < x < 

5) sinx = – 21 với –  < x < 0 6) cos(x – 2) =

2

3 với x  [0 ; ]

7) tan(x – 100) = 1 với – 150 < x < 150 8) sin x 4 

 = 1 với x  [ ; 2]

5) sinx – cos(x + 600) = 0 6) cos(x – 100) + sinx = 0

























4 x sin 3

x

4 x 2





































3

sin 4 x 2

























6 x cos 3 x

Trang 6

1) sin2x = 41 2) 4cos2x – 3 = 0 3) sin23x – cos2x = 0

4) sin2(x – 450) = cos2x 5) 8cos3x – 1 = 0 6) tan2(x + 1) = 3

Phương trình bậc hai, bậc 3 đối với một hàm số lượng giác

1) 2cos2x – 2( 3 + 1)cosx + 3 + 2 = 0 2) 2cos2x + 4sinx + 1 = 0

3) cos2x + 9cosx + 5 = 0 4) sin2x – 2cos2x + 3

4 = 0

5) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1 6) cot4x – 4cot2x + 3 = 0

7) cos2(x +

3

 ) + 4cos( x

6



 ) = 5

4 cosx + 5 = 0

cos x – 1 + tanx – 3(tanx + 1) = 0 10) cos4x – 3

2 2

1 tan x



 + 2 = 0

11) 2cos2x + 2cosx – 2 = 0 12) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0

15) tan 3x (12   3)tan3x 3 0 16) 4 cot2 x 2( 3 1)cotx 3 0

17) 3 tan x (12   3)tan x 1 0  18) cos2x + sinx + 1 = 0

1) tan3x – 3tan2x – 2tanx + 4 = 0 2) 4sin3x + 4sin2x – 3sinx = 3

3) tan3x – 1 + 12

cos x + 2cot 2 x

 



  = 3 4) 2sin2x = 1 + sin3x

5) 1 + sin3x = sinx + cos2x 6) tan2x + cot2x + 2(tanx + cotx) = 6

2

cosx 4 cos x

2

1 cot x 5(tan x cot x) 2 0

2

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx (Phương trình cổ điển)

1) sinx – cosx = 6

3) sin4x + 3cos4x = 3 4) 2sinx – 9cosx = 85

5) cos(2x – 150) + sin(2x – 150) = – 1 6) 2cosx – 3sinx + 2 = 0

9) 2sinx – 2 cosx = 2 10) sinx – 3cos2x = 1

13) 5cos2x + 12sin2x – 13 = 0 14) 3sinx + 3cosx = 1

1) 2sin22x + 3sin4x = – 3 2) cosx + 3sinx = 2 cos3 x

3) 2sin x 4 

  + sin x 4  

  = 3 2

6 3cosx 4sin x 1  = 6

5) 3sin3x – 3cos9x = 1 + 4sin33x 6) 5cos(2x + 180) – 12sin(2x + 180) = –13

Trang 7

7) 2cos x 6 

  + 3cos x 3  

 = 5 2

2x = 1 2

9) 2sin2x + 3sin2x = 3 10) 3cos2x – sin2x – sin2x = 0

11) 4sinxcosx = 13sin4x + 3cos2x 12) 2cos2x – sin2x = 2(sinx + cosx)

13 2sin17x + 3cos5x + sin5x = 0 14) cosx – 3sinx = 2cos3x

15) sin9x + 3cos7x = sin7x + 3cos9x 16) sin5x + cos5x = 2cos13x

17) 8sin2x

1 sin x 1

1 cosx 2







19) 1 cos4x sin 4x

2sin2x 1 cos4x





3cosx 4sin x 6  = 3

Bài 10 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các hàm số sau:

1) y = 2sinx + 3cosx + 1 2) y = 2sin2x + 4sinxcosx + 3

3) y = sin2x + cos2x – 2 4) y = sinsinxx coscosxx 31







Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sinx và cosx (Phương trình đẳng cấp)

1) 2sin2x + sinxcosx – 3cos2x = 0 2) 3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2

3) sin2x + sin2x – 2cos2x = ½ 4) 2cos2x + sin2x – 4sin2x = – 4

5) sin2x – 10sinxcosx + 21cos2x = 0 6) cos2x – 3sinxcosx + 1 = 0

7) cos2x – 3sin2x – sin2x = 1 8) 2cos2x – 3sinxcosx + sin2x = 0

9) 3sin2x – 2 3sinxcosx + cos2x – 1 = 0 10) 4sin2x – 3 3sin2x – 2cos2x = 4

11) 3cos2x + sinxcosx + 2sin2x = 2 12) 3cos2x + 3sinxcosx + 2sin2x = 1

13 3cos2x – sin2x – 3sin2x = 1 14) 3sin2x + 2cos2x – 1 = 0

15) 2cos2x + 3sin2x – 8sin2x = 0 16) 3cos2x + 2sin2x – sin2x = 2 + 3

17) sin3x + cos3x = sinx + cosx 18) sin3x + 2sin2xcosx – 3cos3x = 0

19) sin 3 x – 5sin 2 xcosx – 3sinxcos 2 x + 3cos 3 x = 0 20) cos 3 x – 4cos 2 xsinx + cosxsin 2 x + 2sin 3 x = 0

*Phương trình đối xứng – Phản đối xứng*

1) 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0 2) (cosx – sinx) + 2sin2x – 1 = 0

3) 2sinx + cosx+ 3sin2x = 2 4) sinx – cosx+ 4sin2x = 1

5) tanx + cotx = 2(sinx + cosx) 6) (1 + sin2x)(cosx – sinx) = cos2x

7) 3(sinx + cosx) – sin2x – 3 = 0 8) 2sin4x + 3(sin2x + cos2x) + 3 = 0

9) cosx + cosx1 + sinx + sin x1 = 103 10) sin2x – 2sin x 4 

  + 1 = 0

Phương trình lượng giác không mẫu mực

1) sin25x + 1 = cos23x 2) sin2x – 2sinx + 2 = sin23x

3) sinx + cosx = 2(2 – sin3x) 4) 2cos2x = 3sin25x + 2

5) (cos4x – cos2x)2 = 4 + cos23x 6) sinx + cosx = tanx + cotx

Phương trình dạng khác (tổng quát)

1) sin24x + sin23x = sin22x + sin2x 2) sin24x + sin23x + sin22x + sin2x = 2

Trang 8

3) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2 4) sin2x + sin2x = cos23x + cos24x

5) 4sin3x + sin5x – 2sinxcos2x = 0 6) sin2x + sin22x = sin23x

7) cos2x – cos8x + cos6x = 1 8) sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0

9) sin2x + cos2x + sin3x = cos3x 10) sin6x.sin2x = sin5x.sinx

11) cos8x.cos5x = cos7x.cos4x 12) sin7x.cosx = sin5x.cos3x

13 2tan2x – 3tanx + 2cot2x + 3cosx – 3 = 0 14) sin3x + sin5x + sin7x = 0

15) cos2x + 4sin4x = 8cos6x 16) sinx = 2sin5x – cosx

17) 3 + 2sinx.sin3x = 3cos2x 18) sinx+sin2x+sin3x = cosx+cos2x+cos3x 19) sinx+sin2x+sin3x = 1+cosx+cos2x+cos3x 20) 1 + cosx + cos2x + cos3x = 0

21) tanx + cot2x = 2cot4x 22) 2cos2x + sin10x = 1

23) tanx + tan2x = sin3x.cosx 24) 5tanx – 2cotx = 3

25) 1 cos2x sin2x

cosx 1 cos2x





1 sin2x



27) (1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx 28) 4sin3x = sinx + cosx

cos2x sin 2x sin 4x  30) sin4x + cos4x =

3 cos6x 4



Phương trình lượng giác có tham số

Bài 15 Định m để phương trình:

2) mcosx – 2m + 1 = (2m – 1)cosx có nghiệm

3) msinx + 1 = 2(sinx + m) vô nghiệm

4) cos2x – sinx.cosx – 2sin2x = m có nghiệm

5) (m + 2)sinx – 2mcosx = 2(m + 1) có nghiệm

6) mcos2x + (m + 1)sin2x = m + 2 có nghiệm

9) (m2 + 2)cos2x – 2msin2x + 1 = 0 có nghiệm

10) sin2x – 4(cosx – sinx) = m có nghiệm

Phương trình lượng giác trong các đề thi đại học, cao đẳng



cos3x sin3x

3) cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 , với x  [0 ; 14] ĐH – D – 2002

4) cot x 1 cos2x sin x2 1sin2x

5) cot x tan x 4sin 2x 2

sin 2x

6) sinh2x2 4 tan x cos2  2 x2 0

11) sin4x + cos4

x + cos x 4  

 .sin3x 4 32

Trang 9

12) 

















4

3 x cos 2 1 x 2 cos 3 2

x sin

4 x cos 2















2

cos 2 1 tan( ) 3tan



x



Dự bị 2 ĐH – B – 2005

15) tan32 x1 cosxsin x 2



17)

2(cos x sin x) sin x cosx 0

2 2sin x



18) cot x sin x 1 tan x.tan   x24

20) cos3x.cos3x – sin3x.sin3x =

8

2 3

6









22) (2sin2x – 1)tan22x + 3(2cos2x – 1) = 0 Dự bị 1 ĐH – B – 2006

25) 4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = 0 Dự bị 2 ĐH – D – 2006

26) (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x ĐH – A – 2007

28)

2

29) sin 2x sin x 1 1 2cot 2x

2sin x sin2x

30) 2 cos x 2 3 sin x cosx 1 3(sin x2     3 cosx) Dự bị 2 ĐH – A – 2007

31) sin 2x 4 cos 2x 4 2cos 2x





















32) sin 2x cos2x tanx cotx

12 x sin 2









35)

2



ĐH – A – 2008

36) sin3x – 3cos3x = sinxcos2x – 3sin2xcosx ĐH – B – 2008

Trang 10

III.Bài tập trắc nghiệm :

1 Nghiệm của phương trình sinx = cosx là:

2 Nghiệm của phương trình 1 – cos2x = 0 là:

3 Nghiệm của phương trình tan2x = 0 là:

4 Nghiệm của phương trình cos 4x = 21 là:

Ⓐ x =   k 8 

4

3

Ⓑ x =   k 8 

3

4

3







5 Nghiệm của phương trình cos 









 4

x + 22 = 0 là:

Ⓐ x =  k 2 

6 Nghiệm của phương trình cosx + cos 3 = 0 là:

Ⓐ x =  (   3 )  k 2  Ⓑ x =  arccos 3  k 2 

7 Nghiệm của phương trình cos 









 3

x + 73 = 0 là:











7

3











7

3 arccos













7

3













7

3 arccos

8 Nghiệm của phương trình tan4x – 1 = 0 là:

Ⓐ x =   k 2 

16 Ⓓ x =  16 k4

9 Nghiệm của phương trình cot3x + 1 = 0 là:

Ⓐ x =   k 2 

12 Ⓑ x =    k 2 

10 Nghiệm của phương trình cot(x + 300) +

3

3 = 0 là:

11 Nghiệm của phương trình cos(x – 100) + sinx = 0 là:

12 Nghiệm của phương trình sin6x = sin 7 là:

13 Nghiệm của phương trình sinx – cos 









 3

x = 0 là:

14 Nghiệm của phương trình sin(2x + 300) = sinx là:

15 Nghiệm của phương trình cot3x = 0 là:

16 Một nghiệm của phương trình sin2x – cosx = 0 là:

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	0,95 MB