Chuyen de giai phuong trinh

[r]

Trang 1

1.Sử dụng ẩn phụ đưa phương trình về phương trình bậc n đối với ẩn phụ:

1.1 Một số dạng phương trình thường gặp:

Dạng 1: a f(x) b.n f(x) c 0 (1)

Đặt t = n f(x)

(1) trở thành: atn + bt + c = 0

Tìm t -> tìm x

VD1: Giải phương trình:

x2 +2x +12 = 6 2 2 4 4



 x

Đặt t = 2 2 4 4



 x

x (Điều kiện cần t  0)

Phương trình trở thành: t2 – 12t + 20 = 0

<=> [ 10

2



t

t  Tìm x Tập nghiệm: S = {-8; -2; 0; 6}

VD2: Giải phương trình: 3x – 4 = 5 1  2x

Đặt t = 5 1  2x

Phương trình trở thành: 3t2 + 2t +5 = 0

<=> t = -1

 Tìm x

Dạng 2: (f(x) + g(x)) + ( f (x)  g (x))  2 f(x).g(x) + = 0

Đặt t = f (x)  g ( x)

 t2 = f(x) + g(x)  2 f(x).g(x)

 Phương trình trở thành:  t2 +  t +  = 0

3 2  x- 2 x 3 = 5x + 12 6  x  x2 - 30 = 0

ĐK: -3x 2

Đặt t = 3 2  x- 2 x 3

 t2 = 30 – 5x – 12 2

6  x  x

Phương trình trở thành: t = -t2

<=> [ 0

1



t

t Tìm x

Dạng 3:  n f(x) +  2n f(x).g(x) +  n g(x) = 0 ; n = 1,2,3,… Cách 1: Chia cả 2 vế cho n g(x) , ta được phương trình:

 t2 +  t +  = 0 Cách 2: Đặt 2n f(x) = t2n g(x) (f(x), g(x)  0)…

Ta được phương trình: n g(x)( t2 +  t + ) = 0

x2 - 3x +1 = 4 2 1



x x

Phương trình <=> 2(x2 – x +1) – (x2 + x + 1) = (x 2 - x  1)(x 2  x  1)

Trang 2

Cách 1: <=>2

1

2 2





x x

-

1

1 x

2 2





x x

x - 1 = 0 Do x2 + x+ 1 >0 x

Đặt t =

1

1 x

2





x x

x

Phương trình trở thành: 2t2 – t – 1 = 0

=>t => Tìm x

Cách 2: Đặt x 2 - x 1

 = t x 2 x 1



Ta có x 2 x 1



 (2t2 – t – 1) = 0 VD2: Giải phương trình:

3 x 1 + 3 3 x 3 = 46 x2  2 x 3

ĐK: [ 3

1







x x

Dễ thấy x = 3 không phải là nghiệm của phương trình

+) Với x > 3 Phương trình  3

3

1





x

- 6

3

1 4





x

+3 = 0 Đặt t = 6

3





x

(Đk cần t 0)

Ta có t2 – 4t +3 = 0 +) Với x  -1 Phương trình  3

3

) 1 (







x

3

) 1 ( 4

x





 +3 = 0

Đặt t = 6

3

) 1 (

x





 Ta có:

t2 +4t +3 =0

 Tìm t

 Tìm x

1.2 Một vài ví dụ khác:

9x2 – 8x +1 = 2 2x 1

Đặt t = 2 x 1 (t  0)

Phương trình trở thành: 9t4 +2t2 – 8t –3 = 0

 t = 1

 Tìm x

x +

4

1 2

1



Đặt t =

4

1



x (t  0)

 Tìm t

 Tìm x

Trang 3

2x 3 x 2 + 5 3 x 2 = x + 16 Đặt t = 3 x 2 (t  0)

 x =

3

2

2 

t

Phương trình bậc 3 ẩn t  Tìm x

x +

1

2



x

= 1235 Điều kiện có nghiệm x > 1 Đặt t = 1x

Phương trình trở thành: 1t + 2

1

t

 = 1235

 12(t + 1 t 2 ) = 35t 1 t 2

Sử dụng ẩn phụ đưa phương trình về phương trình dối với ẩn phụ, còn

ẩn phụ ban đầu coi là tham số:

(1+x) x 1 +1 = 2x Đặt t = x 1 (t  0)

Phương trình trở thành:

t2 – (1+x)t + x = 0

 [  1



t x

t  Tìm x

2x2 +2 – (3x - 1) x 2 = 0 Đặt t = x 2 (t  0)

Phương trình trở thành: t2 – (3x - 1)t + 2x2 – x = 0

 [  2  1



x t x

t  Tìm x

Sử dụng ẩn phụ đưa về phương trình tích:

8 7

2 2



 x

x - x = x – 2 ĐK: x  0

Phương trình  2 (x 2 )2 x = x – 2 + x

Đặt    2



x

u

x v

Ta có: 2u 2 v2 = u + v

2



u v

2 2 4







x x

x2 + 3x +1 = (x+3) 2 1



x

Trang 4

Đặt  1

3

2 







x

u

x

v

Ta có: u2 +3v - 9 = uv

 ( u – 3 )( u + 3 – v ) = 0

3





u

v

Tìm x

VD3: 3 x 1 + 3 x 2 = 3 2 x 1

3

1 2









x u

x v

Ta có: u + v = 3 u 3 v3

 uv(u+v) = 0  Tìm x

(x+1) x 1 - (x + 2) 1  x + 1  x2 -2 = 0 ĐK: -1  x  1

1









x u

x

v (u  0, v  0 )  u2 + v2 = 1

Ta có: u3 – (u+1)v + uv - 2 = 0

 (u2 + v)(u - v - 1) = 0

 Tìm x

Sử dụng ẩn phụ đưa về hệ phương trình:

4  x = 2 + 3x 2

4  x

ĐK: -2  x  2

Đặt y = 4  x2 Ta có hệ phương trình:

 4

2







y x

xy y

Tổng quát dạng:

1.1 F(x, n a  x n ) = 0 (n = 2,3,…) Đặt y = n a  x n

Hệ phương trình đối xứng loại I đối với x, y

1.2 F( n f(x), n g(x)) = 0 , trong đó f(x) + g(x) = k,

Với F(u,v) = F(v,u)

n x f u

x g v

) ( ) (



=> Hệ phương trình đối xứng loại I đối với u,v

x2 – 4 = 16 2 x 1

 x2 – 4 = 8 8 x 4

Đặt y = 8 x 4, y  0

Trang 5

Ta có hệ phương trình: { 2 4 8

8 4

x

x y









 Tìm x,y

Tổng quát: Phương trình dạng:

2.1 x n = a n ax  b +b

=> Đặt y = n ax  b

=> hệ phương trình đối xứng loại II đối với x, y

2.2 n ax  b = c(dx + e)n +  x +

Trong đó











ac d bc e

Đặt n ax  b = dy +e Ta có hệ phương trình







x e dx c e dy

b ax e

dy

n n

) ( ) (



c dx e ac d x dy bc

bc acx e

dy c

n n













) (

 d(x-y).f(x,y)=0

 Tìm x,y … VD3: Giải phương trình:

x2 +6x – 14 = 98  35x  6x2

Đặt x2 +6x – 14 = t (t  0)

 98 – 35x – 6x2 = x – 6t +14

Ta có hệ phương trình:

14 6

2 2













x t x

t x t

 Tìm t, x

Tổng quát phương trình dạng:

ax2 + bx + c = px2qxr (ap  0) Trong đó:

p = -b

q =

a

b2

r =  c( 1a b) Đặt t = ax2 + bx + c , t  0

ax2 + bx + c = t

at2 + bt +c = x

 Tìm t, x

3 x 2 + x 1 = 3

Trang 6

Đặt

1









x u

x v

u + v = 3

u3 – v2 = -3

 Tìm u, v  Tìm x Tổng quát: Phương trình dạng:

n f(x)

 + m g(x) + = 0 Trong đó : af(x) + bg(x) = c Đặt

 n m x f u

x g v

) ( ) (









u v

c bv

 Tìm u, v  Tìm x

2 3

2



 x



x

ĐK:

0 1

2











x x

Đặt

1

2 2











x x u

x x v

u +v = v2 – u2

 (u + v)(u – v +1) = 0

 Tìm u, v  Tìm x

Tổng quát:

)

(x

f  g (x) =  (f(x)  g(x))

VD6:

1

2 2



 x



 x

x + x  x 2

ĐK:

Đặt:

u = 2 2 1



x

v = 2 3 2



 x x

w = 2 2 2 3



 x x

t = x  x 2

Trang 7

 u v w t

t w v u











2

  u v w t

t w

v

u











  u w

t

v



  Tìm x

Tổng quát phương trình dạng:

)

(x

f - g (x) = h (x) - k (x)

Trong đó : f(x) – g(x) =  (h(x) – k(x))

Phương trinh lượng giác hóa:

VD1: Giải phương trình

2 1

1   x = x(1+2 1  x2 )

ĐK: x  1

2

, 2 [   



t

cos

1  = sint(1+ 2cost)

 Tìm t

 Tìm x

x





1

+ x x



 1

1 + 4x = 0 ĐK: -1  x  1

2 , 0



t

2 cos

1

2 cos

1





+ 11 coscos22t t





+ 4cos2t = 0

Tổng quát: Phương trình chứa a  x2 có thể

Đặt x = a sin t , t ]

2

, 2 [   



Hoặc x = a cos t , t [ 0 ,  ] Phương trình chứa a  x2 có thể

Đặt x = a tan t , t )

2

, 2 (   



Hoặc x = a cot t , t (  0 , )

Phương trình chứa a a x x



 hoặc a a x x





có thể Đặt x = acos2t

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	448 KB