BÀI GIẢNG TRỌNG TÂM VỀ HÀM SỐ Chương trình Luyện thi Đại học SAP NĂM HỌC 2013 - 2014

MỤC LỤC 1. CHUẨN KĨNĂNG ĐẠI SỐ ...........................................................................................................................01 2. CỰC TRỊCỦA HÀM SỐ ...............................................................................................................................08 3. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒTHỊHÀM SỐ.........................................................................................................36 4. SỰTƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒTHỊHÀM SỐ........................................................................................53 5. CÁC BÀI TOÁN VỀKHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ......................................................................101 6. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒTHỊ ......................................................................................................112 7. BIỆN LUẬN SỐNGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒTHỊ ...............................................................123 8. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ................................................................................................................128 9. TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN HÀM SỐTRONG ĐỀTHI ĐẠI HỌC.....................................................136

MỤC LỤC

1 CHUẨN KĨ NĂNG ĐẠI SỐ 01

2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 08

3 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 36

4 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ 53

5 CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ 101

6 BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ 112

7 BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ 123

8 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 128

9 TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN HÀM SỐ TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 136

1 KĨ NĂNG XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC

+ Tiến hành xét dấu theo quy tắc đan dấu khi biết dấu của một khoảng nào đó

+ Việc xét dấu biểu thức chúng ta chỉ được quy đồng mẫu số mà không được nhân chéo

c)

2 2

Xét phương trình: ( ) 4 3 2 ( )

0, 1

= + + + + =

f x ax bx cx dx e Nếu x = x o là một nghiệm của phương trình (1) thì ( ) ( ) ( ) ( 3 2 )

1 ⇔ f x = −x x o ax +b x′ +c x′ +d′ =0( ) 3 ′ 2 ′ ′

+ Nếu tổng các hệ số của phương trình bằng 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1

+ Nếu tổng các hệ số bậc chẵn của x bằng tổng hệ số bậc lẻ của x thì phương trình có một nghiệm x = − 1

+ Nếu phương trình không tuân theo hai quy tắc trên thì chúng ta nhẩm nghiệm bắt đầu từ các nghiệm đơn giản

như 0; ±1; ±2…

+ Với các phương trình có chứa tham số, để nhẩm nghiệm của phương trình ta cho phần hệ số của tham số m

bằng 0, được nghiệm x ta thay vào phương trình kiểm tra lại

Tổng các hệ số đa thức là 1−(m+ −1) (m− +1) 2m− =1 0 nên f(x) = 0 có m ột nghiệm x = 1

+ n ếu b = 0 và c = 0 thì (*) nghiệm đúng với mọi x

+ n ếu b = 0 và c ≠ 0 thì (*) vô nghi ệm

2 1;2

4

P x x

a Một số các kết quả cần lưu ý:

c) Tính chất nghiệm của phương trình bậc hai:

Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi

Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều lớn hơn α khi

00

αα

α

22

2

00

00

00

αα

α

22

2

00

00

b

a a

a) Giải và biện luận phương trình đã cho

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, và cả hai nghiệm đều nhỏ hơn −−−−1

.1

b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi 2 ( )

Theo định lí Vi-ét ta có

1 2

41

vn

m m

a) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt

b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm âm

c) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1; x2; x3 thỏa mãn 2+ 2+ 2 <

Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt và khác −2

thì phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt

b) Do nghiệm x = −2 < 0 nên để (1) có 3 nghiệm trong đó 2 nghiệm âm thì (2) phải có hai nghiệm trái dấu

2

P< ⇔ − m< ⇔ >m

Giá trị này thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm

c) Không mất tính tổng quát, giả sử x1 = −2 Khi đó x2 ; x3 là hai nghiệm phân biệt của (2)

Theo định lí Vi-ét ta được 2 3

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m ≠ 1

b) Xác định giá trị của m để phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phương

trình

c) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức 1 2

2 1

50

a) Với m = 2, tính y’ và giải phương trình y’ = 0

b) Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = −1 song song với đường thẳng d: y = −2x − 3

c) Tìm m để phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt x1; x2; x3 thỏa mãn 2 2 2

1 + 2+ 3 <4

x x x

d) Tim m để phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm lớn hơn 2

Bài 3: Cho phương trình mx2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0

a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn

hơn?

c) Xác định m để các nghiệm x1, x2 của phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = 3

d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m

Bài 4: Cho phương trình x2−mx+ − =m 1 0, (với m là tham số)

a) Chứng tỏ rằng phươnh trình có nghiệm x1, x2 với mọi m Tính nghiệm kép (nếu có) của phương trình và giá trị

của m tương ứng

b) Đặt A=x12+x22−6x x 1 2

Chứng minh A = m2 – 8m + 8

Tìm m để A = 8,

Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng

c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia

d) Tim m để phương trình có hai nghiệm đều lớn hơn 1

x− x + mx+ − =m

a) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt

b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt đều dương

c) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1; x2; x3 thỏa mãn x12+x22+x32=15

d) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm âm

+ Hàm số có 2 điểm cực trị khi y′ đổi dấu hai lần, tức là phương trình y′ = 0 có hai nghiêm phân biệt

Từ đó ta có điều kiện để hàm số có hai cực trị là ∆ > 0

Vậy, với hàm bậc ba thì hàm số chỉ có hai cực trị hoặc không có cực trị

Ví dụ 1: Biện luận số cực trị của hàm số =1 3+ −( ) 2− −

Hàm số không có cực trị khi y′ không đổi dấu trên miền xác định (hay hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến

trên miền xác định), điều đó xảy ra khi y′ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

m m

Bài 1:

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Hàm số có hai cực trị khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt

2

00

Gọi hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu là x1 ; x2 Khi đó x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0

Theo định lí Vi-ét ta được

x x A Phương pháp thực hiện :

+ Tìm điều kiện để hàm có cực trị : y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔∆ > 0, (*)

+ Tìm điều kiện của tham số để cực trị có tính chất K nào đó chẳng hạn

+ Đối chiếu giá trị tìm được với điều kiện ở (*) để được kết luận cuối cùng

Ta xét một số dạng tính chất điển hình

Tính chất 1: Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm x = x o

Cách 1 (sử dụng bảng biến thiên) :

+ Hàm số đạt cực trị tại x=x o ⇔ y x′( )o = 0 →m

+ Với m tìm được, thay vào hàm số rồi khảo sát, từ bảng biến thiên ta có kết luận về hàm số đạt cực đại,

hay cực tiểu tại điểm x o hay không

Cách 2 (sử dụng điều kiện cần, điều kiện đủ ; hay y’’) :

+ Hàm số đạt cực đại tại ( )

( )

0

.0

Vậy m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0

c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x = 2

Tính chất 2: Các điểm cực trị có hoành độ cùng dương, cùng âm, cùng lớn hơn hoặc nhỏ hơn α cho trước

Hai điểm phân biệt cực trị cùng có hoành độ dương

1 2

00

Tính chất 3: Sử dụng Vi-ét cho hoành độ các điểm cực trị

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 Khi đó x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0

Theo định lí Vi-ét ta được

x x A

c) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ đều lớn hơn 2

d) Tìm m để hoành độ điểm cực đại của hàm số nhỏ hơn 1

7 3 52

Vậy với

7 3 52

7 3 52

thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu

b) Gọi x1 ; x2 là hoành độ điểm cực đại, cực tiểu Khi đó x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0

Theo định lí Vi-ét ta được 1 2

1 2

2(1 )3

c) Gọi x1 ; x2 là hoành độ điểm cực đại, cực tiểu Khi đó x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0

Theo định lí Vi-ét ta được 1 2

1 2

2(1 )3

3

55

2

16

16



m m

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1; x2 khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x x1; 2⇔ ∆ >′ 0

2

.3

b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x = 3

c) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn x12+x22<10

d) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ đều nhỏ hơn −1

a) Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất một điểm có hoành độ lớn hơn 1

b) Tìm m sao cho biểu thức P= x x1 2−2(x1+x2) đạt giá trị nhỏ nhất

++ = x x

x x

c) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 1

d) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0

Tính ch ất 4: Các cực trị nằm cùng phía, khác phía với các trục tọa độ

+ Các điểm cực trị nằm cùng phía với trục Oy khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

+ Các điểm cực trị nằm khác phía với trục Oy khi y′ = 0 có hai nghiệm trái dấu

+ Các điểm cực trị nằm khác phía với trục Ox khi đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt hoặc hàm số có cực trị

với yCĐ.yCT < 0

+ Các điểm cực trị nằm cùng phía với trục Ox khi đồ thị cắt trục Ox tại một điểm hoặc hàm số có cực trị với

yCĐ.yCT > 0

Ví d ụ 1: Cho hàm số y=x3+3x2+mx+m– 2 , với m là tham số

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục hoành

Hướng dẫn giải:

Ta có y′ =3x2+6x+m , hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt

Tức là ∆ = −′ 9 3m> ⇔ <0 m 3

Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và Ox: 3 2 2 ( )

Ví dụ 2: Cho hàm số y= − +x3 (2m+1)x2−(m2−3m+2)x−4 , với m là tham số

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục tung

13 3 212

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔′ 0 m2−2m+ > ⇔ ≠1 0 m 1

Hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía của trục tung khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm

2

⇔ac> ⇔ m− > ⇔ >m

Kết hợp điều kiện ta được 1 1

2< ≠m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Tính chất 5: Các bài toán cực trị khi y′′′′ = 0 gi ải được nghiệm ‘đẹp’

Tìm giá trị của m để hàm số có cực trị Khi đó, tìm m để khoảng cách từ điểm cực đại đến gốc tọa độ bằng

2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ O

b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ lớn hơn 2

c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn 3+ 3>

12

Vậy với m > 1 thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu và hoành độ cực đại, cực tiểu lớn hơn 2

Khi dó, các điểm cực trị của hàm số là A(0; 3− m−1),B m m(2 ;4 3−3m−1)⇒AB m m(2 ;4 3)

Trung điểm I của AB có toạ độ I m m( ; 2 3−3m−1)

Đường thẳng d: ( )d :x+8y−74=0 có một véc tơ chỉ phương u= −(8; 1)

A và B đối xứng với nhau qua d ⇔ ( ) 8(2 3 3 1) 74 0 2

d) hàm số không có cực đại, cực tiểu

e) đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng d: y = 9x + 1

Vậy với m ≠ 2 thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu

b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2 khi hệ sau có nghiệm (2) 0, ( )

Giá trị m = 3 thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm

c) Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 khi hệ sau có nghiệm (0) 0, ( )

Giá trị m = 1 thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm

d) Hàm số không có cực đại, cực tiểu khi y′ không đổi dấu ⇔ y′ = 0 vô nghiệm ⇔∆≤ 0 ⇔ (m – 2)2≤ 0

Bất phương trình trên chỉ có nghiệm duy nhất m =2

Vậy với m = 2 thì hàm số đã cho không có cực trị

e) Xét phương trình y’ = 0 ta được x2 – mx + m – 1 = 0

c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn x14+x42 >17

d) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn 2x12+x22 =12

b) hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3

c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn x12−x22 =40

d) hàm số đạt cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu nằm hai phía của trục Oy

Bài 3: Cho hàm số y= −x3 3mx+2

a) Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của hàm số cắt đường tròn tâm I(1; 1) bán kính bằng 1 tại

hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất

b) Tìm m để hàm số có CĐ, CT và khoảng cách từ O đến đường thẳng đi qua CĐ, CT lớn nhất

Tính chất 6: Phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu và một số ứng dụng điển hình

Lấy y chia cho y′ ta được y=y g x′ ( )+ +ax b khi đó đường thẳng d : y = ax + b chính là đường thẳng đi qua các ,

điểm cực đại, cực tiểu của hàm số

Tác dụng lớn nhất của việc tìm được phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu là lấy được tung độ của

chúng Thật vậy, gọi M, N là các điểm cực đại, cực tiểu thì M x ax( 1; 1+b N x ax) (, 2; 2+b , trong đó x) 1 ; x2 là hai

nghiệm của phương trình y′ = 0 và ta có thể dùng Vi-et được

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ = > ∀′ 1 0, m

Vậy hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi giá trị của m

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ +′ 0 9 3m> ⇔ > −0 m 3, ( )*

Đối chiếu với (*) ta được m = 3 là giá trị cần tìm

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ +′ 0 9 3m> ⇔ > −0 m 3, ( )*

Các điểm cực trị cách đều đường thẳng (d) : y = x − 1 nên xảy ra 1 trong 2 trường hợp:

TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng (d)

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ −′ 0 9 3m> ⇔ <0 m 3, ( )*

Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là I(1; –2)

Ta thấy I ∈ (d), do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua (d)

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng 1 5

Như vậy ta có hệ:

( )( ) ( )( ) ( )

biệt x1 ; x2 sao cho x1<x2<1.

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho diện tích tam giác ABC bằng 3 2, với C(1 ; 1)

Ta có : y ' = 3 x2− 3 m = ⇔ 0 x2 = m Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B ⇔ >m 0(*)

Vì tam giác ABC nhận O làm trọng tâm nên 3 2

1( *)9

(ở đây y'=0 luôn có 2 nghiệm phân biệt)

Khoảng cách giữa các điểm cực trị là AB= 4 16+ =2 5

Khi đó gọi A x y( ;1 1), ( ;B x y2 2) là tọa độ 2 điểm cực trị

Thực hiện phép chia y cho y’ ta được :

b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm khác phía với Oy

Ta có : y'= −3x2+2(2m+1)x−m2+3m−2 Để hàm số có 2 cức trị ⇔ y'=0 có 2 nghiệm phân biệt

Theo đk A, B nằm khác phía với Oy

Với đk(*) đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị tại A x y( ;1 1), ( ;B x y2 2)

+ Thực hiện phép chia y cho y’ ta được :

3

(1; 2 )(0; 4 ), (2 ;0)

( với I là trung điểm AB)

Vì A,B đối xứng nhau qua d y: =x nên :

2 2

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d x: −2y− =5 0

Đ/s : m = 0

Bài 17: Cho hàm số y=x3−3mx+m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu Khi đó chứng minh rằng các điểm này nằm về hai phía của trục Oy

Ta có : y ' = 3 x2− 3 m = ⇔ 0 x2 = m Để hàm số có 2 cức trị ⇔ y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt⇔ > m 0(*)

Với đk(*) đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị tại A x y ( ;1 1), ( ; B x y2 2) Theo định ly Viet: 1 2

Theo đk A, B nằm khác phía với Oy ⇔ x x1 2 = − < ∀ > m 0( m 0)

Kết luận: Với m>0 hàm số có CĐ, CT và các điểm đó năm về 2 phía với trục Oy

∆ > ⇔ > − Nên m> −3 thì hàm số có cực đại, cực tiểu

Sử dụng phép chia đa thức, ta được 2 23 2 3 3 13 (3 2 6 ) ( ) ( ) '

39

Nên m∈ −∞ −( ; 21) (∪ 21;+∞) thì hàm số có cực đại, cực tiểu

Sử dụng phép chia đa thức, ta được

k k

' = 3 − 6

y x x ⇒ y '( )x = ⇔ = 0 x 0 hoặc x=2

Suy ra 2 điểm cực trị lần lượt là A ( ) 0; 2 và B ( 2; 2 − )

Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị: d: 2x+ − =y 2 0

bán kính 5

I m m C

Nên m∈ −∞ − −( ; 2 3) (∪ − +2 3;+∞) thì hàm số có cực đại, cực tiểu

Sử dụng phép chia đa thức, ta được

3 ' 0

Nên m ∈ −∞ − ∪ +∞ ( ; 1 ) ( 1; ) thì hàm số có cực đại, cực tiểu

Khi đó, gọi tọa độ của hai điểm cực trị lần lượt là ( x y1; 1), ( x y2; 2)

Giải:

Đạo hàm: y=x2+2x+m Ta có ∆ > ⇔ − > ⇔ <' 0 1 m 0 m 1

Nên m<1 thì hàm số có cực đại, cực tiểu Gọi tọa độ hai điểm cực trị là ( x y1; 1) và ( x y2; 2)

Khi đó, theo vi-ét 1 1

11

Chú ý: Công thức chia nhanh đa thức bậc 3:

Với đa thức P( )x =ax3+bx2+ + =cx d r( )x +q( )x.P với ' a≠0

DẠNG 1 TÌM ĐIỀU KIỆN VỀ SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Hàm số có một cực trị khi y′ chỉ đổi dấu một lần, tức là 0

m m

+ Hàm số có ba cực trị khi 3 0 0

11

m m

Do hàm chẵn với x nên các điểm B, C có y B = y C

Nhận xét : A ∈ Oy, B ; C đối xứng nhau qua Oy nên tam giác ABC luôn là tam giác cân tại A

Ta xét một số tính chất cơ bản thường gặp của hàm số :

Tính chất 1: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân

Do tam giác ABC đã cân tại A nên chỉ có thể vuông cân tại đỉnh A

Khi đo ta có điều kiện  AB AC =0, 1( )

Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết

quả cuối cùng của bài toán

Ngoài ra ta cũng có thể dùng điều kiện Pitago cho tam giác cân

ABC : AB2+AC2 =BC2⇔2AB2 =BC 2

Tính chất 2: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều

Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết

quả cuối cùng của bài toán

Tính chất 3: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng 120 0

Tam giác ABC cân tại A nên
BAC=1200 Gọi H là trung điểm của BC⇒H(0;y B)

Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết quả cuối cùng của bài toán

Tính chất 4: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích S = S o cho trước

Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết quả cuối cùng của bài toán

Tính chất 5: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R cho trước

Sử dụng công thức diện tích tam giác

2

.1

Giải phương trình trên ta được giá trị của m, đối chiếu với (*) cho ta kết luận cuối cùng

Tính chất 6: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm G(0 ; α) cho trước

Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, với O là gốc tọa độ, A là điểm

cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại

Ta nhận thấy tam giác ∆ABC luôn cân tại A Để ∆ABC vuông cân thì phải vuông cân tại A

Ta nhận thấy A thuộc Oy, B ; C đối xứng qua Oy nên tam giác ABC cân tại A

Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy m = −2 là giá trị cần tìm

Đối chiếu với điều kiện (*) ta được m= −33 là giá trị cần tìm

c) Tam giác ABC cân tại A nên để có một góc bằng 1200 thì
BAC=1200

Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán

kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2

Ta nhận thấy A thuộc Oy, B ; C đối xứng qua Oy nên tam giác ABC cân tại A

y x m x có ba điểm cực trị A, B, C sao cho

a) tam giác ABC đều

b) OA= 2BC trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc Oy, B ; C là hai điểm cực trị còn lại ,

Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C m) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam

giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

DẠNG 1 TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Viết phương trình tiếp tuyến trong các trường hợp sau:

a) tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị và trục Ox

b) tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị và trục Oy

c) tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 2

d) tiếp tuyến tại điểm có tung độ y = –2

x

y x

Từ đó ta được phương trình tiếp tuyến là ∆:y=0.(x− + ⇔ =2) 0 y 0

c) Thay x = 2 vào hàm số ta được y = −2

a) ( )C :y=3x3 −x2 −7x+1 tại A(0; 1) b) ( )C :y=x4 −2x2 +1 tại B(1; 0)

x y x

Viết phương trình tiếp tuyến trong các trường hợp sau:

a) tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị và trục Ox

b) tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị và trục Oy

c) tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 2

d) tiếp tuyến tại điểm có tung độ y = 3

e) chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị tạo với hai tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi

DẠNG 2 TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC K

1) Một số kiến thức cơ bản về hệ số góc k của một đường thẳng d :

Hệ số góc của một đường thẳng là tang (tan) của

góc hợp bởi đường thẳng đó và chiều dương trục Ox

Kí hiệu k = tanα

Nếu đường thẳng d hợp với trục Ox (không nói rõ

chiều dương của trục Ox) thì k = ± tanα

Đường thẳng d đi qua hai điểm M, N thì hệ số góc

của đường d được tính bởi = −

a) c ắt nhau tại duy nhất một điểm

b) c ắt nhau tại ba điểm phân biệt

c) c ắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương

Hướng dẫn giải : Đường thẳng d qua A(2 ; 1) và có hệ số góc k nên có dạng d : y = k(x − 2) + 1

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị : x3−3x2+ + =x 3 k x( − + ⇔2) 1 x3−3x2+ + =x 2 k x( −2)

k thì hai đồ thị đã cho cắt nhau tại duy nhất một điểm

b) Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt và khác 2

Điều đó xảy ra khi

thì hai đồ thị đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt

c) Do nghiệm x = 2 > 0 nên để ba giao điểm có hoành đô dương thì (1) phải có hai nghiệm dương phân biệt và

a) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm uốn song song với đường thẳng ∆∆∆∆: 4x + y + 1= 0

b) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm x = −−−−2 vuông góc v ới đường thẳng ∆∆∆∆′′′′: 2x + 3y + 2= 0

x y

x có đồ thị là (C) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị (C)

Tìm điểm M trên đồ thị sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại M vuông góc với đường thẳng IM

H ướng dẫn giải :

, từ đó đường x = 2 là tiệm cận đứng và y = 1 là tiệm cận ngang

Điểm I là giao của hai tiệm cận nên I(2 ; 1)

y x x Một đường thẳng d đi qua M(1 ; −−−−2) và có hệ số góc k

a) Tìm k để đường thẳng d và đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt M(1 ; −−−−2) ; A và B

b) Tim k để tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm A, B vuông góc với nhau

Hướng dẫn giải :

a) Đường thẳng d qua M(1 ; −2) và có hệ số góc k nên có dạng d : y = k(x − 1) − 2

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị : − +x3 2x2− =3 k x( − − ⇔ − +1) 2 x3 2x2− =1 k x( −1)