Chuyên đề Phương pháp giải phương trình vô tỉ (Thầy Giáo: Vũ Hoàng Sơn)

Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường  Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt t  f x  và chú ý điều kiện của t nếu phương trình ban đầu trở thành phương trìn[r]

CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Thầy Giáo: Vũ Hoàng Sơn

I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

1 Bình phương 2 vế của phương trình

a) Phương pháp

Dạng 1 : Phương trình A B A B 0 x D (*)

A B







Lưu ý: Điều kiện (*) được chọn tuỳ thuôc vào độ phức tạp của A0 hay B0

Dạng 2: Phương trình A B B 02

A B





  





Dạng 3: Phương trình

0 0 2

A

 



 +) 3 A3 B  3C   A B 33 A B 3 A3 BC

và ta sử dụng phép thế :3 A 3 B C ta được phương trình : A B 33 A B C C 

b) Ví dụ

Bài 1. Giải phương trình sau : x 3 3x 1 2 x 2x2

Giải: Đk x0

Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được:1 x3 3 x  1 x 2 x x2 1, để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút

Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình : 3x 1 2x 2 4x x3

Bình phương hai vế ta có : 6x28x 2 4x212x  x 1

Thử lại x=1 thỏa mãn

 Nhận xét : Nếu phương trình : f x  g x  h x  k x 

Mà có : f x   h x g x   k x , thì ta biến đổi phương trình về dạng : f x  h x  k x  g x  sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả

Bài 2 Giải phương trình sau :

3

2 1

3

x

x





Giải: Điều kiện : x 1

Bình phương 2 vế phương trình ?

Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào?

Ta có nhận xét : , từ nhận xét này ta có lời giải như sau :

3

2 1

3

x

x

 3

2 1

3

x

x





Bình phương 2 vế ta được:

3

1

x x

  

   

Thử lại :x 1 3,x 1 3 l nghiệm

Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình : f x  g x  h x  k x 

Mà có : f x h x        k x g x thì ta biến đổi f x  h x  k x  g x 

Bài 1: Giải phương trình:

a) x2  1 x 1

b) x 2x 3 0

c) x2 x 1 1

e) 3x 2 x 1 3

f) 3 x 2 x 1 g) x  9 5 2x4 h) 3x 4 2x 1 x3 i) (x3) 10x2 x2 x 12

2 Trục căn thức

2.1 Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung

a) Phương pháp

Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x0 như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích

ta có thể giải phương trình hoặc chứng minh vô nghiệm , chú ý điều kiện

của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía A x 0 vô nghiệm

b) Ví dụ

Bài 1 Giải phương trình sau : 3x25x 1 x2 2 3x2  x 1 x23x4

Giải:

Ta nhận thấy : 3x25x 1 3x23x3 2x2 v x22  x23x43x2

Ta có thể trục căn thức 2 vế :

Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 2 Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : x212 5 3  x x25

Giải: Để phương trình có nghiệm thì : 2 2 5

3

Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng

, để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau :

x2  A x 0

 

 

12 4 5 3

          

   

Dễ dàng chứng minh được :

3 0,

3

x

Bài 3 Giải phương trình :3 x2  1 x x31

Giải :Đk x 32

Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình

3

3

3 3 9 3

1 2 3 2 5 3 1

2 5

1 2 1 4

x

x



           

 

   

Ta chứng minh :

3

2 3

2 5

x



  Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3

2.2 Đưa về “hệ tạm “

a) Phương pháp

 Nếu phương trình vô tỉ có dạng A B C , mà : A B C

ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của Ta có thể giải như sau :x

, khi đĩ ta có hệ:

A B

A C







b) Ví dụ

Bài 4 Giải phương trình sau : 2x2  x 9 2x2   x 1 x 4

Giải:

Ta thấy : 2x2  x 9 2x2  x 1 2x4

không phải là nghiệm

4

x 

Xét x 4

x

Vậy ta có hệ:

2

0

x

x





Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 v x=8

7

Bài 5 Giải phương trình : 2x2  x 1 x2  x 1 3x

Ta thấy : 2x2  x 1 x2  x 1 x22x, như vậy không thỏa mãn điều kiện trên

Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt 1 thì bài toán trở nên đơn giản hơn

t x



Bài tập đề nghị

Giải các phương trình sau :

x  x  x x 

(HSG Toàn Quốc

4 3 10 3  x  x 2

2002)

2 2x 5x  x 2x 10x

2

3 x  4 x 1 2x3

3 x  1 3x  2 3x2

(OLYMPIC 30/4-2007)

2x 11x21 3 4 x 4 0

2x  1 x 3x 2 2x 2x 3 x  x 2

2x 16x18 x  1 2x4

3 Phương trình biến đổi về tích

 Sử dụng đẳng thức

u v  uv u v 

au bv ab vu    u b v a  

Bài 1 Giải phương trình : 3 x 1 3 x  2 1 3 x23x2

1

x

x







Bi 2 Giải phương trình : 3 x 1 3 x2  3 x3 x2x

Giải:

+ x0, không phải là nghiệm

+ x0, ta chia hai vế cho x: 3 1 3 3 3 1 3 

Bài 3 Giải phương trình: x 3 2x x 1 2x x24x3

Giải: dk x:  1

0

x

x







Bài 4 Giải phương trình : 4

3

x

x



Giải:

Đk: x0

Chia cả hai vế cho x3: 1 4 2 4 1 4 2 0 1

x

 Dùng hằng đẳng thức

Biến đổi phương trình về dạng :A k B k

Bài 1 Giải phương trình : 3 x x 3x

Giải:

Đk: 0 x 3 khi đó pt đ cho tương đương :x3 3x2 x 3 0

Bài 2 Giải phương trình sau :2 x 3 9x2 x 4

Giải:

Đk:x 3 phương trình tương đương :  2 2 1

3 1 3

18

x

x





 

   

Bài 3 Giải phương trình sau : 3 2  3  2

2 3 9 x x2 2x3 3x x2

3 x 2 33x 0 x 1

II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ

1 Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường

 Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt t  f x  và chú ý điều kiện của nếu t

phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó t

theo thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn ” Nói chung những phương trình mà có thể đặt hoàn toàn t t  f x  thường là những phương trình dễ

Bài 1 Giải phương trình: x x2 1 x x2 1 2

Điều kiện: x1

Nhận xét x x21 x x2 1 1

Đặt t  x x21 thì phương trình có dạng: t 1 2 t 1

t

    Thay vào tìm được x1

Bài 2 Giải phương trình: 2x26x 1 4x5

Giải

Điều kiện: 4

5

x 

Đặt t  4x5(t 0) thì 2 5 Thay vào ta cĩ phương trình sau:

4

t

(t 2t 7)(t 2t 11) 0

Ta tìm được bốn nghiệm là: t1,2   1 2 2;t3,4  1 2 3

Do t 0 nên chỉ nhận các gái trị t1  1 2 2,t3  1 2 3

Từ đĩ tìm được các nghiệm của phương trình l: x 1 2 và x 2 3

Cách khác: Ta cĩ thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện 2x26x 1 0

Ta được: x x2( 3)2 (x 1)2 0, từ đĩ ta tìm được nghiệm tương ứng

Đơn giản nhất là ta đặt : 2y 3 4x5 và đưa về hệ đối xứng (Xem phần dặt ẩn phụ đưa về hệ)

Bài 3 Giải phương trình sau: x 5 x 1 6

Điều kiện: 1 x 6

Đặt y x1(y0) thì phương trình trở thnh: y2 y  5 5 y410y2 y 20 0 ( với y 5)

Từ đĩ ta tìm được các giá trị của 11 17

2



Bài 4 (THTT 3-2005) Giải phương trình sau :    2

Giải: đk 0 x 1

Đặt y 1 x pttt  2 2 

Bài 5 Giải phương trình sau : 2 1

x

Giải:

Điều kiện:   1 x 0

Chia cả hai vế cho x ta nhận được: 1 1

Đặt 1, ta giải được

t x

x

 

Bài 6 Giải phương trình : x2 3 x4x2 2x1

Giải: x0 khơng phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được: 1 3 1

2

Đặt t=3 1 , Ta cĩ :

x

x

2

t   x 

Bài tập đề nghị

Giải các phương trình sau

2 2

15x2x  5 2x 15x11

2

(x5)(2x) 3 x 3x

2

(1x)(2x) 1 2  x2x

2

3x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x2

2 (1n x) 3 1n x n(1x) 0

2

(x3 x2)(x9 x18) 168 x

3

1x 2 1x 3

Nhận xét : đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp bài đơn giản, đôi khi phương trình

đối với lại quá khó giải t

2 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :

 Chúng ta đã biết cách giải phương trình: u2uvv2 0 (1) bằng cách

Xét v0 phương trình trở thành :

2

0

     

thử trực tiếp

0

v

Các trường hợp sau cũng đưa về được (1)

 a A x  bB x c A x B x   

 uv mu2nv2

Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này

a) Phương trình dạng : a A x  bB x c A x B x   

Như vậy phương trình Q x  P x  có thể giải bằng phương pháp trên nếu      







Xuất phát từ đẳng thức :

x   x x  x

x x   x  x  x  x  x x  x

4x  1 2x 2x1 2x 2x1

Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như:4x22 2x 4 x4 1

Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai at2  bt c 0 giải “ nghiệm đẹp”

Bài 1 Giải phương trình : 2x225 x31

Giải: Đặt u x1,v x2 x 1

Phương trình trở thành :  2 2 Tìm được:

2

2







 



2

x 

Bài 2 Giải phương trình : 2 3 4 2

3

Bài 3: giải phương trình sau :2x25x 1 7 x31

Giải:

Đk: x1

Nhận xt : Ta viết  x 1  x2  x 1 7 x1 x2 x 1

Đồng nhất thức ta được: 3x 1 2x2  x 1 7 x1 x2 x 1

Đặt u  x 1 0 ,v x 2  x 1 0, ta được:

9

4







 



Ta được :x 4 6

Bài 4 Giải phương trình : 3 2  3

Giải:

Nhận xét : Đặt y x2 ta hãy biến pt trên về phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y :

3 3 2 2 3 6 0 3 3 2 2 3 0

2







Pt có nghiệm :x2, x 2 2 3

b).Phương trình dạng : uv mu2nv2

Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên

Bài 1 giải phương trình : x23 x2 1 x4x21

Giải:

Ta đặt : khi đó phương trình trở thành :

2

2 1

 







2 2 3

u v u v

Bài 2.Giải phương trình sau : x22x 2x 1 3x24x1

Giải

Đk 1 Bình phương 2 vế ta có :

2

x x22x 2x 1 x2 1 x22x 2x 1 x22x2x1

Ta có thể đặt : khi đó ta có hệ :

2 2





2 2

2

2











Bài 3 giải phương trình : 5x214x 9 x2 x 20 5 x1

Giải:

Đk x5 Chuyển vế bình phương ta được: 2x25x 2 5 x2 x 20 x1

Nhận xét : không tồn tại số  , để : 2x25x 2  x2 x 20 x1 vậy ta không thể đặt

1

v x



 



Nhưng may mắn ta có : x2 x 20 x 1 x4x5x 1 x4 x24x5

Ta viết lại phương trình: 2x24x 5 3x45 (x24x5)(x4) Đến đây bài toán được giải quyết

Các em hãy tự sáng tạo cho mình những phương trình vô tỉ “đẹp “ theo cách trên

3 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn

 Từ những phương trình tích  x 1 1 x  1 x 20, 2x 3 x 2x  3 x 20

Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát

Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau

Bài 1 Giải phương trình :x2 3 x22x 1 2 x22

Giải:

, ta có :

2 2

1

t







Bài 2 Giải phương trình : x1 x22x 3 x21

Giải:

Đặt : t  x22x3, t  2 Khi đó phương trình trở thnh : x1t x21 x2 1 x1t 0

Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có chẵn :

1

t

t x







Từ một phương trình đơn giản :  1 x 2 1x 1  x 2 1x0, khai triển ra ta sẽ được pt sau

Bài 3 Giải phương trình sau : 4 x  1 1 3x2 1 x 1x2

Giải:

Nhận xét : đặt t  1x, pttt: 4 1 x 3x 2t t 1x (1)

Ta rút x 1 t2 thay vào thì được pt: 3t2 2 1x t 4 1  x 1 0

Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t   2  không có dạng

bình phương

Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo   2 2

1x , 1x

Cụ thể như sau : 3x  1 x 2 1x thay vào pt (1) ta được:

Bài 4 Giải phương trình: 2 2x 4 4 2 x 9x216

Giải

Bình phương 2 vế phương trình: 4 2 x416 2 4 x216 2 x9x216

Ta đặt : t  2 4 x20 Ta được: 9x216t32 8 x0

Ta phải tách 9x2 2 4 x2 9 2 x28 làm sao cho t có dạng chính phương

Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích

4 Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích

 Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ mà khi giải nó chúng

ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ

Xuất phát từ đẳng thức  3 3 3 3    , Ta có

3

a b c  a b  c a b b c c a  

 3    

a b c  a b c   a b a c b c   

Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ có chứa căn bậc ba

37x 1 x   x 8 x 8x 1 2

33x 1 35 x 3 2x 9 3 4x 3 0

Bài 1 Giải phương trình :x 2x 3 x 3x 5 x 5x 2x

2 3

5



  



2 2 2

2 2

u v u w





Bài 2 Giải phương trình sau : 2x2 1 x23x 2 2x22x 3 x2 x 2

Giải Ta đặt : , khi đó ta có :

2

2

2

2

2













a b c d

x

  



  





Bài 3 Giải các phương trình sau

1) 4x25x 1 2 x2  x 1 9x3

5 Đặt ẩn phụ đưa về hệ:

5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường

 Đặt u  x v,   x và tìm mối quan hệ giữa   x và   x từ đó tìm được hệ theo u,v

Bài 1 Giải phương trình: x325x x3 325x330

Đặt y 335x3 x3y3 35

Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau: 3( 3 ) 30, giải hệ này ta tìm được

35

xy x y







Tức là nghiệm của phương trình là

Bài 2 Giải phương trình: 4 41

2 1

2

Điều kiện: 0 x 2 1

4

2 1

x u

x v







Ta đưa về hệ phương trình sau: 4 4

2

4

1 1

2 2

1

2

u v

Giải phương trình thứ 2: , từ đó tìm ra rồi thay vào tìm nghiệm của phương trình.

2

4

1

2

v  v  

Bài 3 Giải phương trình sau: x 5 x 1 6

Điều kiện: x1

Đặt a x1, b 5 x1(a0,b0) thì ta đưa về hệ phương trình sau:

2

2

5

5

  



 



2

Bài 8 Giải phương trình: 6 2 6 2 8

3

Giải

Điều kiện:   5 x 5

Đặt u 5x v,  5y 0u v,  10

Khi đó ta được hệ phương trình:

2

3 3

u v

u z

uv



5.2 Xây dựng phương trình vô tỉ từ hệ đối xứng loại II

 Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II

 Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau :   việc giải hệ này thì đơn giản

2

2







Bây giời ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt y f x  sao cho (2) luôn đúng , y x 2 1, khi đó

Vậy để giải phương trình : x22x x2 ta đặt lại như trên và đưa về hệ

Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 :   , ta sẽ xây dựng được phương trình dạng sau

2

2







: đặt y  ax b , khi đó ta có phương trình :  2 a

Tương tự cho bậc cao hơn :  n a n

Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khai triển ta phải viết về dạng :  x n  p a x b n '  '  v đặt

để đưa về hệ , chú ý về dấu của ???

n

Việc chọn  ; thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng : x n  p a x b n '  '  là chọn được

Bài 1. Giải phương trình: x22x2 2x1

Điều kiện: 1

2

x

Ta có phương trình được viết lại là: (x1)2 1 2 2x1

Đặt y 1 2x1 thì ta đưa về hệ sau:

2 2







Trừ hai vế của phương trình ta được (x y x y )(  ) 0

Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: x 2 2

Bài 6 Giải phương trình: 2x26x 1 4x5

Giải

Điều kiện 5

4

x 

Ta biến đổi phương trình như sau: 4x212x 2 2 4x 5 (2x3)2 2 4x 5 11

Đặt 2y 3 4x5 ta được hệ phương trình sau: 2

2

x y x y





Với x y 2x 3 4x   5 x 2 3

Với x y        1 0 y 1 x x 1 2

Kết luận: Nghiệm của phương trình là {1 2; 1 3}

Các em hãy xây dựng một sồ hệ dạng này ?

D ạng hệ gần đối xứng

Ta xt hệ sau : đây không phải là hệ đối xứng loại 2 nhưng chúng ta vẫn giải hệ được

2 2

(1)







, và từ hệ này chúng ta xây dưng được bài toán phương trình sau :

Bài 1 Giải phương trình: 4x2 5 13x 3x 1 0

Nhận xét : Nếu chúng ta nhóm như những phương trình trước :

2

Đặt 13 thì chúng ta không thu được hệ phương trình mà chúng ta có thể giải được

4

Để thu được hệ (1) ta đặt : y  3x1 , chọn  , sao cho hệ chúng ta có thể giải được , (đối xứng hoặc

gần đối xứng )

2 2

(*)





Để giải hệ trên thì ta lấy (1) nhân với k cộng với (2): và mong muốn của chúng ta là có nghiệm x y

Nên ta phải có : , ta chọn được ngay

Ta có lời giải như sau :

Điều kiện: 1, Đặt

3

2

x   y y

Ta có hệ phương trình sau:

2 2





8

x  y x 