Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương.. Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số l[r]
Trang 1SỐ CHÍNH PHƯƠNG
I- ĐỊNH NGHĨA: Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên
II- TÍNH CHẤT:
1- Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không thể có chữ tận cùng bằng 2, 3, 7, 8
2- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn
3- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1 Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n N)
4- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1 Không có số chính phương nào có dạng 3n +
2 (n N)
5- Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn
Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2
Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ
6- Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16
III- MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
A- Dạng 1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG.
Bài 1: Chứng minh rằng mọi số nguyên x, y thì:
A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương
Giải : Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
= (x2 5 xy 4 y2)( x2 5 xy 6 y2) y4
Đặt x2 5 xy 5 y2 t ( t Z ) thì
A = (t y2)( t y2) y4 t2 y4 y4 t2 ( x2 5 xy 5 y2 2)
x Z xy Z y Z x xy y Z
Vậy A là số chính phương
Trang 2Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương
Giải : Gọi 4 số tự nhiên, liên tiếp đó là n, n+1, n+2, n+3 (n Z) Ta có:
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1
= (n2 3 )( n n2 3 n 2) 1 (*)
Đặt n2 3 n t ( t N ) thì (*) = t(t + 2) + 1 = t2 + 2t + 1 = (t + 1)2
= (n2 + 3n + 1)2
Vì n N nên n2
+ 3n + 1 N Vậy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + 1 là số chính phương
Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k + 1)(k + 2)
Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương
Giải : Ta có: k(k + 1)(k + 2) = 1
4k (k + 1)(k + 2) 4=
1
4k(k + 1)(k + 2) (k3) ( k1)
= 1
4k(k + 1)(k + 2)(k + 3) -
1
4 k(k + 1)(k + 2)(k - 1)
=> 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + + k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
- k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1
Theo kết quả bài 2 => k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 là số chính phương
Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889;
- Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa các chữ số đứng trước và đứng sau nó Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương
Ta có 44 488 89 = 44 488 8 + 1 = 44 4 10n + 8 11 1 + 1
n chữ số 4 n - 1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 1
.10 8 1
n
=
Trang 3=
2
2.10 1
3
n
Ta thấy 2.10n + 1 = 200 01 có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 3
n - 1 chữ số 0
=>
2
2.10 1
3
n
Z hay các số có dạng 44 488 89 là số chính phương
Các bài tương tự:
Chứng minh rằng số sau đây là số chính phương
A = 11 1 + 44 4 + 1
2n chữ số 1 n chữ số 4
B = 11 1 + 11 1 + 66 6 + 8
2n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6
C= 44 4 + 22 2 + 88 8 + 7
2n chữ số 4 n+1 chữ số 2 n chữ số 8
D = 22499 9100 09
n-2 chữ số 9 n chữ số 0
E = 11 155 56
n chữ số 1 n-1 chữ số 5
Kết quả: A=
D = (15.10n - 3)2 E =
2
3
2 10
n
Bài 5: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chính phương
Trang 4Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n - 2, n - 1, n +1, n + 2 ( n N, n >2)
Ta có (n - 2)2 + ( n - 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = 5 (n2 + 2)
Vì n2 không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n2 + 2 không thể chia hết cho 5
=> 5 (n2 + 2) không là số chính phương hay A không là số chính phương
Bài 6: Chứng minh rằng số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n N và n >1
không phải là số chính phương
n6 - n 4 + 2n3 + 2n2 = n2 (n4 - n2 + 2n +2) = n2 [n2(n-1)(n+1) +2(n+1)]
= n2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2(n + 1) [(n3 + 1) - (n2 - 1)]
= n2(n + 1)2 (n2 - 2n + 2)
Với nN, n > 1 thì n2 - 2n + 2 = ( n -1)2 + 1 > ( n - 1)2
Và n2 - 2n + 2 = n2 - 2(n - 1) < n2
Vậy (n - 1)2 < n2 - 2n + 2 < n2 => n2 - 2n + 2 không phải là một số chính phương
Bài 7: Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị đều là 6 Chứng minh
rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương
Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là 1,3,5,7,9 khi đó tổng của chúng bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chính phương
Bài 8: Chứng minh rằng tổng bình phương của 2 số lẻ bất kỳ không phải là số chính phương
a và b lẻ nên a = 2k + 1, b= 2m + 1 (Với k, m N)
=> a2 + b2 = (2k + 1)2 + ( 2m + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 + 4m2 + 4m + 1
= 4 (k2 + k + m2 + m) + 2
=> a2 + b2 không thể là số chính phương
Bài 9: Chứng minh rằng nếu p là tích của n (với n > 1) số nguyên tố đầu tiên
thì p - 1 và p + 1 không thể là các số chính phương
Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p2 và p không thể chia hết cho 4 (1)
a- Giả sử p + 1 là số chính phương Đặt p + 1 = m2 ( m N)
Vì p chẵn nên p + 1 lẻ => m2 lẻ => m lẻ
Đặt m = 2k + 1 (k N) Ta có m2
= 4k2 + 4k + 1 => p + 1 = 4k2 + 4k + 1
Trang 5=> p = 4k2 + 4k = 4k (k + 1) 4 mâu thuẫn với (1)
=> p + 1 không phải là số chính phương
b- p = 2.3.5 là số chia hết cho 3 => p - 1 có dạng 3k + 2
=> p - 1 không là số chính phương
Vậy nếu p là tích n (n >1) số nguyên tố đầu tiên thì p - 1 và p + 1 không là số chính phương
Bài 10: Giả sử N = 1.3.5.7 2007 2011
Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N - 1, 2N và 2N + 1 không có số nào là số chính phương
a- 2N - 1 = 2.1.3.5.7 2011 - 1
Có 2N 3 => 2N - 1 = 3k + 2 (k N)
=> 2N - 1 không là số chính phương
b- 2N = 2.1.3.5.7 2011 => 2N chẵn
=> N lẻ => N không chia hết cho 2 và 2N 2 nhưng 2N không chia hết cho 4
2N chẵn nên 2N không chia cho 4 dư 1 hoặc dư 3 => 2N không là số chính phương
c- 2N + 1 = 2.1.3.5.7 2011 + 1
2N + 1 lẻ nên 2N + 1 không chia hết cho 4
2N không chia hết cho 4 nên 2N + 1 không chia cho 4 dư 1
=> 2N + 1 không là số chính phương
Bài 11: Cho a = 11 1 ; b = 100 05
2010 chữ số 1 2009 chữ số 0
Chứng minh ab 1 là số tự nhiên
Giải: b = 100 05 = 100 0 - 1 + 6 = 99 9 + 6 = 9a + 6
2009 chữ số 0 2010 chữ số 0 2010 chữ số 9
ab + 1 = a(9a + 6) + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2
ab1 (3a1)2 3a1N
B DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Trang 6Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương
a) n2 + 2n + 12 b) n(n + 3)
c) 13n + 3 d) n2 + n + 1589
Giải:
a) Vì n2 + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k N)
(n2 + 2n + 1) + 11 = k2 k2 – (n + 1)2 = 11 (k + n + 1)(k – n - 1) = 11
Nhận xét thấy k + n + 1 > k - n - 1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (k + n + 1) (k - n - 1) = 11.1
k + n + 1 = 11 k = 6
k - n – 1 = 1 n = 4 b) đặt n(n + 3) = a2 (n N) n2 + 3n = a2 4n2 + 12n = 4a2
(4n2 + 12n + 9) – 9 = 4a2
(2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9 Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a)
= 9.1 2n + 3 + 2a = 9 n = 1
2n + 3 – 2a = 1 a = 2 c) Đặt 13n + 3 = y2 (y N) 13(n - 1) = y2 – 16
13(n - 1) = (y + 4)(y – 4)
(y + 4)(y – 4) 13 mà 13 là số nguyên tố nên y + 4 13 hoặc y – 4 13
y = 13k 4 (với k N)
13(n - 1) = (13k 4)2 – 16 = 13k.(13k 8)
13k2 8k + 1
Vậy n = 13k2 8k + 1 (với k N) thì 13n + 3 là số chính phương
d) Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m N) (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2
(2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355 Nhận xét thấy 2m + 2n + 1 > 2m – 2n – 1 > 0 và chúng là những số lẻ, nên ta có thể viết (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41
Suy ra n có thể có các giá trị sau : 1588 ; 316 ; 43 ; 28
Trang 7Bài tương tự :
Tìm a để các số sau là những số chính phương
a) a2 + a + 43 b) a2 + 81 c) a2 + 31a + 1984 Kết quả: a) 2; 42; 13
b) 0; 12; 40 c) 12 ; 33 ; 48 ; 97 ; 176 ; 332 ; 565 ; 1728
Bài 2 : Tìm số tự nhiên n 1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! là một số chính phương
Với n = 1 thì 1! = 1 = 12 là số chính phương
Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương
Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1 + 1.2 + 1.2.3 = 9 = 33 là số chính phương
Với n 4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; …; n! đều tận cùng bởi 0 do đó 1! + 2! + 3! + … n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là số chính phương
Vậy có 2 số tự nhiên n thoả mãn đề bài là n = 1; n = 3
Bài 3: Có hay không số tự nhiên n để 2010 + n2 là số chính phương
Giả sử 2010 + n2 là số chính phương thì 2010 + n2 = m2 (m N)
Từ đó suy ra m2 - n2 = 2010(m + n) (m – n) = 2010
Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1)
Mặt khác m + n + m – n = 2m 2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2)
Từ (1) và (2) m + n và m – n là 2 số chẵn
(m + n) (m – n) 4 nhưng 2006 không chia hết cho 4
Điều giả sử sai
Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương
Bài 4: Biết x N và x > 2 Tìm x sao cho x(x1).x(x1)(x2)xx(x1)
Đẳng thức đã cho được viết lại như sau: x(x1) 2 (x2)xx(x1)
Do vế trái là một số chính phương nên vế phải cũng là một số chính phương
Trang 8Một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi một trong các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9 nên x chỉ có thể tận cùng bởi một trong các chữ số 1; 2; 5; 6; 7; 0 (1)
Do x là chữ số nên x 9, kết hợp với điều kiện đề bài ta có x N và 2 < x 9 (2)
Từ (1) và (2) x chỉ có thể nhận một trong các giá trị 5; 6; 7
Bằng phép thử ta thấy chỉ có x = 7 thoả mãn đề bài, khi đó 762 = 5776
Bài 5: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính phương
Ta có 10 n 99 nên 21 2n + 1 199 Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được 2n + 1 bằng 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n bằng 12; 24; 40; 60; 84
Số 3n + 1 bằng 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 là số chính phương
Vậy n = 40
Bài 6: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n + 1 và 2n + 1 đều là các số chính phương thì n là bội số của 24
Vì n + 1 và 2n + 1 là các số chính phương nên đặt n + 1 = k2, 2n + 1 = m2 (k, m N)
Ta có m là số lẻ m = 2a + 1 m2 = 4a(a + 1) + 1
2
) 1 ( 4 2
1 2
n
n chẵn n + 1 lẻ k lẻ đặt k = 2b + 1 (với b N) k2 = 4b(b+1) + 1
n = 4b(b+1) n 8 (1)
Ta có: k2 + m2 = 3n + 2 2 (mod3)
Mặt khác k2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1, m2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1
Nên để k2 + m2 2 (mod3) thì k2 1 (mod3)
m2 1 (mod3)
m2 – k2 3 hay (2n + 1) – (n + 1) 3 n 3 (2)
Mà (8; 3) = 1 (3)
Từ (1), (2), (3) n 24
Bài 7: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương
Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a N) thì
2n = a2 – 482 = (a + 48) (a – 48)
2p 2q = (a + 48) (a – 48) với p, q N ; p + q = n và p > q
Trang 9 a + 48 = 2p 2p 2q = 96 2q (2p-q – 1) = 25.3
a – 48 = 2q
q = 5 và p – q = 2 p = 7
n = 5 + 7 = 12
Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802
C.DẠNG 3 : TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1 : Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta được số
chính phương B Hãy tìm các số A và B
Gọi A = abcd k2 Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số
B = (a1)(b1)(c1)(d 1)m2 với k, m N và 32 < k < m < 100
a, b, c, d = 1;9
Ta có: A = abcd k2
B = abcd 1111 m 2 Đúng khi cộng không có nhớ
m2 – k2 = 1111 (m - k)(m + k) = 1111 (*)
Nhận xét thấy tích (m – k)(m + k) > 0 nên m – k và m + k là 2 số nguyên dương
Và m – k < m + k < 200 nên (*) có thể viết (m – k) (m + k) = 11.101
Do đó: m – k = 11 m = 56 A = 2025
m + k = 101 n = 45 B = 3136
Bài 2: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau một
đơn vị
Đặt abcd k2 ta có ab cd 1 và k N, 32 k < 100
Suy ra : 101cd = k2 – 100 = (k – 10)(k + 10) k + 10 101 hoặc k – 10 101
Mà (k – 10; 101) = 1 k + 10 101
Vì 32 k < 100 nên 42 k + 10 < 110 k + 10 = 101 k = 91
abcd = 912 = 8281
Bài 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau
Trang 10Gọi số chính phương phải tìm là: aabb = n2 với a, b N, 1 a 9; 0 b 9
Ta có: n2 = aabb = 11 a0 b = 11.(100a + b) = 11.(99a + a + b) (1)
Nhận xét thấy aabb 11 a + b 11
Mà 1 a 9; 0 b 9 nên 1 a + b 18 a + b = 11
Thay a + b = 11 vào (1) được n2 = 112(9a + 1) do đó 9a + 1 là số chính phương
Bằng phép thử với a = 1; 2;…; 9 ta thấy chỉ có a = 7 thoả mãn b = 4
Số cần tìm là: 7744
Bài 4: Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương
Gọi số chính phương đó là abcd Vì abcd vừa là số chính phương vừa là một lập phương nên đặt abcd = x2 = y3 với x, y N
Vì y3 = x2 nên y cũng là một số chính phương
Ta có : 1000 abcd 9999 10 y 21 và y chính phương
y = 16 abcd = 4096
Bài 5 : Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn bậc hai của số đó có tổng
các chữ số là một số chính phương
Gọi số phải tìm là abcd với a, b, c, d nguyên và 1 a 9; 0 b, c, d 9
abcd chính phương d 0,1,4,5,6,9
d nguyên tố d = 5
Đặt abcd = k2 < 10000 32 k < 100
k là một số có hai chữ số mà k2 có tận cùng bằng 5 k tận cùng bằng 5
Tổng các chữ số của k là một số chính phương k = 45
abcd = 2025
Vậy số phải tìm là: 2025
Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu các bình phương của số đó và viết số bở hai chữ số của số đó
nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương
Gọi số tự nhiên có hai chữ sốphải tìm là ab (a, b N, 1 a, b 9)
Số viết theo thứ tự ngược lại ba
Trang 11Ta có ab2 - ba2 = (10a + b)2 – (10b + a)2 = 99 (a2 – b2) 11 a2 – b2 11
Hay (a - b) (a + b) 11
Vì 0 < a – b 8, 2 a + b 18 nên a + b 11 a + b = 11
Khi đó: ab2 - ba2= 32 112 (a – b)
Để ab2 - ba2 là số chính phương thì a – b phải là số chính phương do đó a – b = 1 hoặc a – b = 4
Nếu a – b = 1 kết hợp với a + b = 11 a = 6, b = 5 , ab= 65
Khi đó 652 – 562 = 1089 = 332
Nếu a – b = 4 kết hợp với a + b = 11 a = 7,5 loại
Vậy số phải tìm là 65
Bài 7: Cho một số chính phương có 4 chữ số Nếu thêm 3 vào mỗi chữ số đó ta cũng được một số chính phương
Tìm số chính phương ban đầu
(Kết quả: 1156)
Bài 8: Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số của nó
Gọi số phải tìm là ab với a, b N, 1 a 9; 0 b 9
Theo giả thiết ta có: ab = (a + b)3
(10a +b)2 = (a + b)3
ab là một lập phương và a + b là một số chính phương
Đặt ab = t3 (t N), a + b = 12 (1 N)
Vì 10 ab 99 ab = 27 hoặc ab = 64
Nếu ab = 27 a + b = 9 là số chính phương
Nếu ab = 64 a + b = 10 không là số chính phương loại
Vậy số cần tìm là ab = 27
Bài 9 : Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có 4 chữ số giống nhau
Gọi 3 số lẻ liên tiếp đó là 2n - 1 ; 2n + 1 ; 2n + 3 (n N)
Ta có : A = (2n – 1)2 + (2n + 1)2 + (2n +3)2 = 12n2 + 12n + 11