Phương pháp diện tích

„I HÅC THI NGUY–NTR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC... Khæng tçn t¤i hai a gi¡c ¯ng hñp m mët trong chóng n¬mtrong a gi¡c kia... Ta câ c¡c cæng thùc sau:... Do â ta câ cæng thùc c¦n chùng minh.

„I HÅC THI NGUY–NTR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

NGUY™N THÀ LUY˜N

PH×ÌNG PHP DI›N TCH

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

Th¡i Nguy¶n - N«m 2014

„I HÅC THI NGUY–NTR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

Möc löc

1 Kh¡i ni»m di»n t½ch, ph÷ìng ph¡p t½nh di»n t½ch 3

1.1 C¡c ti¶n · v· di»n t½ch C¡c h¼nh kh£ di»n 3

1.1.1 Di»n t½ch a gi¡c ành lþ tçn t¤i v  duy nh§t 3

1.1.2 C¡c a gi¡c ¯ng di»n v  c¡c a gi¡c ¯ng hñp 9

1.1.3 Lîp c¡c h¼nh ph¯ng o ÷ñc 11

1.2 C¡c cæng thùc t½nh di»n t½ch trong h¼nh håc ph¯ng 14

1.2.1 Di»n t½ch tam gi¡c 14

1.2.2 C¡c cæng thùc cì b£n cõa di»n t½ch tù gi¡c 17

1.2.3 C¡c cæng thùc di»n t½ch h¼nh trán, h¼nh qu¤t trán 18 1.3 T½nh di»n t½ch a gi¡c, h¼nh trán 18

1.3.1 T½nh di»n t½ch tam gi¡c 19

1.3.2 T½nh di»n t½ch tù gi¡c 21

1.3.3 T½nh di»n t½ch h¼nh trán, h¼nh cong 22

1.4 T½nh di»n t½ch trong m°t ph¯ng tåa ë 24

1.5 Di»n t½ch h¼nh ph¯ng v  cæng cö t½ch ph¥n 25

2 Ph÷ìng ph¡p di»n t½ch trong h¼nh håc ph¯ng 30 2.1 Mð ¦u 30

2.2 Sû döng di»n t½ch trong b i to¡n chùng minh 32 2.2.1 Chùng minh mët ¯ng thùc v· ë d i ho°c gâc 33

2.2.2 Chùng minh t½nh çng quy, th¯ng h ng, song song 362.2.3 Sû döng di»n t½ch º chùng minh c¡c b§t ¯ng thùc 412.3 Sû döng di»n t½ch gi£i c¡c b i to¡n v· t½nh to¡n, v· cüc

trà, v· düng h¼nh 442.3.1 Sû döng di»n t½ch trong nhúng b i to¡n t½nh to¡n 442.3.2 Sû döng di»n t½ch t¼m cüc trà 462.3.3 Sû döng di»n t½ch trong c¡c b i to¡n düng h¼nh 532.4 Sû döng di»n t½ch · t¼m tªp hñp iºm 552.5 Dòng y¸u tè di»n t½ch trong b i tªp ¤i sè 59

T i li»u tham kh£o 65

Líi nâi ¦u

Di»n t½ch l  mët trong nhúng nëi dung quan trång trong H¼nh håcphê thæng, c¡c b i to¡n t½nh di»n t½ch, chùng minh di»n t½ch c¡c h¼nhluæn l  c¡c b i to¡n câ m°t trong c¡c k¼ thi håc sinh giäi c¡c c§p Nhi·u

b i to¡n H¼nh håc b· ngo i khæng chùa y¸u tè di»n t½ch nh÷ng n¸u ng÷íi

l m to¡n bi¸t kh²o l²o dòng y¸u tè di»n t½ch th¼ s³ nhªn ÷ñc mët líigi£i hay, b§t ngí, câ nhúng tr÷íng hñp n¸u khæng sû döng di»n t½ch th¼khæng thº gi£i ÷ñc ¥y l  cì sð khoa håc º t¡c gi£ lüa chån · t icho b£n luªn v«n Ph÷ìng ph¡p di»n t½ch

D÷îi ti¶u · tr¶n t¡c gi£ ¢ t¼m ra mët ph÷ìng ph¡p hay º gi£i quy¸tc¡c b i to¡n H¼nh håc ph¯ng: T½nh di»n t½ch c¡c h¼nh v  dòng di»n t½chnh÷ mët cæng cö hé trñ º gi£i c¡c b i to¡n h¼nh håc B£n luªn v«n gçmLíi nâi ¦u, hai ch÷ìng, K¸t luªn v  danh möc t i li»u tham kh£o.Ch÷ìng 1 Kh¡i ni»m di»n t½ch, ph÷ìng ph¡p t½nh di»n t½ch.Ch÷ìng n y nh¬m x¥y düng l¤i kh¡i ni»m di»n t½ch cõa mët h¼nh B­t

¦u tø di»n t½ch a gi¡c ÷ñc x¥y düng b¬ng ph÷ìng ph¡p ti¶n ·, ¥y

l  nhúng y¸u tè cì sð º câ kh¡i ni»m v· h¼nh kh£ di»n, çng thíi c¡ccæng thùc ìn gi£n nh§t, cì b£n nh§t º t½nh di»n t½ch c¡c h¼nh

Ngo i c¡ch t½nh di»n t½ch b¬ng c¡ch ¡p döng trüc ti¸p c¡c cæng thùc,

ta cán ¡p döng ÷ñc ph÷ìng ph¡p tåa ë v  t½ch ph¥n x¡c ành Méiph÷ìng ph¡p ÷ñc l m rã bði c¡c kÿ thuªt v  minh håa b¬ng c¡c b ito¡n iºn h¼nh Nëi dung ch÷ìng gçm c¡c ph¦n:

- C¡c ti¶n · v· di»n t½ch

- T½nh di»n t½ch b¬ng c¡ch ¡p döng c¡c cæng thùc.

- T½nh di»n t½ch b¬ng cæng cö t½ch ph¥n

Ch÷ìng 2 Ph÷ìng ph¡p di»n t½ch trong h¼nh håc ph¯ng.Ch÷ìng n y t¡c gi£ ÷a ra mët ph÷ìng ph¡p mîi gåi l  kÿ thuªt sûdöng di»n t½ch nh÷ ch§t xóc t¡c Kÿ thuªt n y ÷ñc dòng º:

- Gi£i c¡c b i to¡n chùng minh h¼nh håc (chùng minh hai o¤n th¯ngb¬ng nhau, chùng minh h» thùc, chùng minh t½nh song song, t½nh çngquy cõa c¡c ÷íng th¯ng, t½nh th¯ng h ng cõa c¡c iºm, chùng minhc¡c b§t ¯ng thùc h¼nh håc )

- Gi£i c¡c b i to¡n v· t¼m cüc trà h¼nh håc, c¡c b i to¡n t½nh to¡n

- Gi£i c¡c b i to¡n v· düng h¼nh

- Gi£i c¡c b i to¡n t½nh tªp hñp iºm (quÿ t½ch)

Ch½nh kÿ thuªt dòng di»n t½ch nh÷ ch§t xóc t¡c l  þ t÷ðng cì b£ncõa ph÷ìng ph¡p di»n t½ch m  chóng tæi nghi¶n cùu trong · t i n y

T i li»u tham kh£o gçm 8 danh möc

T¡c gi£ ¢ nhªn ÷ñc sü gióp ï tªn t¼nh cõa th y h÷îng d¨n, PGS.TSNguy¹n Vi»t H£i, trong vi»c t¼m hiºu c¡c v§n · cõa b£n luªn v«n v tr¼nh b y theo mët tr¼nh tü logic T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n

th nh tîi tªp thº c¡c th y, cæ cõa Khoa To¡n- Tin, ¤i håc Khoa

håc-¤i håc Th¡i Nguy¶n; c¡c th y, cæ cõa Vi»n To¡n håc- Vi»n Khoa håcVi»t Nam v  th y h÷îng d¨n; nhúng ng÷íi ¢ tªn t¼nh gi£ng d¤y, gióp

ï t¡c gi£ trong suèt khâa håc cao håc t¤i ¤i håc Th¡i Nguy¶n v  ho n

th nh b£n luªn v«n n y

Th¡i Nguy¶n, ng y 19 th¡ng 9 n«m 2014

T¡c gi£

Nguy¹n Thà Luy¸n

Ch֓ng 1

Kh¡i ni»m di»n t½ch, ph÷ìng ph¡p t½nh di»n t½ch

1.1 C¡c ti¶n · v· di»n t½ch C¡c h¼nh kh£ di»n

1.1.1 Di»n t½ch a gi¡c ành lþ tçn t¤i v  duy nh§t

L§y tr¶n m°t ph¯ng Euclide E2 mët h¼nh F n o â v  gi£ sû ÷íngg§p khóc L ⊂ F chia h¼nh F\L th nh 2 ph¦n F1,F2 Ta nâi h¼nh F ÷ñcchia th nh c¡c h¼nh F0

1 = F1 ∪ L; F0

2 = F2 ∪ L cán h¼nh F ÷ñc gåi l têng cõa c¡c h¼nh F0

Ta kþ hi»u M l  tªp hñp c¡c a gi¡c tr¶n m°t ph¯ng Euclide E2 Ta

nâi r¬ng di»n t½ch a gi¡c ÷ñc x¡c ành n¸u ¡nh x¤ S : M → R∗+ thäam¢n c¡c ti¶n · sau:

i F ∼= F' ⇒ S(F) = S(F') (b§t bi¸n qua ph²p díi h¼nh)

ii F = G + H ⇒ S(F) = S(G) + S(H) (T½nh ch§t cëng t½nh cõa S).iii S(F0) = 1 vîi F0 l  h¼nh vuæng câ c¤nh b¬ng 1 Sè d÷ìng S(F) ÷ñcgåi l  ë o hay di»n t½ch cõa a gi¡c F

ành lþ 1.N¸u h m S(F) tçn t¤i th¼ èi vîi h¼nh chú nhªt P c¤nh câ ë

d i x, y h m S câ d¤ng S(P)=xy

Chùng minh Gi£ sû h m S(F) tçn t¤i v  ta x²t nâ tr¶n tªp hñp M0

t§t c£ c¡c h¼nh chú nhªt Khi â S(P) l  h m cõa x v  y x¡c ành vîimåi x, y ∈ R∗+ v  ch¿ nhªn gi¡ trà d÷ìng: S(P)=f(x,y) H m n y câ c¡ct½nh ch§t sau:

(a) f(x,y) = f(y,x)

(b) f(x1+x2, y) = f (x1, y) + f (x2, y)

T½nh ch§t (a) suy ra tø i·u ki»n i Vîi chó þ r¬ng hai a gi¡c câ c¤nh

x, y v  c¤nh l  y, x l  hai a gi¡c b¬ng nhau

T½nh ch§t (b) suy ra tø i·u ki»n ii Ta kþ hi»u f(x, y) |y=const = g(x)

Tø t½nh ch§t (b) suy ra: g(x1+x2) = g(x1) + g(x2),∀x1, x2 ∈ R∗+

Theo k¸t qu£ cõa gi£i t½ch, h m g(x) câ t½nh ch§t n y, x¡c ành tr¶n tªp

H¼nh 1.2:

hñp R∗+ v  ch¿ nhªn gi¡ trà d÷ìng, ÷ñc biºu di¹n bði g(x) = k.x, trong

â k = const Ngh¾a l  f(x, y) |y=const = k.x

Vîi c¡c gi¡ trà y = const kh¡c nhau th¼ gi¡ trà k công kh¡c nhau, bði vªy

ta ph£i coi k = k(y) Nh÷ th¸ ta nhªn ÷ñc f(x,y) = k(y).x °t x = 1 ta

÷ñc f(1,y) = k(y) Bði vªy ta câ t½nh ch§t (c): f(x,y) = f(1,y).x.Tø (a)

v  (c) suy ra: f(1,y) = f(y, 1) = f(1,1).y v  (b) câ d¤ng f(x,y) = f(1,1).x.y.Nh÷ng theo ti¶n · iii f(1,1) = 1 Do â, S(P) = x.y.(pcm)

H¼nh vuæng F0 sao cho S(F0) = 1 ÷ñc gåi l  h¼nh vuæng ìn và Rã

r ng h¼nh vuæng n y x¡c ành n¸u chån ÷ñc o¤n th¯ng ìn và i·uki»n t½ch cõa hai o¤n th¯ng ÷ñc hiºu l  t½ch hai ë d i cõa chóng.H» qu£ 1 N¸u h m S(F) tçn t¤i th¼ :

i Vîi h¼nh chú nhªt P, sè S(P) b¬ng t½ch cõa ¡y v  ÷íng cao

ii Vîi h¼nh thang tòy þ T, sè S(T) b¬ng t½ch ÷íng trung b¼nh v  ¡y.iii Vîi tam gi¡c tòy þ H, sè S(H) b¬ng nûa ë d i mët c¤nh nh¥nvîi ÷íng cao t÷ìng ùng

iv Vîi h¼nh b¼nh h nh b§t ký B, sè S(B) b¬ng t½ch mët c¤nh vîi ÷íngcao t÷ìng ùng

Chùng minh

K¸t qu£ i ¢ câ ð tr¶n K¸t qu£ ii hiºn nhi¶n tr¶n h¼nh v³ 1.3 X²t iii

H¼nh 1.3:

SABC = SAFNB + SFNC = SBNMA= EF.AH =1

2BC.AHCuèi còng x²t iv

SABCD = SABD + SBCD=12AB.DH+12CD.BH1 = AB.DH

H» qu£ ÷ñc chùng minh

Nh÷ vªy v§n · cán l¤i l  tçn t¤i hay khæng h m S(F)?

Gåi AB l  mët c¤nh cõa a gi¡c F, n¸u H l  iºm khæng ký dà tr¶nc¤nh n y th¼ tçn t¤i h¼nh trán B(H, ε) sao cho h¼nh F1= F ∩ B(H, ε) l mët nûa h¼nh trán Tçn t¤i tia [HN) thäa m¢n 2 i·u ki»n sau:

+ [HN) vuæng gâc vîi ÷íng th¯ng (AB)

Thªt vªy, n¸u l§y mët iºm O' kh¡c th¼ −−→O0Hi = −−→

âng Suy luªn t÷ìng tü èi vîi méi ÷íng g§p khóc âng n y ta kh¯ng

ành ÷ñc ¯ng thùc (1.2) óng vîi måi k>3 Do â têng (1.1) khængphö thuëc v o vi»c chån iºm O

N¸u tr¶n ÷íng th¯ng chùa c¤nh thù i cõa a gi¡c F ta l§y iºm H0

ành lþ 2(tçn t¤i v  duy nh§t) nh x¤ S :M → R∗+ theo quy t­c

trong â, k l  sè c¤nh a gi¡c F l  ¡nh x¤ duy nh§t M → R∗+, thäa m¢nc¡c ti¶n · trong ành ngh¾a di»n t½ch.

Chùng minh

a Tr÷îc h¸t, ¡nh x¤ x¡c ành bði (1.3) thäa m¢n c¡c ti¶n · (i),(ii),(iii).+ Gi£ sû F, F0 ∈ M, F ∼= F0 Tçn t¤i ph²p díi ∂|∂(F) = ∂(F0) Ph²pdíi n y sinh ra ph²p bi¸n êi trüc giao ϕ n o â trong khæng gian v²c

tì n·n cõa E2 N¸u ∂(O) = ∂(O0), ∂(Hi) = ∂(H0i) th¼ ϕ(−−→OHi) = −−→O0H0i Rã

+ Gi£ sû F =F1+F2 v  AB ∈ L (xem h¼nh v³ 1.5) Khi t½nh S(F1)theo cæng thùc (1.3) ta câ h¤ng tû 1

2AB.−−→OH.−→n, H ∈ AB (*) v  khit½nh S(F2) theo cæng thùc (1.3) ta câ h¤ng tû 1

2AB.

−→

OH.−→n0, H ∈ B (**).D¹ nhªn th§y r¬ng c¡c v²c tì −→n v  −→n0 èi nhau Do â khi lªp têngS(F1) + S(F2), c¡c h¤ng tû (*) v  (**) tri»t ti¶u l¨n nhau K¸t qu£ â

óng vîi måi o¤n th¯ng cõa ÷íng g§p khóc L

Tø â ta suy ra: S(F) = S(F1) + S(F2)

+ X²t h¼nh vuæng ABCD, c¤nh câ ë d i 1 L§y iºm O l  t¥m h¼nhvuæng cán Hi l  c¡c trung iºm c¡c c¤nh Khi â

b Gi£ sû câ ¡nh x¤ S0 : M → R∗+ thäa m¢n c¡c ti¶n · (i), (iii)

Vîi måi tam gi¡c ∆ theo h» qu£ cõa ành lþ 1, ta câ: S(∆)=S'(∆).L§y mët a gi¡c F tòy þ, câ thº ph¥n t½ch F th nh c¡c tam gi¡c:F=∆1+∆2+ + ∆n, theo ti¶n · ii

Tø â suy ra S'(F)=S(F) ¯ng thùc n y óng vîi måi F ∈ M, do â S

v  S' tròng nhau, t½nh duy nh§t cõa S ÷ñc chùng minh(pcm)

H» qu£ 2 Vîi måi c¡ch ph¥n t½ch a gi¡c F th nh tªp hñp húu h¤n c¡ctam gi¡c th¼ têng di»n t½ch c¡c tam gi¡c n y l  nh÷ nhau

Thªt vªy, theo ti¶n · ii, têng n y b¬ng di»n t½ch S(F) cõa a gi¡c F,

m  theo ành lþ 2 khæng phö thuëc v o c¡ch ph¥n t½ch F th nh c¡c tamgi¡c

1.1.2 C¡c a gi¡c ¯ng di»n v  c¡c a gi¡c ¯ng hñp

Hai a gi¡c gåi l  ¯ng di»n n¸u chóng câ di»n t½ch b¬ng nhau Hai

a gi¡c F v  F' gåi l  ¯ng hñp n¸u chóng câ thº ph¥n t½ch ÷ñc th nhcòng mët sè c¡c a gi¡c t÷ìng ùng b¬ng nhau Ta vi¸t FρF0 n¸u F v  F'

¯ng hñp, ρ kþ hi»u quan h» ¯ng hñp

H» qu£ 3 N¸u FρF0 th¼ S(F)=S(F')

H» qu£ n y l m cì sð cho ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch khi t½nh di»n t½ch

a gi¡c F: a gi¡c F ¢ cho ÷ñc ph¥n t½ch th nh mët sè húu h¤n c¡c

a gi¡c m  tø chóng câ thº gh²p l¤i th nh a gi¡c F', câ di»n t½ch ¢bi¸t Di»n t½ch h¼nh b¼nh h nh, tam gi¡c, h¼nh thang trong s¡ch gi¡okhoa phê thæng ÷ñc t½nh nh÷ vªy

H» qu£ 4 Khæng tçn t¤i hai a gi¡c ¯ng hñp m  mët trong chóng n¬mtrong a gi¡c kia

Thªt vªy, gi£ sû FρF0 N¸u F ⊂ Fo0, trong â, Fo0 l  ph¦n trong cõa F'.Khi â, F'=F+F, vîi F l  mët a gi¡c n o â, d¨n tîi S(F')>S(F),m¥u thu¨n vîi h» qu£ 1 Rã r ng ¯ng di»n l  mët quan h» t÷ìng ÷ìngtr¶n tªp hñp c¡c a gi¡c Ta ph¡t biºu v  chùng minh k¸t qu£ ti¸p theo:

ành lþ 3 ρ l  mët quan h» t÷ìng ÷ìng tr¶n tªp hñp M

Hiºn nhi¶n vîi måi a gi¡c F ∈ M ta câ: FρF ; FρF0 ⇒ F0ρF Cánl¤i ph£i chùng minh ρ câ t½nh ch§t b­c c¦u Gi£ sû F, F0, F00 ∈ M v 

1.1.3 Lîp c¡c h¼nh ph¯ng o ÷ñc

Kþ hi»u J l  tªp hñp t§t c£ c¡c h¼nh ph¯ng câ t½nh ch§t sau:

∀Φ ∈ J∃F, F0 ∈ M|F ⊂ Φ ⊂ F0 (1.6)Hiºn nhi¶n, tªp hñp t§t c£ c¡c a gi¡c M ⊂ J v  måi h¼nh Φ ∈ J ·u bàch°n (bði h¼nh câ ÷íng k½nh húu h¤n) Tø (1.6) suy ra:

L§y mët h¼nh Φ ∈ J v  x²t c¡c tªp hñp sau:

(F) = {F|F ∈ M&F ⊂ Φ} (F0) = {F0|F0 ∈ M&Φ ⊂ F0} Tªp hñp sè (S(F)) theo (1.7) bà ch°n tr¶n Do â, tçn t¤i cªn tr¶n óng

S∗ = sup(S(F)), m  ÷ñc gåi l  ë o Jocdan trong cõa h¼nh Φ ∈ J

Ta kþ hi»u nâ l  S∗(Φ) T÷ìng tü, tªp hñp sè (S(F')) bà ch°n d÷îi Do

â, tçn t¤i cªn d÷îi óng S∗ = inf(S(F0)) m  ÷ñc gåi l  ë o Jocdanngo i cõa h¼nh Φ ∈ J, kþ hi»u bði S∗(Φ) Nh÷ vªy, måi h¼nh Φ ∈ J ·u

câ ë o Jocdan trong v  ngo i, tø (1.7) suy ra:

H¼nh Φ ÷ñc gåi l  h¼nh o ÷ñc n¸u c¡c ë o Joc dan trong v  ngo ib¬ng nhau, sè S(Φ) =S∗(Φ) = S∗(Φ) ÷ñc gåi l  di»n t½ch cõa h¼nh n y.N¸u Φ l  h¼nh o ÷ñc v  Φ0 ∼= Φ th¼ hiºn nhi¶n Φ0 công o ÷ñc, hìnnúa S(Φ0) = S(Φ)

Câ thº chùng minh ÷ñc r¬ng n¸u Φ=Φ0 + Φ00 , c£ Φ0, Φ00 ·u l  c¡ch¼nh o ÷ñc th¼ h¼nh Φ công o ÷ñc v  S(Φ)= S(Φ0) + S(Φ00)

Nh÷ vªy h m S(Φ) x¡c ành tr¶n tªp hñp c¡c h¼nh ph¯ng o ÷ñcthäa m¢n c¡c ti¶n · m  h m di»n t½ch a gi¡c S(F) ¢ thäa m¢n i·u

â l m cì sð º gåi sè S(Φ) l  di»n t½ch cõa h¼nh ph¯ng Φ

ành lþ 5: (D§u hi»u nhªn bi¸t h¼nh o ÷ñc) º h¼nh ph¯ng Φ l  h¼nh

o ÷ñc c¦n v  õ l  vîi måi sè ε > 0 t¼m ÷ñc c¡c a gi¡c:

F0, F00|F0 ⊂ Φ ⊂ F00&S(F00) − S(F0) < ε (1.9)Chùng minh Gi£ sû Φ o ÷ñc, khi â sup S(F)) = inf S(F0) = S(Φ).Vîi måi ε > 0, ε1 = ε

2 Theo t½nh ch§t cªn tr¶n óng, cªn d÷îi óng tçnt¤i c¡c a gi¡c F0, F00 sao cho S(F0) > S(Φ)−ε1, S(F0

0) < S(Φ)+ε1

Tø â, S(F0

0) - S(F0) < 2ε1 = ε.Ng÷ñc l¤i, gi£ sû câ (1.9) Tø ành ngh¾a ë o tr¶n, ë o d÷îi tasuy ra: S(F0) ≤ S∗(Φ), S∗(Φ) ≤ S(F00)

Tø â, S∗(Φ) - S∗(Φ) ≤ S(F00) - S(F0) < ε K¸t hñp vîi k¸t qu£ (1.8) tacâ: 0 ≤ S∗(Φ)−S∗(Φ) < εv  v¼ ε l  sè d÷ìng tòy þ n¶n: S∗(Φ)−S∗(Φ) = 0

0 l  hñp (khæng li¶n thæng) cõa mët sè a gi¡c (tr¶n h¼nh 1.7b,

F000 l  hñp cõa 2 a gi¡c) i·u quan trång l  h¼nh F00

0 chùa bi¶n cõa h¼nh

Φ Bði vªy ành lþ vøa chùng minh câ thº ph¡t biºu nh÷ sau: C¦n v  õ

º h¼nh Φ o ÷ñc l  bi¶n cõa nâ n¬m trong hñp cõa tªp húu h¤n c¡c

a gi¡c câ di»n t½ch nhä tòy þ Nh÷ vªy t½nh ch§t o ÷ñc hay khæng o

÷ñc cõa mët h¼nh ph¯ng phö thuëc ho n to n v o bi¶n cõa nâ.

H» qu£ 5 i·u ki»n c¦n v  õ º h¼nh Φ o ÷ñc l  tçn t¤i hai d¢y agi¡c (Xn)n∈N; (Yn)n∈N sao cho Xn ⊂ Φ ⊂ Yn v  di»n t½ch cõa chóng câgiîi h¤n chung: limn→+∞S(Xn) = lim

n→+∞S(Yn) Giîi h¤n chung n y ch½nh l di»n t½ch S(Φ) cõa Φ

H» qu£ n y suy ra tø ành ngh¾a di»n t½ch h¼nh Φ v  c¡c ành lþ ð tr¶n.V½ dö Gi£ sû Φ l  h¼nh trán b¡n k½nh R, Xn l  c¡c a gi¡c ·u n c¤nhnëi ti¸p trong ÷íng trán, Yn l  c¡c a gi¡c ·u n c¤nh ngo¤i ti¸p trong

= πR2; lim

n→+∞S(Yn) = R2 lim

n→+∞

tg πn1n

= πR2

Do â, h¼nh trán l  h¼nh o ÷ñc v  di»n t½ch cõa nâ b¬ng πR2

H» qu£ 6 Di»n t½ch h¼nh qu¤t trán

Cho h¼nh trán t¥m O, b¡n k½nh R, cung AB tr¶n ÷íng trán câ sè o

n0, gåi ` l  ë d i cung n0 Khi â di»n t½ch h¼nh qu¤t AmB ÷ñc t½nhtheo cæng thùc sau:

Vi»c t½nh di»n t½ch cõa mët h¼nh o ÷ñc tòy þ ÷ñc thüc hi»n b¬ngcæng cö t½ch ph¥n Trong gi£i t½ch ng÷íi ta ÷a ra mët sè v½ dö c¡c h¼nhph¯ng khæng o ÷ñc Do â, khæng ph£i måi h¼nh Φ ∈ J l  o ÷ñc.N¸u kþ hi»u J0 l  tªp hñp c¡c h¼nh ph¯ng o ÷ñc th¼ ta câ thº vi¸t:

M ⊂ J0 ⊂ J, hìn núa M 6= J0 6= J

1.2 C¡c cæng thùc t½nh di»n t½ch trong h¼nh håc ph¯ng

Trong ch÷ìng tr¼nh to¡n phê thæng, håc sinh nhi·u l¦n l m quen vîikh¡i ni»m di»n t½ch a gi¡c Trong ph¦n n y chóng tæi x¥y düng v  chùngminh mët sè cæng thùc t½nh di»n t½ch tam gi¡c v  di»n t½ch c¡c tù gi¡c

°c bi»t º phöc vö cho · t i luªn v«n cõa m¼nh

1.2.1 Di»n t½ch tam gi¡c

X²t tam gi¡c ABC vîi BC=a, CA=b, AB=c, nûa chu vi p = a + b + c

÷íng cao AH = h, l¦n l÷ñt gåi r v  R l  b¡n k½nh ÷íng trong nëi ti¸p

v  ngo¤i ti¸p tam gi¡c Ta câ c¡c cæng thùc sau:

(gâc C câ thº nhån, vuæng hay tò)

º chùng minh (1.13), (1.14), (1.15) c¦n câ ành lþ h m sè sin:

asinA=

bsinB=

csinC= 2R.

V³ ÷íng trán t¥m O ngo¤i ti¸p (ABC), k´ ÷íng k½nh BD = 2R

H¼nh 1.10:

- N¸u A = 90b 0 th¼ sinA = 1 = a

2R

- N¸u Ab < 900 th¼ sinA = sinBAC= sin[ BDC= BC[ BD= a2R

- N¸u Ab > 900 th¼ BAC= 180[ 0−BDC[ n¶n sinA = sinBAC= BC[ BD= a2R.T÷ìng tü ta câ: bsinB= csinC= 2R

abc4R.(1.12) → (1.14): SABC=1

2absinC =

1

2asinC.

asinBsinA =

a2sinBsinCsinA .(1.12) → (1.15): SABC = 1

2.2RsinA.2RsinB.sinC = 2R

2sinA.sinB.sinC.(1.10) → (1.16): SABC = pp(p − a)(p − b)(p − c)

1.2.2 C¡c cæng thùc cì b£n cõa di»n t½ch tù gi¡c

1.2.3 C¡c cæng thùc di»n t½ch h¼nh trán, h¼nh qu¤t trán

1 ÷íng trán t¥m O, b¡n k½nh R câ di»n t½ch l :

2 Cho h¼nh trán t¥m O, b¡n k½nh R, cung AB tr¶n ÷íng trán câ sè o

n0, gåi ` l  ë d i cung n0 Khi â di»n t½ch h¼nh qu¤t AmB ÷ñc t½nhtheo cæng thùc sau:

ái häi ng÷íi håc ph£i t¼m c¡c dú ki»n cán thi¸u ho°c ph£i thæng quadi»n t½ch cõa c¡c a gi¡c kh¡c

Chó þ: Trong to n bë ph¦n t½nh di»n t½ch a gi¡c ta l÷u þ r¬ng:

- N¸u hai tam gi¡c câ chung ¡y th¼ t¿ sè di»n t½ch cõa chóng b¬ng t¿

sè hai ÷íng cao

- N¸u hai tam gi¡c câ chung ÷íng cao th¼ t¿ sè di»n t½ch cõa chóngb¬ng t¿ sè hai ¡y.

- N¸u mët a gi¡c ÷ñc chia th nh nhúng a gi¡c khæng câ iºm trongchung th¼ di»n t½ch cõa nâ b¬ng têng di»n t½ch cõa nhúng a gi¡c â

1.3.1 T½nh di»n t½ch tam gi¡c.

B i to¡n 1.1 (xem [2]) Cho tam gi¡c ABC câ di»n t½ch S Tr¶n c¡c tia

èi cõa c¡c tia BA, AC,CB l§y thù tü c¡c iºm D, E, F sao cho BD =AB; CE = BC v  AF = AC T½nh di»n t½ch ∆DEF theo S

H¼nh 1.13:

Líi gi£i: K¾ thuªt ð ¥y l  sû döng t½nh ch§t ÷íng trung tuy¸n

D¹ th§y:SABC = SABF = SBDF = SBDC = SDCE = SCEA = SAEF = S

Suy ra: SDEF = 7S

B i to¡n 1.2 (xem [2]) Cho ∆ABC, M ∈ BC, E ∈ AB, F ∈ AC sao cho

ME k AC, MF k AB Cho bi¸t SBME = a2, SCMF = b2 T½nh SABC

Líi gi£i: K¾ thuªt: Sû döng t½nh ch§t c¡c o¤n th¯ng song song

H¼nh 1.14:

B i to¡n 1.3 (xem [6]) Cho h¼nh b¼nh h nh ABCD câ di»n t½ch b¬ng 2

ìn và ÷íng th¯ng song song vîi AD c­t c¡c c¤nh cõa h¼nh b¼nh h nht¤i P v  R ÷íng th¯ng song song vîi AB c­t c¡c c¤nh cõa h¼nh b¼nh

h nh t¤i S v  Q (h¼nh 1.15) T½nh têng di»n t½ch c¡c tam gi¡c AQR,BSR, DPQ v  CSP

H¼nh 1.15:

Líi gi£i: °t AP = xAB, AS = yAD th¼

SABQ = y, SARD = x, SCRQ= (1 - x)(1 - y)

Suy ra: SAQR = 2 - x - y - (1 - x)(1 - y) T÷ìng tü, ta câ:

SBSR = 2 - (1 - x) - y - x(1 - y),

SDPQ = 2 - x - (1 - y) - (1 - x)y,

SCSP = 2 - (1 - x) - (1 - y) - xy

Cëng l¤i, ta ÷ñc têng di»n t½ch c¦n t½nh l :

8 − 2(x + (1 − x)) − 2(y + (1 − y)) − (x + (1 − x))(y + (1 − y)) = 3

H¼nh 1.18:

Líi gi£i: K¾ thuªt: Sû döng c¡c ÷íng th¯ng song song

K´ ME k NF kBD

D¹ th§y tù gi¡c BENF l  h¼nh thang câ hai ÷íng ch²o b¬ng nhau

Tø â suy ra ∆CFN ·u, do â ∆CBD ·u n¶n SABCD = 2SBCD = a

2√3

H¼nh 1.19:

Líi gi£i: D¹ th§y tam gi¡c AED l  tam gi¡c ·u c¤nh a Do â:



4π − 3√

3.( Sq l  di»n t½ch h¼nh qu¤t)

B i to¡n 1.7 (xem [2]) Cho tam gi¡c ABC vuæng t¤i A, câ di»n t½ch S,l§y BC, CA, AB l m ÷íng k½nh v³ ba nûa ÷íng trán ÷íng k½nh AB

v  AC n¬m ngo i tam gi¡c ABC v  nûa ÷íng trán ÷íng k½nh BC c­thai nûa h¼nh trán tr¶n theo hai h¼nh tr«ng khuy¸t T½nh di»n t½ch haih¼nh tr«ng khuy¸t â (B i to¡n Hypæcr¡t)

H¼nh 1.20:

Líi gi£i:

Gåi di»n t½ch hai h¼nh tr«ng khuy¸t c¦n t½nh l  S1, S2

Di»n t½ch hai h¼nh vi¶n ph¥n AmB v  AnC l  S3, S4 Tø â

Líi gi£i: Gåi r l  b¡n k½nh h¼nh trán câ chùa nhúng h¼nh qu¤t m  ta

ang kh£o s¡t, gåi α (t½nh b¬ng radian) l  sè o gâc ð t¥m cõa h¼nh

qu¤t, gåi K l  chu vi (khæng êi) cõa c¡c h¼nh qu¤t Khi â:

K = 2r + rα = r(2 + α), v  hai l¦n di»n t½ch h¼nh qu¤t l  2t = r2α

Tø â, suy ra gi¡ trà lîn nh§t cõa t l  K2

16, gi¡ trà n y ¤t ÷ñc khi

r = K

4, lóc â, K = r (2 + α) = K

4 (2 + α), suy ra α = 2 (radian)

1.4 T½nh di»n t½ch trong m°t ph¯ng tåa ë

T½nh di»n t½ch b¬ng ph÷ìng ph¡p tåa ë: Tr¶n m°t ph¯ng tåa ë ºt½nh di»n t½ch mët h¼nh Ta ti¸n h nh:

- Chån h» tröc tåa ë (x¡c ành gèc tåa ë, biºu di¹n c¡c dú ki»n b¬ngngæn ngú tåa ë, )

- X¡c ành mèi quan h» cõa c¡c y¸u tè trong b i to¡n thæng qua tåa ë

- Dòng c¡c ki¸n thùc cõa H¼nh håc gi£i t½ch º gi£i b i to¡n

Do â ta câ cæng thùc c¦n chùng minh

B i to¡n 1.10 Trong h» tröc Oxy cho M(0; 3) v  N(1; 4) H¢y t¼m tr¶ntröc ho nh iºm P sao cho di»n t½ch tam gi¡c MNP b¬ng 2013.

Líi gi£i: Ta gåi P(m; 0), (m 6=- 3) thuëc Ox Khi â:−−→MN(1; 1),−→

=1

2|m + 3| Theo b i ra ta câ:

B i to¡n 1.11 Trong h» tröc Oxy, cho ∆ ABC câ A(3;m), B(m+1;- 4).X¡c ành m º di»n t½ch tam gi¡c OAB ¤t gi¡ trà nhä nh§t

Líi gi£i: Ta câ −→OA(3; m),−→

OB(m + 1; −4) Khi â:

= 1

Di»n t½ch h¼nh ph¯ng cán câ thº t½nh b¬ng mët cæng cö m¤nh núa, â

l  t½ch ph¥n x¡c ành Ph÷ìng ph¡p t½nh ð ¥y l  ph¥n t½ch h¼nh ph¯ng

th nh c¡c h¼nh thang cong B i to¡n t½nh di»n t½ch h¼nh thang cong l 

b i to¡n cì b£n cõa gi£i t½ch to¡n håc Sau ¥y ta nh­c l¤i mët sè kh¡ini»m cì b£n li¶n quan ¸n di»n t½ch

N¸u h m sè f(x) li¶n töc tr¶n o¤n [a; b] th¼ di»n t½ch h¼nh ph¯ng giîih¤n bði ç thà cõa h m sè y = f(x) v  c¡c ÷íng th¯ng x = a; x = b;

y = 0 ÷ñc t½nh theo cæng thùc:

Gi£ sû mi·n ph¯ng D giîi h¤n bði c¡c ÷íng: x = a, x = b (a ≤ b),

y = f1(x) , y = f2(x)trong â f1, f2 li¶n töc tøng khóc tr¶n [a,b] Gåi di»nt½ch cõa mi·n ph¯ng D l  S Theo þ ngh¾a h¼nh håc cõa t½ch ph¥n x¡c

T÷ìng tü mi·n ph¯ng D giîi h¤n bði c¡c ÷íng: y = c, y = d (c ≤ d),

x = g1(y) , x = g2(y) trong â g1, g2 li¶n töc tøng khóc tr¶n [c; d] Gåi

S = 12

mët nhàp cõa ÷íng Cycloid, cho bði ph÷ìng tr¼nh tham sè:

1 + 2 cos ϕ + cos2ϕ
dϕ = 32πa2

B i to¡n 1.14 (xem [4]) Cho Parabol (P): y = ax2 + bx + c = f (x) câ

¿nh S (xs, ys) Mët ÷íng th¯ng (d) c­t (P) t¤i hai iºm A, B câ ho nh

ë l¦n l÷ñt l  α, β(α < β)

a T½nh di»n t½ch S cõa h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði (P) v  (d) theo α, β

b Gi£ sû AB = 2l khæng êi Chùng minh r¬ng: S ¤t gi¡ trà lîn nh§tkhi α = xs− l, β = xs + l.

Líi gi£i:

a Khæng m§t t½nh têng qu¡t ta gi£ sû a>0 Theo gi£ thi¸t (d) c­t (P)t¤i hai iºm A, B câ ho nh ë l  α, β, ta ÷ñc ph÷ìng tr¼nh ho nh ëgiao iºm:

3

3 , ¤t ÷ñc khi β + α = −b

a = 2xs,khi â: yB− yA = 0 ⇔ α = xs− l, β = xs+ l

Tâm l¤i, ch÷ìng 1 tr¼nh b y nhúng ki¸n thùc cì b£n v· di»n t½ch (chõy¸u di»n t½ch c¡c h¼nh ð phê thæng) n¶n c¡c kÿ thuªt t½nh di»n t½ch c¡ch¼nh thæng qua c¡c v½ dö cö thº Kÿ thuªt t½nh di»n t½ch c¡c h¼nh câ thºrót ra l :

i) ÷a vi»c t½nh di»n t½ch v· t½nh t sè di»n t½ch, ÷a vi»c t½nh t sèdi»n t½ch v· t½nh t sè c¡c o¤n th¯ng

ii) Bi¸n êi t÷ìng ÷ìng c¡c di»n t½ch º thu v· t½nh di»n t½ch cõah¼nh ìn gi£n nh§t, d¹ t½nh nh§t

iii) p döng c¡c cæng cö nh÷ t½ch ph¥n ho°c tåa ë trong m°t ph¯ng

Ch֓ng 2

Ph÷ìng ph¡p di»n t½ch trong h¼nh håc ph¯ng

Nhúng b i to¡n h¼nh håc ph¯ng (chùng minh, düng h¼nh, t½nh to¡n )khæng câ y¸u tè di»n t½ch nh÷ng l¤i ÷ñc gi£i b¬ng c¡ch ÷a th¶m y¸u

tè di»n t½ch v o chóng tæi s³ gåi chung l  kÿ thuªt sû döng di»n t½chnh÷ ch§t xóc t¡c Kÿ thuªt n y ÷ñc dòng º:

- Gi£i c¡c b i to¡n chùng minh h¼nh håc (chùng minh hai o¤n th¯ngb¬ng nhau, chùng minh h» thùc, chùng minh t½nh song song, t½nh çngquy cõa c¡c ÷íng th¯ng, t½nh th¯ng h ng cõa c¡c iºm, chùng minhc¡c b§t ¯ng thùc h¼nh håc )

- Gi£i c¡c b i to¡n v· t¼m cüc trà h¼nh håc, c¡c b i to¡n t½nh to¡n

- Gi£i c¡c b i to¡n v· düng h¼nh

- Gi£i c¡c b i to¡n t¼m tªp hñp iºm (quÿ t½ch)

Ch½nh kÿ thuªt dòng di»n t½ch nh÷ ch§t xóc t¡c l  þ t÷ðng cì b£ncõa ph÷ìng ph¡p di»n t½ch m  chóng tæi nghi¶n cùu trong · t i n y.2.1 Mð ¦u

Ngay tø thuð khai sinh H¼nh håc c¡c nh  to¡n håc ¢ sû döng di»nt½ch trong b i to¡n chùng minh vîi ph²p suy luªn r§t °c tr÷ng cõa H¼nhhåc: Dòng di»n t½ch º chùng minh h» thùc m  khæng câ chùa di»n t½ch,

â l  h» thùc Pythagore èi vîi tam gi¡c vuæng: Trong mët tam gi¡c