(CVA) Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC.. Cho tam giác ABC. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ I. Chứng minh rằng AB BC CA AB BC CA. Tìm toạ độ giao điểm hai đường chéo của tứ giác ABCD. a) Tính t[r]
Trang 1CHƯƠNG 1 VÉC TƠ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
A VÉC TƠ Dạng 1 Chứng minh một đẳng thức vectơ
1 Cho tam giác ABC có AI là trung tuyến và D là trung điểm của AI Chứng minh rằng 2MA MB MC 4MD, M
2 Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD Chứng minh rằng 2MN AC BD BC AD
3 Cho hai tam giác ABC và A 'B'C ' có trọng tâm lần lượt là G và G '. Chứng minh rằng 1
GG ' (AA ' BB' CC ') 3
4 Cho tam giác ABC Dựng ra ngoài tam giác các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng minh rằng RJ IQ PS 0
5 Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm
6 Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tuỳ ý trong tam giác Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ
từ M đến BC, AC, AB Chứng minh rằng: 3
2
7 Cho tam giác ABC Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác
a) Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh rằng AH 2OI
b) Chứng minh rằng OA OB OC OH
c) Chứng minh rằng G, H, O thẳng hàng
Dạng 2 Xác định điểm thoả mãn hệ thức vectơ
8 Cho tam giác ABC Xác định các điểm M, N, P, Q, R, S thoả mãn các hệ thức sau đây:
a) 2MA 3MB 0
b) NA NB 2NC 0
c) PA PB 2PC 0 d) QA QB QC 2BC
e) RA uuur + RB uuur uuur - RC = BC uuur g) 2SA SB SC CA
9 Cho hình bình hành ABCD Xác định điểm M thoả mãn MA uuur + 2MB uuur + 2MC uuur + MD uuur = 0 r
Dạng 3 Tìm quỹ tích điểm thoả mãn hệ thức vectơ
10 (CVA) Cho tam giác ABC Tìm quỹ tích các điểm M, N, P, Q thoả mãn:
a) MA MB MC a 0.
b) 2 NA NB NC 3 NB NC
c) PA PB PC PA PB
d) 2QA QB QC 2QA QB QC
Dạng 4 Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
11 Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho MB 3MC
Hãy phân tích véc tơ AM
theo hai vectơ a AB, b AC
12 Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC Hãy phân tích các véc tơ AB, BC, CA
theo hai vectơ
a AK, b BM
Dạng 5 Chứng minh ba điểm thẳng hàng
13 (CVA) Cho tam giác ABC có I là trung điểm của BC Gọi M và N là hai điểm thoả mãn MA 3MB 0
và NA 3NC 0
a) Phân tích vectơ MI, MN
theo hai vectơ a AB, b AC
b) Chứng minh ba điểm M, I, N thẳng hàng
14 (CVA) Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC K và I là hai điểm thoả mãn 1
5
3
a) Phân tích vectơ BI, BK
theo hai vectơ a AB, b AC
b) Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng
1
Trang 215 Cho tam giác ABC Gọi M và N là hai điểm thoả mãn MA 2MB 0
và 3NA 2NC 0
Chứng minh ba điểm M, N và trọng tâm G thẳng hàng
B HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
I Hệ trục Ox.
16 Cho điểm A( 2), B(7), C( 5) Tìm điểm M(x) thoả mãn điều kiện:
17 Cho bốn điểm A, B, C, D trên trục Ox Chứng minh rằng AB.CD AC.DB AD.BC 0
18 (*) Cho ba điểm A, B, C trên trục Ox Gọi A ', B', C ' tương ứng là các điểm đối xứng với A, B, C qua gốc toạ độ Chứng minh
AB' BC' CA ' AB' BC ' CA '
II Hệ trục Oxy.
19 Trên hệ trục toạ độ Oxy, cho các vectơ a (2,1) , b (3, 4) , c ( 7, 2) a) Tìm toạ độ của véc tơ x 3a 2b 4c b) Tìm toạ độ của véc tơ y
biết rằng x 2a 3b 4c c) Tìm các số m và n sao cho có hệ thức vectơ c ma nb
20 Trên hệ trục toạ độ Oxy, cho các điểm A(1, 2), B( 2, 0), C(0, 5) Tìm điểm M có toạ độ (x, y) sao cho
21 Cho 1
2
, v mi 4j Tìm m để: a) u và v cùng phương b) 2u 3v a với a ( 1, 2)
22 Cho tứ giác ABCD có A(–1, 7), B(–1, 1), C(5, 1), D(7, 5) Tìm toạ độ giao điểm hai đường chéo của tứ giác ABCD
23 a) Cho a (2, 2) và b (1, 4) Hãy phân tích véc tơ c (5,0) theo hai véc tơ a và b
b) Cho a (x, 2), b ( 1, y), c (x,7) Tìm x và y biết rằng c 2a 3b
24 Cho điểm A(–1, –2), B(3, 2), C(4, –1)
a) Tìm toạ độ M để ABCD là hình bình hành b) Tìm toạ độ M để AMBC là hình bình hành
25 Các điểm M(– 4, 1), N(2, 4), P(2, –2) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC
a) Tính toạ độ các đỉnh của tam giác ABC
b) Chứng minh rằng trọng tâm của các tam giác ABC và MNP trùng nhau
26 Cho tam giác ABC có trọng tâm G(2, 3), hai đỉnh A và B có toạ độ là A( 2, 3), B(3, 4) Tìm toạ độ đỉnh C
27 Cho tam giác ABC có ba điểm A(–1, 2), B(1, 1), C(2, –1)
a) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC
b) Tìm điểm D trên trục hoành sao cho A, B, D thẳng hàng
c) Tìm điểm E trên trục Ox sao cho tam giác ABE là tam giác vuông tại A
d) Tìm điểm F trên trục Oy sao cho tam giác ACF là tam giác cân tại F
e) Tìm chân đường phân giác trong và chân đường phân giác ngoài góc A của tam giác ABC
28 Nhận dạng tam giác ABC trong các trường hợp sau:
a) A(–1, 1), B(1, 3), C(2, 0) b) A(10, 5), B(3, 2), C(6, –5)
2