Sáng kiến kinh nghiệm: Rèn luyện kỹ năng tính thể tích khối chóp

Sáng kiến kinh nghiệm: Rèn luyện kỹ năng tính thể tích khối chóp được viết với mục đích giúp các em chủ động ôn tập và tự tin chuẩn bị bước vào các kỳ thi trung học phổ thông quốc gia năm 2015 sắp tới, ngay từ đầu năm học 2014 – 2015.

Trang 1

Hoạt động chủ đạo và thường xuyên trong quá trình học toán của học sinh là hoạt động giải bài tập, thông qua đó hình thành kỹ năng, kỹ xảo và khắc sâu kiến thức Do vậy việc hướng dẫn học sinh giải toán không phải chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học sinh những bài giải mẫu mà còn phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt được các mối quan hệ ràng buộc giữa giả thiết và kết luận của bài toán, từng bước giúp học sinh độc lập suy nghĩ và chủ động để giải bài tập và củng cố kiến thức

Sách giáo khoa Hình học 12 (chuẩn và nâng cao) có nêu nội dung về “tính thể tích khối đa diện”, phần lý thuyết thì rất đơn giản nhưng phần bài tập thì thật không hề đơn giản đối với học sinh Do kỹ năng giải toán hình học không gian nói chung và giải bài toán liên quan đến tính thể tích khối chóp nói riêng còn nhiều hạn chế nên các em thường bị mất điểm khi gặp những câu hỏi có liên quan đến nội dung này trong các đề thi tốt nghiệp

và tuyển sinh hàng năm

Cảm thông với những băn khoăn , lo lắng của các em và từ thực tế giảng dạy, tôi đã rút ra được một số kinh nghiệm trong việc thực hiện các bước cụ thể để hướng dẫn các em tính thể tích khối chóp Nhằm giúp các em chủ động ôn tập và tự tin chuẩn bị bước vào các kỳ thi trung học phổ thông quốc gia năm 2015 sắp tới, ngay từ đầu năm học 2014 –

2015, tôi chọn viết và thực hiện đề tài: Rèn luyện kỹ năng tính thể tích khối chóp đối

với học sinh lớp 12

Trang 2

bốn bước của Polya để giải một bài toán gồm :

 Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán

 Bước 2 : Tìm cách giải

 Bước 3 : Trình bày lời giải theo trình tự các bước thích hợp

 Bước 4 : Kiểm tra, nghiên cứu lời giải

Một trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông, đặc biệt với hình học là hướng dẫn cho học sinh biết phân tích đề bài, thấy được sự liên quan giữa giả thiết và kết luận, biết dựng hình và định hướng được cách giải

Giải toán là một quá trình biến những tri thức tổng quát thành cái cụ thể, thành kinh nghiệm của bản thận, là một chặng đường nhiều thử thách, đòi hỏi sự nỗ lực bền bỉ và đan xen một chút sáng tạo của học sinh Vì tìm được cách giải một bài toán là một phát minh

Để giải một bài toán tính khoảng cách, ta thực hiện theo các bước sau :

 Bước 1 : Đọc đề và phân tích đề

 Bước 2 : Dựng hình phù hợp với nội dung của đề bài

 Bước 3 : Liên hệ nội dung cần chứng minh với các định lý, công thức có liên quan

để giải bài toán

Tuy nhiên qua thực tế , việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng vào giải toán thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một quá trình trừu tượng hoá và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học Do vậy, thông qua một số bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm quen dần với các bước cụ thể, nhận biết các dạng bài tập, từng bước giúp các em hình thành kỹ năng, kỹ xảo, chủ động giải quyết các tình huống xảy ra trong quá trình giải toán, là cơ sở để các em khắc sâu kiến thức

2 Thực trạng trước khi thực hiện các giải pháp của đề tài

a ư

Trong đề tuyển sinh đại học – cao đẳng năm 2014 vừa qua, đề thi của khối A, A1, D

và cao đẳng đều có bài toán tính thể tích khối chóp Các em đều có chung một cảm nhận là câu này khó, không làm được! Qua tìm hiểu và trao đổi với các em thì nguyên nhân chính

là vẽ hình chưa chuẩn xác, không xác định được đường cao của khối chóp và lúng túng trong tính toán do nhớ sai công thức

Trang 3

3

Bài toán tính thể tích khối chóp rất đa dạng nên đã tạo ra không ít khó khăn trong quá trình hướng dẫn, truyền đạt của giáo viên và việc tiếp thu kiến thức của học sinh Tuy nhiên nếu biết sắp xếp và phân tích cụ thể các yếu tố có liên quan của bài toán, biết gợi mở thì sẽ phát huy được tính tích cực của học sinh, tạo được hứng thú cho học sinh khi giải bài toán tính thể tích khối chóp

b B

hắc phục những hạn chế nêu trên, cần có những bước đi thật cụ thể:

Các tiết bài tập cần chuẩn bị thật chu đáo, phải được thiết kế theo trình tự từ d đến khó, chú vào các dạng toán cơ bản, tạo hứng thú cho học sinh, giúp các em quen dần với các dạng toán có liên quan

ài tập nêu trong sách giáo khoa thường rất phức tạp, do vậy khi hướng dẫn học sinh ta cần điều chỉnh một số giả thiết cho ph hợp với khả năng nhận thức của các em

Cần tạo điều kiện cho các em có sự chuẩn bị bị ở nhà theo tổ nhóm, qua mỗi dạng toán cần hướng dẫn các em nhận x t để rút ra những bài học kinh nghiệm nhằm khắc sâu kiến thức và r n luyện kỹ năng giải bài toán tính toán

+ Giáo viên cần hướng dẫn các em dựng hình và đọc được các chi tiết trên hình, làm cơ sở định hướng công việc cần làm theo một trình tự nhất định, qua đó nâng cao nhận thức của các em trong nhận định và giải quyết công việc trong cuộc sống sau này

+ Qua mỗi bài tập, giáo viên cần hướng dẫn các em nhận xét là cở sở phân tích, suy luận

để giải quyết các bài tập khác có liên quan

Các giải pháp tôi nêu ra ở phần sau là giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, giải pháp mới này tỉ mỉ hơn, cụ thể và khoa học hơn; giúp các em tiếp thu và vận dụng tốt hơn

III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP

ồm hai phần:

một: ệ thống kiến thức liên quan đến bài toán tính thể tích khối chóp

: Thực hiện bài toán tính thể tích khối chóp

Các dạ o ư ng gặp :

 Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

 Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy

 Khối chóp đều

 Một số dạng khác

Trang 4

4

PHẦN MỘT

Hệ thống kiến thức liên quan đến bài toán tính thể tích khối chóp

Thông thường, bài toán về hình chóp được chia thành hai dạng như sau:

Hình chóp có cạnh bên, mặt bên

vuông góc với mặ đ y

Hì đều

SA ABC SAB  ABC

Đa giác đáy:

- Tam giác vuông, tam giác cân

- Tam giác đều, tam giác thường

R

 S ABC  pr r là bán kính đường tròn nội tiếp ABC )

 Các tam giác đặc biệt: Tam giác vuông

Trang 5

O O

Trang 6

6

 Diện tích hình thang ABCD

Thực hiện:

Bước 1 Xác định giao tuyến d của (P) và (Q) Bước 2 Tìm trong P) đường thẳng a vuông góc với d và

trong Q) đường thẳng b vuông góc với d

Bước 2 hi đó, góc giữa hai mặtt phẳng (P) và (Q) là góc

giữa hai đường thẳng a và b

6 Thể tích khối tứ diện đều

Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a

 Tất cả các các cạnh đều bằng nhau

 Tất cả các mặt đều là tam giác đều

khi đó A là đường cao của hình tứ diện đều

 Thể tích khối tứ diện đều cạnh a:

C D

H

P )

A d

C

A

M H

H

Trang 7

A Phương pháp thực hiện Để giải bài toán tính thể tích khối chóp, cần thực hiện theo

các bước sau:

+ Bước 1 Đọc kỹ nội dung đề bài, phân tích và nhận dạng khối chóp

+ Bước 2 Xác định đường cao của khối chóp

+ Bước 3 Dựng hình và thể hiện nội dung của giả thiết trên hình vẽ

+ Bước 4 Lập công thức tính thể tích khối chóp

+ Bước 5 Tính diện tích đa giác đáy và tính độ dài đường cao của khối chóp

B Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài

 Yêu cầu đối với giáo viên:

+ Các tiết bài tập cần chuẩn bị thật chu đáo, thiết kế theo trình tự từ d đến khó, cần

chú ý vào các dạng bài tập cơ bản, tạo hứng thú cho học sinh, giúp các em quen dần với các dạng toán có liên quan

+ Bài tập nêu trong sách giáo khoa thường rất phức tạp, do vậy khi hướng dẫn giải, giáo viên cần điều chỉnh một số giả thiết cho phù hợp với khả năng nhận thức của học sinh

 Yêu cầu đối với học sinh:

+ Cần nắm vững phần lý thuyết, thuộc công thức và hoạt động tích cực trong các tiết

bài tập

+ Qua mỗi dạng bài tập cần suy nghĩ để khắc sâu, làm cơ sở để hoàn thành các bài tập

theo yêu cầu của giáo viên

C Thực hiện bài toán tính thể tích khối chóp

1 Khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy

Bài toán 1 Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông

Xác định đường cao của khối chóp

 SA vuông góc với mặt đáy

 Đáy là tam giác A C vuông tại B

Trang 8

8

 Tính độ dài cạnh góc vuông BC

 Tính diện tích tam giác ABC

 Tính độ dài đường cao SA

 Tính thể tích khối chóp S.ABC

BC AC AB  a  a a Diện tích tam giác ABC:

Bài toán 2 Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác vuông cân tại B, cạnh bên SA

Nhận xét: ài toán 2 tương tự bài toán 1, chỉ

khác: đáy là tam giác A C vuông cân tại B

 Đáy là tam giác ABC vuông tại B

 Lập công thức tính thể tích khối chóp

Bài toán 3 Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác đều cạnh bằng 2a với 0  a ¡ ,

khác: đáy là tam giác đều ABC cạnh 2a

S

A

B

C

S

M

Trang 9

3 2

Bài toán 4 Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác vuông cân tại B, ACa với

 Đáy là tam giác A C vuông cân tại B

 Xác định góc giữa SB với (ABC)

60 0 (

Trang 10

Bài toán 5 Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác đều cạnh bằng a với 0  a ¡ ,

thêm: góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và

2

a AM

Bài toán 6 Cho hình chóp S.A CD có đáy A CD là hình vuông cạnh bằng a với 0  a ¡ ,

Nhận xét: ài toán 6 có đáy là hình vuông

Trang 11

11

Bài toán 7 Cho hình chóp S.A CD có đáy A CD là hình vuông cạnh bằng 2a với

 Tính diện tích hình vuông ABCD

 Tính độ dài đường chéo SC của hình

Trang 12

Bài toán 8 Cho hình chóp S.A CD có đáy A CD là hình thoi cạnh bằng a với 0  a ¡ ,

120

45

Nhận xét:

 Tính diện tích hình thoi ABCD

 Tam giác SAM vuông cân tại A

a

3

1

Trang 13

 Tính diện tích hình thang ABCD

 Tam giác SAC vuông cân tại A

Bài toán 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy A CD là hình vuông cạnh bằng a với

Trang 14

2 Khối chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy

Bài toán 11 Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là

( Trích đề tuyển sinh khối D năm 2014)

 Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau và

cắt nhau theo một giao tuyến, đường thẳng

nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với

giao tuyến thì nó vuông góc với mặt phẳng

kia.

 Xác định đường cao của khối chóp

Tính độ dài đường cao SH

Nhận xét:

Trang 15

15

 Cần khai thác giả thiết: Đáy là tam giác

ABC

1

góc vuông, d dàng tính được diện tích đáy

SBC  ABC, do đó chỉ cần tìm một

đường thẳng nằm trong (SBC) và vuông góc

Trang 16

16

Bài toán 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm

thể tích khối chóp S.ABCD theo a

 Tính diện tích hình thoi ABCD

Bài toán 15 Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác đều cạnh bằng 2a với 0  a ¡

S

A

Trang 17

17

cắt nhau theo một giao tuyến, đường thẳng

nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với

giao tuyến thì nó vuông góc với mặt phẳng

kia.

Bài toán 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a với 0  a ¡ , mặt bên

SA là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích

Nhận xét:

 Mặt bên SA là tam giác đều và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

( d dàng xác định đường cao của khối chóp)

Trang 18

Bài toán 17 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 , cạnh bên bằng 2a

Nhận xét: ình chóp tam giác đểu là hình

chóp đều có đáy là tam giác đều, tâm H của

đáy là hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên

 Tính thể tích khối chóp S.ABC

Bài gi i

Bài toán 18 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a 3 với

Nhận xét: Hình chóp tứ giác đểu là hình

chóp đều có đáy là hình vuông, tâm O của

đáy là hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên

Trang 19

19

Tính độ dài đường cao SO

AC là đường chéo hình vuông cạnh 2a

Bài toán 19 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a với 0  a ¡ , cạnh bên

 Xác định góc giữa một cạnh bên với đáy

Tính độ dài đường cao SO

cạnh bên SB trên (ABCD)

Trang 20

20

Nhận xét:

 Cách giải tương tự bài 17

 Hình tứ diện đều là hình chóp đều

 V ABCD V A BCD.

 Xác định đường cao của khối tứ diện

 Lập công thức tính thể tích khối tứ diện

 Tính diện tích tam giác BCD

Tính độ dài đường cao AH

 Tính thể tích khối tứ diện ABCD

Thể tích khối tứ diện ABCD:

.

1 3

Bài toán 21 Cho hình chóp S.A CD có đáy A CD là hình vuông cạnh bằng 2a, với

0  a ¡ Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng A CD) là trung điểm H của cạnh AB Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 0

60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

(Trích đề kiểm tra học kỳ II lớp 12 năm học 2014 – 2015 của Tỉnh Đồng Nai)

Nhận xét:

 Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên

mặt phẳng A CD) là trung điểm H của



A S

Trang 21

21

đường cao của khối chóp)

Bài toán 22 Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác đều cạnh bằng a, với

0  a ¡ Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng A CD) là điểm H thuộc cạnh

AB sao cho HA 2HB Góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) bằng 0

60 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

(Trích đề tuyển sinh khối A và A 1 năm 2014 )

Trang 22

Bài toán 23 Cho hình chóp S.A CD có đáy A CD là hình vuông cạnh bằng a, với

0  a ¡ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A và AD; là giao điểm của CN và DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH a 3 Tính thể tích khối chóp S.CDNM theo a (Trích đề tuyển sinh khối A năm 2010 )

Bài toán 24 Cho hình chóp S.ABC có hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy

trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, biết AB AC 5 ,a BC 6a,với 0  a ¡

S

A

D N

M

A

D H M

N H

Trang 23

tam giác ABC)

B

C M N

P



M H A

Trang 24

mặt đáy là trung điểm của cạnh AC

Bài toán 26 Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác đều cạnh bằng a,với

0  a ¡ Hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy, cạnh SB tạo với mặt

đáy một góc bằng 0

30 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

 Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau

theo giao tuyến d và cùng vuông góc với

30 0 ( M

Tiêu đề	Rèn luyện kỹ năng tính thể tích khối chóp
Trường học	Trường Trung Học Phổ Thông
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Sáng kiến kinh nghiệm
Năm xuất bản	2014 - 2015
Thành phố	Việt Nam

Định dạng
Số trang	31
Dung lượng	0,9 MB