Các khái niệm cơ bản về vec tơ lớp 10

Hai vec tơ cùng phương : là 2 vec tơ có giá song song hoặc trùng nhau.. Hai vec tơ cùng hướng 2 vec tơ cùng phương thì có thể cùng hướng, ngược hướng... Hai vec tơ bằng nhau cùng hướng

VEC TƠ _ CỘNG TRỪ HAI VÉC TƠ _ NHÂN VEC TƠ VỚI 1 SỐ

I Các định nghĩa

1 Vec tơ

Vec tơ là đoạn thẳng có hướng

Kí hiệu: ⃗⃗⃗⃗⃗ là vec tơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B

2 Vec tơ không: là vec tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau

Kí hiệu: ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗

3 Giá của vec tơ

A B

Đường thẳng AB là giá của ⃗⃗⃗⃗⃗

4 Hai vec tơ cùng phương : là 2 vec tơ có giá song song hoặc trùng nhau

A B

C D

AB // CD  ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ cùng phương

5 Hai vec tơ cùng hướng

2 vec tơ cùng phương thì có thể cùng hướng, ngược hướng

A

B

C D

N M

⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

6 Độ dài vec tơ: là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối

Kí hiệu: | ⃗⃗⃗⃗⃗ |

7 Hai vec tơ bằng nhau cùng hướng

độ dài bằng nhau

VD:

II Tổng 2 vec tơ

1 Tổng 2 vec tơ

⃗

+ ⃗

⃗⃗

2 Các quy tắc

a) Qui tắc ba điểm

Với 3 điểm A, B, C bất kì ta có:

⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗

b) Qui tắc hình bình hành

c) Hệ thức trung điểm

A M B

M là trung điểm của AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ =2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

O là điểm bất kì

d) Tính chất

( + ⃗ +( ⃗ )

+ ⃗ = ⃗ +

+ ⃗ ⃗

Ví dụ: Cho bốn điểm M, N, P, Q bất kì

CMR:

a) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) + ⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( đpcm)

b) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

= ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (đpcm) c) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (đpcm)

Ví dụ 2: Cho ∆ABC đều nội tiếp (O)

a Xác định các điểm M; N; P thỏa mãn ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

b CMR: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

Giải:

a) Dựng hình bình hành OAMB

 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

Tương tự ta dựng được N, P

b) CMR: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

MA = MB; OA = OB; CA = CB

 M, O, C thuộc đường trung trực AB

 M, O, C thẳng hàng

c) Tứ giác OAMB là hình thoi AM = AO

Mà ̂ = 600

 OM = OA = AM = R

 M(O)

Ta có: ( ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (Vì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )

= ⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗

Chú ý

G là trọng tâm ∆ABC ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (M la điểm bất kỳ)

III Phép trừ 2 vec tơ

1) Vec tơ đối

⃗ ⃗  là vec tơ đối của ⃗

⃗ là vec tơ đối của

2) Quy tắc 3 điểm

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (O, A, B bất kỳ)

IV Nhân vec tơ với một số

1) Nhân vec tơ với một số

Cho ; k  R

k cùng hướng nếu k 0

k cùng hướng nếu k 0

| | | | | |

2) Tính chất

( ⃗ ) ⃗

k.(

Ví dụ:

CMR: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (Vì ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ (đpcm)

V Chú ý

1) , ⃗ cùng phương  ⃗ (k  0; ⃗  0)

2) thẳng hàng  ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (k  R)