Tìm toạ độ điểm M biết diện tích tứ giác OHMK bằng 6... Gọi M là một điểm bất kỳ trên đồ thị C.. Tìm m để tiếp tuyến tại M của đồ thị cắt các tiệm cận tại A, B sao cho diện tích tam gi
Trang 1Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016
Các vấn đề trọng tâm về hàm phân thức
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Ví dụ 1 [Video]: Cho hàm số: 2 1
1
x y x
+
=
− ( )C và đường thẳng d y: = +x m
a) Tìm m để d cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt ,A B thỏa mãn OA2+OB2 =34
b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng∆: 3x+ + =y 1 0
c) Biện luận số nghiệm của PT : 2 1
1
x m
− theo tham số m
d) Tìm điểm M thuộc ( )C sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 trục toạ độ bằng 4
Ví dụ 2 [Video]: Cho hàm số: 2
1
x y x
−
= + ( )C và đường thẳng d y: = − +2x m
a) Tìm m để d cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt ,A B thỏa mãn AB= 35
b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C biết tiếp tuyến đi qua điểm P(−3;1)
c) Biện luận số nghiệm của PT : 2
1
x
m
x− = + theo tham số m
d) Tìm điểm M thuộc ( )C biết khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ − =:x y 0 bằng 3 2
Ví dụ 3 [Video]: Cho hàm số: 1
1
x y x
+
=
− ( )C
a) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M( )0;1 đồng thời cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho
diện tích tam giác OAB bằng 3
2
b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại giao điểm của ( )C với đường thẳng d x: + − =y 5 0
c) Tìm m để PT 1
1
x
m x
+
=
− có 1 nghiệm duy nhất
d) Gọi M là điểm thuộc ( )C và H , K là hình chiếu của M trên các trục toạ độ Tìm toạ độ điểm M biết
diện tích tứ giác OHMK bằng 6
Ví dụ 4 [Tham khảo]: Cho hàm số: 1
2
x y
x
−
= + ( )C và đường thẳng d y: = +x m
a) Tìm m để d cắt ( )C tại điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M biết rằng khoảng cách từ M đến đường thẳng
:y 3x 1
∆ = − + bằng 10
5
c) Tìm điểm M trên ( )C sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang gấp 3 lần khoảng cách từ M
đến tiệm cận đứng
d) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2 ( )
3x + −5 m x−2m+ =1 0
Lời giải
a) PT hoành độ giao điểm là:
2 1
2
x x
x m
x
≠ −
= + ⇔
= + + + − =
Để d cắt ( )C tại điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị ⇔g x( )=0 có 2 nghiệm phân biệt x1< − <2 x2 hay
Trang 21 2 0 2 2
x + < < +x
( )
2
g
∆ = + − − >
⇔ − = − ≠
+ + <
Với x x là nghiệm của PT 1; 2 g x( )=0 thì 1 2 ( )
1 2
3
Viet
+ = − −
Khi đó :( ) 2 ( )
2 13 0
*
x x x x
− + >
⇔
+ + + <
3 2 2 1 4 0 3 1 0
3
⇔ − − + − + < ⇔ − < ⇔ <
2
a
M a
a
−
+
1
a a
a
d M x y
a
−
+
1; 1
5
3
a
= = −
= + − = − − + + =
3 '
2
y x
−
= +
3
a= ⇒M ⇒PTTT y= − x−
+) Với a= −1⇒M(−1; 2)⇒PTTT y: = −3(x+ +1) 2 hay y= − −3x 1
= ⇒ ⇒ = − − −
c) Ta có : TCN : x= −2 TCĐ: y= −1 Gọi ;1
2
a
M a a
−
5 2
a a
a a
=
−
= −
Vậy M( ) (1; 0 ;M − −5; 2) là các điểm cần tìm
d) Do x= −2 không phải nghiệm của PT Khi đó ta có: 1 3
2
x
x
−
⇔ = − +
Số nghiệm của PT phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị ( )C và đường thẳng d y: = − +3x m
Xét các tiếp tuyến của ( )C có hệ số góc k = −3 ta được 2 tiếp tuyến: 1
2
= − −
= − −
Trang 3Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016
Dựa vào đồ thị bên ta có:
+) Với 1
13
m
m
> −
< −
PT đã cho có 2
nghiệm phân biệt
+) Với m= −1;m= −13 PT đã cho
có 1 nghiệm duy nhất
+) Với 13− < < −m 1 PT đã cho vô
nghiệm
Ví dụ 5 [Tham khảo]: Cho hàm số: 3
2 1
x y x
−
= + ( )C và đường thẳng d y: = − +x m
a) Tìm m để d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho AB=4 2
b) Gọi I là giao 2 tiệm cận Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 tiệm cận của (C) tại A và B
sao cho 7
2
IAB
S∆ =
c) Tìm M trên ( )C có tọa độ nguyên
d) Tìm M trên ( )C sao cho khoảng cách IM ngắn nhất, với I là giao 2 tiệm cận
e) Bằng đồ thị, tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: 2 ( )
14x +2 m+3 x+ + =m 3 0
Lời giải
a) PT hoành độ giao điểm là:
1 3
2
2 1
x x
x m x
≠ −
= − + ⇔
Để d cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt ⇔g x( )=0 có 2 nghiệm phân
( )
2
*
0
g
∆ = − + + >
⇔
− = − ≠
Khi đó gọix x là nghiệm của PT 1; 2 g x( )=0 thì
1 2
1 2
1 3 2
m
x x
+ = −
Gọi A x( 1;− +x1 m B x) (; 2;− +x2 m) ta có: 2 ( )2 ( )2
AB = x −x = ⇔ x −x =
Vậy m= ±3 là giá trị cần tìm
b) Ta có: 1 1;
2 2
I
−
Gọi
3
;
2 1
a
M a
a
−
+
5 '
2 1
y x
= +
Khi đó PTTT tại M có dạng:
2 1
2 1
a
a a
−
+
Trang 4Ta có: : 1:
2
d∩TCD x= − tại điểm
1 2 13
;
2 2 2 1
a A
a
1 : 2
d∩TCN y= tại điểm 2 1 1;
2 2
B a
+
Khi đó tam giác IAB vuông tại I nên: 1 1 14 2 1 7 1
IAB
a
Vây mọi điểm ; 3 1
a
a
−
≠ −
+
đều thoã mãn ĐKBT
2 1
a
M a
a
−
+
Xét
M
a y
−
+ + Để y nguyên thì 2 M y cũng nguyên do đó M
7 2⋮ a+1 do vậy 2 1 7 3; 4
+ = ± = = −
⇔
+ = ± = = −
Vậy M(0; 3 ;− ) (M −1; 4 ;) ( ) (M 3; 0 ;M −4;1) là các điểm cần tìm
2 1
a
M a
a
−
+
2 2
2
2 1
a
+
a
a
∓
2
x= − không phải nghiệm của PT nên ta có: 3 7
2 1
x
x
−
Số nghiệm của PT phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị ( )C và đường thẳng d y: =7x+m
Xét các tiếp tuyến của ( )C có hệ số góc k =7 ta được 2 tiếp tuyến: 1
2
Dựa vào đồ thị bên ta có:
+) Với 11
3
m
m
>
< −
PT đã cho có 2
nghiệm phân biệt
+) Với m=11;m= −3 PT đã cho có 1
nghiệm duy nhất
+) Với 3− < <m 11 PT đã cho vô
nghiệm
Ví dụ 6 [Tham khảo]: Cho hàm số 2 2 ( )
1
x m
x
+
=
− và đường thẳng d y: =2x−3
a) Tìm m để d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho OA2+OB2 =5 với O là gốc tọa độ
b) Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của (C) với trục hoành đi qua A( )2;3
c) Gọi M(2;y M) là điểm thuộc ( )C Tìm m sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ bằng
2 10
d) Tìm m sao cho điểm M(−1;y M) trên ( )C cách đều 2 điểm A(−2;5) và B( )4;3
Trang 5Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016
Lời giải
1
x
Để d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt ,A B thì phương trình ( )* có hai nghiệm phân biệt khác 1
15
16
1
m
∆ > − + >
Gọi A x( 1; 2x1 −3 ,) (B x2; 2x2 −3) là giao điểm của d với ( ) 1 2
1 2
3 2
2
x x C
m
x x
+ =
⇒
+
7
8
Vậy 7
8
m= − là giá trị cần tìm
b) Ta có
'
1
m y
x
+
=
−
Gọi M là giao điểm của ( )C với trục hoành nên tọa độ M(−m; 0)
Phương trình tiếp tuyến của ( )C qua M là
1
m
m
+
2 1
x m y
m
+
= +
Mà tiếp tuyến đi qua ( )2;3 3 2( 2) 1
1
m
m
+
Vậy m=1 là giá trị cần tìm
c) Do M(2;y M) là điểm thuộc ( )C nên tọa độ điểm M(2; 2− m−4)
Khoảng cách từ M đến trục Ox là d1 = −2m−4
Khoảng cách từ M đến trục Oy là d2 =2
10 1
m
m
= − −
Vậy m= 10−3;m= − 10−1 là giá trị cần tìm
d) Do M(−1;y M) là điểm thuộc ( )C nên tọa độ điểm M(−1;m−1)
Đường thẳng AB qua A(−2;5 ,) ( )B 4;3 nên phương trình đường thẳng AB x: +3y−13=0
Gọi N là trung điểm của AB⇒ N( )1; 4 Đường trung trục của AB qua N( )1; 4 và vuông góc với
đường thẳng AB nên có phương trình 3 x− + =y 1 0
Do M cách đều A(−2;5 ,) ( )B 4;3 và nên M thuộc trung trực AB ⇒3.( ) (− −1 m− + = ⇔ = −1) 1 0 m 1
Vậy m= −1 là giá trị cần tìm
Ví dụ 7 [Tham khảo]: Cho hàm số y 2mx 5
x m
+
= + và đường thẳng
1 : 2
2
d y= x− Tìm m để đồ thị cắt
đường thẳng tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ thoả mãn x12−9x1=8x2
Ví dụ 8 [Tham khảo]: Cho hàm số 2 1 ( )
2
x
x
−
=
− Tìm trên (C) tất cả các điểm M sao cho tiếp tuyến
của (C) tại M cắt hai tiệm cận của (C) tại hai điểm A, B sao cho AB=2 10
Trang 6Lời giải:
Giả sử 2 1 ( )
2
a
a
−
≠
−
thuộc đồ thị (C)
Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M có dạng ( ) : 3 2( ) 2 1
a
Gọi A là giao của tiệm cận đứng với ( )∆ , suy ra 2; 6 2
2
A a
+
−
B là giao của tiệm cận ngang với ( )∆ , suy ra (2B a−2; 2)
Khi đó (2 4)2 36 2
( 2)
a
− , theo bài ra ta có phương trình
2
2
36
( 2)
a
a
−
(a 2) 10(a 2) 9 0
⇔ − − − + =
2 2
1
1 ( 2) 9
5
a
a a
a
=
= −
− =
=
Vậy có 4 điểm M thỏa mãn là (1; 1), (3;5), ( 1;1), (5;3)− −
Ví dụ 9 [Tham khảo]: Cho hàm số 2 7
2 6
x y x
+
= + có đồ thị (C)
Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M cắt hai đường tiệm cận tại A và B sao cho
khoảng cách giữa 2 điểm A, B bằng 9
2
Lời giải:
;1
2 6
m
+
Tiếp tuyến d tại M có phương trình:
2 6
2 6
m
m m
+
+ +
Giao điểm của d với tiệm cận đứng là: 3;4 15
4 12
m A
m
+
−
+
Giao điểm của d với tiệm cận ngang là: B(3m+6;1)
2
2
2
5
7
2
m
m
m
= −
Vậy có 2 đường đường tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài là: 1; 7
= − − = − −
Ví dụ 10 [Tham khảo]: Cho hàm số 2 ( )
1
x m
x
+
=
− Gọi M là một điểm bất kỳ trên đồ thị (C) Tìm m
để tiếp tuyến tại M của đồ thị cắt các tiệm cận tại A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 2, với I là giao
điểm của hai tiệm cận
Lời giải:
Gọi điểm 2 ( )
; 1
a m
a
+
∈
−
; I( )1; 2 ,
Tiếp tuyến d tại M có phương trình:
1 1
a m
a a
+
−
−
Trang 7Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016
Giao điểm của d với tiệm cận đứng là: 1;2 2 2 0;2 4
⇒
Giao điểm của d với tiệm cận ngang là: B(2a−1; 2)⇒IB(2a−2; 0)
2
IAB
S = IA IB= m+ = ⇔ = −m m= −
Ví dụ 11 [Tham khảo]: Cho hàm số 1 ( )
3
x
x
+
=
− Viết PTTT tại điểm M thuộc đồ thị sao cho tiếp
tuyến cắt các trục tọa độ tại A, B thỏa mãn
a) OB = 4OA
b) Tam giác OAB vuông cân
8
OAB
S =
d) Trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng d: 4x− =y 0
Lời giải:
Ta có:
4 '
3
y
x
−
=
− Gọi
1
; 3
a
M a a
+
−
PT tiếp tuyến tại M là: ( )2( ) ( )
3 3
a
a a
−
−
a) Do
4
d Ox
a
= ± − =
b) OAB∆ vuông cân do đó d tạo với trục Ox góc
2
5 4
1 3
a k
a a
=
−
⇒ = ± = ± ⇒ = − ⇔
=
c) Gọi
2
; 0 4
2 2
3
a
−
2
2
OAB
d) Gọi G là trọng tâm OAB∆ ta có:
2
;
G
a
Do
2 2
2
2 3
3
a
+ −
−
Ví dụ 12 [Tham khảo]: Cho hàm số 2 ( )
1
x
x
+
=
− Viết PTTT tại điểm M thuộc đồ thị sao cho tiếp
tuyến cắt các trục tọa độ tại A, B thỏa mãn
3
OAB
S =
b) khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị đến tiếp tuyến bằng 6
10
Lời giải:
Gọi ; 2
1
a
M a
a
+
PT tiếp tuyến tại M là: ( )2( ) ( )
1 1
a
a a
−
−
Gọi
2
; 0 3
2 2
0;
1
a
Trang 8Ta có:
2 2
2
2
4 2
2 1
OAB
a
−
b) ( )
1
6
a
+
Thầy Đặng Việt Hùng