chuyên đề: Số chính phương

SINH HOẠT CHUYÊN ĐỀMỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG TRƯỜNG THCS HUỲNH THỊ ĐÀO Chào mừng quý thầy cô về tham dự Vĩnh Thạnh, ngày 16/12/2010... Trường THCS Huỳnh Thị Đ

SINH HOẠT CHUYÊN ĐỀ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP

GIẢI BÀI TOÁN VỀ SỐ

CHÍNH PHƯƠNG

TRƯỜNG THCS HUỲNH THỊ ĐÀO

Chào mừng quý thầy cô về tham dự

Vĩnh Thạnh, ngày 16/12/2010

ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Giới thiệu

Dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh

trong đó giải toán là hình thức chủ yếu Chính vì vậy việc dạy học sinh giải bài tập là điều vô cùng quan trọng và trong đó đặc biệt chú trọng đến

thực hành.Thực hành giải toán không chỉ là thực hiện các bài tập thực hành mà quan trọng là luyện tập rèn kỹ năng,vận dụng vào thực tế qua đó hình thành và phát triển cho học sinh tư duy lô gíc và phương pháp luận khoa học

Trường THCS Huỳnh Thị Đào SIN H HOẠT CHUYÊN ĐỀ

ĐẶT VẤN ĐỀ

Để có thể phát triển khả năng tư duy và sáng

tạo trong việc học toán và giải toán thì bên

cạnh việc cung cấp cho học sinh kiến thức,

người giáo viên cần phải hình thành và cung

cấp cho học sinh tri thức phương pháp để giúp học sinh có khả năng thích ứng với những thay đổi nội dung hay nói một cách đúng hơn là tạo dựng cho học sinh phương pháp học và khả

năng phát triển một bài toán từ bài toán thông

thường nhằm mở rộng khả năng tư duy, từ đó tạo cho các em năng lực nghiên cứu và hứng

thú tìm tòi trong việc học toán

Qua quá trình giảng dạy chúng tôi thấy hầu hết học sinh còn hạn chế trong việc khai thác, phát triển khả năng tư duy, khi đứng trước một bài toán học sinh thường lúng túng trong việc tìm lời giải, chưa có kinh nghiệm đúc kết các phương pháp và thường bị bó hẹp mang tính chất khuôn mẫu, năng lực phát triển

mở rộng khai thác kiến thức thường rất hạn chế do

đó khi gặp các bài toán đòi hỏi tính sáng tạo, lời giải nhanh gọn thì chưa có khả năng đáp ứng được nhất

là đối với các bài toán có liên quan đến số chính

ĐẶT VẤN ĐỀ

Sinh hoạt chuyên đề

Trường THCS Huỳnh Thị Đào

ĐẶT VẤN ĐỀ

Làm thế nào để có thể giúp HS hiểu rõ bản chất

của loại toán trên, vận dụng kiến thức nào để giải, phương hướng chung để giải loại toán này như

thế nào? Giải quyết được vấn đề này không phải

dễ dàng khi trong phân phối chương trình của môn toán THCS không có một tiết nào dành cho GV dạy một cách hệ thống cho HS những bài toán dạng

này mà chúng chỉ xuất hiện một cách đơn lẻ Điều này khiến chúng tôi luôn để tâm trong quá trình

giảng dạy của mình và muốn trao đổi cùng đồng

nghiệp

số tự nhiên và đặc biệt là được giới thiệu về số

chính phương, đó là số bằng bình phương của một

số tự nhiên (VD: 0 ; 1 ; 4; 9 ; 16 ; 25 ; 100 ;

144 ; ) Kết hợp các kiến thức trên, các em có thể giải quyết bài toán chứng minh về số chính phương Đây cũng là một cách củng cố các kiến thức mà các

em đã được học Những bài toán này sẽ làm tăng

+ Với giáo viên

Qua trao đổi với các giáo viên nhóm Toán,

chúng tôi nhận thấy những bài toán liên quan

đến số chính phương rất hay và quan trọng đối

với các em học sinh trung học cơ sở Đặc biệt

là các em chưa thành thạo lắm với loại toán

chứng minh số chính phương cho nên phương

pháp để giải còn nhiều hạn chế Do vậy chúng

tôi muốn cùng các bạn đồng nghiệp “tháo gỡ”

vấn đề này

Sinh

Trường THCS Huỳnh Thị Đào

ĐẶT VẤN ĐỀ

3 Phạm vi của chuyên đề

Trong phạm vi bài viết này, chúng tôi muốn

hướng dẫn các em học sinh giỏi toán một số

phương pháp và bài tập về “Số chính phương” Rất mong các đồng nghiệp cùng tham gia trao

đổi nhằm rút ra một hướng đi chung nhất cho nội dung này, qua đó phần nào giúp cho HS huyện

nhà có điểm tương đồng về trình độ cũng như

nhận thức trên cùng một vấn đề

ĐẶT VẤN ĐỀ

I Chuẩn bị

Trong quá trình giảng dạy cũng như bồi

dưỡng học sinh giỏi, cần luôn bám sát kiến thức cơ bản, trọng tâm và lưu ý học sinh:

- Quan sát biểu thức một cách linh hoạt.

Sinh hoạt chuyên đề

Trường THCS Huỳnh Thị Đào

NỘI DUNG

II Hướng thực hiện

Theo định nghĩa, số chính phương bằng bình

phương của một số tự nhiên nên số chính phương

phải có chữ số tận cùng là một trong các chữ số 0;

1; 4; 5; 6; 9 Ta xét bài toán sau:

Bài toán 1: Chứng minh rằng số:

A = 1234567891011121314151617181920212223.Không phải là số chính phương

Chứng minh một số không phải là số chính phương

C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

1 Xét chữ số tận cùng

Sinh hoạt chuyên đề

Trường THCS Huỳnh Thị Đào

C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

2 Sử dụng phép chia hết

Bài toán 3

Chứng minh rằng số 12345678910 không phải là số chính phương

Sinh hoạt chuyên đề

Trường THCS Huỳnh Thị Đào

C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Chú ý: Nhiều khi số đã cho có chữ số tận cùng là một trong các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9 nhưng vẫn

không phải là số chính phương Khi đó chúng ta phải lưu ý:

Nếu số chính phương chia hết cho số nguyên

tố p thì phải chia hết cho p 2 Ta có bài toán 3

Chú ý: Có thể lí luận số 12345678910 chia hết cho 2 ( vì chữ số tận cùng là 0) nhưng không chia hết cho 4

(vì 2 chữ số tận cùng tạo thành số 10 không chia hết

cho 4) Do đó số 12345678910 không phải là số chính

phương.

Như vậy, ta có thể khẳng định: "Một số chính

C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Ta thấy ngay số 12345678910 chia hết cho 5 (vì chữ

số tận cùng là 0) nhưng không chia hết cho 25 (vì 2

chữ số tận cùng tạo thành số 10 không chia hết cho 25) Do đó số 12345678910 không phải là số chính

phương

Bài toán 4:

Chứng minh rằng số có tổng các chữ số là

2010 thì số đó không phải là số chính

phương

Sinh hoạt chuyên đề

Trường THCS Huỳnh Thị Đào

C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Giải:

Ta thấy tổng các chữ số của số 2010 là 3

nên số 2010 chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 nên số có tổng các chữ số là 2010 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9, do đó

số này không phải là số chính phương.

C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Ngoài ra, nếu ta để ý một chút thì khi phân

tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương

chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ

chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số

mũ lẻ Chính vì thế, nếu khai thác nhận xét

trên, ta có phát biểu tổng quát sau:

Nếu số chính phương chia hết cho p n (với p là

số nguyên tố, n lẻ) thì phải chia hết cho p n+1

Nhờ đó ta sẽ giải quyết được bài toán khó sau:

Trường THCS Huỳnh Thị Đào Sinh hoạt chuyên đề

C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Nhận xét:

Ta đặt vấn đề nếu ở bài toán 4 tổng các chữ

số không chia hết cho 3 (chẳng hạn là 2011) thì ta làm như thế nào ? Khi đó chúng ta phải nghĩ tới điều gì ? Vì bài toán cho tổng các chữ số nên chắc chắn chúng ta phải nghĩ tới phép chia cho 3 hoặc cho 9 Vậy ta nghĩ tới việc xét số dư khi chia số đó cho 3 Như vậy số chính phương chia cho 3 có thể

dư bao nhiêu ? Chúng ta có thêm phương pháp

nữa để giải loại toán này

3 Xét số dư của số chính phương khi chia cho một số

Bài toán 6:

Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2011 không phải là số chính phương

Sinh hoạt chuyên đề

Trường THCS Huỳnh Thị Đào

C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Giải: Vì số chính phương khi chia cho 3 chỉ có

số dư là 0 hoặc 1 (ta dễ dàng chứng minh

được) Do tổng các chữ số của số đó là 2011

chia cho 3 dư 2 nên số có tổng các chữ số là

2011 chia cho 3 cũng dư 2 Chứng tỏ số đã

cho không phải là số chính phương

Tương tự chúng ta có các bài tập sau:

C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Tính tổng bằng 2015027 chia cho 3 dư 2.

Bài toán 8: Chứng minh số:

D = 20102007 + 20102008 + 20102009 + 5 không phải là số chính phương

Hướng dẫn:

C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Nếu số ta đang xét chia cho 3 dư 1 thì hướng giải quyết như thế nào?

Ta có bài toán sau:

Bài toán 9: Chứng minh số:

phải là số chính phương.

* Nhận xét: Ở bài này ta không thể làm

tương tự các bài trên được Vậy ta có thể

xét số dư của M khi chia cho 4 , số dư đó là

3 Một số chính phương khi chia cho 4 sẽ có

số dư như thế nào? Chúng ta có thể chứng minh được ngay là dư 0 hoặc dư 1 Như vậy việc giải bài toán này không có gì khó

4 Sử dụng phương pháp kẹp:

Để chứng minh một số không là số chính

phương, ta còn có thể chứng minh cho số đó

nằm giữa hai số chính phương liên tiếp Tức

là:

Với n và x là hai số tự nhiên mà n 2 < x <

(n+1) 2 thì x không thể là số chính phương.

C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Bài toán 10: Chứng minh rằng số 4025025

không là số chính phương.

*Nhận xét: Số 4025025 có 2 chữ số tận cùng là 25, chia hết cho 3, cho 9 và chia cho 4

không phải là số chính phương.

Sinh hoạt chuyên đề

Trường THCS Huỳnh Thị Đào

C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Bài toán 11: Chứng minh tích của 2 số tự nhiên liên tiếp (khác 0) không là số chính phương.

Giải:

Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp là n ; n+1 (n  N*)

Ta có : n 2 < n(n+1) < (n+1) 2

=> n(n+1) không là số chính phương.

Ta có A = a5 2 = ( 10a + 5 ) 2 = 100a 2 + 100a +25

Vì chữ số hàng chục của 100a 2 và 100a là

0 nên chữ số hàng chục của A là 2.

1 Xét chữ số tận cùng

Bài toán 2: Chứng minh rằng một số chính phương có chữ số tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là một số lẻ

Sinh hoạt chuyên đề

Trường THCS Huỳnh Thị Đào

- Nếu a có tận cùng là 6 , khi đó a có dạng b6

Ta có: b6 2 = (10b + 6) 2 = 100b 2 + 120b + 36

Lập luận như trên, ta có chữ số hàng chục của M là số lẻ

2 Dựa vào định nghĩa

Giải: Ta biến đổi như sau:

Dễ thấy, số cuối cùng là bình phương của số

nguyên nên số đã cho là số chính phương

3 Dựa vào tính chất đặc biệt

Ta có thể chứng minh một tính chất rất đặc

biệt: “Nếu a, b là hai số tự nhiên nguyên tố

cùng nhau và a.b là một số chính phương thì

a và b đều là các số chính phương”

Sinh hoạt chuyên đề

Trường THCS Huỳnh Thị Đào

3 Dựa vào tính chất đặc biệt

Theo tính chất nêu trên thì m-n và 4m+4n+1

đều là các số chính phương

Sinh hoạt chuyên đề

Trường THCS Huỳnh Thị Đào

C/M MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Ngoài các phương pháp đã nêu trên, chúng

ta còn có thể sử dụng một tính chất mà học sinh

đã gặp ở lớp 6: “Số tự nhiên lớn hơn 0 là số

chính phương khi và chỉ khi số ước của nó là số

lẻ” (Quí thầy cô tự cho bài toán ví dụ)

Để kết thúc chuyên đề này, chúng tôi đưa ra một số bài toán vận dụng các nội dung trên để quí thầy cô nghiên cứu tham khảo.

Sinh hoạt chuyên đề

Trường THCS Huỳnh Thị Đào

BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 5: Có hai mảnh bìa, một cậu bé tinh

nghịch cứ cầm một mảnh bìa lên lại xé ra làm

4 mảnh Cậu ta mong rằng cứ làm như vậy đến một lúc nào đó sẽ được số mảnh bìa là một số chính phương Cậu ta có thực hiện được

mong muốn đó không?

Bài 6: C/minh A = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 là số

chính phương.

Bài 7: Cho số A gồm 2m chữ số 1, số B gồm m chữ số 4 CMR: A + B + 1 là số chính phương.

KẾT LUẬN

Lời kết:

Ta biết rằng kiến thức là mênh mông, là vô

tận Riêng đề tài này cũng là một nội dung

mở, do đó còn rất nhiều điều cần phải bổ

sung, chỉnh sửa Rất mong các đồng nghiệp

cùng trao đổi để nội dung này hoàn thiện và

mang lại tính thực tiễn trong quá trình dạy

học Xin chân thành cảm ơn sự theo dõi của

quí thầy cô.

Sinh hoạt chuyên đề

Trường THCS Huỳnh Thị Đào

YÊU CẦU THẢO LUẬN

NỘI DUNG

1) Nhận xét về nội dung kiến thức

2) Khả năng vận dụng và đối tượng áp dụng

3) Những khó khăn có thể gặp, hướng giải quyết 4) Bổ sung phương pháp khác.