Sau khi đi đợc 2/3 quãng đờng với vận tốc đó, vì đờng khó đi nên ngời lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10 km trên quãng đờng còn lại.. Để đúng giờ dự định xe phải tăng vận tốc thêm 10 km
Trang 1Chuyên Đề
Giải toán bằng cách lập hệ phơng trình:
A Tóm tắt lí thuyết;
B
ớc 1
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;
- Biểu diễn các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đã biết
- Từ đó lập hệ phơng trình biểu thị sự tơng quan giữa các đại l-ợng
B
ớc 2 Giảỉ hệ phơng trình, phơng trình thu đợc.
B
ớc 3 (Trả lời) Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phơng trình,
ph-ơng trình nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi trả lời
Các bài toán giải bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình ngòai các bớc cơ bản đã học trong chơng trình cần nhớ thêm:
- Khi đặt ẩn cần có đơn vị và điều kiện của ẩn.
- Đại lợng nào đặt ẩn thì coi nh đã biết.
Dạng 1: Các bài toán chuyển động
- Với bài toán chuyển động cần nhớ chỉ có mối quan hệ 3 đại lợng S,
v, t với công thức S = v.t
- Bài toán chuyển động thông thờng gồm có hai chuyển động hoặc hai giai đọan của cùng một chuyển động
- Khi giải bài toán này cần điền đầy đủ các đại lợng ( kể cả đại lợng cha biết đã đặt là ẩn ) trong quan hệ S =v.t và từ mối quan hệ đã cho sẽ có phơng trình, hệ phơng trình
Chú ý: Xuôi dòng nớc hoặc xuôi gió thì cộng vận tốc còn ngợc thì trừ vận tốc:
VD:
Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km Ô tô thứ nhất mỗi giờ chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn
ô tô thứ hai 1 giờ Tính vận tốc mỗi xe ô tô
Hửụựng daón : Goùi vaọn toỏc cuỷa oõtoõ thửự nhaỏt laứ x (km/h ẹK x >
0) Ta coự :
Vaọn toỏc cuỷa oõ toõ thửự hai laứ : x – 10 (km/h)
Trang 2Do oõtoõ thửự nhaỏt ủeỏn B sụựm hụn oõtoõ thửự hai 1 giụứ ta coự phửụng trỡnh :
Giaỷi ra ta ủửụùc: x = - 50 (loaùi) ; x = 60
ẹaựp soỏ : Vaọn toỏc oõtoõ thửự nhaỏt : 60 km/h
Vaọn toỏc oõtoõ thửự hai: 50 km/h
Baứi 1 : Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h.
Sau khi đi đợc 2/3 quãng đờng với vận tốc đó, vì đờng khó đi
nên ngời lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10 km trên quãng đờng
còn lại Do đó ô tô đến B chậm 30 phút so với dự định Tính
quãng đờng AB
Hửụựng daón : Goùi x laứ quaỷng ủửụứng AB (Km ẹK x > 0)
Theo giaỷ thieỏt cuỷa baứi toaựn ta coự phửụng trỡnh : Giaỷi ra ta ủửụùc: x = 300 (tmủk)
Vaọy quaỷng ủửụứng AB laứ : 300km
Baứi 2 : Một ô tô dự định đi từ A đền B trong một thời gian
nhất định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2
giờ Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ
Tính quãng đờng AB và thời gian dự định đi lúc đầu
H
ớng dẫn : Gọi quaỷng ủửụứng AB laứ x (km), thụứi gian dửù ủũnh laứ
y(giụứ) ẹK : x > 0, y > 0
Theo baứi ra ta coự heọ pt :
suy ra : 35y + 70 = 50y -50 y = 8 (TMẹK)
Thay vaứo heọ ta ủửụùc x = 350 (TMẹK)
ẹaựp soỏ : Quaỷng ủửụứng AB :
350 (km)
Thụứi gian dửù ủũnh ủi :
8 (giụứ)
Các đề thi vào 10 THPT ( Tỉnh Bắc Giang )
Bài 1 : ( Năm học 2001-2002)
Một ngời đi xe đạp từ A và dự định đến B vào một giờ đã
định Khi còn cách B 30 km, ngời đó nhận thấy rằng đến B muộn nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang đi Do đó ngời đó
Trang 3tăng vận tốc thêm 5 km/h và đến B sớm hơn nửa giờ so với giờ
đã định Tính vận tốc lúc đầu của ngời đi xe đạp.
HD: Gọi vận tốc dự định của ngời đi xe đạp là x ( km/h) ( ĐK x
>0 )
Theo bài ra ta có PT:
Bài tập 2 ( Năm học 2002-2003)
Một Ôtô đi quãng đờng dài 150 km với vận tốc dự định
Nh-ng khi đi đợc quãNh-ng đờNh-ng xe bị hỏNh-ng phải dừNh-ng lại sửa 15 phút Để đúng giờ dự định xe phải tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đờng còn lại Tính vận tốc dự định đi.
HD: Gọi vận tốc dự định đi của Ôtô là x ( km/h) ( ĐK x > 0 )
Đổi 15 phút = 1/4 h
Theo bài ra ta có PT:
Bài tập 2.1: Một Ôtô đi quãng đờng dài 120 km với vận tốc dự
định Nhng khi đi đợc quãng đờng xe bị hỏng phải dừng lại sửa 20 phút Để đúng giờ dự định xe phải tăng vận tốc thêm 8 km/h trên quãng đờng còn lại Tính vận tốc dự định đi.
HD: Gọi vận tốc dự định của ôtô là x (km/h) ( x>0 )
Ta có phơng trình
C2:
Bài tập 2.2: Một Ôtô đi quãng đờng dài 100 km với vận tốc dự
định Nhng khi đi đợc quãng đờng, xe tăng vận tốc thêm 5 km/h nên đến B sớm hơn dự định 10 phút Tính vận tốc ban
đầu của Ôtô.
Bài tập 2.3: Một Môtô đi quãng đờng dài 90 km với vận tốc dự
định Nhng khi đi đợc quãng đờng xe bị hỏng phải dừng lại
Trang 4sửa 20 phút Để đúng giờ dự định xe phải tăng vận tốc thêm 6 km/h trên quãng đờng còn lại Tính vận tốc dự định đi.
Bài tập 2.4
Một Ôtô đi quãng đờng dài 150 km với vận tốc dự định
Nh-ng khi đi đợc quãNh-ng đờNh-ng xe bị hỏNh-ng phải dừNh-ng lại sửa 10 phút Để đúng giờ dự định xe phải tăng vận tốc thêm 5 km/h trên quãng đờng còn lại Tính vận tốc dự định đi.
Bài tập 3 ( Năm học 2003-2004)
Một ôtô đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 165 km Trong một thời gian nhất định sau khi đi đợc 1h ôtô phải dừng lại 10 phút để mua xăng Do vậy để đến B đúng hẹn ôtô phải tăng vận tốc thêm 5km/h Tính vận tốc ban dầu và thời gian dự định của ôtô.
HD: Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h) ( ĐK 0 < x <
165 )
Theo bài ra ta có phơng trình => x = 55
Thời gian dự định 165: 55 = 3 (h)
Bài tập 4: ( 2007- 2008)
Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 50 km Một canô
đi xuôi dòng từ bến A đến bến B, rồi ngợc dòng trở lại bến A Thời gian cả đi và về tổng cộng hết 4h10’ Hãy tìm vận tốc của canô trong nớc yên lặng, biết vận tốc của nớc chảy là 5 km/h.
HD: Đổi 4h10’ = (h)
Gọi vận tốc của canô trong nớc yên lặng là x ( km/h) ( ĐK x>5) Theo bài ra ta có phơng trình: => x = 25
Các bài tập tự luyện:
Bài 1: Hai ngời đi xe đạp xuất phát cùng một lúc từ A đến B Vận tốc của họ hơn kém nhau 3km/h nên họ đến B sớm muộn hơn nhau 30 phút Tính vận tốc của mỗi ngời Biết rằng quãng
đờng AB dài 30 km.
Trang 5HD: Gọi vận tốc của ngời đi chậm là x (km/h) ( x>0 )
Theo bài ra ta có phơng
trình:
=> x = 12
Bài 2 Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đờng dài 120 km Đi đợc nửa quãng đờng xe nghỉ 3 phút nếu để đến B đúng giờ xe phải tăng vận tốc 2 km/h trên quãng đờng còn lại.
Tính thời gian xe chạy.
HD: Gọi vận tốc dự định của xe là x (km/h) (x>0 ) Đổi 3 phút
= (h)
Theo bài ra ta có phơng trình:
x= 48 ; x = -50 (loại )
Thời gian xe chạy là 2 giờ 27’
Bài 3 Hai vật chuyển động trên một đờng tròn có đơng kính 2m , xuất phát cùng một lúc từ cùng một điểm Nếu chúng chuyển động cùng
chiều thì cứ 20 giây lại gặp nhau Nếu chúng chuyển động ngợc chiều thì cứ 4 giây lại gặp nhau Tính vận tốc của mỗi vật
Lời Giải
Gọi vận tốc của Vật I là x ( m/s).(x> 0).
Gọi vận tốc của Vật II là y ( m/s).(y> 0), (x>y).
Sau 20 s hai vật chuyển động đợc quãng đờng là 20x, 20y ( m )
Vì nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây lại gặp nhau do
đó ta có phơng trình: 20x – 20y = 20
Sau 4 s hai vật chuyển động đợc quãng đờng là 4x, 4y ( m )
Quãng
đờng (km)
Vận tốc Km/h gian( Thời
h) Ngời đi
Ngời đi
Trang 6Vì nếu chúng chuyển động ngợc chiều thì cứ 4 giây lại gặp nhau do
đó ta có phơng trình: 4x + 4y = 20
Theo bài ra ta có hệ phơng trình:
Giải hệ PT ta đợc: ; Vậy vận tốc của hai vật là: 3 (m/s) và 2 (m/s)
Bài 4 Một ngời dự định đi từ A đến B với thời gian đẵ định Nếu ngời
đó tăng vận tốc thêm 10 km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ Nếu ngời đó giảm vận tốc đi 10 km/h thì đến B muộn hơn dự định 2 giờ Tính vận tốc, thời gian dự định đi và độ dài quãng đờng AB
Lời Giải :
Gọi vận tốc dự định đi từ A đến B của ngời đó là x ( km/h).(x> 0)
Gọi thời gian dự định đi từ A đến B của ngời đó là y (h).(y> 0)
Ta có độ dài của quãng đờng AB là x.y
Vì nếu ngời đó tăng vận tốc thêm 10 km/h thì đến B sớm hơn dự
định 1 giờ do đó ta có PT (1):
(x + 10).(y-1) =xy
Vì nếu ngời đó giảm vận tốc đi 10 km/h thì đến B muộn hơn dự định
2 giờ do đó ta có PT (2)
(x - 10).(y+2) =xy
Theo bài ra ta có hệ phơng trình: ;giải hệ phơng
trình ta đợc
Vậy vân tốc dự định là 30 km/h, thời gian dự định là 4 giờ, Quãng đờng
AB là 120 km
Baứi 5 : Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km Hai ô tô
cùng khởi hành một lúc đi từ A đến B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy
nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến B trớc xe thứ hai 12 phút
Tính vận tốc mỗi xe
Giải : Gọi vận tốc của xe thứ hai là x (km/h) ĐK x > 0.
Theo gt bài ra ta có pt : x2 + 6x – 3240 = 0 ( = 57 ) Giải ra ta đợc : x = - 60 (loại) ; x = 54
Đáp số : Vận tốc xe thứ nhất là : 60 (km/h)
Vận tốc xe thứ hai là : 54 (km/h)
Bài 6: Một ca nô xuôi dòng 42km rồi ngợc dòng trở lại là 20km mát tổng
cộng 5giờ Biết vận tốc của dòng chảy là 2km/h Tìm vận tốc của ca nô lúc dòng nớc yên lặng
Trang 7Giải : Gọi x là vận tốc của ca nô lúc nớc yên lặng ( km/h ; ĐK : x > 2)
Theo gt bài toán ta có pt : 5x2 - 62x + 24 = 0 ( = 29) Giải ra ta đợc : x = (loại) ; x = 12
Đáp số : Vậy vận tốc của ca nô lúc nớc yên lặng : 12 (km/h)
Bài 7: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60 km Một xuồng máy
đi xuôi dòng từ bến A đến bến B, nghỉ 30 phút tại bến B rồi quay trở lại
đi ngợc dòng 25 km để đến bến C Thời gian kể từ lúc đi đến lúc quay trở lại đến bến C hết tất cả là 8 giờ Tính vận tốc xuồng máy khi nớc yên lặng, biết rằng vận tốc nớc chảy là 1 km/h
( Huế 2007-2008) Giải: + Gọi x (km/h) là vận tốc của xuồng khi nớc yên lặng Điều kiện: x > 1
+ Thời gian xuồng máy đi từ A đến B: , thời gian xuồng ngợc dòng
từ B về C :
+ Theo giả thiết ta có phơng trình :
+ Hay
Giải phơng trình trên, ta đợc các nghiệm: ;
+ Vì x > 1 nên x = 11 Vậy vận tốc của xuồng khi nớc đứng yên là
11km/h
Bài 8 Một xe lửa đi từ Huế ra Hà Nội Sau đú 1 giờ 40 phỳt, một xe lửa khỏc đi từ Hà
Nội vào Huế với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5 km/h Hai xe gặp nhau tại một ga cỏch Hà Nội 300 km Tỡm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng quóng đường sắt Huế
-Hà Nội dài 645 km ( Huế 2006-2007 )
Giải: Gọi x (km/h) là vận tốc của xe lửa thứ nhất đi từ Huế đến Hà Nội Khi đú, x > 0 và vận tốc của xe lửa thứ hai đi từ Hà Nội là: x + 5 (km/h)
Theo giả thiết, ta cú phương trỡnh:
Giải phương trỡnh ta được: (loại vỡ x > 0) và
Vậy vận tốc xe lửa thứ nhất là: 45 km/h và vận tốc xe lửa thứ hai là: 50 km/h
Trang 8Bài 9: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h Khi đến B, người đó
nghỉ 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình 25km/h Tính quãng đường AB, biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút
HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 0)
Ta có phương trình: Giải ra ta được: x = 75 (km)
Bài 10: Hai canô cùng khởi hành một lúc và chạy từ bến A đến bến B Canô I chạy với vận
tốc 20km/h, canô II chạy với vận tốc 24km/h Trên đường đi, canô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục chạy với vận tốc như cũ Tính chiều dài quãng sông AB, biết rằng hai canô đến bến B cùng 1 lúc
HD: Gọi chiều dài quãng sông AB là x km (x > 0)
Ta có phương trình: Giải ra ta được: x = 80 (km)
Bài 11: Một ôtô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40km/h Lúc đầu ôtô
đi với vận tốc đó, khi còn 60km nữa thì đi được một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h trên quãng đường còn lại, do đó ôtô đến tỉnh B sớm hơn 1giờ so với dự định Tính quãng đường AB
HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 120)
Ta có phương trình: Giải ra ta được: x = 280 (km)
Bài 12: Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi lẫn về mất 8giờ 20phút Tính
vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4km/h
HD: Gọi vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là x km/h (x > 0)
Ta có phương trình: Giải ra ta được: (loại), x2 = 20 (km)
Bài 13: Một ca nô và một bè gỗ xuất phát cùng một lúc từ bến A xuôi dòng sông Sau khi đi
được 24 km ca nô quay trở lại và gặp bè gỗ tại một địa điểm cách A 8 km Tính vận tốc của
ca nô khi nước yên lặng biết vận tốc của dòng nước là 4 km / h
HD: Gọi vận tốc canô khi nước yên lặng là x km/h (x > 4)
Ta có phương trình: Giải ra ta được x1 = 0 (loại), x2 = 20 (km/h)
Bài 14: Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50 km Sau đó 1 giờ 30 phút,
một người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp
HD: Gọi vận tốc xe đạp là x km/h (x > 0)
Ta có phương trình: Giải ra ta được: x = 12 (thỏa mãn)
Trang 9Bài 15 Một người dự định đi xe đạp từ nhà đến nơi làm việc cỏch nhau 30km với vận tốc khụng đổi Tuy nhiờn sau khi đi nửa đoạn đường thỡ xe bị hư phải dừng lại mất 20 phỳt, do
đú phải tăng tốc thờm 3km/h ở đoạn đường cũn lại và đến nơi làm việc chậm hơn so với dự định là 10 phỳt Tớnh vận tốc dự định lỳc ban đầu của người đi xe đạp ( Tiền Giang 2007)
B
ài 16: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 50 km Một canô đi
xuôi dòng từ bến A đến bến B, rồi ngợc dòng trở lại bến A Thời gian cả
đi và về tổng cộng hết 4 h10’ Hãy tìm vận tốc của canô trong nớc yên lặng, biết rằng vận tốc của nớc chảy là 5km/h
( Bắc Giang 2007
-2008 ) Dạng 2: Toán về công việc chung riêng
Cần nhớ:
1) Cần phân biệt rõ thời gian của ngày toán học và ngày lao động Một ngày tóan học là 24 giờ còn ngày lao động có số giờ thay đổi.
VD: Đội A lao động 8 giờ một ngày Đội B lao động 9 giờ một ngày.
2) Quan hệ giữa thời gian làm riêng và làm chung với cùng một công việc
là :
3) Riêng với bài toán vòi nớc chảy vào1 bể ta cũng dùng hai phơng trình cơ bản trên nhng cần chú ý: Vòi chảy vào dùng dấu (+), vòi chảy ra dùng dấu (-)
VD1: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu
ng-ời thứ nhất làm 3 giờ và ngng-ời thứ 2 làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% công việc Hỏi mỗi ngời làm một mình công việc đó trong mấy giời thì xong?
Giải : Gọi x, y (giờ) lần lợt là thời gian mỗi ngời làm một mình hoàn
thành công việc
ĐK x, y > 0
Theo gt bài ra ta có hpt : (TMĐK)
Đáp số : Ngời thứ nhất hoàn thành công
việc trong : 24 giờ
Ng ời thứ hai hoàn thành công việc trong : 48 giờ
VD2: Hai vũi nước cựng chảy vào một bể thỡ sau 1 giờ 20 phỳt bể đầy Nếu mở vũi thứ nhất
chảy trong 10 phỳt và vũi thứ hai trong 12 phỳt thỡ đầy bể Hỏi nếu mỗi vũi chảy một mỡnh thỡ phải bao lõu mới đầy bể
HD: Gọi thời gian chảy một mỡnh đầy bể của vũi I, II lần lượt là x, y phỳt (x, y > 80)
Trang 10Ta cú hệ:
Bài tập 1.1.Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu ngời thứ nhất làm trong 3 giờ, ngời thợ thứ hai làm trong 6 giờ thì học làm đợc 25% khối l-ợng công việc Hỏi mỗi ngời thợ làm một mình công việc đó trong bao lâu.
Lời Giải:
Gọi thời gian để Ngời thứ nhất làm một mình xong công việc là x, ( giờ), x > 16.
Gọi thời gian để Ngời thứ hai làm một mình xong công việc là y, ( giờ), y > 16 Trong 1 giờ Ngời thứ nhất và ngời thứ hai làm đợc khối lợng công việc tơng ứng là: , .
Vì hai ngời làm chung trong 16 giờ thì xong KLCV do đó ta có phơng trình ( 1) : + =
Sau 3 giờ Ngời thứ nhất làm đợc 3 ( công việc )
Sau 6 giờ Ngời thứ hai làm đợc 6 (công việc )
Vì ngời thứ nhất làm trong 3 giờ, ngời thợ thứ hai làm trong 6 giờ thì học làm đợc 25% khối lợng công việc do đó ta có phơng trình: + =
Theo bài ra ta có hệ phơng trình: , giải hệ phơng trình ta
đợc:
Vậy thời gian để Ngời thứ nhất làm một mình xong công việc là: 24 ( giờ ) Thời gian để Ngời thứ hai làm một mình xong công việc là: 48 ( giờ)
-Bài tập 1.2.Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành một công việc đã định Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất đợc điều đi làm công việc khác, tổ thứ hai làm một mình phần công việc còn lại trong 10 giờ Hỏi tổ thứ hai nếu làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc
Lời Giải:
Gọi thời gian tổ hai làm một mình hoàn thành công việc là x, ( giờ), x> 12.
Trong 1 giờ tổ hai làm đợc khối lợng công việc: ( KLCV ).
Sau 4 giờ hai tổ đẵ là chung đợc khối lợng công việc là: = ( công việc ) Phần công việc còn lại tổ hai phải làm là: 1 - = ( công việc )