Chuyên đề số CHÍNH PHƯƠNG

Chuyên đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNGGiáo viên: Nguyễn Đình Vui Đơn vị công tác: Trường THCS Nguyễn Trãi – Tam Đảo - Vĩnh Phúc A.Mục đích chuyên đề Trong chương trình toán ở bậc tiểu học và THCS,

Chuyên đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Giáo viên: Nguyễn Đình Vui

Đơn vị công tác: Trường THCS Nguyễn Trãi – Tam Đảo - Vĩnh Phúc

A.Mục đích chuyên đề

Trong chương trình toán ở bậc tiểu học và THCS, các em đã được học các bài toán số học, các bài toán liên quan tới phép chia hết của một số nguyên cho một số tự nhiên khác 0 và đặc biệt là được giới thiệu về số chính phương Nhưng để các em biết cách giải một bài toán có liên quan đến số chính phương thì không phải là vấn đề đơn giản và không phải em HS nào cũng có thể làm được

Để giúp các em học sinh giỏi có thể nắm vững dạng toán này và nắm được thuật giải của các bài toán về số chính phương Đây cũng là một cách củng cố các kiến thức

mà các em đã được học Những bài toán này sẽ làm tăng thêm lòng say mê nghiên cứu môn toán cho các em

B.Đối tượng bồi dưỡng - Số tiết dạy – Tài liệu tham khảo

- Chuyên đề bồi dưỡng HSG môn toán lớp 8

- Số tiết dạy cho HS 08 tiết

- Tài liệu tham khảo: Nâng cao và phát triển toán 8- Vũ Hữu Bình

Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 8-Bùi Văn Tuyên

B.Nội dung kiến thức

1.Định nghĩa số chính phương

Số chính phương là số tự nhiên bằng bình phương của một số tự nhiên (ví dụ các

số : 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, … là số chính phương)

2.Một số tính chất cần nhớ

a Số chính phương không tận cùng bởi các chữ số 2,3,7,8

b Khi phân tích một số chính phương ra thừa số nguyên tố ta được các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn (Ví dụ số 100 =22.52, 144=24.32,…)

Từ đó suy ra

Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4

Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9

Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25

Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16

Tổng quát nếu có số chính phương N chia hết cho p2k+1 thì N chia hết cho p2k+2 (p là số nguyên tố, k là số tự nhiên)

c Số chính phương chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc dư 1 hay số chính phương chỉ

có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1 Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (n là số tự nhiên)

d Số chính phương chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc dư 1 hay số chính phương chỉ

có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1 Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n là số tự nhiên)

e Số chính phương chia cho 5 chỉ có thể dư 0 hoặc dư 1 hoặc dư 4 hay số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 5n hoặc 5n + 1 hoặc 5n + 4 Không có số chính phương nào có dạng 5n + 2 hoặc 5n + 3 (n là số tự nhiên)

f Số chính phương lẻ chia cho 4 hoặc chia cho 8 đều dư 1

g Giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào

n2<x2<(n+1)2 (1) không tồn tại x∈Z thỏa mãn (1)

n2<x2<(n+2)2 thì x2=(n+1)2

h Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số nguyên đó là số 0

3 Nhận biết một số chính phương

a Để chứng minh N là một số chính phương ta có thể

- Biến đổi N thành bình phương của một số tự nhiên (hoặc số nguyên)

- Vận dụng tính chất: Nếu hai số tự nhiên a và b nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì mỗi số a, b cũng là một số chính phương

b Để chứng minh N không phải là một số chính phương ta có thể

- Chứng minh N có chữ số tận cùng là 2,3,7,8 hoặc có một số lẻ là chữ số 0 tận

cùng

- Chứng minh N chứa số nguyên tố với số mũ lẻ

- Xét số dư khi chia N cho 3, hoặc cho 4, hoặc cho 5, hoặc cho 8

Chẳng hạn, nếu chia N cho 3 có số dư là 2; hoặc N chia cho 4, cho 5 có số dư là 2; 3 thì N không phải là số chính phương

- Chứng minh N nằm giữa hai số số chính phương liên tiếp.

C.Bài tập vận dụng

*CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

*Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa

Ta biết rằng, số chính phương là bình phương của một số tự nhiên Dựa vào định nghĩa này, ta có thể định hướng giải quyết các bài toán

Bài toán 1: Chứng minh với mọi số tự nhiên n thì A= n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1

là số chính phương

Lời giải

Ta có:

A = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1

= n(n+3).(n+1)(n+2) + 1

= (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2) + 1

= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1

= (n2 + 3n + 1)2

Với n là số tự nhiên thì n2 + 3n + 1 cũng là số tự nhiên, nên theo định nghĩa A là số chính phương

Bài toán 2: Chứng minh số 11  1 55 6

1







−

=

n n

A là số chính phương

Lời giải

Cách 1:

Đặt  a

n

=

1

n

9 9

99 = do đó 99 9 + 1 = 10n = 9a+ 1

n







Ta có 11  1 55 6

1







−

=

n n

A = 11 1 10 + 55 5 + 1 = 11 1 10 + 5 11 1 + 1

n

n n n

n n

2

2 6 1 ( 3 1 ) 9

1 5 ) 1 9

=a a a a a a

A

1

2 33 4 )

1 1

11 3

−

= +

=

n n

A

Vậy A là một số chính phương

Cách 2: Ta có





2 1 2

2 2

2

2 2

1

4 3

33 3

2 0

00 1

3

2 10

9

) 2 10

(

9

4 10

4 10

1 9

1 10

4 9

1 10

1 1

11 4 1

11

1 5

55 1

11

6 5

55 1

11

























−

−

=





















=











=

+

=

+ +

=

+

− +

−

=

+ +

=

+

=

=

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

A

Vậy A là số chính phương

Phương pháp 2: Dựa vào tính chất đặc biệt

Ta có thể chứng minh một tính chất rất đặc biệt: “Nếu a, b là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và a.b là một số chính phương thì a và b đều là các số chính phương”

Bài toán 3: Chứng minh rằng nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn

3m2 + m = 4n2 + n thì m - n và 4m + 4n + 1 đều là số chính phương

Lời giải

Ta có : 3m2 + m = 4n2 + n

tương đương với 4(m2 – n2) + (m - n) = m2

hay là (m - n)(4m + 4n + 1) = m2 (*)

Gọi d là ước chung lớn nhất của m - n và 4m + 4n + 1 thì (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d => 8m + 1 chí hết cho d

Mặt khác, từ (*) ta có m2 chia hết cho d2 => m chia hết cho d

Từ 8m + 1 chia hết cho d và m chia hết cho d ta có 1 chia hết cho d => d = 1

Vậy m - n và 4m + 4n + 1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương

Bài toán 4:

Chứng minh rằng tổng của n số lẻ đầu tiên là một số chính phương

Lời giải

Ta tính tổng n số lẻ đầu tiên:

S = 1 + 3 + 5 + 7 + + (2n - 3) + (2n - 1)

Lúc này ta phải xét hai trường hợp: n chẵn và n lẻ.

Trường hợp 1: n chẵn

S = (1 + 2n - 1) + (3 + 2n - 3)+ Có 2n số hạng, mà mỗi số hạng có giá trị là 2n

Vậy S = 2n 2n = n2

Trường hợp 2: n lẻ

Để tính S ta cũng ghép như trường hợp trên nhưng ta được

2

1

−

n

số hạng, mỗi

số hạng có giá trị là 2n Nên tổng S =

2

1 n−

.2n + n =

2

2n 2n 2n 2− + = n2

Vậy S = 1 + 3 + 5 + 7 + + (2n - 3) + (2n - 1) = n2 nên S là một số chính phương

Từ bài toán trên ta cũng có nhận xét tổng quát

Tổng các số lẻ đầu tiên thì bằng bình phương của số các số ấy

Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Chứng minh các số sau đây là số chính phương:

 1 88 8 1

11

2

+

−

= 

n n

A (n∈N)

 1 44 4 1

11

2

+ +

= 

n n

B (n∈N)

 1 11  1 66 6 8

11

1 2

+ +

+

=

+   

n n

n

C (n∈N)

25 0

00

9

99 

n

n

D= (n∈N)

1

00

8

99 

n n

E = (n∈N)

9

88

4

44

1













−

=

n

n

F (n∈N)

Bài tập 2: Cho 11  2 1

n

a= , 11 4 1

n

b= (n∈N) chứng minh rằng ab+1 là số chính phương

Bài tập 3: Tìm số tự nhiên n để n2 + 2n + 200 là số chính phương

* CHỨNG MINH MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Phương pháp 1: Nhìn chữ số tận cùng

- Vì số chính phương bằng bình phương của một số nên suy ra số chính phương phải có chữ số tận cùng là một trong các chữ số: 0,1,4,5,6,9 Từ đó ta có thể tìm ra được lời giải của bài toán

Bài toán 1: Chứng minh số: N = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 Không là số chính phương

Lời giải

- Ta thấy chữ số tận cùng của các số: 20042, 20032, 20022, 20012 lần lượt là 6,9,4,1 Do

Chú ý: Nhiều khi số đã cho có chữ số tận cùng là một trong các số: 0,1,4,5,6,9 nhưng

vẫn không phải là số chính phương, khi đó ta phải lưu ý thêm: Nếu một số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì nó phải chia hết cho p2

Bài toán 2: Chứng minh số 1234567890 không phải là số chính phương

Lời giải

- Ta thấy số: 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng bằng 0), nhưng không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng bằng 90) Do đó số 1234567890 không phải là số chính phương

Chú ý:

- Có thể luận rằng: Số 1234567890 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 (vì hai chữ số tận cùng là 90).Nên 1234567890 không phải là số chính phương

Bài toán 3

Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương

Lời giải

Ta thấy tổng các chữ số của số 2004 là 6 nên 2004 chia hết cho 3 mà nó lại không chia hết cho 9 Nên số có tổng các chữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho

9 Do đó số này không phải là số chính phương

Phương pháp 2: Dùng tính chất của số dư.

Bài toán 4

Chứng minh rằng một số có tổng các chữ số là 2006 thì số đó không phải là số chính phương

Lời giải

(Ở đây ta không gặp trường hợp như bài toán 3 nên ta phải nghĩ đến phương pháp khác Ta thấy chắc chắn số này chia cho 3 dư 2 nên ta có lời giải sau)

- Vì số chíng phương khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1 mà thôi (đây là kết quả của bài toán mà ta dễ dàng chứng minh được)

- Do tổng các chữ số của số đó là 2006 nên số đó chia cho 3 dư 2 Nên số đó không phải

là số chính phương

Tình huống chứng minh n không là số chính phương nhưng n chia cho 3 vẫn dư 0 hoặc 1.

Bài toán 5 Chứng minh số: n = 44 + 444 + 4444 + 44444 + 15 không là số chính phương

Nhận xét:

- Nếu chia n cho 3 số dư sẽ là 1 Vậy không giải được theo cách của bài toán 3,4,5,6

- Nếu xét chữ số tận cùng ta thấy chữ số tận cùng của n là 9 nên không giải được theo cách của bài toán 1,2

Vậy ở đây ta phải dựa vào nhận xét sau (ta có thể cm):

Một số chính phương khi chia cho 4 thì số dư chỉ có thể là 0 hoặc 1 Lúc đó ta sẽ giải được bài toán này

Phương pháp 3 Phương pháp kẹp giữa hai số chính phương liên tiếp: n2 và (n+1)2

Ta thấy: Nếu n và k ∈ N và thỏa mãn điều kiện: n2 < k < (n+1)2 thì lúc đó k không phải

là số chính phương

Bài toán 6 Chứng minh số 4014025 không phải là số chính phương.

(Nhận xét: Số này có hai chữ số tận cùng là 25 nên chia cho 3 dư 1 và chia cho 4 cũng

dư 1, nên không thể áp dụng bằng cách trên.)

Lời giải

Ta thấy: 20032 = 401209; 20042= 4016016 Nên 20032< 4014025 < 20042 Chứng tỏ số

4014025 không phải là số chính phương

Bài toán 7.

Chứng minh: A = n(n+1)(n +2)(n+3) không là số chính phương với mọi n∈N, n≠0

(Nhận xét: Nếu đã quen dạng này ta có thể thấy A+1 phải là số chính phương ( bài toán lớp 8) nhưng lớp 6,7 có thể giải theo cách sau.)

Lời giải

Ta có: A+1 = n(n + 1)(n +2)(n + 3) + 1

= (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1

= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1

= (n2+3n +1)2

Mặt khác (n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A

Điều này hiển nhiên đúng vì: n > 1 Chứng tỏ

(n2 + 3n)2 < A < A+1= (n2+3n +1)2 Suy ra A không phải là số chính phương

Một số bài tập áp dụng

Bài tập 1 Chứng minh tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2005 không phải là số

chính phương

Bài tập 1 Chứng minh số: 20044 + 20043 + 20042 + 23 không phải là số chính phương

Bài tập 3 Chứng tỏ số: 235+2312+232003 không là số chính phương

Gợi ý: Nghĩ ngay đến phép chia cho 3 hoặc chia cho 4

Bài tập 4.

Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, trên mỗi mảnh được ghi một trong các số từ 1 đến

1001 (không có mảnh nào ghi khác nhau) Chứng minh rằng không thể ghép tất cả các mảnh bìa đó liền nhau để được một số chính phương

Bài tập 5.

Chứng minh rằng tổng bình phương của 4 số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính phương

Gợi ý: Nghĩ đến phép chia cho 4

Bài tập 6 Chứng minh một số là số chính phương khi và chỉ khi số ước của nó là một

số lẻ

Bài tập 7 Biển số xe máy của bạn Hùng là một số có 4 chữ số, có đặc điểm như sau:

Số đó là số chính phương, nếu lấy số đầu trừ đi 3 và số cuối cộng thêm 3 thì được một

số cũng là số chính phương Tìm số xe của bạn Hùng

Bài tập 8 : Chứng minh tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2005 không phải là số

chính phương

Bài tập 9 : Hãy tìm số tự nhiên n sao cho A = n4 - 2n3 + 3n2 - 2n là số chính phương

Gợi ý : Nghĩ đến (n2 - n + 1)2

Bài tập 10 : Chứng minh số 235 + 2312 + 232003 không là số chính phương

Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho 3 hoặc phép chia cho 4

Bài tập 11 : Chứng minh rằng : Tổng các bình phương của bốn số tự nhiên liên tiếp

không thể là số chính phương

Gợi ý : Nghĩ tới phép chia cho 4

Bài tập 12 : Chứng minh rằng số 333333 + 555555 + 777777 không là số chính phương

Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho … một chục (?)

Rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các bạn đọc!