Tài liệu hinh hoc hay 2

Phương trình mặt phẳng.. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.. Góc giữa hai mặt phẳng.. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song cho trước.. a Kiểm chứng ba điểm A, B, C không thẳng hà

Chương 8: MẶT PHẲNG

KIẾN THỨC CƠ BẢN

A Phương trình mặt phẳng.

1 Định nghĩa: Hai vectơ , a b   0 được gọi là 1 cặp vectơ chỉ phương của mp  nếu   a không cùng

phương với b và giá của chúng song song hoặc nằm trên mp   

2 Định nghĩa: n  0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mp  nếu giá của nó vuông góc với   mp   

Nhận xét: nếu , a b  là cặp vectơ chỉ phương của mp  thì n a b     là pháp vectơ của mp   

3 Định lí: Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng: Ax By Cz D   0 A2B2C2 0 Trong đó nA B C; ;  là pháp vectơ của mặt phẳng

Hệ quả 1: Phương trình mặt phẳng đi qua M x y z và có pháp vectơ  0; ;0 0 nA B C; ;  là:

A x x B y y C z z 

Hệ quả 2: Phương trình mặt phẳng đi qua A a ;0;0 , B0; ;0 ,b  C0;0;c là:

abc

4 Định lí: Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của 2 mặt phẳng cắt nhau: Ax By Cz D   0 và

0

A x B y C z D       là: m Ax By Cz D    n A x B y C z D        0 với m2n2  0

B Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.

Khoảng cách từ M x y z đến  0; ;0 0 mp  :Ax By Cz D   0 được tính bởi công thức:

 

d M

C Góc giữa hai mặt phẳng.

Cho:   :A x B y C z D1  1  1  1 0 có PVT n  A B C1; ;1 1

  :A x B y C z D2  2  2  2 0 có PVT n  A B C2; ;2 2

     thì:    

   

cos

 

D Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.

Cho:   :A x B y C z D1  1  1  1 0 có PVT n  A B C1; ;1 1

  :A x B y C z D2  2  2  2 0 có PVT n  A B C2; ;2 2

a) Nếu n 



và n 

 không cùng phương thì   cắt   b) Nếu n 



và n 

 cùng phương và

*     ,  không có điểm chung thì     // 

*     ,  có điểm chung thì      

Ghi chú: Nếu A B C D  thì:2, 2, 2, 2 0

*   cắt   1 1 1

   ( chỉ cần một dấu )

*     //  1 1 1 1

*       1 1 1 1

E Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song cho trước     // 

Ta có: d     ;   d M ;   M 

d     ;   d N ;    N  

BÀI TẬP Bài 1 Lập phương trình tổng quát của mp  đi qua   A2;1; 1  và vuông góc với đường thẳng xác định bởi 2 điểm B1;0; 4 ,  C0; 2; 1  

Bài 2 Lập phương trình tổng quát của mp  đi qua hai điểm   A2; 1; 4 ,  B3; 2; 1  và vuông góc với

mp  x y  z 

Bài 3

a) Lập phương trình tổng quát của mp  đi qua   A1;0;5 và song song với

mp  x y z   

b) Lập phương trình mp  đi qua 3 điểm   B1; 2;1 ,  C1;0;0 , D0;1;0 và tính góc nhọn  tạo bởi 2 mp  và    

Bài 4 Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng  : 2 0



 

 và vuông góc với

mp P x y z  

Bài 5 Viết phương trình mp P chứa   Ox và tạo với mp  : 2x y  5z0 một góc 60 0

Bài 6 Trong không gian Oxyz

a) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng qua M0;0;1 , N3;0;0 và tạo với mp Oxy một góc 

3



b) Cho 3 điểm A a ;0;0 , B0; ;0 ,b  C0;0;c với , , a b c  thay đổi luôn luôn thỏa: 0 2 2 2

3

a b c  Xác định , ,a b c sao cho khoảng cách từ O đến mp ABC đạt GTLN. 

Bài 7 Viết phương trình mp  chứa gốc tọa độ O và vuông góc với 2   mp P x y z :    7 0 và

 Q : 3x2y12z 5 0

Bài 8 Cho A5;1;3 , B1;6;2 , C5;0; 4 .

a) Viết phương trình mp ABC Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến   mp ABC  

b) Viết phương trình mặt phẳng qua ,O A và song song với BC.

c) Viết phương trình mặt phẳng qua ,C A và vuông góc với mp  :x 2y3z 1 0

d) Viết phương trình mặt phẳng qua O và vuông góc với mp  và   mp ABC  

e) Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của 2 mp  ,   ABC và qua  I  1;2;3 .

Bài 9 Xác định các tham số m, n để mặt phẳng 5 x ny 4z m 0 thuộc chùm mặt phẳng có phương trình: 3x 7y z  3x 9y 3z5 0

Bài 10 Trong không gian Oxyz cho mp P m: 2x y z   1 m x y z   1 0 với m là tham số.

a) Chứng minh rằng với mọi m, mp P luôn đi qua đường thẳng  m  d cố định,

b) Tìm m để mp P vuông góc với  m  P0 : 2x y z   1 0

c) Tìm khoảng cách từ O đến đường thẳng  d

Bài 11 Trong không gian Oxyz cho 2 mp  : 2x y 3z 1 0,  :x y z   5 0 và điểm M1;0;5.

a) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng mp   

b) Viết phương trình mp P đi qua giao tuyến    d của   và   đồng thời vuông góc với

mp Q x y  

Bài 12 Cho A1;1;3 , B1;3;2 , C1;2;3

a) Kiểm chứng ba điểm A, B, C không thẳng hàng và viết phương trình mp P chứa 3 điểm này Tính 

khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mp P  

b) Tính SABC và tính thể tích tứ diện OABC.

Bài 13 Cho A2;0;0 , B0;3;0 , C0;0;3 Các điểm M, N lần lượt là trung điểm OA và BC; P, Q là 2

điểm trên OC và AB sao cho 2

3

OP

OC  và 2 đường thẳng MN, PQ cắt nhau Viết phương trình mp MNPQ 

và tìm tỉ số AQ

AB .

Bài 14 Trong không gian Oxyz cho A a ;0;0 , B0; ;0 ,a  C a a ; ;0 , D0;0;d với  a0,d 0 Gọi là hình

chiếu vuông góc của O xuống hai đường thẳng DA, DB.

a) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng OA, OB Chứng minh rằng mặt phẳng đó vuông góc CD.

b) Tính d theo a để số đo  AOB 450

Bài 15 Tìm trên trục tung các điểm cách đều 2 mp  :x y z   1 0,  :x y z   5 0

Bài 16.

a) Tính góc của 2 mp P và    Q cùng đi qua điểm I2;1; 3  ,  P chứa trục Oy,  Q chứa trục Ox.

b) Tìm tập hợp các điểm cách đều 2 mp P ,    Q nói trên.

Bài 17 Trong không gian Oxyz Xét AOB đều, nằm trong mp Oxy có cạnh a, đường thẳng AB song 

song trục tung Điểm A nằm trên phần tư thứ nhất trong mp Oxy Cho   0;0;

3

a

S  

 

a) Xác định A, B và trung điểm E của OA, viết phương trình mp P chứa SE và song song với trục 

hoành

b) Tính d O P Suy ra  ;   d Ox SE  ; 

Bài 18 Trong không gian Oxyz cho các điểm A1;4;5 , B0;3;1 , C2; 1;0  và

mp P x y z  Gọi G là trọng tâm của ABC Chứng minh điều kiện cần và đủ để điểm M

nằm trên mp P 