a Tìm toạ độ giao điểm của C và trục Ox.. b Viết phương trình tiếp tuyến của C tại các giao điểm đó... Vậy phương trình tiếp tuyến là: y=7x−2... Thầy Đặng Việt Hùng.
Trang 1Các vấn đề trọng tâm về hàm số bậc ba – P2
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Ví dụ 1 [Video]: Cho hàm số 3 2 ( 2 ) 3
y= −x mx + m − x−m có đồ thị ( )C m , với m là tham số thực
a) Tìm m để ( )C m có hai điểm cực trị A và B thỏa mãn OA2+OB2 =20, trong đó O là gốc tọa độ
b) Tìm m để ( 2 ) 3
d y= m − x−m cắt ( )C m tại ba điểm phân biệt , , A B C thỏa mãn x A2+x2B+x C2 =5
c) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C m biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất và ( )C m qua E(0; 1 − )
d) Biện luận theo m số giao điểm của đường thẳng d y: = −3x và đồ thị ( )C m
Ví dụ 2 [Video]: Cho hàm số y= −x3 3x2+mx m− +2 có đồ thị ( )C m , với m là tham số thực
a) Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x x thỏa mãn 1; 2 x12+ + +x22 x1 2x2 = −5 2x x1 2
b) Tìm m để d y: = −x 1 cắt ( )C m tại ba điểm phân biệt , , A B C thỏa mãn C là điểm có hoành độ
không đổi, ở giữa , A B và AB=2 2
c) Khi m=1, tìm hai điểm A và B thuộc đồ thị ( )C m sao cho tiếp tuyến tại A và B của ( )C m song
song với nhau và tích hoành độ của A và B bằng 3.−
d) Tìm m để phương trình x3−3x2+mx m− + =2 0 có duy nhất một nghiệm
Ví dụ 3 [Video]: Cho hàm số 3 2 ( )
y= −x mx − m− x có đồ thị ( )C m , với m là tham số thực
a) Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x x khi đó chứng minh rằng 1; 2 x x không đồng thời thời nguyên 1; 2
b) Tìm m để d y: =x cắt ( )C tại ba điểm phân biệt , , A B C thỏa mãn C là điểm có hoành độ không
đổi và M(1; 1− ) là trung điểm của AB
c) Khi m=0, tìm hai điểm A và B thuộc đồ thị ( )C m sao cho tiếp tuyến tại A và B của ( )C m song
song với nhau và AB=2 5
d) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3 2 ( )
x − mx − m− x=
Ví dụ 4 [Tham khảo]: Cho hàm số 1 3 2 2 3 1
3
∆ y=mx− cắt đồ
thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho A cố định và diện tích tam giác OBC gấp hai lần diện tích
tam giác OAB
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng : 1
3
∆ = − và (C) :
2
1
3
= ⇒ −
− + − = − ⇔ − + − = ⇔
Trang 2
Đường thẳng : 1
3
y mx
∆ = − cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C khi phương trình (2) có hai nghiệm phân
biệt x1; x2 và khác 0
,
0
m
> >
∆ >
Khi đó 1; 1 1 , 2; 2 1
B x mx C x mx
S = S ⇔ d O ∆ BC= d O ∆ AB⇔BC= AB⇔BC = AB
2 1
3
, ( )
=
⇔
= −
Mà x1; x2 là nghiệm của phương trình (2) nên 1 2
1 2
x x
m
+ =
→ =
= −
Ví dụ 5 [Tham khảo]: Cho hàm số y=2x3−2x2+5, có đồ thị ( )C Tìm M∈( )C sao cho tiếp tuyến
với ( )C tại M vuông góc với đường thẳng x+2y− =6 0
Lời giải:
; 2 −2 +5
= − + ⇒ = − ⇒
y x x y x x phương trình tiếp tuyến tại M có hệ số góc k =6m2−4m
Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x+2y− =6 0hay 3
2
= − +x
y nên 6m2−4m=2 ( )
2
;
= − ⇒
Ví dụ 6 [Tham khảo]: Cho hàm số 3 ( ) 2
y= −x m+ x + x− +m ( )C m Gọi ∆ là tiếp tuyến của ( )C m
tại giao điểm của ( )C m với trục tung Viết phương trình ∆ biết khoảng cách từ A(2; 1− ) đến ∆ bằng
34
Lời giải:
x= ⇒ y= −m suy ra B(0;1−m) là giao điểm của ( )C m với trục tung
y = x − x m+ + ⇒ y = suy ra phương trình tiếp tuyến của ( )C m đi qua B là:
∆:y− −(1 m) (=4 x−0)⇔4x− + − =y 1 m 0
( )2 2
6 17 2
m
= − −
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 4x− + −y 7 17 2 =0 hoặc 4x− + +y 7 17 2 =0
Ví dụ 7 [Tham khảo]: Cho hàm số: 3 2 ( )
2
y= + − +x x x C
a) Tìm toạ độ giao điểm của ( )C và trục Ox
b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại các giao điểm đó
Lời giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và trục Ox là: x3+ − + =x2 x 2 0
⇔ + − + = ⇔ = − Vậy toạ độ giao điểm của ( )C và trục Ox là A(−2; 0)
Trang 3Trong đó ta có: x0 = −2;y0 =0 ( ) 2 ( ) ( )
0
f x = x + x− ⇒ f x = f − = Vậy phương trình tiếp tuyến là: y=7(x−2)
Ví dụ 8 [Tham khảo]: Cho hàm số 2 3 ( ) 2 ( )
3
y= x + m− x − m m− x+ Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x x sao cho 1, 2 x12+x22 =8
Lời giải:
Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu ⇔ y'=0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ f x( )=0 có hai nghiệm
⇔ ∆f x > ⇔ m− + m m− > 2 ( )2 1
5
⇔ m − m+ > ⇔ m− > ⇔ ≠m
Khi đó gọi A x y( 1; 1) (, B x y2; 2) lần lượt là tọa độ của hai điểm cực trị, áp dụng định lý Viet cho phương
trình f x( )=0 suy ra
1 2
1 2
1
+ = −
∗
Từ giả thiết, ta có 2 2 ( )2
1 + 2 = ⇔8 1+ 2 −2 1 2 =8
x x x x x x , kết hợp với ( )∗ ta được
1
13
=
=
m
m
Đối chiếu với điều kiện 1
5
≠
13
−
m m là giá trị cần tìm
Ví dụ 9 [Tham khảo]: Cho hàm số ( ) 2 ( )
2
x
y= +x m− − m −m x+ Tìm m để hàm số có cực đại,
cực tiểu sao cho 12 2 1 22 16
9
x x +x x =−
Lời giải:
Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu ⇔ y'=0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ f x( )=0 có hai nghiệm
3
⇔ ∆f x > ⇔ m− + m −m = m − m+ = m− > ⇔ ≠m
Khi đó gọi A x y( 1; 1) (, B x y2; 2) lần lượt là tọa độ của hai điểm cực trị, áp dụng định lý Viet cho phương
;
−
2 2 2 3 16 ( 2) ( )
⇔ m− m − m + m + = ⇔ m − m + m+ = ⇔ = −m
Đối chiếu với điều kiện 5
3
≠
m nên suy ra m= −1 là giá trị cần tìm
Trang 4Ví dụ 10 [Tham khảo]: Cho hàm số ( ) 2 ( )
1
x
y= − x + m− + m m− x
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho 3x CT2 +x CD2 <1
Lời giải:
'= − + 2 −1 + − ; ∀ ∈R
= − − + −
Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu ⇔ y'=0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ f x( )=0 có hai nghiệm
⇔ ∆f x > ⇔ m− − m −m = > ⇔ ∈m R
Khi đó gọi A x y( 1; 1) (, B x y2; 2) lần lượt là tọa độ của hai điểm cực trị, ta có
1
1 2
2
1
=− + ∆ = − + =
=− − ∆ = − − = −
a
a
Mặt khác, vì hệ số của hàm số bậc ba 1 0
3
−
= <
a do đó suy ra x1 =x CT = −m 1; x2 =x CD =m ( )∗
Từ giả thiết, ta có 3x CT2 +x CD2 <1 Kết hợp với ( )∗ ta được
2
− + < ⇔ − + < ⇔ < <
Đối chiếu với điều kiện m∈R nên suy ra 1 1
2< <m là giá trị cần tìm
Ví dụ 11 [Tham khảo]: Cho hàm số: 3 ( ) 2
y= −x m+ x + mx+ ( )C và đường thẳng d y: =2mx+1
a) Tìm m để ( )C có cực đại, cực tiểu tại x x1, 2 thỏa mãn x1−x2 =4
b) Tìm m để d cắt ( )C tại 3 điểm phân biệt A(1;y A), ,B C trong đó A nằm giữa B và C
c) Tìm m để tiếp tuyến tại B và C của ( )C song song với nhau
d) Tìm m để phương trình 3 ( ) 2 2 2
x − m+ x + mx+ = − mx + mx−m có duy nhất một nghiệm
Lời giải:
( )C có cực đại, cực tiểu ⇔ y'=0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔ ∆ = + − > ⇔ + + − >
2
⇔ + + > ⇔ + + + > ⇔ ∈
Khi đó x x là 2 nghiệm của (1), theo Viet thì 1; 2
1 2
1 2
5 3
m
x x
+ = +
=
x −x = ⇔ x −x = ⇔ x +x − x x =
3
m
⇔ + + − = ⇔ + − =
Trang 51 109 6
m − ±
6
m= − ±
b) Hoành độ giao điểm của ( )C và d là nghiệm của phương trình
x − m+ x + mx+ = mx+ (1)
( 3 2 ) ( 2 )
2
1
x
=
⇔
− + + − =
( )C và d cắt nhau tại 3 điểm phân biệt ⇔( )1 có 3 nghiệm phân biệt
( )2
⇔ có 2 nghiệm phân biệt khác 1
2
3
m
∆ = + − − > + + >
≠ −
3 3
m m
+ + + >
≠ −
Với x=1⇒ y=0⇒ A( )1; 0 ứng với đề bài cho
Khi đó x x là 2 nghiệm phân biệt của (2), theo Viet có B; C 3 2
B C
+ = +
= −
Do , B C∈d⇒ y B =2mx B +1; y C =2mx C +1
Khi đó A( )1; 0 nằm giữa B và C⇔ y y B C < ⇔0 (2mx B+1 2)( mx C+ <1) 0
4m x x B C 2m x B x C 1 0 4m 2m 2 2m 3m 2 1 0
⇔ + + + < ⇔ − + + + <
8m 2m 4m 1 0
⇔ − + + <
c) Phương trình tiếp tuyến của ( )C tại B có dạng d1:y=y x'( ) (B x−x B)+y B
Tương tự, phương trình tiếp tuyến của ( )C tại B có dạng
2: 3 C 6 1 C 5 3 C 6 1 C 3 C 1
d y= x − m+ x + m x− x + m+ x − mx +
/ /
d d
⇔
2 2
⇔
− + − − =
⇔
Trang 6( )2 ( )( )
x x
⇔ ≠
Kết hợp với (2) ta được
4 3
thỏa mãn (*)
3
m= −
d) TXĐ: ℝ
YCBT ⇔x3−3x2 + = −3 m2 có duy nhất một nghiệm
⇔ trên ℝ đồ thị hàm số y= −x3 3x2+3 cắt đường thẳng y= −m2 tại một điểm duy nhất
2
x
x
=
= − = − = ⇔
=
y < −m < y ⇔ − < −m < ⇔m < ⇔ − < <m
Đ/s: 1− < <m 1
Ví dụ 12 [Tham khảo]: Cho hàm số y= −x3 2(m+1)x2+(5m−2)x−2m+4 Tìm m để đồ thị cắt Ox tại
3 điểm phân biệt A, B, C biết
a) A(2 ; 0) là trung điểm của BC
b) B, C có hoành độ nhỏ hơn 1
c) Độ dài BC ngắn nhất
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của ( )C và Ox là nghiệm của phương trình
( 3 2 ) ( 2 )
2
2
x
=
⇔ − − − + = ⇔
− + − =
Đồ thị ( )C cắt Ox tại 3 điểm phân biệt A, B, C ⇔( )1 có 3 nghiệm dương phân biệt
( )2
⇔ có 2 nghiệm dương phân biệt khác 2
2
1 2
1 2
2 0
2
m m
x x m
m
∆ = − − > − + >
+ = >
= − >
− + − ≠
(*)
Trang 7a) x=2⇒y=0⇒A( )2; 0 ứng với đề bài cho
Khi đó x x là 2 nghiệm phân biệt của (2), theo Viet có B; C 2
2
B C
x x m
+ =
= −
Ta có A(2 ; 0) là trung điểm của BC
2
2,
0 0
0 0
2 2
m
y y
+
không thỏa mãn (*)
Đ/s: m∈∅
b) B, C có hoành độ nhỏ hơn 1 ⇔( )1 có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 1
Đặt x= +t 1 (t<0) thì (1) thành ( )2 ( ) 2 ( )
t+ − m t+ + − = ⇔ −m t m− t− − =m (2) YCBT ⇔( )2 có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 0
2
1 2
1 2
0
m
∆ = − − − − > − + >
⇔ + < ⇔ − < ⇔ ⇔ < −
> − − > < < −
Kết hợp với (*) ta được m∈∅
Đ/s: m∈∅
B x C x ⇒BC= x −x ⇒BC = x −x
2
7,
BC
⇒ ≥ dấu " "= xảy ra 1,
2
m
⇔ = ko thỏa mãn (*)
Đ/s: m∈∅
Ví dụ 13 [Tham khảo]: Cho hàm số 1 3 2 2
y= x −mx − + +x m Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb có hoành độ thỏa mãn x12+ +x22 x32 >15
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của ( )C và trục hoành là nghiệm của phương trình
3x −mx − + + = ⇔x m 3 x − mx − +x m+ =
( 3 ) ( 2 )
2
1
3 1 3 2 0 (2)
x
=
⇔
− − − − =
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm phân biệt
⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1
Trang 8( ) ( )
2
2
∆ = − − − − >
⇔
− − − − ≠
0
m
+ + > + + + >
Không mất tính tổng quát, giả sử x3 =1 khi đó x x là 2 nghiệm phân biệt 1; 2
Theo viet có 1 2
1 2
+ = −
= − −
1 2 3 15 1 2 2 1 2 1 15
x + +x x > ⇔ x +x − x x + >
1
m
m
>
⇔ − − − − > ⇔ > ⇔ > ⇔
< −
Kết hợp với (*) ta được 1
1
m m
>
< −
thỏa mãn
Ví dụ 14 [Tham khảo]: Cho hàm số 3 2
y= −x mx + m− x+ m−
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb có hoành độ thỏa mãn x12+ + +x22 x32 x x x1 2 3 =20
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của ( )C và trục hoành là nghiệm của phương trình
x − mx + m− x+ m− =
x − mx + m− x+ m− = −x x x−x x−x
3 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 2 3 3 1
1 2 3
3
6 6
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x m
+ + =
1 2 3 1 2 3 20 1 2 3 2 1 2 2 3 3 1 1 2 3 20
x + + +x x x x x = ⇔ x + +x x − x x +x x +x x +x x x =
2
3
m
m
=
⇔ − − + − = ⇔ − − = ⇔
= −
Thử lại ta thấy m=2 và 2
3
m= − ta thấy thỏa mãn
Thầy Đặng Việt Hùng
