Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp giải toán tính diện tích đa giác và phương pháp diện tích

NỘI DUNGA.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH DIỆN TÍCH Để giải các bài toán tính diện tích học sinh cần phải nắm chắc các kiến thức sau: I.. Công thức tín

PGD&ĐT HUYỆN HIỆP HÒA TRƯỜNG THCS HỢP THỊNH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC VÀ

MỤC LỤC

PHẦN I : LỜI NÓI ĐẦU 3

PHẦN II NỘI DUNG 4

A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH DIỆN TÍCH 4

I Các tính chất cơ bản của diện tích đa giác: 4

II Các công thức tính diện tích của các đa giác đặc biệt: 4

III Cách giải bài toán tính diện tích và phương pháp diện tích: 6

B MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 7

I Các bài toán tính diện tích đa giác 7

II Các bài toán chứng minh băng phương pháp diện tích 15

1 Các bài toán chứng minh về quan hệ diện tích và quan hệ các đoạn thẳng: 15

2 Các bài toán về bất đẳng thức và cực trị 29

3 Một số bài toán chứng minh trung điểm đoạn thẳng, đường thẳng song song, ba đường thẳng đồng quy 36

PHẦN III KẾT LUẬN 38

PHẦN I : LỜI NÓI ĐẦU

Như chúng ta đã biết, cùng với sự phát triển tư duy của con người, toán học

ra đời Toán học là môn khoa học đặc biệt, môn khởi đầu cho sự ra đời của các môn khoa học khác và cung rất cần thiết cho các ngành khoa học kỹ thuật Toán học đã rèn luyện cho con người nhiều đức tính quí: tính cần cù, lòng say mê, sáng tạo, kiên trì

Trong toán học không thể không kể đến bộ môn hình học Hình học rèn luyện cho con người khả năng tư duy trừu tượng, sự sáng tạo và khả năng phân tích tổng hợp Trong đó, một dạng toán tương đối khó, đòi hỏi nhiều tới khả năng

tư duy cao, vận dụng linh hoạt những kiến thức rất cơ bản đã được học đồng thời phải quan sát kĩ lưỡng đặc điểm từng bài toán, đó là

" Diện tích đa giác và phưong pháp diện tích "

Trong quá trình giảng dạy cho học sinh khá, giỏi môn toán lớp 8 của trường tôi nhận thấy các bài tập về diện tích đa giác và chứng minh bằng phương pháp diện tích rất hay và lí thú

Chính vì vậy tôi đã viết “Sáng kiến kinh nghiệm” về chuyên đề này để dạy cho học sinh lớp khá giỏi khối 8 của trường để giúp học sinh bớt lúng túng khi gặp những bài tập loại này, đồng thời giúp học sinh củng cố những kiến thức cơ bản đãhọc và nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo

Chuyên đề gồm ồm g m

I Các bài toán tính diện tích đa giác

II Các bài toán chứng minh bằng phương pháp diện tích

1 Các bài toán chứng minh về quan hệ diện tích và sử dụng diện tích để tìm quan hệ về độ dài đoạn thẳng

2 Các bài toán về bất đẳng thức và cực trị

3 Một số bài toán chứng minh trung điểm đoạn thẳng, đường thẳng song song, đồng quy

PHẦN II NỘI DUNG

A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC VÀ

PHƯƠNG PHÁP TÍNH DIỆN TÍCH

Để giải các bài toán tính diện tích học sinh cần phải nắm chắc các kiến thức sau:

I Các tính chất cơ bản của diện tích đa giác:

1 Nếu một đa giác được chia thành các đa giác không có điểm chung thì diện

tíchcủa nó bằng tổng diện tích của các đa giác đó ( tính cộng)

2 Các đa giác bằng nhau có diện tích bằng nhau( tính bất biến)

3 Hình vuông có cạnh bằng một đơn vị dài thì diện tích của nó là một đơn vị

vuông ( tính chuẩn hóa)

4 Hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đáy tương ứng với hai chiều cao

5 Hai tam giác có chung cạnh thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai chiều cao ứng với cạnh đó

6 Tam giác đều cạnh a có diện tích 3a2

4

II Các công thức tính diện tích của các đa giác đặc biệt:

1 Công thức tính diện tích hình chữ nhật:

Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó

2 Công thức tính diện tích hình vuông:

Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó

3 Công thức tính diện tích tam giác:

a) Diện tích tam giác:

Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó

S = 21a.h

S = a.b

b) Diện tích tam giác vuông:

Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông

4 Công thức tính diện tích hình thang:

Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao

5 Công thức tính diện tích hình bình hành:

Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó

6 Công thức tính diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc:

Diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau bằng nửa tích của hai đường chéo đó.

7 Công thức tính diện tích của hình thoi

Diện tích hình thoi bằng nửa tích của hai đường chéo.

S = 2 1a.b = 2 1 c.h

h c

b a

S = 2 1(a+b).h

h b

III Cách giải bài toán tính diện tích và phương pháp diện tích:

1 Để tính diện tích của một đa giác:

+ Đa giác đó có công thức tính nhưng chưa đủ dữ kiện để tính đòi hỏi ta phải đi tính dữ kiện thiếu đó rồi mới tính được diện tích đa giác

+ Đa giác có công thức tính nhưng nếu sủ dụng công thức vẫn không thể tính nổi thì phải thông qua diện tích của đa giác khác và sử dụng các tính chất đã nêu ở trên

+ Tính diện tích của một đa giác không có công thức thì ta cần biến đổi diện tích này bằng diện tích của hình khác đã có biết cách tính diện tích

2 Chứng minh hình bằng phương pháp diện tích:

+ Ta đã biết một số công thức tính diện tích của những đa giác dã nêu ở trên Do

đó khi biết độ dài của một số yếu tố, ta có thể tính được diện tích của những hình

ấy Ngược lại nếu biết quan hệ diện tích của hai hình từ đó kết hợp với yếu tố đã biết khác, tổng hợp các kiến thức liên quan để suy ra điều cần chứng minh

+ Để so sánh hai độ dài nào đó bằng phương pháp diện tích, ta có thể làm theo các bước sau:

- Xác định quan hệ diện tích giữa các hình

- Sử dụng các công thức diện tích để biểu diễn mối quan hệ đó bằng một đẳng thức có chứa các độ dài

- Biến đổi đẳng thức vừa tìm được ta có quan hệ về độ dài giữa hai đoạn thẳng cần so sánh

3 Để giải các bài toán về bất đẳng thức và cực trị ta cần nắm được:

Phương pháp giải: Xuất phát từ các bất đẳng thức đã biết, vận dụng các tính chất

của bất đẳng thức để suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

Các bài toán cực trị thường được trình bày theo hai cách;

Cách 1: Đưa ra một hình rồi chứng minh rằng mọi hình khác có các yếu tố( đoạn

thẳng, góc, diện tích…) lớn hơn hoặc nhỏ hơn yếu tố tương ứng của hình được đưara

Cách 2: Thay điều kiện một đại lựợng đạt cực trị bằng các điều kiện tương đương,

cuối cùng dẫn đến điều kiện xác định được vị trí của điểm để đạt cực trị

Các bất đẳng thức thường được dùng để giải toán cực trị:

+ Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

+ Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu

+ Bất đẳng thức tam giác

+ Các bất đẳng thức đại số

B MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

I Các bài toán tính diện tích đa giác

Để tính diện tích của một đa giác:

+ Đa giác đó có công thức tính nhưng chưa đủ dữ kiện để tính đòi hỏi ta phải đi tính dữ kiện thiếu đó rồi mới tính được diện tích đa giác

+ Đa giác có công thức tính nhưng nếu sủ dụng công thức vẫn không thể tính nổi thì phải thông qua diện tích của đa giác khác và sử dụng các tính chất đã nêu ở trên

+ Tính diện tích của một đa giác không có công thức thì ta cần biến đổi diện tích này bằng diện tích của hình khác đã có biết cách tính diện tích

Bài 1 : Cho tam giác ABC cân ở A, AB = AC = 5cm, BC = 6cm Gọi O là trung điểm của đường cao AH Các tia BO và CO cắt cạnh AC và AB lần lượt ở D và



3

1 AC

và O là những điểm đặc biệt trên các đoạn

AC, AH nên ta dễ dàng tìm được mối quan

hệ đó bằng cách lấy thêm điểm N là trung điểm của DC

 SABC = 2

12cm 2

4.6 2

Phân tích đề bài và hướng giải:

Hs cần nhận thấy SABCD = 1 nên dễ dàng suy ra SBCD =

2

1

Để tính SMQDC thì phải thông qua SBCD và SBMQ

Do đó ta cần phải tìm mối quan hệ của SBMQ với SBCD

Để tìm được mối liên hệ đó ta phải xét xem Q nằm trên BD có ở vị trí đặc biệt không bằng cách lấy thêm điểm N là trung điểm của AD

Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD, trên cạnh BC lấy M: BM =

N M

D

A B

C

Nên để tính diện tích của AMN ta phải làm

SAMN = SABCD - SABN - SCMN - SADN

(b) Tính SMNQP theo SABCD cần phải tìm mối liên hệ SMNPQ với SAMN vì các đỉnh của

tứ giác nằm trên cạnh của  AMN

Muốn tìm mối liên hệ đó rõ ràng phải thông qua  APQ

Ta nhận thấy  APQ và  AMN có hai đáy cùng thuộc một đường thẳng nên ta phải kẻ thêm đường vuông góc PK và MH Từ đó suy ra lời giải của bài toán

B A

N

M

Phân tích đề bài và hướng giải:

Để giải câu (a) hs dễ dàng nhận ra phải

sử dung tính chất 1: Nếu một đa giác được chia thành các đa giác không có điểm chung thì diện tích của nó bằng tổngdiện tích của các đa giác đó ( tính cộng)

Bài 4: Cho ABC có AB = 3; AC = 4, BC = 5 Vẽ các đường phân giác AD, BE,

CF Tính diện tích tam giác DEF.

Bài giải: ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5

Nên  ABC vuông tại A

Ta có CF là phân giác ACB  FA CA 4 FA 4 FA 4.3 4

Cmtt như trên ta tính được DB = 15

7 ( Dựa vào định lí đường phân giác trong tam giác)  DC = 20

7(*) SBFD = FH.BD 1 4 15 10

2   2 3 7 7(*) SDFC =EK.AC 1 3 20 15

2   2 2 7 7(*) SABC =AB.AC 3.4 6

NA = b Tính diện tích hình thoi theo a và b.

Phân tích đề bài và hướng giải:

- Để tính được diện tích của  DEF thì ta phải

đi tính SABC, SAEF, SBFD, SDFC

Học sinh dễ dàng tính được SABC, SAEF vì đó làhai tam giác vuông

- Để tính được SBFD, SDFC thì cần phải kẻ thêmđường cao Căn cứ thêm vào giả thiết : có phângiác của các góc nên từ đó suy ra kẻ đường cao

FH và EK

 FH = FA; EK = EA

K H

E F

B

A

M

N H

a  a  b

Do đó OA2 = 2 2 2 2

2 2 2

4a b 2ab

OA (a  b )  a  b  và OB = 22ab2

Trên cạnh HG lấy hai điểm P, Q : GP = HQ = 2 MF

5 Tính S MNPQ

P Q

N M

16cm

14cm

12cm 10cm

H

G

F E

B A

Phân tích đề bài và hướng giải:

a) Ta nhận thấy để tính được S EFGH phải thông qua SABCD, SAEH, SEBF, SFCG, SHGD là các hình tính được diện tích qua các công thức đã học

b) Vì tứ giác MNPQ có các đỉnh nằm trên cạnh của tứ giác EFGH ở những vị trí đặc biệt theo gt đã nêu Do đó ta cần tìm mối liên hệ giữa tứ giác MNPQ với EFGH Từ đó tính được diện tích của tứ giác MNPQ

5 => SHEM = HEF

2S

5 => SHMF = HEF

3S5

3

1 => SMQP =

5

3 3

1

= S EFGH

5 1

=> SMNPQ = S EFGH

5

1

= 5 1.456 = 91,2 (cm2)

Bài 7: Cho hình thang ABCD Biết độ dài hai đường chéo là 3 và 5, độ dài đoạn thẳng nối trung điểm hai đáy là 2 Tính diện tích hình thang

P

E

K N

M

D

C B

  EKC vuông tại E => AC  CP

SCAK = 2.SACP = AC.CP = 6 đvdt

E

P

N M

B A

Phân tích đề bài và hướng giải:

Do đó để tính SPEQ ta cần phải thông qua các STEPD , STQE , SDPQ

MB = AB

3

2

= CD 3 2

Có MI// CD 

3

4 EC

EM CD

MI ED

ME

 mà

3

4 FK

FB FK

FB SC

FB

 =>

3

4 KP

AB

 => KP = CD

4

3 AB 4

98

27 AD.CD 7

9 7

3 2

1 AD 7

3 CD 7

5 CD 7

4 2

1 ET).TD (DP

ES

 ; có MB = CD

3 2

TD = SC = AD

7

3. TQ = TD - QD = AD

3234

320 AD

231

64 CD.

7

5 2

1 TE.TQ

4 AD.

33

5 2

1 QD.DP 2

II Các bài toán chứng minh băng phương pháp diện tích

1 Các bài toán chứng minh về quan hệ diện tích và quan hệ các đoạn thẳng:

+ Ta đã biết một số công thức tính diện tích của những đa giác đã nêu ở trên Do

đó khi biết độ dài của một số yếu tố, ta có thể tính được diện tích của những hình

ấy Ngược lại nếu biết quan hệ diện tích của hai hình từ đó kết hợp với yếu tố đã biết khác, tổng hợp các kiến thức liên quan để suy ra điều cần chứng minh

+ Để so sánh hai độ dài nào đó bằng phương pháp diện tích, ta có thể làm theo các bước sau:

- Xác định quan hệ diện tích giữa các hình

- Sử dụng các công thức diện tích để biểu diễn mối quan hệ đó bằng một đẳng thức có chứa các độ dài

- Biến đổi đẳng thức vừa tìm được ta có quan hệ về độ dài giữa hai đoạn thẳng cần so sánh

Bài 1: Cho hình thang ABCD, BC // AD Các đường chéo cắt nhau tại O

Chứng minh rằng: S OAB = S OCD

O

D A

C B

Bài giải:

- Vì BC // AD ( gt)  Chiều cao hạ từ B và C cùng xuống AD bằng nhau

 SBAD = SCAD

 SOAB +SOAD = SOCD + SOAD

Vậy SOAB = SOCD.

Phân tích đề bài và hướng giải:

- Ta nhận thấy OAB và OCD không chung đường cao và cũng không chung cạnh

- BAD và CAD là hai tam giác

có chiều cao bằng nhau và chung đáy AD  SBAD = SCAD  đpcm

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có AB > BC và góc BAD nhọn, đường phân giác của góc BAD cắt CD tại M và cắt đường thẳng BC tại N Gọi O là diểm cách đều ba điểm C, M, N và K là giao điểm của OB và CD.

Chứng minh:a) S OBN = S ODC b) S BCK + S NOC = S DOK

Có OM = ON( cmt) => OMN cân

Có OM = OC( cmt )  OCM cân tại O  CMO = MCO (2)

Từ (1) và (2)  CNO = MCO

Do đó ddcm : OBN = OCD (c.g.c)

Vậy SOBN = SODC

b) SBCK + SNOC = SOBN - SOCK (3)

SDOK = SODC - SOCK (4)

Phân tích đề bài và hướng giải:

a) Ta nhận thấy OBN và OCD có

ON = OM.

Vì vậy để cm SOBN = SODC ta nghĩ đến tính chất: hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau.

Do đó ta cần cm: OBN = OCD b) Để cm: SBCK + SNOC = SDOK

ta cần tìm mối liên hệ của SBCK và

SNOC với SOBN SDOK với SODC

K

O M

N

D

C B

A

 BNA = NAB

 CMO = CNO (1)

Q P

K

M

B A

Phân tích đề bài và hướng giải:

Để cm: S DMC = S AKB ta phải tìm các tam giác có diện tích bằng nhau ở trong bài này

và diện tích tam giác đó có mối liên hệ thế nào với diện tích tam giác ta cần chứngminh

- Ta không thể chứng tỏ ngay mối

liên hệ SCKE ,SCKF vớiSABKD

- Cần phải tìm mối liên hệ SABKD

với SABCD; SCKE +SCKF với SABCD

SMNPQ = SABCD -

4

1.2 SABCD =

Ta nhận thấy SMNPQ có mối liên hệ với SABCD

A

Bài giải:

a) Gọi M, N thứ tự là trung điểm của BC và ED

MED có ME = MD (cùng bằng 1/2 BC) nên là tam giác cân

b) Vẽ EE' , NN', DD' vuông góc với BC

Ddcm được NN' là đường trung bình hình thangEE'D'D

 EE' + DD' = 2NN'

Do đó S BEC + SBDC =

2

1BC.EE' +

2

1BC.DD' =BC.NN' (1)Qua N vẽ đường thẳng PQ // BC, cắt BH và CK ở P và Q

phải biểu diễn SEFG thông qua

diện tích của các hình có liên quan với SABCD

+ Cần dựa vào gt có các đoạn thẳng bằng nhau  Có diện tích các tam giác bằng nhau.

 đpcm

D'

S EFG = SAEG - SAFG - SAFE .

Mà SAEG = SABG + SEBG

Nên S EFG = SABG + SEBG- SAFG - SAFE

S ABGH + S ACIK

N

M

O K

I H

G

D E

C B

A

Phân tích đề bài và hướng giải:

CM: SBCDE = SABGH + SACIK

+ Rõ ràng bài này ta cần vẽ đường phụ

+ Ta cần cm: S BENM = SABGH.; SCDNM = SACIK

Bài giải:

Vẽ hình bình hành ABEO  ACDO là hình bình hành

Do đó GH  IK = {O}

Cho OA  BC ={M}; OA  DE = {N}

Ddcm được SABGH = SABEO ( chung cạnh, chung đường cao)

SABEO = S BENM ( chung cạnh BE, đường cao từ A và N xuống BE bằng nhau)

 S BENM = SABGH.

Cmtt  SCDNM = SACIK

Do đó : S BENM + SCDNM = SABGH.+ SACIK

Vậy : S BEDC = SABGH.+ SACIK

Bài 10: Cho tứ giác ABCD M và N là trung điểm của AB, CD AN cắt DM tại P,

CM cắt BN tại Q.

Chứng minh: S MPNQ = S ADP + S BCQ.

Phân tích đề bài và hướng giải:

Chứng minh: S MPNQ = S ADP + S BCQ.

+ Cần tìm mối liên hệ của SMPNQ với SMDC

+ Cần tìm mối liên hệ SADP với SADN ; SBCQ với SBCN.

CD)CD (AH

2

BK.CI 2

N H

M

B A

Sử dụng công thức tính diện tích để thiết lập quan hệ các đoạn thẳng:

Bài 11: Cho  ABC vuông tại A, đường cao AH.

A

Bài giải:

Gọi cạnh ABC đều là a, chiều cao của tam giác là h

*) SABC = SMAB + SMBC + SMAC

(MI 2

MK.a 2

MH.a 2

Vậy MH + MI + MK không đổi khi M ở vị trí bất kỳ nằm trong ABC

b) Quan hệ trên thay đổi như thế nào nếu M thuộc miền ngoài ABC

Chứng minh được: MH + MI - MK = h

Bài 13: Các điểm E, F nằm trên các cạnh AB, BC của hình bình hành ABCD sao cho AF = CE Gọi I là giao điểm của AF , CE

Chứng minh rằng: ID là tia phân giác của góc AIC.

Bài giải: SABC = AB.CD2 ; SABC =BC.AH2



2

BC.AH 2

AB.AC