Chuyen de so chinh phuong(BDHSG toan 8)

Số chớnh phươngSCPlà bỡnh phương của một số tự nhiờn..  Giữa hai SCP liên tiếp không có số chính phơng nào.. a Để chứng minh N là một số CP ta có thể: - Biến đổi N thành bình phơng của

Chuyên đề : số chính phuơng

(Dùng BD HSG Toán 8)

I Lí thuyết:

1 Số chớnh phương(SCP)là bỡnh phương của một số tự nhiờn

Mời số chính phơng đầu tiên là : 0;1;4;9;16;25;36;49;64;81

2 Một số t/c của SCP:

chữ số 2, 3, 7, 8

Chẳng han: 3600  60 2  2 3 5 4 2 2

Từ đó suy ra:

- Số chính phơng N 2thì N 2 2  4

- Số chính phơng N 2 3  8 thì N 2 4  16

Tổng quát: , nếu số chính phơng N p2k 1



 2 2

( nguyen to,k N )

k

số đú là số chớnh phương

+ Cho 3 chỉ có thể d 0 hoặc 1

+ Cho 4 chỉ có thể d 0 hoặc 1

+ Cho 5 chỉ có thể d 0 hoặc d 1 hoặcd 4

+ Số chính phơng lẻ chia cho 4 hoặc 8 đều d 1

 Giữa hai SCP liên tiếp không có số chính phơng nào

* n2 x2  (n 1)2(1)  không tồn tại xZ thoả mãn (1)

* n2 x2  (n 2) 2  x2  (n 1)2

 Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phơng thì một trong hai số nguyên đó là số 0

3 Nhận biết một số là SCP

a) Để chứng minh N là một số CP ta có thể:

- Biến đổi N thành bình phơng của một số TN hoặc số nguyên

- Vận dụng tính chất : nếu hai số TN a và b nguyên tố cùng nhau có tích là một số CP thì mỗi số a, b cũng là một số CP

b) Để chứng minh N không phải là số CP ta có thể :

- C/minh N có các chữ số tận cùng là: 2, 3, 7, 8 hoặc có “ một số lẻ chữ số 0 tận cùng ”

- C/minh N chứa số nguyên tố với số mũ lẻ

- Xét số d khi chia cho 3 hoặc cho 4 hoặc cho 5, cho 8 …

Chẳng hạn: nếu N chia cho 3 có số d là 2; hoặc cho 4 , cho 5 có số d là 2; 3 thì N không phải là số CP

- C/minh N nằm giữa hai số CP liên tiếp

II Bài tập:

1 Chứng minh    

2

11 1 88 8 1

Giải

2

11 1 88 8 1

n

11 1 00 0 +11 1 8.11 1 1

Đặt : 11 1

n = a thì 99 9 9

n

a Do đó 99 9 1 10   n 9 1

n

a

Ta có : A = a.10n + a - 8a + 1 = a(9a+1)+a-8a+1 = 9a2 – 6a + 1 = (3a - 1)2

= (311 1

n -1)2 = 

 2

1

33 3 2

n

Vậy A là một số CP

2 Chứng minh số  





1

11 155 5 6

HD

D¹ng bµi tËp t ¬ng tù:

Chøng minh c¸c sè sau lµ sè CP:

a) Chøng minh        

2

11 1 44 4 1



11 1 11 1 66 6 8

HD: §Æt 11 1

n = a

n

11 1 00 0 +11 1 4.11 1 1

n n n = a.10n + a + 4a + 1 = a(9a+1) + a +4a + 1 = 9a2 + 6a + 1 



  2  2

1

(3 1) 33 3 4

n

a



11 1 11 1 66 6 8 10n 10 1 6 8





      2  2

1

(9 1) 17 9 (3 3) 33 3 6

n

3 Cho a 11 15 

n ; b 11 19 

n Chøng minh r»ng : ab + 4 lµ sè chÝnh ph¬ng

HD: ab + 4 = a(a + 4) + 4 = (a + 2)2 (11 15 2)  2

n



 11 172

n

4 Cho a 11 1 

n ; b   

2

100 011 (n 2)

n Chøng minh r»ng : ab + 4 lµ sè CP

HD: ab + 4 = a( 100 0 11 

n )+4 = a(10n + 1) + 4 = a(9a + 12) + 4 = (3a + 2)2





1

33 35

n

5 Chøng minh số 11 155 5 1  

6 Chứng minh rằng:

a Tổng của 3 số CP liên tiếp không phải là một số CP

b Tổng S = 12 + 22 + …+ 302 không phải là số CP

Giải

a Gọi 3 số CP liên tiếp là (n - 1)2; n2; (n + 1)2

Ta có (n - 1)2+ n2 + (n + 1)2 = 3n2 + 2 Tổng này chia cho 3 d 2 nên không phải

là số chính phơng

b Ta có S = (12 + 22 +32 )+ ( 42 + 52 + 62 ) + … + (282 + 292 + 302 )

Tổng trên có 10 nhóm và mỗi nhóm chia cho 3 d 2 nên ta viết S dới dạng:

S = (3k1 2) (3  k2  2) (3   k10 2)=(3k1 3k2 3  k10 18) 2 

= 3(k1k2 k10  6) 2 : 3   d 2

Vậy S không phải là số CP

7 Có hai số chính phơng nào :

a Có tổng bằng 4567? b Có hiệu bằng 7654 ?

HD :

a Tổng của 2 số CP khi chia cho 4 chỉ có thể có số d là 0;1;2 Số 4567 chia cho 4 có

số d là 3 Vậy không có 2 số chính phơng nào mà tổng bằng 4567

b Hiệu của 2 số CP khi chia cho 4 chỉ có thể có số d là 0;1;3 Số 7654 chia cho 4 có

số d là 2 Vậy không có 2 số chính phơng nào mà hiệu bằng 7654

8 Chứng minh rằng tổng của 20 số CP liên tiếp không thể là số chính phơng

HD: C/minh cho tổng của 4 số chính phơng liên tiếp chia cho 4 d 2 Từ đó suy ra tổng của 20 số chính phơng liên tiếp chia cho 4 d 2

9 Cho 5 số chính phơng bất kỳ có chữ số hàng đơn vị đều bằng 6 còn chữ số hàng chục thì khác nhau CMR: tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phơng đó cũng

là một số chính phơng

HD: Nếu một số chính phơng A = n2 có c/số hàng đơn vị bằng 6 thì n phảI là một số chẵn , n2 do đó A = n2

4, suy ra hai c/ số của A chỉ có thể là 16,36,56,76,96 Tổng các c/ số hàng chục là 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 là một số chính phơng

10.Cho a,b,c là các chữ số khác 0

a) Tính tổng S của tất cả các số có 3 c/ số tạo thành bởi 3 c/ số a,b,c ?

b) C/minh rằng : S không phảI là số chính phơng

11 Tìm một số CP có 4 c/ số biết rằng hai c/ số đầu giống nhau, hai c/ số cuối giống nhau

12 Chứng minh rằng nếu n + 1 và 2n + 1 đều là số chính phơng thì n24

ố chớnh phương là bỡnh phương của một số nguyờn