01 cac van de trong tam ve ham bac ba p1 BG(2016)

Tìm điểm C sao cho ABC∆ đều... Tìm m để đồ thị C m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ âm... Tìm m để C giao d tại 3 điểm phân biệt, trong đó có đúng hai điểm có hoành độ

Các vấn đề trọng tâm về hàm số bậc ba – P1

Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Ví dụ 1 [Video]: Cho hàm số: y= −x3 3x2 + +m 3 ( )C và đường thẳng d y: =mx+1

b) Tìm m để d cắt ( )C tại 3 điểm phân biệt , ,A B C thỏa mãn OA2+OB2+OC2 =31

c) Tìm msao cho tiếp tuyến của ( )C đi qua điểm (2; 1− ) vuông góc với đường thẳng x+9y− =3 0

Ví dụ 2 [Video]: Cho hàm số: y= +x3 3x2+1 ( )C

a) Gọi ,A B là 2 điểm cực trị của ( )C Tìm điểm C sao cho ABC∆ đều

2 10

c) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm x0 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

3x+ − =y 5 0

d) Tìm m để phương trình x3+3x2−m2−3m=0 có 3 nghiệm phân biệt

Ví dụ 3 [Tham khảo]: Cho hàm số 3 2 ( )

y= +x mx + C và đường thẳng d y: =3(mx+1)

không đổi

c) Tìm m biết rằng tiếp tuyến của ( )C tại điểm có hoành độ x=1 đi qua điểm E(2; 3− )

2

3 2 log 2 1

x + x + = k+ theo giá trị của tham số k

Lời giải:

' 3 6 0

2

x

=



= + = ⇔

= −



Để hàm số có 2 điểm cực trị ⇔ ≠m 0 Khi đó 2 điểm cực trị ( ) ( 3)

0; 2 ; 2 ; 2 4

Lại có: 2 2 6 2 ( )

MN = m + m = ⇔m = ⇔ = ±m t m

( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ( ) )

2

1 1;3 3

3 1 1 0



⇔ − + + + − = ⇔

= + + + =

Để d cắt ( )C tại 3 điểm phân biệt ⇔g x( )=0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1

( )

2

9 6 3 0

1 3 3 0

∆ = + − >



⇔

= + ≠



Khi đó gọi B x( 1; 3− mx1+1 ;) (C x2; 3− mx2+1) ta có: 1 2

1 2

1

x x

+ = − −





=



Theo giả thiết ta có: 2 2 2 2 ( )2 2 ( )

1

2 9 6 1 14 5 /

m

m

=





= −



Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG FB: LyHung95

(3 6 )( 1) 3 3 ( )1

Do tiếp tuyến đi qua điểm E(2; 3− ) nên − = +3 (3 6m)+3m+ ⇔ = −3 m 1

y= +x x + có dạng như hình vẽ

Số nghiệm của PT đã cho phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị 3 2 ( )

y= +x x + và đường thẳng

( )

1: log2 2 1

d y= k+ Dựa vào đồ thị trên ta có:

+) Với ( )

( )

2

2

63 log 2 1 6 2

3 log 2 1 2

2

k k

k

k



>



+ >



⇔



+ <

thì PT đã cho có 1 nghiệm duy nhất

+) Với ( )

( )

2

2

63 log 2 1 6 2

3 log 2 1 2

2

k k

k

k



=



+ =



⇔



+ =

thì PT đã cho có 2 nghiệm

+) Với 2( )

3 63

2 log 2 1 6

2 2

< + < ⇔ < < thì PT đã cho có 3 nghiệm phân biệt

Ví dụ 4 [Tham khảo]: Cho hàm số: 3 ( )

y= − + +x x m C và đường thẳng d y: =(m−1)x

a) Tìm m để hàm số( )C có 2 điểm cực trị tại M và N sao cho OM ON



.


=4

b) Tìm m để d cắt ( )C tại 3 điểm phân biệt có tung độ thoã mãn y12+y22+y32 =8

c) Tìm m biết tiếp tuyến tại giao điểm của ( )C với trục Oy đi qua điểm E( )0; 2

Lời giải:

1

x

x

=



= − = ⇔

= −



Khi đó 2 điểm cực trị M(1;m−1 ;) (N −1;m+3)

Lại có: 1 ( 1)( 3) 4 2

4

m

m

=



= − + − + = ⇔

= −








x − + + =x m m− x

2

1 1; 1

1 0



⇔ − + − − = ⇔ − + − − = ⇔

= + − − =

Để d cắt ( )C tại 3 điểm phân biệt ⇔g x( )=0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1

( )

5 4 0

1 1 0

m

∆ = + >



⇔

= − ≠



Khi đó gọi B x( 1;(m−1)x1);C x( 2;(m−1)x2) ta có: 1 2

1 2

1 1

+ = −





= − −



Theo giả thiết ta có: ( ) (2 )2( 2 2) ( ) (2 ) ( )

1 2

2

1

m

m

=



= −

c) Ta có: x=0⇒ y= +m 1 PT tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x=0 là: y= − + +3x m 1 ( )d1

Do tiếp tuyến đi qua điểm E( )0; 2 nên 2= + ⇔ =m 1 m 1

d) Ta có: PT ⇔x3− + = −3x 1 m

Số nghiệm của PT đã cho phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị 3 ( )

3 1 1

y= − +x x và đường thẳng

1:

d −m Dựa vào đồ thị trên ta có:

+) Với 1 1

− > < −

⇔

− < −  >

  thì PT đã cho có 1 nghiệm duy nhất

+) Với 1 1

⇔

− = −  = −

  thì PT đã cho có 2 nghiệm

+) Với 3− < − < ⇔ > > −m 1 3 m 1 thì PT đã cho có 3 nghiệm phân biệt

Ví dụ 5 [Tham khảo]: Cho hàm số: 3 ( )

3 2

y= − +x x C và đường thẳng d y: =k x( −1)

a) Tìm điểm E thuộc trục tung biết rằng E tạo với 2 điểm cực trị một tam giác có diện tích bằng 1

b) Tìm k để d cắt ( )C tại 3 điểm phân biệt A( )1; 0 ; ;B C sao cho diện tích tam giác OBC bằng

Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG FB: LyHung95

x − x=m + m có 2 nghiệm phân biệt

Lời giải:

' 3 3 0

1

x

x

=



= − = ⇔ = −

Khi đó 2 điểm cực trị M( ) (1; 0 ;N −1; 4)⇒MN: 2x+ − =y 2 0 Gọi E( )0;t ∈Oy ta có:

Lại có: 1 ( ) 1 2 1 ( ) ( )

3

MNE

t t

t

=

=

x − + =x k x−

( ) ( 2 ) ( ) ( )

2

1 1; 0

2 0

= ⇒



⇔ − + − − = ⇔

= + − − =

Để d cắt ( )C tại 3 điểm phân biệt ⇔g x( )=0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1

( )

9 4 0

k

∆ = + >



⇔

= − ≠



Khi đó gọi B x k x( 1; ( 1−1 ;) ) C x k x( 2; ( 2−1) ) ta có: 1 2

1 2

1 2

+ = −





= − −

 Trong đó: BC y: =k x( −1)

Khi đó: ( 2 ) ( )2 ( 2 ) ( )

1 2

Theo giả thiết: ( ) ( 2 ) ( )

2

OBC

k

k

+

2

4 9

100 4 / 4

+

c) Ta có: y''( )x0 =6x0 =12⇔x0 =2⇒y0 =4

Do tiếp tuyến đi qua điểm tại điểm ( )2; 4 là : y=9(x− +2) 4 hay y= − −9x 14

d) Ta có: PT ⇔x3− + =3x 2 m2 +4m+2

Số nghiệm của PT đã cho phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị 3 ( )

3 2

y= − +x x C và đường thẳng

2

1: 4 2

d m + m+ Dựa vào đồ thị trên ta có phương trình có 2 nghiệm

2

2

4 2 4 2 6

4 2 0 2 2



 + + = = − ±

+ + =  = − ±

  là các giá trị cần tìm

Ví dụ 6 [Tham khảo]: Cho hàm số y=4x3−6mx2+1 và đường thẳng d y: = − +x 1 Tìm m để đồ thị cắt

đường thẳng tại ba điểm phân biệt A, B, C với A(0; 1) và thỏa mãn

a) OB OC


.


= −4

b) Độ dài BC ngắn nhất ?

Ví dụ 7 [Tham khảo]: Cho hàm số y =x3−(2m−3)x2 + −(2 m x) +m có đồ thị là (C m)

Tìm m để đồ thị (C m) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ âm

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

2

1

= −



− − + − + = ⇔ + − − + = ⇔

− − + =



x

Theo bài ta có điều kiện

0

3 1 0 3 2

>

< <

⇔



  < <



m S

P

m m

∆

Ví dụ 8 [Tham khảo]: Cho hàm số 3 2

2 3 ( 1) 1

y= x − mx + m− x+ Tìmmđể đường thẳng y=2x+1 cắt

đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt A, B, C thỏa mãn điểm C(0; 1) nằm giữa A và B đồng thời

30

Lời giải:

Hoành độ giao điểm của (d) và đồ thị (C m) của hàm số:y=2x3−3mx2+(m−1)x+1 là nghiệm phương

trình 2x3−3mx2+(m−1)x+ =1 2x+1 2

2

= ⇒ =



⇔ − + − = ⇔

− + − =



Đường thẳng (d) cắt đồ thị (C m ) tại 3 điểm A; C; B phân biệt và C nằm giữa A và B khi và chỉ khi PT (*)

có 2 nghiệm trái dấu, tức là 2.(m− < ⇔ <3) 0 m 3

Khi đó tọa độ A và B thỏa mãn

3 2 3

2

m

m

x x



+ =





−



và 2 1

= +





= +

 ( vì A và B thuộc (d))

Ta có AB= 30⇔ (x B −x A)2+(y B −y A)2 = 30

2

−

⇔ B − A = ⇔ B + A − B A = ⇔ − =

0

9

m

m

=





⇔ − = ⇔

=

 Đối chiếu với đk ta được 0; 8

9

m= m= là các giá trị cần tìm

Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG FB: LyHung95

Ví dụ 9 [Tham khảo]: Cho hàm số 3 ( ) 2 ( )

y= −x m+ x + m+ x− , có đồ thị là ( )C Tìm m để ( )C giao Ox tại 3 điểm phân biệt

Lời giải :

Phương trình hoành đọ giao điểm

2

3

1 0

x

=



= − + =

Để ( )C giao Ox tại 3 điểm phân biệt thì phương trình g x( )=0 có 2 nghiệm phân biệt khác 3

( )

10

3 0 10 3 0

3

m

> < −



∆ >

  − >

Vậy ( ) 10 10

; 2 2; ;

3 3

∈ −∞ − ∪ ∪ +∞

Ví dụ 10 [Tham khảo]: Cho hàm số 3 2 ( )

y= x − x − m− x+ m− , có đồ thị là ( )C và đường thẳng d y: = −x 4 Tìm m để ( )C giao d tại 3 điểm phân biệt, trong đó có đúng hai điểm có hoành độ

dương

Lời giải :

Phương trình hoành độ giao điểm

( )

2

2

2 5 2 2 1 6 1 4 2 5 4 1 6 3 0

3 2

2 1 0

x



=



⇔ − − − − = ⇔ 

= − − − =



Ta có 3 0

2

x= > nên để ( )C giao d tại 3 điểm phân biệt, trong đó có đúng hai điểm có hoành độ dương

thì phương trình g x( )=0 có 2 nghiệm trái dấu khác 3

2 1

2

8

m



<

 − − <  > −

 

Vậy 1; 1 1;

2 8 8

∈ − − ∪ − +∞ 

Ví dụ 11 [Tham khảo]: Cho hàm số 3

2 6 7

y= x − x− , có đồ thị là ( )C và đường thẳng d y: =2m−5 Tìm m để ( )C giao d tại 2 điểm phân biệt

Lời giải :

Phương trình hoành độ giao điểm : 3 ( ) 3

2x −6x− =7 2m− ⇔5 g x =2x −6x−2m− =2 0

Ta có ( ) 2 ( ) 1 2 6

' 6 6; ' 0

1 2 2

= ⇒ = − −



= − ⇒ = −

Để ( )C giao d tại 2 điểm phân biệt thì hàm số y =g x( ) phải có cực trị và y CD.y CT =0

( 2 6 2)( 2 ) 0 3

1

m

m

= −



⇔ − − − = ⇔

=

Vậym=1 hoặc m= −3

Ví dụ 12 [Tham khảo]: Cho hàm số: ( ) ( 2 ) ( )

y= −x x +mx+ C

b) Tìm m để đồ thị ( )C cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x x x thoã mãn 1; 2; 3 2 2 2

1 2 3 10

x + +x x =

Lời giải:

x− x +mx+ =

1

1

1 0

x

=



⇔

= + + =



Đồ thị ( )C cắt trục Ox tại 1 điểm duy nhất ⇔( )1 có nghiệm duy nhất là x=1

TH1: PT g x: ( )=0 vô nghiệm ⇔ ∆g x( ) =m2− < ⇔ − < <4 0 2 m 2

TH2: PT g x: ( )=0 có nghiệm kép ( )

( )

2

2 0

1 0

m g

∆ =



+ =

Kết luận: Vậy 2− ≤ <m 2 là giá trị cần tìm

x− x +mx+ =

3

2

1

1

1 0

x

=



⇔

= + + =



Đồ thị ( )C cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔( )1 có 3 nghiệm phân biệt ⇔g x( )=0 có 2 nghiệm phân

biệt và 2 nghiệm đó khác 1

( )

∆ = − >  >





Khi đó cho x3 =1 và x x là nghiệm của PT 1; 2 g x( )=0 Theo định lý Viet ta có: 1 2

1 2 1

x x

+ = −





=

Theo đề bài ta có: 2 2 2 ( )2 2 2 ( )

x + +x x = ⇔ x +x − x x = ⇔m − = ⇔m = ⇔ = ±m tm

Vậy m= ± 11 là giá trị cần tìm

Ví dụ 13 [Tham khảo]: Cho hàm số: ( ) ( 2 ) ( )

2 2 2 1

y= −x x + mx− −m C

b) Tìm m đề đồ thị ( )C cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x x x thoã mãn : 1; 2; 3

2 2 2

1 2 3 1 2 3 8

A=x + + +x x x x x =

Lời giải:

2 2 2 1 0

x− x + mx− − =m

2

1

2 2 1 0

x

=



⇔

= + − − =



Để đồ thị ( )C cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt ⇔( )1 có 2 nghiệm phân biệt

TH1: g x( )=0 có 1 nghiệm duy nhất và nghiệm đó khác 2 ( )

2

' 2 1 0

2 0

vn g



⇔

≠

TH2: g x( )=0 có 2 nghiệm phân biệt và 1 trong 2 nghiệm bằng 2 ( )

( )

2

' 2 1 0

2 8 4 1 0

∆ = + + >



⇔

= + − − =



7

3

⇔ = là giá trị cần tìm

b) Để đồ thị ( )C cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔( )1 có 3 nghiệm phân biệt

( )

2

' 2 1 0

*

∆ = + + >



⇔

= + ≠ Khi đó gọi x3 =2 và x x là nghiệm của PT 1; 2 g x( )=0

Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG FB: LyHung95

Theo Viet ta có :

1 2

1 2

1 2

m

x x

+ = −







Theo bài ra ta có: 2 2 ( )2 2 ( )

A=x + + +x x x = x +x + = ⇔m + = ⇔ = ±m tm Vậy m= ±2 là giá trị cần tìm

Ví dụ 14 [Tham khảo]: Cho hàm số 3 ( 2 ) 2 ( )

3 1 2 1 3

y= −x m − x − m+ x+ , có đồ thị là ( )C và đường thẳng d: y= +x 3 Tìm m để ( )C giao d tại 3 điểm phân biệt A( )0;3 , ,B C sao cho A là trung điểm

của BC

Lời giải:

Hoành độ giao điểm của d và ( )C là nghiệm của phương trình

x − m − x − m+ x+ = + ⇔x x − m − x − mx=

0

3 1 2 0

3 1 2 0 1

x

=



⇔  − − − = ⇔



Với x=0⇒ y=3⇒A( )0;3 ứng với đề bài đã cho

Khi đó d và ( )C cắt nhau tại A( )0;3 , , B C phân biệt ⇔( )1 có hai nghiệm phân biệt khác 0

9 1 8 0 9 1 8 0

*

0 3 1 0 2 0 0



Do , B C∈d nên ta gọi B x x( 1; 1+3 , ) (C x x2; 2+3 )

Ta có x x là 2 nghiệm của (1) Theo Vi-et thì 1; 2 ( 2 ) ( )

1 2

1 2

3 1

2 2





=

Khi đó A là trung điểm của BC

( ) ( )

1 2

1 2

0 2

0

3 2

A

A

x

y

+



= =



+ + +



Kết hợp với (2) ta được ( 2 )

3 m − = ⇔ = ±1 0 m 1 Đối chiếu với (*) ta được m=1 thỏa mãn

Ví dụ 15 [Tham khảo]: Cho hàm số 3 2 ( )

y= + +x x m− x+ m, có đồ thị là ( )C và đường thẳng : y 3

d = +x Tìm m để ( )C giao d tại 3 điểm phân biệt , , A B C , trong đó A là điểm cố định và độ dài

2 10

Lời giải:

Hoành độ giao điểm của d và ( )C là nghiệm của phương trình

3 2 ( ) 3 2 ( )

x + +x m− x+ m= + ⇔x x + −x x− + m x+ =

2

3

3 2 1 3 3 0 3 2 3 1 0

2 3 1 0 1

x

= −



− + − =



Với x= −3⇒y=0. Bài ra A là điểm cố định ⇒A(−3; 0 )

Khi đó d và ( )C cắt nhau tại , , A B C phân biệt ⇔( )1 có hai nghiệm phân biệt khác 3−

( )

2

* 14

3 2 3 3 1 0

3

m m



<

∆ = − − >

− − − + − ≠

Do , B C∈d nên ta gọi B x x( 1; 1+3 , ) (C x x2; 2+3)⇒


BC=(x2−x x1; 2−x1)

( ) (2 )2 ( )2

2

2 1 2 1 2 1 2 8 1 2

Ta có x x là 2 nghiệm của (1) Theo Vi-et thì 1; 2 1 2 2 2 ( )

1 2

2

2.2 8 3 1 16 24

3 1

+ =



⇒ = − − = −



= −



2 10 16 24 2 10 40 1

BC= ⇒ − m= = ⇔ = −m Đã thỏa mãn (*)

Đ/s: m= −1 là giá trị cần tìm

Thầy Đặng Việt Hùng