Một số biện pháp dạy học các bài toán hình học bằng phương pháp diện tích nhằm nâng cao năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi lớp 4, 5

Tr-ờng đại học vinh Khoa giáo dục tiểu học -------- Trần thị thuỳ lê Một số biện pháp dạy học các bài toán hình học bằng ph-ơng pháp diện tích nhằm nâng cao năng lực giải toán cho

Tr-ờng đại học vinh Khoa giáo dục tiểu học



Trần thị thuỳ lê

Một số biện pháp dạy học các bài toán hình học bằng ph-ơng pháp diện tích nhằm nâng cao năng lực

giải toán cho học sinh khá, giỏi lớp 4, 5

tóm tắt khoá luận tốt nghiệp

Giáo viên h-ớng dẫn : ThS Nguyễn Thị Châu Giang

Sinh viên thực hiện : Trần Thị Thuỳ Lê

Lớp: 45A - Tiểu học

Phần mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Mục tiêu giáo dục toán học ở bậc tiểu học n-ớc ta đã nhấn mạnh: “ B-ớc

đầu hình thành và phát triển năng lực trừu t-ợng hoá, khái quát hoá,… kích thích trí t-ởng t-ợng, gây hứng thú học tập toán, phát triển hợp lí khả năng suy luận và biểu diễn đúng các khả năng suy luận đơn giản, góp phần rèn luyện ph-ơng pháp học tập và làm việc khoa học, linh hoạt, sáng tạo cho học sinh.”

ở tiểu học, các bài toán có nội dung hình học đa dạng, phong phú Đối với học sinh các kiến thức về hình học khó và t-ơng đối trừu t-ợng Hơn thế các kiến thức về hình học ở bậc này là cơ sở, là tiền đề cho bậc học tiếp theo

Thực tế việc giải các bài toán hình học ở học sinh nói chung và học sinh khá, giỏi lớp 4, 5 nói riêng vẫn còn gặp khó khăn trong việc tìm ra ph-ơng pháp giải, đặc biệt là những bài toán khó Trong khi đó việc bồi d-ỡng, nâng cao năng lực giải toán cho học sinh ch-a đ-ợc chú ý đúng mức, ch-a có hiệu quả cao

Đối với học sinh khá, giỏi lớp 4, 5 việc giải bài tập, nắm bắt kiến thức sách giáo khoa t-ơng đối nhanh Tuy nhiên việc dạy học không chỉ dừng lại ở

đó mà theo nguyên tắc cá biệt hoá trong dạy học - dạy học phù hợp với đối t-ợng, dạy học h-ớng vào sự phát triển tối -u khả năng của các em, cần phát triển khả năng vốn có bằng cách đào sâu, mở rộng nâng cao kiến thức, kĩ năng

Việc sử dụng ph-ơng pháp diện tích để giải các bài toán có yếu tố diện tích đã đ-ợc nhiều nhà khoa học quan tâm và nghiện cứu nh- :

Trần Diên Hiển : Thực hành giải toán tiểu học 1, 2

Đỗ Trung Hiệu : Ph-ơng pháp dạy học môn toán ở tiểu học

Phạm Đình Thực : Giảng dạy các yếu tố hình học ở tiểu học

Nguyễn Thị Kim C-ơng : Giải bằng nhiều cách các bài toán tiểu học…

Bên cạnh đó đã có một số luận văn đề cập đến việc nâng cao năng lực giải toán cho học sinh

Tuy nhiên việc phối hợp giữa việc sử dụng ph-ơng pháp diện tích để giải các bài toán hình hình học nhằm nâng cao năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi thì ch-a có ai nói đến một cách cụ thể

Vì vậy chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là: “

Một số biện pháp dạy học các bài toán hình học bằng ph-ơng pháp diện tích nhằm nâng cao năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi cho lớp 4, 5.”

2 Mục đích nghiên cứu

Đề xuất một số biện pháp dạy học các bài toán hình học bằng ph-ơng pháp diện tích nhằm nâng cao năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi lớp 4,

5

3 Giả thuyết khoa học

Nếu tổ chức tốt các biện pháp dạy học các bài toán hình học bằng ph-ơng pháp diện tích thì sẽ góp phần nâng cao năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi lớp 4, 5

4 Khách thể, đối t-ợng, phạm vi nghiên cứu

a.Khách thể nghiên cứu

Quá trình dạy học giải toán hình học lớp 4, 5

b Đối t-ợng nghiên cứu

Các biện pháp dạy học giải bài toán hình học có yếu tố diện tích

c Phạm vi nghiên cứu

Học sinh khá, giỏi lớp 4, 5

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

Làm rõ các vấn đề về lí luận và thực tiễn liên quan đến đề tài cần nghiên cứu

Đề xuất các biện pháp dạy học để nâng cao năng lực giải toán bằng ph-ơng pháp diện tích

6 Ph-ơng pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các nghị quyết, văn kiện của Đảng và nhà n-ớc, các tài liệu tâm lí học, giáo dục học, các bài nghiên cứu khoa học về giáo dục…

7.2 Điều tra, khảo sát thực tế

- Dự giờ

- Trò chuyện với giáo viên, học sinh

- Ra các bài tập d-ới dạng bài kiểm tra

7 Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Kiến nghị, Nội dung đề tài gồm 2 ch-ơng:

Ch-ơng 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

Ch-ơng 2 Một số biện pháp dạy học các bài toán hình học bằng ph-ơng pháp sơ đồ diện tích nhằm nâng cao năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi các lớp 4, 5

Phần nội dung

1.1 Một số vấn đề về việc dạy học các yếu tố hình học

1.1.1 Mục tiêu của việc dạy học các yếu tố hình học ở tiểu học

Việc dạy học các yếu tố hình học ở tiểu học nhằm các mục đích sau:

a Làm cho học sinh có đ-ợc những biểu t-ợng chính xác về một số hình hình học đơn giản và một số đại l-ợng hình học thông dụng

Ngay từ lớp một học sinh đã đ-ợc làm quen với một số hình hình học th-ờng gặp Dựa trên trực quan mà các em có thể nhận biết hình một cách tổng thể Sau đó, lên lớp trên việc nhận biết hình sẽ đ-ợc chính xác dần dần thông qua việc tìm hiểu các đặc điểm (về cạnh, góc…) của hình

Đồng thời ở tiểu học cũng đ-ợc học đo dộ dài, đo diện tích và thể tích của hình, đ-ợc luyện tập -ớc l-ợng (nhận biết gần đúng) số đo doạn thẳng diện tích, thể tích một số vật th-ờng dùng

Việc giúp học sinh hình thành những biểu t-ợng hình học và đại l-ợng

có tầm quan trọng đáng kể vì điều đó giúp các em định h-ớng trong không gian, gắn liền việc học tập với cuộc sống xung quanh và chuẩn bị học môn hình học ở bậc trung học cơ sở

b Rèn luyện một số kỹ năng thực hành, phát triển một số năng lực trí tuệ

Khi học các yếu tố hình học, trẻ em đ-ợc tập sử dụng các dụng cụ nh- th-ớc kẻ, êke, compa để đo đạc và vẽ hình chính xác theo quy trình hợp lí, để phát hiện các đặc điểm của hình; tập sử dụng ngôn ngữ và các kí hiệu cần thiết; tập đo độ dài, đo và tính chu vi, diện tích, thể tích các hình…Những kĩ năng này đ-ợc rèn luyện từng b-ớc một từ thấp đến cao

Ví dụ: ở lớp 1 tập dùng th-ớc kẻ

ở lớp 3 tập dùng êke

ở lớp 4 tập dùng êke để vẽ chính xác hình chữ nhật, đ-ờng thẳng song song, đ-ờng thẳng vuông góc

ở lớp 5 tập dùng compa để vẽ đ-ờng tròn, để đo và đặt độ dài đoạn thẳng,…

Qua việc học tập các kiến thức và rèn luyện các kỹ năng trên, một số năng lực trí tuệ của học sinh nh- phân tích, tổng hợp, quan sát, so sánh, đối chiếu, dự đoán, trí t-ởng t-ợng không gian đ-ợc phát triển

c, Tích luỹ những hiểu biết cần thiết cho đời sống sinh hoạt và học tập của học sinh

Các kiến thức hình học ở tiểu học đ-ợc dạy thông qua các hoạt động thực hành để tích luỹ những hiểu biết cần thiết cho học sinh Song những kiến thức, kĩ năng hình học đ-ợc thu l-ợm nh- vậy qua con đ-ờng thực nghiệm lại rất cần thiết trong cuộc sống, rất hữu ích cho việc học tập các tuyến kiến thức khác trong môn toán tiểu học nh-: Số học, đo đại l-ợng, giải toán, cũng nh- cho việc học tập các môn: Vẽ, tập viết ,tự nhiên xã hội, thủ công,…

Ngoài ra các yếu tố hình học giúp học sinh phát triển đ-ợc nhiều năng lực trí tuệ; rèn luyện đ-ợc nhiều đức tính và phẩm chất tốt nh-: cẩn thận, cần

cù, chu đáo, khéo léo, -a thích sự chính xác, làm việc có kế hoạch,…Nhờ đó

mà học sinh có thêm tiền đề để học các môn khác ở tiểu học, để học tiếp các giáo trình toán học có hệ thống ở bậc trung học cơ sở và thích ứng tốt hơn với môi tr-ờng tự nhiên và xã hội xung quanh

1.1.2 Nội dung dạy học các yếu tố hình học ở lớp 4, 5

ở tiểu học, các kiến thức về yếu tố hình học đ-ợc rải ra để sắp xếp xen kẽ với các kiến thức về số học, yếu tố đại số, đo đại l-ợng và giải toán nhằm tạo

ra mối liên hệ hữu cơ và sự hỗ trợ chặt chẽ giữa các tuyến kiến thức với nhau Nội dung dạy học các yếu tố hình học ở tiểu học có thể đ-ợc chia làm ba loại:

- Các nội dung “ hình học thuần tuý” gồm các kiến thức, kĩ năng hình học chuẩn bị cho việc học hình học ở trung học cơ sở nh- nhận dạng, phân

biệt hình, mô tả, biểu diễn hình, vẽ hình, tạo hình (cắt, ghép, gấp, xếp,…hình), biến đổi hình (tạo ra các hình có cùng diện tích)

- Các nội dung “ hình học đo l-ờng” trong đó phần cốt lõi là tính toán với các số đo đại l-ợng hình học nh- chu vi, diện tích, thể tích

- Nội dung giải toán có lời văn (toán đố), trong đó có sự kết hợp giữa hình học, số học và đo l-ờng nhằm tạo ra các tình huống để vận dụng các kiến thức đã học theo yêu cầu của việc tập d-ợt ph-ơng pháp giải toán, đồng thời giúp học sinh ( nhất là ở các lớp cuối cấp) làm quen dần với ph-ơng pháp suy diễn

Nội dung dạy các yếu tố hình học ở các lớp 4, 5 cụ thể nh- sau:

Lớp 4:

- Nhận biết các góc: góc nhọn, góc tù, góc bẹt

- Nhận biết hai đ-ờng thẳng vuông góc, song song

- Biết vẽ hai đ-ờng thẳng song song, vuông góc, đ-ờng cao của tam giác

- Nhận biết hình bình hành, hình thoi, một số đặc điểm của các hình trên

- Biết cách tính chu vi, diện tích của hình bình hành, hình thoi

Lớp 5:

- Xây dựng công thức tính diện tích hình tam giác, hình thang

- Hình tròn, chu vi, diện tích hình tròn

- Hình hộp chữ nhật, hình lập ph-ơng

- Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật, hình lập ph-ơng

- Thể tích, thể tích hình hộp chữ nhật, hình lập ph-ơng

- Giới thiệu về hình trụ, hình cầu

- Giới thiệu về biểu đồ hình quạt

- Đơn vị đo thể tích cm3, dm3, m3

1.1.3 Một số dạng toán hình học ở tiểu học

Các bài toán có nội dung hình học ở tiểu học có thể chia thành bốn nhóm nh- sau:

1.2 Các b-ớc để giải một bài toán

Một bài toán bao giờ cũng gồm 3 phần đơn giản : Dữ kiện, điều kiện, ẩn

số

Dữ kiện là cái đã cho, đã biết,trong đầu bài

ẩn số là những cái ch-a biết mà ta phải tìm

Điều kiện là các mối liên hệ toán học đã cho giữa các dữ kiện hoặc dữ kiện và ẩn số

Các b-ớc để giải một bài toán:

Theo G.Pôlia giải một bài toán gồm 4 b-ớc:

B-ớc 3: Phân tích bài toán để tìm cách giải

B-ớc 4: Giải bài toán và thử lại kết quả

B-ớc 5: Khai thác bài toán (dành cho học sinh khá, giỏi) Trong đề tài này chúng tôi thống nhất giải toán gồm các b-ớc sau:

- Tóm tắt bài toán

- Phân tích để tìm cách giải

- Giải và trình bày bài giải

- Thử lại kết quả

- Khai thác bài toán

1.3 Ph-ơng pháp diện tích trong việc giải các bài toán hình học ở tiểu học

1.3.1 Khái niệm ph-ơng pháp diện tích

Ph-ơng pháp diện tích là ph-ơng pháp giải toán để giải các bài toán hình học có sử dụng công thức diện tích của các hình

Ph-ơng pháp diện tích dùng để giải các bài toán về tính diện tích bằng cách vận dụng các tính chất của diện tích Các tính chất đó là:

- Nếu một hình đ-ợc phân ra thành các hình nhỏ thì tổng diện tích của các hình nhỏ bằng diện tích của hình lớn ban đầu

- Nếu ghép các hình nhỏ để đ-ợc một hình lớn thì diện tích hình lớn bằng tổng diện tích của các hình nhỏ

- Hai tam giác có cùng số đo cạnh đáy và có cùng số đo đ-ờng cao thì diện tích của chúng bằng nhau

- Nếu số đo cạnh đáy không đổi thì số đo diện tích và số đo đ-ờng cao của hai tam giác là hai đại l-ợng tỉ lệ thuận

- Nếu số đo đ-ờng cao không đổi thì số đo diện tích và số đo cạnh đáy của hai tam giác là hai đại l-ợng tỉ lệ thuận

- Nếu số đo diện tích không đổi thì số đo đ-ờng cao và số đo cạnh đáy của hai tam giác là hai đại l-ợng tỉ lệ nghịch

- Nếu hai hình có diện tích bằng nhau cùng bớt đi một phần diện tích chung thì phần còn lại của hai hình đó cũng có diện tích bằng nhau

- Nếu ta ghép thêm vào hai hình có diện tích bằng nhau cùng một hình thì hai hình mới nhận đ-ợc cũng có diện tích bằng nhau

1.3.2 áp dụng ph-ơng pháp diện tích vào việc giải một số dạng bài toán th-ờng gặp

ở tiểu học để giải các bài toán hình học liên quan đến diện tích th-ờng

áp dụng các ph-ơng pháp sau:

1.3.2.1 áp dụng công thức tính diện tích các hình

- Ta áp dụng trực tiếp công thức diện tích khi đã cho biết độ dài các

đoạn thẳng là các thành phần của công thức diện tích

- Nhờ công thức diện tích mà tính độ dài một đoạn thẳng là yếu tố của hình, chu vi của hình,…

Các công thức diện tích th-ờng gặp:

Công thức tính diện tích tam giác có cạnh đáy a, đ-ờng cao h:

S = a x h : 2 Công thức tính diện tích hình chữ nhật có chiều dài a và chiều rộng b là:

S = a x b Công thức tính diện tích hình vuông cạnh a là:

S = a x a Công thức tính diện tích hình thoi có độ dài hai đ-ờng chéo m, n là:

S = m x n : 2 Công thức tính diện tích hình bình hành có độ dài cạnh đáy là a, chiều cao h là :

S = a x h Công thức tính diện tích hình thang có độ dài đáy lớn a, đáy nhỏ b và

đ-ờng cao h là:

S = ( a + b ) x h : 2 Công thức tính diện tích hình tròn có bán kính r là:

S = r x r x 3,14

1.3.2.2 Dùng tỉ số

Trong một bài toán hình học ng-ời ta có thể dùng tỉ số các số đo đoạn thẳng, tỉ số các số đo diện tích hay thể tích nh- một ph-ơng tiện để tính toán, giải thích, cũng nh- trong thao tác so sánh các giá trị về độ dài đoạn thẳng, về diện tích hoặc thể tích ở các lớp 4, 5 học sinh phải vận dụng một số kiến thức nh- sau:

- Quan hệ giữa diện tích, chiều cao và cạnh đáy t-ơng ứng trong một tam giác

- Quan hệ giữa diện tích, chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhật

- Quan hệ giữa diện tích và bán kính của hai hình tròn

- Quan hệ các kích th-ớc, diện tích đáy, thể tích của khối hộp chữ nhật, lập ph-ơng

- Một hình đ-ợc chia ra thành nhiều hình nhỏ thì diện tích của hình đó bằng tổng diện tích của các hình nhỏ đ-ợc chia

- Nếu hai hình có diện tích bằng nhau cùng bớt đi một phần diện tích chung thì phần còn lại của hai hình đó cũng có diện tích bằng nhau

- Nếu ta ghép thêm một hình vào hai hình có diện tích bằng nhau thì sẽ

đ-ợc hai hình mới có diện tích bằng nhau

1.3.2.4 Sử dụng các phần đ-ợc tính diện tích lặp hai lần

Có một số bài toán liên quan dến diện tích hình có sử dụng một số kiến thức nh- : “ Một hình đ-ợc tính diện tích lặp hai lần thì có thể lấy bớt đi một lần diện tích “ bù” vào chổ thiếu cho một hình khác, nếu hai hình nằm trong một tổng diện tích không đổi.”

1.4 Năng lực giải toán của học sinh tiểu học

1.4.1 Khái niệm năng lực

Theo Hoàng Phế (Từ điển Tiếng Việt): Năng lực là khả năng, điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó với chất l-ợng cao

Theo Phan Văn Các : năng lực là sức làm việc

Theo V.A.Kơ-ru-rec-xki (Tâm lí năng lực toán học) thì vấn đề năng lực chính là sự khác biệt cá nhân, nếu nh- tất cả mọi ng-ời đều phát triển nh- nhau theo mọi h-ớng đối với mọi lĩnh vực thì vấn đề năng lực không đặt

Vì vậy nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong một hoạt động nào đó của con ng-ời, con ng-ời có những năng lực khác nhau, vì có những tố chất khác nhau Tố chất là cơ sở tự nhiên ban đầu của năng lực còn ch-a phát triển và chỉ bộc lộ trong hành động, đó chính là những tính chất giải phẩu sinh lí, những tính chất đó cần có môi tr-ờng chính trị, xã hội thuận lợi mới phát triển

đ-ợc nếu không sẽ bị “ thui chột”

Năng lực không phải bẩm sinh mà nó phát triển trong đời sống, trong học tập Tất cả trẻ em đều có khả năng học tập Tuy nhiên năng lực học tập của các em lại khác nhau Thực tế trong điều kiện giảng dạy nh- nhau có em học tiếp thu nhanh, đạt kết quả tốt trong một số lĩnh vực nào đó hơn lĩnh vực khác Có những em có nhiều cố gắng cũng không đạt đ-ợc thành tích nh- vậy

Nh- vậy, năng lực nêu lên sự khác biệt cá nhân, năng lực không “ nhất thành” , “ bất biến” mà đ-ợc hình thành và phát triển trong quá trình học tập, hoạt động để nắm đ-ợc hoạt động t-ơng ứng

Giáo viên phát hiện những mặt năng lực còn yếu của học sinh để tìm cách giúp đỡ và tìm xem học sinh có năng lực về mặt nào nhất để giúp các em phát triển mặt năng lực đó

Nh- vậy, năng lực là những đặc điểm tâm lí cá nhân có liên quan đến kết quả tốt đẹp của việc hoàn thành nhiệm vụ hoạt động nào đó

1.4.2.Năng lực toán học

Năng lực toán học là đặc điểm tâm lí, cá nhân, tr-ớc hết là đặc điểm hoạt động trí tuệ trong hoạt động toán học, trong học tập, nghiên cứu

1.4.2.1 Đặc điểm của hoạt động toán học

Năng lực toán học tồn tại và phát triển trong hoạt động toán học và

đ-ợc hiểu với hai nghĩa trong hai mức độ sau:

- Một là theo ý nghĩa năng lực sáng tạo ( nghiên cứu) khoa học, tức là năng lực đối với hoạt động sáng tạo toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan, có một giá trị lớn đối với loài nguời

- Hai là theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với việc học toán, đối với việc nắm giáo trình toán, nắm đ-ợc các kiến thức, kĩ năng,

kĩ xảo để giải các bài toán

ở đây ta hiểu năng lực toán học vào nghĩa thứ hai tức là năng lực giải các bài toán hình hình học cho học sinh khá, giỏi lớp 4, 5

1.4.2.2 Cấu trúc của năng lực toán học

Theo V.A.Kơ-ru-rec-xki thì cấu trúc năng lực toán học bao gồm

những thành phần sau:

 Về mặt nhận thức thông tin toán học

Đó là năng lực tri giác thông tin, hình thức hoá các tài liệu toán học, năng lực nắm đ-ợc cấu trúc hình thức của bài toán Đó chính là việc suy nghĩ, phân tích, tổng hợp về bài toán tr-ớc khi giải nó, các em tri giác bài toán, nắm đ-ợc cấu trúc của nó và tách cấu trúc thành các phần sau

- Tách ra đ-ợc quan hệ cơ bản đặc tr-ng của bài toán, quan hệ này nêu lên bản chất của bài toán, phân biệt các bài toán với nhau

- Tách ra đ-ợc các đại l-ợng không bản chất đối với loại bài toán đã cho, nh-ng quan trọng đối với dạng cụ thể và nó đ-ợc trong các phép tính cụ thể

- Các đại l-ợng thừa, không bản chất, không cần thiết đối với việc giải bài toán cụ thể

Tóm lại, các em có khả năng phân tích, tổng hợp từ đó nắm đ-ợc bài toán trong thể vẹn toàn của nó

 Năng lực chế biến thông tin tiếp thu đ-ợc trong quá trình giải toán:

- Năng lực t- duy lôgic

- Năng lực khái quát hoá: Từ năng lực nhìn thấy cái khái quát hiện nay ch-a biết trong cái cá biệt, riêng lẻ rút ra từ cái chung Từ các tr-ờng hợp riêng để hình thành một cách giải bài toán

- Năng lực rút gọn quá trình tập luyện toán học và hệ thống các phép tính t-ơng ứng

- Sự linh hoạt của quá trình t- duy : Các em học sinh khá, giỏi dễ dàng

thức tìm các cách giải cho một bài toán Bởi thế giáo viên nên h-ớng dẫn cho học sinh làm việc này

- Tính thuận nghịch của quá trình t- duy trong suy luận toán học, chuyển

từ ẩn bài toán đến dữ kiện và ng-ợc lại

 Về mặt l-u trữ thông tin toán học

Đó là trí nhớ toán học, thực chất trí nhớ toán học ở đây chính là phát triển khả năng ghi nhớ khái quát các sơ đồ điển hình, các lập luận, các phép toán

Nh- vậy nói đến năng lực giải toán là ta nói đến các năng lực t- duy nh- phân tích, tổng hợp, so sánh ; các phẩm chất của t- duy nh- tích cực, độc lập, linh hoạt, sáng tạo, mềm dẻo trí t-ởng t-ợng…

Các thành phần nêu trên có mối quan hệ mật thiết với nhau, ảnh h-ởng với nhau và hợp thành một hệ thống duy nhất, một cấu trúc toàn vẹn của năng lực giải toán

1.4.3 Một số đặc điểm t- duy của học sinh lớp 4, 5

Hoc sinh lớp 4, 5 có một số đặc điểm tâm lí nh- sau :

* Về tri giác:

Tri giác của học sinh tiểu học còn mang tính chung chung, đại thể, it đi vào chi tiết, không có chủ định Đối với trẻ em đầu cấp thì tri giác của các em gắn chặt với hoạt động thực tiễn vì thế lên lớp 4, 5 giáo viên đóng vai trò rất lớn, giáo viên phải là ng-ời tổ chức cho học sinh hoạt động để tri giác, để từ

đó giúp các em tìm ra đ-ợc dấu hiệu bản chất của sự vật và hiện t-ợng

triển mạnh hơn Tuy vậy việc ghi nhớ không có chủ định vẫn giữ một vai trò quan trọng Đối với học sinh tiểu học việc ghi nhớ các tài liệu bằng đồ dùng trực quan, vật thật đem lại hiệu quả cao hơn

* T- duy

T- duy cũng là một quá trình tâm lí nh-ng khác với quá trình nhận thức cảm tính, t- duy phản ánh các dấu hiệu, các mối liên hệ và quan hệ bản thân của vật, hiện t-ợng Theo các nhà tâm lí thì t- duy của học sinh lớp 4, 5 chuyển dần từ tính cụ thể sang tính trừu t-ợng, khái quát Và cùng với quá trình học tập thì t- duy của học sinh phát triển rất nhiều Đối với học sinh lớp

4, 5 thì t- duy của các em đã có thể thoát khỏi ảnh h-ởng của những dấu hiệu trực tiếp và hoàn toàn dựa vào những tri thức và những khả năng đ-ợc hình thành trong quá trình học tập

Với đặc điểm tâm lí nh- vậy t- duy toán học của học sinh lớp 4, 5 có một

số đặc điểm nổi bật nh- sau :

Theo các nhà tâm lí thì t- duy của học sinh lớp 4, 5 chuyển dần từ tính cụ thể sang tính trừu t-ợng, khái quát cũng nh- các hình thức t- duy khác t- duy toán học đ-ợc thực hiện thông qua hoạt động trí tuệ nh-: phân tích, tổng hợp,

so sánh, khái quát hoá, trừu t-ợng hoá

* Phân tích

Là dùng trí óc phân tích đối t-ợng nhận thức thành các bộ phận ngôn ngữ thuộc tính riêng biệt trong đối t-ợng Từ đó nhận thức đối t-ợng sâu sắc hơn

Là dùng trí óc kết hợp các thành phần đã đ-ợc tách ra qua phân tích và khôi phục các bài toán có thể dựa trên những liên hệ thuộc về bản chất đã

đ-ợc khám phá nhờ phân tích

Hai thao tác phân tích- tổng hợp là trái ng-ợc nhau, đối lập nhau Chúng không tách biệt nhau mà chúng thống nhất trong một quá trình Phân tích là cơ sở của tổng hợp; tổng hợp tiến hành trên cơ sở phân tích

* So sánh

Là dùng trí óc để xác định sự giống nhau, khác nhau giữa các sự vật, hoạt

động Muốn so sánh các sự vật, hiện t-ợng với nhau học sinh phải phân tích các dấu hiệu, các thuộc tính của chúng Từ đó đối chiếu từng thuộc tính, từng dấu hiệu Sau đó tổng hợp lại đ-a ra kết luận

động đến t- duy trừu t-ợng, từ t- duy trừu t-ợng đến thực tế khách quan.”

* Khái quát hoá

Là thao tác trí óc nhằm tách ra và liên kết lại những thuộc tính của sự vật, hiện t-ợng có cùng dấu hiệu chung, kết quả của khái quát hoá cho ra hàng loạt sự vật, hiện t-ợng cùng loại nh- vậy Khái quát hoá là chuyển việc nghiên cứu từ một tập hợp các đối t-ợng sang tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu Trừu t-ợng hoá và khái quát hoá là hai mặt đối lập nh-ng luôn luôn thống nhất, bổ sung, chi phối cho nhau Để khái quát hoá thì phải có trừu t-ợng hoá, không thể có khái quát hoá mà không có trên cơ sở trừu t-ợng ; ng-ợc lại khái quát hoá giúp học sinh trừu t-ợng hoá tốt hơn

* Đối với học sinh tiểu học thì t- duy đ-ợc biểu hiện qua một số mặt cụ thể nh- sau:

- Nắm bắt nhanh kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo toán học, biết tóm tắt bằng sơ đồ, hình vẽ, mô hình

- Nhanh trí, linh hoạt, có khả năng tính nhẩm tốt

- Có khả năng độc lập suy nghĩ

- Khái quát hoá, phân tích, tổng hợp tài liệu

- Th-ờng hứng thú học toán, ít mệt mỏi học toán

- Khả năng trình bày bài giải ( nói, viết) mạch lạc, khúc triết, rõ ràng

1.5 Thực trạng của việc sử dụng ph-ơng pháp diện tích trong dạy học giải các bài toán hình học ở các lớp 4, 5

1.5.2 Đặc điểm của học sinh khá, giỏi

Trong một lớp học th-ờng có ba loại đối t-ợng học sinh : loại học sinh th-ờng bộc lộ nhiều năng lực (gọi là học sinh khá, giỏi); loại trung bình và loại yếu kém Cả ba loại học sinh này cùng học một ch-ơng trình với những yêu cầu tối thiểu đặt ra theo mục tiêu đào tạo và những yêu cầu tối thiểu đó

đ-ợc tính toán trên cơ sở trình độ học sinh trung bình Vấn đề đặt ra là làm sao cho học sinh trung bình đạt đ-ợc yêu cầu đó một cách vững chắc và có thể v-ơn lên cao hơn; học sinh khá, giỏi có thể đạt đ-ợc yêu cầu cao hơn nữa và học sinh kém đ-ợc giúp đỡ từng b-ớc v-ơn lên đạt yêu cầu

Đề tài này nhằm mục đích h-ớng tới đối t-ợng học sinh khá, giỏi trên cơ sở trên cơ sở kiến thức và yêu cầu chung quy định trọng ch-ơng trình Giáo viên cần biết khai thác khả năng tiềm tàng của học sinh Cần đặt ra yêu cầu thích hợp đối với từng loại học sinh mà vẫn không bị “ quá tải”

Khi tìm hiểu học sinh khá, giỏi có thể rút ra một số đặc điểm sau :

- Có khả năng thay đổi ph-ơng thức hành động để giải quyết vấn đề phù hợp với những thay đổi của các điều kiện

- Có khả năng chuyển từ trừu t-ợng, khái quát sang cụ thể và ng-ợc lại

- Có khả năng xác lập sự phụ thuộc của các điều kiện theo hai h-ớng : xuôi,

- Thích tìm tòi, giải bài toán theo nhiều cách hoặc xem xét một vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau

- Có sự quan sát tinh tế, phát hiện nhanh những dấu hiệu chung và riêng, mau chóng phát hiện ra những “ điểm nút” làm cho việc giải quyết vấn

đề phát triển theo nhiều h-ớng hợp lí, độc đáo hơn

- Trí t-ởng t-ợng phát triển, khả năng suy luận có căn cứ, rõ ràng, có

óc tò mò…

**.Những học sinh này cần đ-ợc phát hiện và bồi d-ỡng theo các h-ớng sau

- Củng cố vững chắc và đào sâu kiến thức thông qua những câu hỏi nâng cao

- Ra thêm một số bài tập khó hơn trình độ chung, dạng bài tập mới đòi hỏi vận dụng, huy động kiến thức đã học một cách sáng tạo, linh hoạt…

1.4.2 Thực trạng của học sinh

Để khảo sát và đánh giá thực trạng giải toán của học sinh lớp 4, 5 khi giải các bài toán có nội dung hình học tôi căn cứ vào kết quả thực hiện:

- Bài tập trong vở học sinh (ở lớp và ở nhà)

- Phỏng vấn thực trạng, khó khăn qua giáo viên lớp 4, 5

- Dự giờ toán, quan sát quá trình giải toán cũng nh- quá trình giảng dạy của giáo viên và học sinh trên lớp

 Nhận định chung

ở tiểu học, các kiến thức về yếu tố hình học đ-ợc rải ra để sắp xếp xen kẽ với các kiến thức về số học, yếu tố đại số, đo đại l-ợng và giải toán nhằm tạo

ra mối liên hệ hữu cơ và sự hỗ trợ chặt chẽ giữa các tuyến kiến thức với nhau

Kết quả của hoạt động giải toán là một trong những cơ sở để đánh giá kết quả học toán của học sinh Tuy nhiên chất l-ợng giải các bài toán hình hình học của học sinh tiểu học hiện nay ch-a cao Theo chúng tôi chủ yếu là do kĩ năng giải toán ch-a tốt Qua quan sát thực tiễn, học sinh còn gặp nhiều khó khăn trong hoạt động giải các bài toán có nội dung hình học và chúng tôi tập trung giải quyết các khó khăn cơ bản sau :

 Khó khăn liên quan đến ngôn ngữ :

Đối với học sinh tiểu học những khó khăn về ngôn ngữ trong quá trình giải toán là khá phổ biến do các bài toán thông qua ngôn ngữ để diễn đạt tình huống Mặt khác trình độ ngôn ngữ của học sinh tiểu học còn thấp nên việc hiểu nghĩa của bài toán, việc diễn đạt, trình bày bài giải về từ, thuật ngữ, cú pháp của câu văn…còn hạn chế

 Những khó khăn trong quá trình phân tích, tổng hợp bài toán:

Trong giải toán, phân tích và tổng hợp là hai thao tác đặc biệt quan trọng Để giải bài toán, học sinh phải tìm ra mối liên hệ giữa cái đã biết và cái ch-a biết Qua thao tác phân tích, tổng hợp học sinh sẽ xuất hiện ý t-ởng về ph-ơng pháp giải cho bài toán Tuy nhiên học sinh tiểu học còn gặp khó khăn trong thao tác này

 Những khó khăn trong hoạt động quan sát, dự đoáncho một bài tập

Đối với các bài toán có nội dung hình học, sự quan sát có tác dụng quan trọng, đặc biệt là quan sát trên hình vẽ Khi giải các bài toán quan sát kết hợp với phân tích đặc điểm dữ kiện, điều kiện của bài toán để làm cho việc giải toán phát triển theo một chiều h-ớng ngắn gọn hơn

Dự đoán là hoạt động rất quan trọng tạo tiền đề cho suy luận toán học Muốn dự đoán đ-ợc cần sự t-ởng t-ợng trong một thời khắc Và đây là một trong những khó khăn th-ờng gặp đối với học sinh

Khó khăn trong việc sử dụng ph-ơng pháp diện tích vào giải các bài toán

Học sinh th-ờng không biết cách vận dụng ph-ơng pháp diện tích vào giải các bài toán nhất là những bài toán khó, phức tạp

1.5.3 Thực trạng của giáo viên

Trong ch-ơng trình toán 4, 5 các bài toán có nội dung hình học có thể

Các dạng toán trên không dạy thành bài riêng mà đ-ợc dạy xen kẽ trong các tiết học Trong khi giải toán có nội dung hình học giáo viên h-ớng dẫn học sinh giải theo quy trình 4 b-ớc :

- Tìm hiểu đề

- Diễn tả tổng hợp bài toán bằng hình vẽ

- Tìm h-ớng suy nghĩ

- Trình bày lời giải

Trong dạy học trên lớp hiện nay ch-a thực sự chú ý dạy học phân hoá theo năng lực của học sinh mà dạy theo lối đồng loạt, học sinh trong lớp dù khá, giỏi, trung bình hay yếu kém đều nghe chung một bài giảng, đều làm chung một bài tập Dẫn đến tình trạng học sinh khá, giỏi giải xong phải ngồi chơi, chờ các bạn từ đó không phát huy hết khả năng của mình, dần dần mất

đi tính chủ động, tích cực, sáng tạo của các em

Trong quá trình tìm hiểu đề (phân tích, quan sát, dự đoán…) hệ thống câu hỏi mở ch-a phát huy hết năng lực của học sinh Một số giáo viên th-ờng làm thay học sinh phần này, áp đặt cách giải, h-ớng giải bài toán…nên học sinh không thể hiện tính sáng tạo của mình Tuy ở lớp 4, 5 các bài toán có nội dung hình học chỉ đ-ợc chia thành 4 dạng nh-ng hệ thống bài tập phong phú, đa dạng Trong quá trình dạy học giáo viên th-ờng giải quyết vấn đề nêu ra ở một bài toán cụ thể nên khi gặp bài toán có cùng bản chất nh-ng biến đổi một chút thì học sinh th-ờng gặp khó khăn trong việc tìm ra h-ớng giải cho bài toán

Từ thực trạng ph-ơng pháp tổ chức hình thành kĩ năng giải toán có nội dung hình học trên đây, có thể nói rằng: Việc bồi d-ỡng kĩ năng giải toán cho học sinh nói chung và học sinh khá, giỏi nói riêng ch-a đ-ợc chú ý đúng mức, ch-a có hiệu quả cao, ch-a gây đ-ợc hứng thú học tập để đạt hiệu quả nh- ý muốn

Kết luận : Từ sự phân tích trực trạng trên đây đi đến kết luận sau : Hiện

nay trong việc giải toán có nội dung hình học ngay cả học sinh khá, giỏi cũng gặp khó khăn trong việc phân tích bài toán, tìm ph-ơng pháp giải

Nguyên nhân của khó khăn này là do khó khăn trong quá trình phân tích, quan sát, dự đoán… học sinh ch-a tìm ra mối quan hệ giữa cái đã biết và cái ch-a biết và nhất là học sinh ch-a tìm ra ph-ơng pháp giải cho các bài toán nên ch-a tìm ra đ-ợc cách giải

Muốn bồi d-ỡng học sinh khá, giỏi lớp 4, 5 nâng cao năng lực giải toán nhất là các bài toán có nội dung hình học hiện nay cần thiết phải tìm ra ph-ơng pháp để khắc phục những khó khăn trên và phát huy khả năng vốn

có của học sinh khá, giỏi Từ đó chúng tôi tìm ra một số biện pháp dạy học các bài toán hình học bằng ph-ơng pháp diện tích nhằm nâng cao năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi lớp 4, 5

Ch-ơng 2

Một số biện pháp dạy học các bài toán hình học bằng

ph-ơng pháp diện tích nhằm nâng cao năng lực giải toán cho

Khi phân tích một bài toán ta có thể thực hiện theo ba cách :

- Phân tích đi xuống là phân tích bài toán bắt đầu từ giả thiết đi đến câu hỏi chính

- Phân tích đi lên là phân tích bài toán từ câu hỏi chính đi ng-ợc lên các dữ kiện, giả thiết

- Phân tích có định h-ớng thông qua tổng hợp là sử dụng tổng hợp, đem các điều kiện, dữ kiện của bài toán đối chiếu với yêu cầu của bài toán để h-ớng suy nghĩ vào mục tiêu cần đạt là tách đ-ợc các mối liên hệ cơ bản cuối cùng là mối quan hệ giữa cái cần tìm và các dữ kiện Kĩ năng này là một hoạt

động t- duy khó đối với học sinh tiểu học, song do tính chất quan trọng của nó- tạo tiền đề xuất hiện ý t-ởng về ph-ơng pháp giải - nên cần đ-ợc tập luyện lâu dài

Và các bài toán có yếu tố diện tích thuận lợi cho việc phát triển năng lực phân tích cho học sinh Vì thế ở biện pháp này chúng tôi nêu ra một số bài toán nhằm phát triển năng lực đó cho học sinh

2.1.1 Dạng 1 Tính diện tích của một hình

2.1.1.1 Các bài toán áp dụng công thức tính diện tích các hình

Đây là các bài toán tính diện tích của một hình áp dụng công thức tính diện tích của các hình Để làm các bài toán này học sinh cần nắm đ-ợc công thức tính diện tích các hình nh- hình chữ nhật, hình vuông, hình tam giác, hình thoi, hình thang, hình bình hành…

Bài toán 1

Cho hình tam giác ABC có diện tích 24 m2 và cạnh AB dài 16 m, cạnh

AC dài 10 m Kéo dài hai cạnh AB và AC về phía B và C.Trên đó lấy BM =

CN = 2m Tính diện tích tam giác AMN?

Các b-ớc giải bài toán này hoàn toàn xuất phát từ công thức tính diện tích tam giác Học sinh cần phải xác định đ-ợc các yếu tố hình : đ-ờng cao, cạnh

- Muốn tính diện tích tam giác AMN ta cần biết gì ?

- MK có thể gắn đ-ợc vào đ-ờng cao của tam giác nào ?

- Có thể tính đ-ợc diện tích của tam giác ACM đ-ợc không ? Sử dụng công thức nào là hợp lí nhất ?

- Có thể tính đ-ợc CH không ? Dựa vào đâu ? Vì sao ?

C

K

N

Quá trình phân tích, tổng hợp đ-ợc biểu diễn bằng sơ đồ:

Sau khi phân tích có định h-ớng ta có bài giải :

Đ-ờng cao CH của tam giác ABC là:

10 + 2 = 12(m) Diện tích tam giác AMN là :

12 x 5,4 : 2 = 32,4 ( m2)

Đáp số : 32,4 m2 Bài toán 2 :

Hình thang ABCD có đáy nhỏ 18 dm và bằng 3/5 đáy lớn.Trên AB lấy

E sao cho BE = 1/3 AB Trên CD lấy điểm K sao cho CK = 3/4 CD Nối E với

K Tính diện tích hình thang EBCK biết diện tích hình thang ABCD là 384

dm2

Để giải bài toán này ta xuất phát từ công thức tính diện tích hình thang Học sinh cần phải xác định đ-ợc các yếu tố của hình: đáy lớn, đáy bé, đ-ờng cao Từ đó học sinh sẽ tìm các cách giải khác nhau của bài toán

Còn chiều cao EH của hình thang EBCK cũng chính là chiều cao của hình thang ABCD

EH = SABCD x 2 : (AB + CD)

AB biết, CD đã tính đ-ợc nên AB + CD ta tính đ-ợc Và KC sẽ tính

đ-ợc

Tõ c¸ch ph©n tÝch trªn ta t×m ®-îc c¸c c¸ch gi¶i nh- sau:

C¸ch 1:

§¸y CD cña h×nh thang ABCD lµ:

18 : 3/5 = 30 (dm) ChiÒu cao cña h×nh thang ABCD lµ:

384 x 2 : (30 + 18) = 16 (dm) ChiÒu cao cña h×nh thang ABCD còng chÝnh lµ chiÒu cao cña h×nh thang EBCK lµ 16 dm

22,5 x 16 : 2 = 180 (dm2) DiÖn tÝch h×nh thang EBCK lµ :

48 + 180 = 228 (dm2)

Đáp số : 228 dm2

2.1.1.2 Các bài toán giải dùng tỉ số diên tích để tính diện tích

Bài toán 3:

Cho tam giác ABC có diện tích 400 cm2 Trên cạnh AB lấy điểm N,

trên cạnh AC lấy điểm M sao cho BN = 1/4 AB và AM = MC Nối BM và CN

cắt nhau tại O Tính diện tích tam giác BOC

Giáo viên chuẩn bị hệ thống câu hỏi (phân tích bài toán từ câu hỏi chính

của bài toán đi lên) để giúp học sinh định h-ớng cách giải

- Ta có thể tính diện tích tam giác BOC từ công thức diện tích tam giác

không ?

- Tam giác BOC nằm trong tam giác nào mà ta có thể tính đ-ợc diện tích ?

- Dựa vào đâu em có thể xác định mối quan hệ giữa tam giác BOC và

BNC?

Từ các câu hỏi của giáo viên giúp học sinh biết đ-ợc rằng :

Để tính diện tích tam giác BOC ta không thể áp dụng công thức diện tích

tam giác để tính Ta nghĩ ngay đến ph-ơng pháp dùng tỉ số và các thao tác

phân tích, tổng hợp

Ta thấy tam giác BOC nằm trong tam giác BNC Mà diện tích tam giác

BNC ta có thể tính đ-ợc

Ta xét mối quan hệ giữa tam giác BON và BOC Ta thấy tam giác BOA

và tam giác BOC có diện tích bằng nhau Mà diện tích tam giác BON = 1/4

diện tích tam giác BOA Nên diện tích tam giác BON = 1/4 diện tích tam giác

BOC Từ đây ta sẽ tìm đ-ợc diện tích tam giác BOC

Từ các b-ớc phân tích, nhận định nh- trên ta có lời giải cho bài toán trên là:

Vì tam giác BNC và tam giác ABC có chung chiều cao hạ từ đỉnh C và cạnh đáy BN = 1/4 AB.Nên :

Mà ta có SOAB = 4 x SONC(Vì hai tam giác OAB và ONB có chung

đ-ờng cao hạ từ đỉnh O và cạnh đáy AB = 4 x BN

Nh- vậy : SBOC = 4 x SONB

Cho hình thang ABCD đáy AB = 30cm ; CD = 45cm AC và BD cắt nhau tại

O Cho biết diện tích tam giác OAB là 180cm2 Tính diên tích hình thang

Ta không thể áp dụng trực tiếp công thức diện tích hình thang Vì thế để tính diện tích hình thang ta sẽ chia nhỏ hình thang ra thành 4 tam giác Ta lần l-ợt đi tìm diện tích của từng tam giác nhỏ

Do tam giác ABC và tam giác ADC có đ-ờng cao bằng nhau (bằng chiều cao của hình thang) nên tỉ số diện tích của ADC và ABC chính bằng tỉ

số của DC và AB và bằng 45 : 30 = 1,5

Và đó cũng là tỉ số của đ-ờng cao DE và BH

Mà hai tam giác DAO và BAO có chung đáy AO và tỉ số chiều cao là 1,5

Từ đó ta sẽ tính đ-ợc diện tích của tam giác DAO Lần l-ợt ta sẽ tính đ-ợc diện tích của tam giác ABD và BCD Đến đây ta sẽ tính đ-ợc diện tích của hìng thang ABCD

Từ các b-ớc phân tích trên ta có lời giải cho bài toán trên nh- sau : Hai tam giác ADC và ABC có chiều cao bằng nhau (bằng chiều cao của hình thang) nên diện tích tam giác ADC so với diện tích tam giác ABC gấp :

45 : 30 = 1,5 (lần)

Ta lại thấy tam giác ADC và ABC có chung cạnh đáy AC nên tỉ số

đ-ờng cao DE và BH chính bằng tỉ số diện tích của tam giác ACD và ABC và bằng 1,5

Bài toán 5 :

Cho hình vuông ABCD, các nửa hình tròn có đ-ờng kính là cạnh hình vuông cách nhau ở E tạo thành bộ hoa bốn cánh Cho biết bán kính nửa đ-ờng tròn là 1cm và lấy….= 3,14 Tính diện tích bông hoa đó (phần gạch chéo)

Nếu ta cộng diện tích của bốn nửa hình tròn với nhau thì diên tích của bốn cánh hoa sẽ bằng tổng diện tích của bốn nửa hình tròn trừ đi diện tích hình vuông

Từ sự phân tích trên ta có cách tính nh- sau :

Diện tích của bốn nửa hình tròn là :

(1 x 1 x 3,14) : 2 x 4 = 6,28 (cm2) Diện tích hình vuông là :

2 x 2 = 4 (cm2) Diện tích của bông hoa bốn cánh là :

6,28 – 4 = 2,28 (cm2)

Đáp số : 2,28 (cm2) Bài toán 6 :

Cho tam giác ABC có diện tích 126 cm2 Trên cạnh BC ta lấy điểm M sao cho đoạn thẳng BM có độ dài gấp 2 lần đoạn thẳng MC Trên cạnh CA lấy

điểm N sao cho đoạn thẳng CN có độ dài gấp 2 lần đoạn thẳng NA Trên cạnh

AB ta lấy điểm P sao cho AP có độ dài gấp 2 lần đoạn thẳng PB Hai đoạn thẳng AM, BN cắt nhau tại H Đoạn CP cắt AM tại I, cắt BN tại K Tính diện tích tam giác HIK

Với bài toán này để tìm ra lời giải là việc làm khó đối với học sinh tiểu

học Bởi thế để giúp học sinh giải và tìm cách giải và tìm cách giải cho bài

toán này ta chia bài toán ra thành những bài toán đơn giản:

Bài toán phụ 1 : (Với các giả thiết nh- trên) Hãy chứng tỏ rằng :

SKHI = SAHN + SKPB + SIMC

Bài toán phụ số 2 : (Với các giả thiết nh- trên) So sánh diện tích AHB

và diện tích AHN

Bài toán phụ số 3 : (Với các giả thiết nh- trên).Biết diện tích tam giác

AHB gấp 6 lần diện tích tam giác AHN Hãy tính diện tích tam giác AHN

Tổng hợp ba bài toán đó ta sẽ thu đ-ợc kết quả của bài toán cần tìm.Bây

giờ ta sẽ lần l-ợt đi giải từng bài toán phụ :

Bài toán phụ 1 :

Vì MC = 1/3 BC và hai tam giác AMC và ABC có chung chiều cao hạ

từ đỉnh A xuống BC nên SAMC = 1/3 SABC

T-ơng tự ta có : SBAN = 1/3 SABC

SCPB = 1/3 sABCVậy SAMC + SBAN +SCPB = SABC

Về mặt lí thuyết thì chúng có thể phủ kín tam giác ABC nh-ng thực tế

chúng để thừa lại phần diện tích HIK nh-ng chúng lại phủ lên các tam giác

PKB, IMC, AHN mỗi tam giác phủ lên hai lần nên thừa ra một lần

Điều đó chứng tỏ

SKHI = SPKB + SMIC + SAHN

Bài toán phụ 2 :

Hai tam giác ABM và AMC có chung chiều cao hạ từ A và BM = MC x

Bài toán phụ số 3 :

Ta đ-a về bài toán tìm hai số biết tổng và tỉ số Tổng diện tích AHB và AHN là : 126 : 3 = 42 (cm2) và tỉ số diện tích giữa tam giác AHB và AHN là

6 x 3 = 18 (cm2) Nh- vậy bài toán phụ 1, 2 và 3 đã đ-ợc giải quyết xong và ta cũng tìm

đ-ợc kết quả cho bài toán Vậy diện tích tam giác HIK là 18 cm2

2.1.1.4 Các bài toán chứng minh có liên quan đến công thức diện tích

Bài toán 7 :

Cho tứ giác ABCD, kẻ đ-ờng chéo BD Điểm I là điểm chính giữa của

BD Nối IA, IC, AC Từ I kẻ đ-ờng thẳng song song với AC cắt cạnh CD tại

N Chứng tỏ rằng : Đoạn thẳng AN chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Quá trình phân tích bài toán đ-ợc tiến hành nh- sau :

Để giải quyết bài toán ta cần chứng tỏ SAND = SABCN

Thật vậy : Vì I là điểm chính giữa của BD, nên SAID = SABI

Do đó : SABCI = SABCD : 2

Ta có : SABCI = SAECB + S AIE

SANCB = SAECB + S ENCVì thế nếu có SAIE = SENC thì bài toán sẽ giải đ-ợc Mà IN song song với

AC nên S IAC = S NAC

Tam giác IAC và tam giác NAC có diện tích bằng nhau, cả hai có chung phần diện tích AEC nên S IAC = S ENC Bài toán đã tìm đ-ợc h-ớng giải quyết

Từ quá trình phân tích nh- trên ta trình bày phần chúng minh ng-ợc lại quá trình trên

Để thực hiện tốt biện pháp này nhằm phát triển các thao tác th- duy cho học sinh thì giáo viên cần đảm bảo các yêu cầu sau :

Yêu cầu 1 : Giải quyết tốt các bài toán trung gian

Trong việc phân tích đi lên học sinh cần suy nghĩ theo h-ớng: “ Muốn tìm cái này thì cần biết gì ? tìm gì ?” Kết quả của câu trả lời cho ta những bài toán trung gian

Chẳng hạn nh- ở bài toán 7, ta cần giải quyết tốt hai bài toán trung gian sau :

1 Cho tứ giác ABCD, nối BD, I là điểm chính giữa của BC Chỉ ra các cặp tam giác có diện tích bằng nhau

2 Cho hình thang AINC, có IN song song với AC Chứng tỏ rằng:

SAEI = SENC

Hay nh- bài toán 6, để tính diên tích HIK ta phải giải quyết d-ợc ba bài toán phụ, ở mỗi bài toán phụ ta lại có những bài toán trung gian khác

Yêu cầu 2 : Tập cho học sinh làm quen với lập luận có căn cứ Quá trình

phân tích thông qua tổng hợp là quá trình tìm hiểu các bài toán con thành phần của nó, giải thích các mối liên hệ giữa các bài toán con , cần thiết cho mọi khâu trong quá trình giải một bài toán

Chẳng hạn trong bài toán 7 Vì I là điểm giữa BD nên diện tích (AID) = diện

Hai tam giác có đ-ờng cao và cạnh đáy t-ơng ứng bằng nhau : tam giác AID và AIB có :

- Chung đ-ờng cao xuất phát từ A

- Các cạnh đáy t-ơng ứng : DI = IB

Do đó : Diện tích (AID) = Diện tích (ABI)

Yêu cầu 3 : Cần có hệ thống hỏi - đáp phù hợp có tính chất gợi mở dẫn dắt

học sinh vào quá trình phân tích có định h-ớng thông qua tổng hợp

ở tiểu học các bài toán hình học phức tạp lại gây trở ngại cho học sinh

Do đó để học sinh khai thác bài toán có hiệu quả cần sự dẫn dắt của giáo viên Sự dẫn dắt đó th-ờng đ-ợc thông qua hệ thống câu hỏi của giáo viên , nhờ đó học sinh có thể tìm đ-ợc h-ớng giải quyết Hệ thống câu hỏi xuất phát từ câu hỏi chính của bài toán đi ng-ợc lên các dữ kiện, mở h-ớng cho học sinh tìm lời giải bài toán Nh- ở bài toán 1 giáo viên sử dụng hệ thống câu hỏi:

- Muốn tính diện tích tam giác AMN cần biết gì ?

- MK có thể gắn đ-ợc vào đ-ờng cao của tam giác nào ?

- Có thể tính đ-ợc diện tích tam giác ACM không ? Sử dụng công thức nào

là hợp lí nhất ?

- Có thể tính đ-ợc CH không ? Dựa vào đâu ? Vì sao ?

2.1.2 Dạng 2 : Tính các yếu tố của hình (cạnh chiều cao , chu vi ….) có sử dụng công thức diện tích

Dạng toán này yêu cầu chúng ta tìm các yếu tố của hình(cạnh, chiều cao chu vi,…)mà khi giải ta sử dụng ph-ơng pháp diện tích Sau đây ta cùng làm một số bài tập để hiểu rõ dạng toán này

Chiều rộng khu v-ờn là:

120 x 2/3 = 80 (m) Chu vi khu v-ờn là:

(80 + 120) x 2 = 400 (m2)

Đáp số : 400 m2

Bài toán 9 :

Cho hình tam giác ABC có BC =36cm Trên AB lấy M sao cho BM =2/3

AB Trên AC lấy N sao cho NC = 2/3 AC Nối M với N Tính độ dài MN biết MNCB là hình thang

Ta không tính đ-ợc độ dài MN bằng cách biến đổi công thức diện tích hình thang Vì thế ta nghĩ đến việc áp dụng các tính chất của diện tích để tính

và sử dụng ph-ơng pháp tỉ số

Nối N với B

Ta có : SMNB= 3/2 x SABN (Vì tam giác MNB và MNA có đáy MB =2/3 x AB

và chung chiều cao hạ từ N )

SANB =1/2.SBNC (Vì tam giác ABN và BNC có đáy AN = 1/2 x NC và chung chiều cao hạ từ B)

Đáp số : 12 Bài toán 10:

Tam giác ABC có cạnh AB =24 cm Cạnh AC=30 cm Một đ-ờng gấp khúc MENDPC chia tam giác ABC thành 6 tam giác có diện tích bằng nhau (đó là các tam giác AME , MEN , END , NDP , DPC, PCB ) Các điểm M,N,P trên cạnh AB ; các điểm E, D trên cạnh AC Tính độ dài các đoạn thẳng AM,

MN = 15 : 2 = 7,5 (cm) Nên AM = AN = 7,5 (cm) Vậy AM = MN = 7,5 cm

NP = 5 cm

PB = 4 cm

AE = 16 cm

ED = 8 cm Với hai bài toán trên ta đã sử dụng tính chất : nếu số đo đ-ờng cao không đổi thì số đo diện tích và số đo cạnh đáy của hai tam giác là hai đại l-ợng tỉ lệ thuận

Bài toán 11 :

Hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 chiều rộng Tính chu vi của hình chữ nhật đó biết rằng diện tích của hình chữ nhật đó là 75 cm2

Ta phân tích bài toán nh- sau :

Để tính chu vi của hình chữ nhật ta cần biết chiều dài và chiều rộng Mà chiều dài gấp 3 lần chiều rộng và diện tích là 75 cm2 Để tìm chiều dài, chiều rộng ta không áp dụng trực tiếp công thức, mà ta chia hình chữ nhật ra làm 3

tích của hình vuông, cạnh hình vuông, chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật

và chu vi của nó

Tiến hành bài giải nh- sau :

Ta chia hình chữ nhật ra làm 3 phần bằng nhau thì mỗi phần sẽ là một hình vuông Và diện tích của một hình vuông là :

(5 + 15) x 2 =40 (cm)

Đáp số : 40 cm Bài toán 12 :

Cho tam giác vuông ở A, cạnh AB dài 28cm, cạnh AC dài 36cm M là một điểm trên AC và cách A là 9cm Từ M kẻ đ-ờng song song với AB ,đ-ờng này cắt cạnh BC tại N Tính đoạn MN

Do MN //AB nên MN vuông góc với AC tại M Để tính MN ta gắn MN vào hình tam giác ANC ( MN là đ-ờng cao của tam giác ANC ) Ta phải tính diện tích của ANC

Ta thấy diện tích tam giác ABC và ANB có thể tính đ-ợc Từ đó ta sẽ tính đ-ợc diên tích của tam giác ANC Đến đây bài toán đã đ-ợc giải quyết

Từ b-ớc phân tích trên ta có lời giải bài toán :

N

C

M

Vì MN // AB nên MN cũng vuông góc với AC tại M và tứ giác MNBA là

hình thang vuông Nối N với A Từ N kẻ NH vuông góc với AB thì NH là

chiều cao của tam giác ANB cũng là chiều cao của hình thang MNBA Nên

504 – 126 = 378 ( cm2)

Độ dài đoạn thẳng MN là :

378 x 2 : 36 = 21 (cm)

Đáp số : 21 cm Bài toán 13 :

Cho tam giác ABC có diện tích 150 cm2 Nếu kéo dài đáy BC (về phía

B) 5cm thì diện tích sẽ tăng thêm 37,5 cm2 Tính đáy BC của tam giác?

Phân tích bài toán :

Để tính đáy BC của tam giác cần biết chiều cao của tam giác đó bởi

diện tích của tam giác đó đã biết Mà chiều cao của tam giác ABC cũng chính

là chiều cao của tam giác ACD Mà chiều cao của tam giác ACD ta tính đ-ợc

Nh- vậy ta có cách giải nh- sau :

Gọi AH là chiều cao của tam giác ABC thì đó cũng chính là chiều cao

của tam giác ACD

Độ dài chiều cao AH là :

150 x 2 : 15 = 20 (cm)

Đáp số : 20 cm

Nhận xét : ở các bài toán này để tính độ dài một đoạn thẳng nào đó ta gắn nó

vào một hình cụ thể và ta phải xác định xem nó là đ-ờng cao hay cạnh đáy …, sau đó ta có thể sử dụng tính chất của diện tích hoặc biến đổi từ công thức diện tích của tam giác tìm cách giải bài toán

ở dạng toán này để học sinh có thể làm đúng, làm nhanh thì giáo viên cần chú ý những điều sau :

* Biết cách biến đổi công thức

Hay nh- ở bài toán 10 để tính các cạnh ta gắn các cạnh cần tìm vào các tam giác, sau đó sử dụng tỉ số diện tích (tỉ số cạnh) để tính cạnh cần tìm