Cac van de trong tam ve Ham so

Lập bảng biến thiên (có các nghiệm của phương trình trên và các điểm hàm số không xác định) B4.. Từ bảng biến thiên suy ra kết luận theo mục 3.[r]

 VẤN ĐỀ I TÍNH Đ Ơ N ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Nắm được định nghĩa của tính đơn điệu của hàm số.

2 Điều kiện cần:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f(x) 0, x I

b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f(x) 0, x I

3 Điều kiện đủ:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f(x) 0, x I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I

b) Nếu f(x) 0, x I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I

c) Nếu f(x) = 0, x I thì f không đổi trên I

Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.

 D ạng 1 Quy t ắc tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:

B1 Tìm tập xác định

B2 Tính f ' x( ) và giải phương trình f ' x( )=0

B3 Lập bảng biến thiên (cĩ các nghiệm của phương trình trên và các điểm hàm số khơng xác định) B4 Từ bảng biến thiên suy ra kết luận theo mục 3

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1 Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a) y = x3 – 3x2 + 2; b) y = -x4 + 4x2 – 3; c) 1

2

x y x





 ; d) yx4  8x2  5

e) y (4- x)(x -1)2 ; f) yx 2sinx 0x2; g) y = x – ex ; h) y x3  2x2  x 2

i) y = x + 1

x j) y = x -

1

x; k) y = 2x - x2 ; m) y = x 1 - x2

 Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến

trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)

* Cho hàm số y = f (x, m) , m là tham số, có tập xác định D

Hàm số f đồng biến trên D  y' 0, x D;

Hàm số f nghịch biến trên D  y'  0, x D

(y' = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm)

Từ đó suy ra điều kiện của m.

 Nếu y' là tam thức bậc 2:

o Xét TH a = 0;

o TH a khác 0: * y' 0, x D 











 0 0

a

* y'  0, x D 











 0

0

a

Bài 2 Cho hàm số 1 3 2 2  2 2 2  5

3

m

y  x   m x   m x

a Định m để hàm số luôn luôn đồng biến; b Định m để hàm số luôn luôn nghịch biến

Bài 3 a) Tìm m để hàm số

m x

mx y





đồng biến trên từng khoảng xác định

b) Tìm m để hàm số

m x

m x y





 đồng biến trên từng khoảng xác định

c) Tìm m để hàm số ( 1) ( 1) 1

3

2 3











y đồng biến trên khoảng ( 1; )

B

ài 4 Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc

tập xác định) của nó:

a 3 5 13





x x

2

1 2







x

x

y ; c y 3x sin(3x1)

B

ài 5 Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định (hoặc

tập xác định) của nó:

a) y = -5x + cot(x -1); b) y = cos x - x; c) y = sin x - cos x - 2 2 x; d)y = -x + x2  8

 Dạng 3 Dùng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức

Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:

· Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <,  ) Xét hàm số y = f(x) trên tập xác định do đề bài chỉ định.

· Xét dấu f' (x) Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến.

* Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để đi đến kết luận:

- Nếu f(x) đồng biến trên (a; b) thì với x  ( b a; ) ta cĩ a < x < b nên f(a) < f(x) < f(b)

- Nếu f(x) nghịch biến trên (a; b) thì với x  ( b a; ) ta cĩ f(a) > f(x) > f(b)

Bài 6 Chứng minh rằng:

a sinxtanx2x với )

2

; 0 ( 



x ; b x x sinx

6

3



 với x > 0 ; c log23log34

2 ( ,

2 ( ,

6 sinxx x3 x   HD: c Xét hàm số logx(x1) với x > 1

================================================

1 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x 0 :

Nếu hàm số f (x) đạt cực trị tại x0 và cĩ đạo hàm tại xthì f'(x0) 0

2 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị tại x 0 :

ĐL1: Giả sử hàm số f (x)cĩ đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa x Khi đĩ:0

- Nếu f ' x( )đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x thì hs 0 f (x)đạt cực tiểu tại x0

- Nếu f ' x( )đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x thì hs 0 f (x)đạt cực đại tại x0

ĐL2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 , f(x0 ) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0

a) Nếu f(x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0

b) Nếu f(x0 ) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0

 D ạng 1 Tìm cực trị của hàm số

- Theo định lý 1: Tính y', lập bảng biến thiên rồi suy ra kết quả

- Theo định lý 2: Tính y' và y'' Tính y'' tại các nghiệm của y' rồi suy ra kết quả

Bài 1 Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y 3x2  2x3; b) 3 2 2 2 1







3







3

2

2

4





x x





2

3 2

2 4







 x x

y ; g) y(x 2)3(x1)4; h) 2

x







3

1 3 2







y

 D ạng 2 Tìm điều kiện để hàm số cĩ cực trị, khơng cĩ cực trị

1 Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f' ( x0) = 0 hoặc tại x0 không có đạo hàm.

2 Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f' (x) đổi dấu khi x đi qua x0 .

* Hàm số bậc 3 cĩ cực trị  y' = 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt

* Tính y cực trị bẳng cách thay x cực trị vào y hoặc vào phần dư trong phép chia y:y'

* Chú ý sử dụng định lý Vi-et

Bài 2 Chứng minh rằng các hàm số sau luơn cĩ cực đại và cực tiểu với mọi giá trị của tham số m:

a) yx3  3mx2 3(m2 1)x m3; b) 2 3 3(2 1) 2 6 ( 1) 1











y

Bài 3 Tìm m để hàm số cĩ cực đại và cực tiểu:

a) ( 2) 3 3 2 5























y

Bài 4 Tìm m để hàm số:

a) 3 3 2 ( 2 1) 2









y đạt cực tiểu tại x =2;0

b) -mx4 2(m-2)x2 m-5







c)

x mx

y   m x m có 1 cực trị; có 3 cực trị.

Bài 5 Tìm m để mỗi hàm số sau khơng cĩ cực trị:

a) y x 3 - 3x 2 3mx3m4; b) y mx 3 3mx 2 - (m - 1)x - 1





Bài 6 Định a, b để hàm số yx  ax2 b

4

2 đạt cực trị bằng -2 tại x = 1

Bài 7 Định a, b, c, d để hàm số:

a) y ax 3 bx 2 cxd đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và cực đại bằng 4/27 tại x = 1/3;

b) y ax 4 bx 2 đạt cực trị bằng -9 tại x = 3

Bài 8 Định m để hàm số ( 1) 1

3











Bài 9 Biện luận theo m số cực trị của hàm số: 4 2 2 2 1









y

Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì min[ b] f(x)f(a) vàmax[ b] f(x)f(b)

Nếu hàm số f nghịch biến trên [a; b] thì max[ b] f(x)f(a) và min[ b] f(x)f(b)

Tìm GTNN và GTLN trên một khoảng: Tính y', lập bảng biến thiên và suy ra kết quả

Tìm GTNN và GTLN trên một đoạn [a; b]:

- Giải y' = 0 tìm các nghiệm x1, x2,

- Tính các giá trị f(x1), f(x2), và tính f(a), f(b)

- So sánh các giá trị vừa tính và suy ra kết quả

Bài 1 Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

a) y  4x 3 - 3x 4; b) y  2x 3  3x 2 - 12x  1 trên [-1; 5]; c) yx4  2x2  5 trên [-3;2];

d)

3

1

3







x

x

y trên [0; 2]; e) y 3x x3 trên [-2; 3]; f) y x4  8x2  2 trên [-4; 3]

Bài 2 Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

a) y x 2 x - 2



x x

100 x

y  trên [-6; 8];

d)

1 sin sin

1 sin





x x

x

y e) y = x2.ex trên [-3;2]; f) y x x2 trên [0;2/3];

g) y x 2  4  x; h) 2 sin 2 cos 1





3

4 sin

 trên [0;]

m) y 2 cos 2x 4 sinx trên [ 0 ; / 2 ]; n) 1 3 2 6 9











p) y cos 2x 2 sinx 3; q) y  21  4x x2 ; r) yx 4  x2

1

1

x

x

y





 ; t) y (x 1 ) 4  x2 ; u) y ( 3  x) x2  1 trên [0; 2]

Bài 3 Tìm các giá trị của m để phương trình m x2  1  x 1 cĩ nghiệm trên đoạn [-1; 2]

Bài 4 Tìm các giá trị của m để phương trình 3 3 2 0





 x m

x cĩ 3 nghiệm phân biệt

Cho hàm số y = f(x)

1 Nếu lim f ( x )  

a

x thì đường thẳng x = x 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

2 Nếu x +lim f(x) = y0

  hoặc xlim f(x) = y0

   thì đường thẳng y = y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Bài tập Tìm các tiệm cận của các đồ thị hàm số sau:

a)

1

5 2







x

x

y ; b)

2

3









x

x

y ; c)

x

x y

5

3 

 ; d) y = 2 3

x + 1

 

e) Tìm m để tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đthị HS

1 2

2







x

mx

y cắt nhau tại điểm )

2

;

2

1

(

M

 VẤN ĐỀ V KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

 Tìm tập xác định

 Sự biến thiên:

o Xét chiều biến thiên:

 Tính đạo hàm y';

 Tìm các điểm tại đó y' = 0 hoặc không xác định

 Xét dấu đạo hàm y' và suy ra chiều biến thiên của hàm số

o Tìm các cực trị của hàm số

o Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

o Lập bảng biến thiên (ghi tất cả các kết quả vừa tìm vào)

 Vẽ đồ thị:

o Dựa vào bảng biến thiên để xác định dạng đồ thị

o Tính thêm tọa độ một số điểm: đặc biệt là giao điểm của đồ thị với các trục Ox, Oy

o Nên lưu ý tính chẵn lẻ, tính đối xứng của đồ thị

* Khảo sát hàm đa thức bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d ( a  0)

Gọi U là điểm có hoành độ x nghiệm của phương trình y'' = 0 thì đồ thị nhận U làm tâm đối xứng (và U là điểm giới hạn giữa 2 phần lồi-lõm của đồ thị)

Phương trình y' = 0 có 2 nghiệm

phân biệt

(hàm số có 1 cực đại và một

cực tiểu)

Phương trình y' = 0 có nghiệm kép

hoặc vô nghiệm

(hàm số không có cực trị)

Đồ thị luôn cắt Ox tại 1 điểm

* Khảo sát hàm đa thức bậc 4 trùng phương : y = ax4 + bx2 + c ( a  0)

Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng

Phương trình y' = 0 có 3 nghiệm

phân biệt

(hàm số có 3 cực trị)

Phương trình y' = 0 có 1 nghiệm

duy nhất

(hàm số có 1 cực trị)

* Khảo sát hàm nhất biến

d cx

b ax y





 (ad  bc, ac 0)

Đồ thị hàm số nhận I (giao điểm của 2 đường tiệm cận) làm tâm đối xứng.

y' > 0, x  D (ad - bc > 0)

(hàm số đồng biến trên từng

khoảng xác định)

y' < 0, x  D (ad - bc < 0)

(hàm số nghịch biến trên từng

khoảng xác định)

HD: a) Trước tiên ta vẽ đồ thị của hàm số 3 3 2





y Từ đồ thị đó ta giữ lại phần đồ thị ứng với x > 0 (phần 1), còn phần đồ thị ứng với x < 0 thì lấy đối xứng với phần 1 qua trục tung

b) Gồm phần phía trên Ox của đồ thị hàm số y x3  3x2  2 và phần đối xứng của phần dưới trục Ox qua trục Ox

I

I

c) Tương tự câu b)

 VẤN ĐỀ VI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

 DẠNG I PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ:

Bài 1 Viết phương trình tiếp tuyến của các đồ thị hàm số sau tại các điểm được chỉ ra:

)

Bài 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

3 2

11 5







x

x

y tại điểm có hoành độ bẳng 2 Tính diện tích của tam giác tạo ra do tiếp tuyến đó chắn hai trục tọa độ

Bài 3 Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số

1

2







x

m x

y tại điểm có hoành độ bằng 2 chắn 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng ½

Bài 4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến có hệ số góc k:

a) ( ): 2 3 2 2 5; 12







y

2

1 2 : )





x

x y C

Bài 5 Viết phương trình tiêp tuyến của đồ thị hàm số 2 3 1

3

2 3







a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y 3 x 2

b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 2010

8 



 x y

Bài 6 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 3 1

3







Bài 7 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

2

1







x

x

y đi qua điểm M(0; -1)

* Chú ý: Điều kiện để 2 đường tiếp xúc nhau:

 DẠNG II SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

Bài 8.

Bài 9.

 DẠNG III BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

Bài 2 Cho hàm số

1

2







x

x y

 Chú ý: Số giao điểm của đồ thị hàm số bậc 3 với trục hoành:

 1 giao điểm: f (x) không có cực trị hoặc có 2 cực trị cùng dấu (yCĐ.yCT > 0)

 2 giao điểm: f (x)có 2 cực trị và yCĐ.yCT = 0 (tiếp xúc với trục hoành tại 1 điểm cực trị)

 3 giao điểm: f (x) có 2 cực trị trái dấu (yCĐ.yCT < 0)

Bài 2.

Bài 3.

Bài 10.

Bài 11.

Bài 12.

Bài 13.

Bài 14.

o Số nghiệm của phương trình f(x) = 0 chính là số giao điểm của ĐTHS f(x) với trục hoành

Đáp số:

VĐ I BT2/ a)Không có m thỏa; b)2m3

BT3/ a)m<-2 hoặc m>2; b)m<0; c)m2

VĐ II BT1/ a)CT(0;0),CĐ(1;1); b)không có cực trị; c)CT(3;-18),CĐ(5;-50/3);

d)CT( 1;5/2),CĐ(0;3); e)CT(0;-5); f)CT(0; 3/2),CĐ(1;2); g)CT(5/7;y);CĐ(-1;0); h)CT( 2;-2),CĐ( 2 ;2); k)CĐ(0;3)

m)không có cực trị

BT3/ a)-3<m<1,m-2; b)m<1/2 hoặc m>1;

BT4/ a)m=1; b)m=8/3; c)m3/4;m<-3/4

BT5/ a)m1; b)0m1/4

BT6/ a=1, b= -3/2

BT7/ a)a= -8,b=4,c=d=0; b)a=1,b= -6

BT8/ không có m thỏa.

VĐ III BT1/ a) max(x=1;y=1), không min;b)max(5;266),min(1;-6); c)max(-3;68),min(1;4),

d)max(0;1/3),min(2;-5); e)max(-2và1;2),min(3;-18); f)max(0;2),min(-4;-382)

BT2/ a)min(-2và1;0); b)min(1;2); c)min(8;6),max(0;10);

d)min(  /2k2 ;0),max(k ;1); e)min(0;0),max(2;4e2) f)min(0;0),max(1/2;1/2); g)min(-2&4; 6 ),max(1;2 3);

h)min(t=1;0),max(t=1/4;21/8) k)min(t=0;0),max(t 2 / 2 ; 2 2 / 3) m) n)

BT3/

BT4/

BT2/

BT3/

BT6/

BT7/

BT9/ a) b)

BT14/ b)

Bài 15.

Bài 16.

Bài 17.

BT15/ a) b) c) d) e) f)