Luen tap ve ham so lien tuc

Víi mçi hµm sè, h·y x¸c định các khoảng trên đó hµm sè liªn tôc... Vậy phơng trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng..[r]

TT GDTX- HN Thanh S¬n

1) Hàm số liên tục tại một điểm

Hàm số f(x) xác định trên khoảng K

) x ( f )

x ( f

x



f(x) liên tục tại x 0  K 

2) Hàm số liên tục trên một khoảng

*) Định nghĩa:

- Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) đ ợc gọi là liên tục trên khoảng đó, nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng ấy

*) Định lý 1:

Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số l ợng giác liên tục trên tập xác

định của chúng

*) Định lý 2:

Tổng, hiệu, tích, th ơng ( với mẫu khác 0) của những hàm số liên tục tại một

điểm là liên tục tại điểm đó

3) Chøng minh ph ¬ng tr×nh f(x) = 0 cã nghiÖm

*) §Þnh lý:

f(x) liªn tôc trªn [a ;b]

f(a).f(b) < 0   c  (a; b): f(c) = 0

Ph ¬ng tr×nh f(x) = 0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc kho¶ng (a; b)

Bµi tËp hµm sè liªn tôc

f(x) liªn tôc t¹i mét ®iÓm

f(x) liªn tôc trªn mét kho¶ng

f(x) = 0

cã nghiÖm

Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0

*)Ph ơng pháp:

 Xỏc định TXĐ D, kiểm tra x Xỏc định TXĐ D, kiểm tra x0 thuộc D.

 Tớnh Tớnh f(x0) và

 So sỏnh f(x0) và R ồi đi đến kết luận

0

lim ( )

x x f x



0

lim ( )



Bài 1 (SGK-140) Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số

3

0

Bài giải Tập xác định của hàm số là R, x0   3 R

3

3 3

lim( 2 1)







Vậy hàm số f x ( )  x3  2 x  1 liên tục tại x0  3

*)Bài 2 (141):

Cho hàm số: g(x) =

3 8

2

x x



 nếu x  2

a, Xét tính liên tục của hàm số g(x) tại điểm x0 = 2

Bài giải: TXĐ: R

g (2) Kết luận:Hàm số đã cho không liên tục tại điểm x0= 2

2

ớ lim ( )

x

3 2

8 lim

2

x

x x





2

lim 2 4

= 5

= 12

=>

2

lim ( ) (2)

x g x g

=

*)Ph ơng pháp:

Tiết 92 : Luyện tập về hàm số liên tục

b, Trong biểu thức trên cần thay số 5 bởi số nào để hàm số liên tục tại x0 = 2

b, hàm số liên tục tại 0

2

x



=> g(2) = 12 => Thay số 5 bằng số 12 thì g(x) liên tục tại x 0 2

 Xỏc định TXĐ D, kiểm tra xXỏc định TXĐ D, kiểm tra x0 thuộc D.

 Tớnh Tớnh f(x 0 ) và

So sỏnh f(x 0 ) và Rồi đi đến kết luận

0

lim ( )

x x f x



0

lim ( )



Vấn đề 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng

*)Ph ơng pháp:

áp dụng định lý 1, 2: các hàm số đa thức, hàm số hữu tỷ,

hàm số l ợng giác, liên tục trên tập xác định của chúng

Cho hàm số

2

1 ( )

6

x

f x





 

Với mỗi hàm số, hãy xác

định các khoảng trên đó

hàm số liên tục

có tập xác định là:

=> hàm số f(x) liên tục trên các khoảng

Bài 4 (SGK-141)

Vấn đề 3 Chứng minh ph ơng trình f(x) = 0 có nghiệm

f(x) liên tục trên [a ;b]

f(a).f(b) < 0   c  (a; b): f(c) = 0

Ph ơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b)

Ví dụ áp dụng

Cho ph ơng trình: x3 - 3 x + 1 = 0

Bài giải:

Chứng minh rằng ph ơng trình có nghiệm  ( 1; 2 )

Hàm số f(x) liên tục trên R  hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1 ;2]

f(1) =

f(2) = 3  f(1).f(2) = - 3 < 0

  x0  ( 1; 2) : f(x0) = 0

Kết luận: ph ơng trình có nghiệm  ( 1; 2 )

-1 f(x)= x3 - 3 x + 1

Tiết 92 : Luyện tập về hàm số liên tục

Bài 6b, (SGK-141)

Vấn đề 3 Chứng minh ph ơng trình f(x) = 0 có nghiệm

Sử dụng định lý 3

f(x) liên tục trên [a ;b]

f(a).f(b) < 0   c  (a; b): f(c) = 0

Ph ơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b)

Chứng minh rằng ph ơng trình cosx=x có nghiệm

Giải: Ta có: cosx = x <=> cosx – x = 0 Đặt f(x) = cosx – x Khi đó

( ) cos 0

2 2 2 2

( ) cos( ) 0

2 2 2 2





 =>

2 2

Vậy ph ơng trình có nghiệm  ( ; )

2 2

 



Hàm số f(x) xác định trên R nên nó liên tục tại đoạn ;

2 2

 



Bài 6a (SGK-141)

Tiết 92 : Luyện tập về hàm số liên tục

Chứng minh rằng ph ơng trình

Giải:

3

2 x  6 x   1 0 Có ít nhất hai nghiệm

Đặt f(x) = 2 x3  6 x   1 0

 0;1 

Hàm số f(x) xác định trên R nên nó liên tục tại đoạn   2;0  và

f(-2) = -9 < 0

f(0) = 1 < 0





  f ( 2) (0) 0  f      x0  2;0 : ( ) 0  f x0 

Ph ơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-2; 0)

f(0)

f(1) -3 < 0  f (0) (1) 0 f     x0  0;1 : ( ) 0  f x0 

Ph ơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1)

1 < 0

=







Xét đoạn:   2;0

Xét đoạn:  0;1 

=

Vậy ph ơng trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng   2;1

§3 hµm sè liªn tôc

XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè t¹i mét ®iÓm XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè trªn mét kho¶ng Chøng minh ph ¬ng tr×nh cã nghiÖm trªn kho¶ng

Bµi tËp vÒ nhµ:

Bµi sè: 3, 5, 6(SGK-Trang 141)

Bµi sè: 6, 7, 8 (SBT -Trang 118)

Cho các hàm số f(x) ch a xác định tại x = 0

Có thể gán cho f(0) giá trị bằng bao nhiêu để hàm số f(x) trở thành liên tục tại

x = 0 ?

b) Ta có:

Vậy không thể gán cho f(0) bất cứ giá trị nào để f(x) liên tục tại x = 0

Bài giải:

-2 Vậy: có thể gán f(0 ) = - 2 thì hàm số f(x) liên tục tại x = 0

x

x 2

x )

x ( f ) a

2



2

x

x 2

x )

x ( f )

a) Ta có:

Bài toán:



 f(x)

lim

0

) 2 x

(

x lim

0 x





x 2

x lim

2

0 x





 (x 2)

lim

0 x



 f(x)

lim

0

2

0

x 2

x

) 2 x

(

x

2

x lim

0

Bài số 3 ( tr137 ): Cho f(x) =

Để f(x) liên tục tại x = 2 cần có 3 = 4a 

ax2 nếu x  2

3 nếu x > 2

( a là hằng số )

Tìm a để hàm số f(x) là liên tục với mọi x; Khi đó hãy vẽ đồ thị hàm số y = f(x)

Khi x < 2: f(x) = ax2 nên hàm số liên tục

Khi x > 2: f(x) = 3 nên hàm số liên tục

Khi x = 2:

Bài giải:

f

2 x 2









f

Lim

2 x 2









4

3

a 

Vậy

4

3

a  thì f(x) liên tục với mọi x

Khi đó f( x) =

nếu x  2

2

x 4

3

nếu x > 2

3 Tiết 92 : Luyện tập về hàm số liên tục

f( x) =

nếu x  2

2

x 4

3

nếu x > 2

3

Vẽ đồ thị hàm số

3

3/4

2 1

-1

y

O